Wydział: MT Kierunek: AiR Grupa dziekańska: 2 Semestr: II

Dzień: Poniedziałek Godzina: 17^30

Laboratorium Mechaniki Ogólnej

Ćwiczenie: C

Macierzowa analiza sił w prętach kratownicy płaskiej

Sekcja nr 5

1. Kula Rafał

2. Molenda Jakub

3. Gdesz Andrzej

4. Olszowski Sebastian

5. Moczulski Grzegorz

6. Pastuszka Krystian

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem rachunku macierzowego do określania sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej.

2. Opis algorytmu

1. Budowa macierzy połączeń

Macierz połączeń zawiera konfigurację kratownicy, tzn. zapisana jest w niej informacja o połączeniach prętów w poszczególnych węzłach. Macierz połączeń węzłów ma postać

K = [k­­_ij] ; i = 1,2,...,m.; j = 1,2,...,n

gdzie: m - liczba węzłów,

n - liczba prętów,

i - numer węzła,

j - numer pręta.

Wiersze macierzy K odpowiadają węzłom, a kolumny prętom. W każdej kolumnie znajdują się tylko dwa niezerowe elementy:

„1” - w wierszu o numerze równym numerowi węzła, który jest początkiem pręta,

„-1” - w wierszu odpowiadającym końcowi pręta.

2. Budowa macierzy współrzędnych węzłów

Obieramy dowolny prostokątny układ współrzędnych (osie układu oznaczymy jako 1 i 2 w miejsce x i y). Macierz współrzędnych węzłów ma następującą postać:

X = [x_ij] ; i = 1,2,...,m. ; j = 1,2.

Wiersze macierzy odpowiadają poszczególnym węzłom kratownicy, natomiast kolumny współrzędnym węzłów względem osi 1 i 2.

3. Budowa macierzy cosinusów kierunkowych

W macierzy tej zapisane są cosinusy kierunkowe poszczególnych prętów kratownicy, a co za tym idzie, poszczególnych sił wewnętrznych. Zbudowanie tej macierzy wymaga określenia składowych długości prętów w przyjętym układzie współrzędnych oraz wyznaczenie ich całkowitej długości. Na tej podstawie możemy dopiero określić cosinusy nachylenia poszczególnych prętów kratownicy do osi układu współrzędnych.

Macierz składowych długości prętów:

D = [d_ij]; i = 1,2,...,n; j = 1,2.

obliczymy z równania

D = -K^T X

Długości prętów są równe

a ich cosinusy kierunkowe

; i = 1,...,n;

j = 1,2.

Macierz cosinusów kierunkowych C ma postać:

C = [c_ij]

4. Budowa macierzy sil zewnętrznych

Zakładamy, że w węzłach kratownicy przyłożone są siły zewnętrzne, których składowe są elementami macierzy P.

Między macierzami sił zewnętrznych P i wewnętrznych S zachodzi związek wynikający z równowagi węzłów

P = -A * S

5. Budowa macierzy współczynników równań równowagi węzłów

Macierz A powstaje z macierzy K przez podstawienie w miejsce elementów:

„1” - odpowiednich wierszy macierzy cosinusów kierunkowych z macierzy C, odpowiadających poszczególnym prętom kratownicy,

„-1” - j.w. ale ze znakiem przeciwnym,

„0” - dwuelementowego wektora zerowego.

Wyznaczenie sił wewnętrznych wymaga wyeliminowania z macierzy A wierszy, a z macierzy kolumnowej P elementów odpowiadających warunkom podparcia. Po rozwiązaniu takiego układu równań wyznaczymy siły wewnętrzne w prętach kratownicy. Wartość dodatnia siły oznacza, że pręt jest rozciągany , a ujemna , że ściskany.

Znając wartość tych sił i korzystając z odrzuconych równań zawierających składowe reakcji możemy wyznaczyć reakcje w podporach.

3. 
   Rysunek badanej kratownicy

Rys. Postać badanej kratownicy

4. Obliczenia

Macierz połączeń

Macierz cosinusów kierunkowych:

Macierz składowych Wektory długości prętów

długości prętów

Macierz współrzędnych równowagi węzłów:

5. Wyznaczenie sił wewnętrznych w wybranych prętach

Obliczenia za pomocą metody analitycznej węzłów.

cos45°=sin45°

ΣFix­­=0 S4=0	ΣFi­­y=0 S1=0
ΣFix­­=0 S5+S10*sin45°=0 S5=-S10*sin45° S5=6,667	ΣFi­­y=0 RB+S1+S10*sin45°=0 S10=-(RB/sin45°) S10=-9,428

ΣFix­­=0 -S4-S10*sin45°+S6=0 S6=S4+S10*sin45° S6=-6,667	ΣFi­­y=0 -S10*sin45°-P-S2=0 S2=-S10*sin45°-P S2=-3,333
ΣFix­­=0 -S5+S7+S11*sin45°=0 S7=S5-S11*sin45° S7=3,333	ΣFi­­y=0 S2+S11*sin45°=0 S11=-(S2/sin45°) S11=4,714

ΣFix­­=0 -S8-S9*sin45°+Rax=0

ΣFi­­y=0 RAy-S9*sin45° S9=RAy/sin45° S9=4,714

ΣFix­­=0 -S6-S11*sin45°+S8=0 S8=S6+S11*sin45° S8=-3,333	ΣFi­­y=0 -S11*sin45°-S3=0 S3=-S11*sin45° S3=-3,333
ΣFix­­=0 -S7+S9*sin45°=0 S9=S7/sin45° S9=4,714	ΣFi­­y=0 S3+S9*sin45°=0 S9=-(S3/sin45°) S9=4,714

6. Analiza otrzymanych wyników

Siły wewnętrzne w poszczególnych prętach badanej kratownicy wynoszą:

S₁ = 0 [N]

S₂ = -3,333 [N]

S₃ = -3,333 [N]

S₄ = 0 [N]

S₅ = 6,667 [N]

S₆ = -6,667 [N]

S₇ = 3,333 [N]

S₈ = -3,333 [N]

S₉ = 4,714 [N]

S₁₀ = -9,428 [N]

S₁₁ = 4,714 [N]

Reakcje w podporach wynoszą:

R_AX = 0 [N]

R_AY = 3,333 [N]

R_A = 3,333 [N]

R_B = 6,667 [N]

7. Wnioski

Wyniki macierzowej analizy sił w prętach badanej kratownicy otrzymane przy pomocy programu komputerowego zgadzają się z wynikami obliczeń metodą wykreślną. Macierz połączeń i macierz współrzędnych węzłów kratownicy zostały więc zbudowane prawidłowo.

Siły wewnętrzne w prętach 1 i 4 przy danym obciążeniu są równe zeru. Mimo, iż dana kratownica spełnia warunek wewnętrznej wyznaczalności statycznej, pręty te nie przenoszą żadnych obciążeń. Są wiec one zbędne i jedynie zwiększają masę całej konstrukcji.

Macierzowa analiza sił w prętach kratownicy płaskiej

3

---