Procesy stochastyczne

2. Martyngały — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 2.1 Wykaż, że

1. jeżeli ciąg {(X

n

, F

n

)}

n∈N

jest nieujemnym martyngałem, to ciąg {(

√

X

n

, F

n

)}

n∈N

jest

nadmartyngałem,

2. jeżeli ciąg {(X

n

, F

n

)}

n∈N

jest martyngałem całkowalnym w p-tej potędze, to ciąg

{(|X

n

|

p

, F

n

)}

n∈N

, gdzie p ­ 1, jest podmartyngałem,

3. jeżeli ciąg {(X

n

, F

n

)}

n∈N

jest martyngałem, to ciąg {(X

n

∨ a, F

n

)}

n∈N

, gdzie a ∈ R,

jest podmartyngałem.

Zad. 2.2 (J. S., Zad. 1 str. 235) Niech Z

0

, Z

1

, Z

2

, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowy-

mi o tym samym rozkładzie i zerowej średniej. Niech F

n

= σ(Z

0

, Z

1

, . . . , Z

n

), X

0

= Z

0

i X

n

=

P

n
k=1

Z

k−1

Z

k

. Udowodnij, że ciąg {(X

n

, F

n

)}

n∈N∪{0}

jest martyngałem.

Zad. 2.3 (K., Ex. 50.1 p. 255) Niech X

1

, X

2

, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jed-

nakowym rozkładzie N (0, 1), S

n

=

P

n
i=1

X

i

, a F

n

= σ(X

1

, . . . , X

n

). Wykaż, że S

n

, S

2

n

− n,

S

3

n

− 3nS

n

są martyngałami względem filtracji {F

n

}

n∈N

.

Zad. 2.4 (B. M. P., Ex. 3.1 p. 34) Niech {(X

n

, F

n

)}

n∈N

będzie nadmartyngałem, dla którego

EX

n

= c (c ∈ R) dla każdego n ∈ N. Udowodnij, że {(X

n

, F

n

)}

n∈N

jest martyngałem.

Zad. 2.5 (S., Ex.5.22(6) p. 221) Niech X

1

, X

2

, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych loso-

wych o jednakowym rozkładzie z funkcją tworzącą momenty M (t) = Ee

tX

1

< ∞. Niech

S

n

=

P

n
k=1

X

k

. Wykaż, że ciąg M

n

= e

tS

n

(M (t))

−n

jest martyngałem względem filtracji

F

n

= σ(S

1

, . . . , S

n

).

Zad. 2.6 (S. Ex. 5.26 p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają

w następującą grę. W każdej partii gry losuje się dwóch graczy, a następnie jeden z nich,
wybrany znów losowo, daje drugiemu 1 żeton. Gra jest kontynuowana do momentu, gdy
jednemu z graczy zabraknie żetonów. Niech X

n

, Y

n

, Z

n

oznaczają liczby żetonów będące

w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii. Pokaż, że ciąg

M

n

= X

n

Y

n

Z

n

+

1

3

n(a + b + c)

jest martyngałem względem filtracji {F

n

}

n∈N

, gdzie F

n

= σ({X

1

, Y

1

, Z

1

, . . . , X

n

, Y

n

, Z

n

}).

Zad. 2.7 (S. Ex. 5.26(3) p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają

w następującą grę. W każdej partii gry jeden z nich, wybrany losowo, otrzymuje od graczy
będących jeszcze w grze po jednym żetonie. Niech X

n

, Y

n

, Z

n

oznaczają liczby żetonów

będące w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii, F

n

= σ({X

1

, Y

1

, Z

1

, . . . , X

n

, Y

n

, Z

n

}).

Pokaż, że ciągi

M

n

= X

n

Y

n

Z

n

+ n(a + b + c − 2),

V

n

= X

n

Y

n

+ Y

n

Z

n

+ Z

n

X

n

+ 3n

są martyngałami, przy założeniu, że gra jest kontynuowana do momentu, gdy jednemu z gra-
czy zabraknie żetonów. Pokaż, że w przypadku, gdy gra jest kontynuowana do momentu,
gdy jeden graczy zdobędzie wszystkie żetony, ciąg

U

n

= V

n

−

2M

n

a + b + c − 2

jest martyngałem.

Zad. 2.8 Niech X

1

ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Definiujemy ciąg {X

n

}

n∈N

następująco: jeśli

X

1

= x

1

, . . . , X

n−1

= x

n−1

, to X

n

jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na [0, x

n−1

].

Wykaż, że ciąg {X

n

}

n∈N

jest nadmartyngałem i oblicz lim

n→∞

EX

n

.