1

Procesy stochastyczne

WYKŁAD 1

Literatura

•

A. Pluci

ń

ska, E. Pluci

ń

ski, Probabilistyka (WNT),

2000

•

D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach

technicznych (WNT)

A. Wentzell, Wykłady z teorii procesów

stochastycznych, 1980

M. Chudy, Procesy stochastyczne: zbiór zada

ń

,

skrypt WAT, 1971

O. Tikhonenko, Metody probabilistyczne analizy

systemów informacyjnych, 2006

L. Kowalski, Statystyka, skrypt WAT, 2005

2

(

)

P

S,

,

Ω

- ustalona przestrzeń probabilistyczna.

T

⊂

R , przedział (skończony lub nieskończony),

lub podzbiór dyskretny.

3

Def.
Funkcję

R

T

X

→

Ω

×

:

nazywamy procesem

stochastycznym jeśli

{

}

S

x

t

X

R

x

T

t

∈

<

∈

∈

∧

∧

)

,

(

:

ω

ω

czyli dla każdego ustalonego t funkcja X rozważana jako
funkcja argumentu

ω

jest zmienną losową.

Najczęściej w zastosowaniach interpretujemy t jako czas.

Stosujemy zapis

)

(

)

(

)

,

(

t

X

X

t

X

t

=

=

ω

ω

4

Przykład.
Amplituda napięcia generowanego przez prądnicę
prądu zmiennego zależy od czynników losowych
i może być zapisana jako proces

wt

A

t

X

sin

)

(

=

w - stała określająca częstotliwość,
A - zmienna losowa o rozkładzie np. N(230, 5),
t - czas, t

∈

R.

5

Realizacje procesu
Dla ustalonego

ω

∈

Ω

i dowolnego t

∈

T

przyjmujemy

)

,

(

)

(

ω

t

X

t

x

=

Funkcja x określona na T nie ma charakteru
losowego, nazywamy ją realizacją procesu
stochastycznego (wyraża ewolucję w czasie
wybranego zdarzenia losowego).

W powyższym przykładzie proces ma nieskończenie
wiele realizacji.

Realizacje

6

Wartości procesu nazywamy stanami.

Zbiór wszystkich stanów nazywamy przestrzenią
stanów.

7

Rodzaje procesów

Czas Stany

Przykład

nazwa procesu

C

C

jak wyżej, lub proces Gaussa,

CC

C

D

proces Poissona,

CD

D

C

n - wymiarowy rozkład normalny,

DC

D

D

łańcuchy Markowa.

DD

8

Niech t

1

< t

2

< ... < t

n

. Rozpatrzmy n wymiarową

zmienna losową

(

)

n

t

t

t

X

X

X

,...,

,

2

1

Rozkład

prawdopodobieństwa

tej

zmiennej

losowej nazywamy n-wymiarowym rozkładem
procesu stochastycznego a dystrybuantę tej
zmiennej

losowej

nazywamy

n-wymiarową

dystrybuantą procesu stochastycznego.

9

Uwaga.
1)

Nie każda funkcja która dla ustalonego t jest

dystrybuantą n-wymiarowej zmiennej losowej
może być dystrybuantą procesu stochastycznego.
Muszą być dodatkowo spełnione tzw. warunki
zgodności.

2)

Znajomość dystrybuanty n-wymiarowej dla

dowolnego n, tzn. znajomość wszystkich
rozkładów skończenie wymiarowych procesu
stochastycznego nie określa w sposób
jednoznaczny procesu stochastycznego. Niektóre
procesy mają taką własność, są to np. procesy
ośrodkowe.

10

Parametry procesu stochastycznego.

Wartość oczekiwana procesu.

( )

t

X

E

t

m

=

)

(

11

Wariancja procesu.

(

)

(

)

2

2

)

(

)

(

)

(

t

m

X

E

t

D

t

V

t

−

=

=

12

Autokowariancja

(

)(

)

(

)

)

(

)

(

)

,

(

2

1

2

1

2

1

t

m

X

t

m

X

E

t

t

K

t

t

−

−

=

13

Autokowariancja unormowana

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

1

t

V

t

V

t

t

K

t

t

=

ρ

14

Autokorelacja

(

)

2

1

)

,

(

2

1

t

t

X

X

E

t

t

R

=

15

Własności:

1)

)

,

(

)

(

)

(

2

t

t

K

t

D

t

V

=

=

2)

( ) ( )

2

1

2

1

2

1

)

,

(

)

,

(

t

m

t

m

t

t

R

t

t

K

−

=

3)

( ) ( )

2

1

2

1

)

,

(

t

V

t

V

t

t

K

≤

16

Uwaga

1.

Z powyższych własności wynika, że

praktycznie wystarczy wyliczyć

)

(t

m

i

)

,

(

2

1

t

t

R

a

pozostałe parametry uzyskamy na ich podstawie.

2.

Przy obliczaniu parametrów przydatne

bywają następujące zależności znane z rachunku
prawdopodobieństwa

( )

2

2

2

EX

X

D

EX

+

=

, bo

( )

2

2

2

EX

EX

X

D

−

=

EXEY

Y

X

Cov

EXY

+

=

)

,

(

bo

EXEY

EXY

Y

X

Cov

−

=

)

,

(

DXDY

Y

X

Cov

ρ

=

)

,

(

bo

DXDY

Y

X

Cov

)

,

(

=

ρ

17

Przykład.
Obliczymy parametry procesu

B

At

t

X

+

=

)

(

, t

∈

R

A, B - zmienne losowe o parametrach
EA = 0; EB = 1,
i D

2

A = 1, D

2

B = 2; cov(A, B) = -1.

18

Rozwiązanie.
Wartość oczekiwana:

( )

1

)

(

)

(

=

+

=

+

=

=

EB

tEA

B

At

E

X

E

t

m

t

Autokorelacja:

(

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

3

1

2

1

0

1

0

1

)

,

cov(

)

,

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

+

−

−

=

+

+

⋅

+

−

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+

=

=

t

t

t

t

t

t

t

t

EB

B

D

EAEB

B

A

t

t

EA

A

D

t

t

B

E

AB

E

t

t

A

E

t

t

B

t

t

AB

t

t

A

E

B

At

B

At

E

X

X

E

t

t

R

t

t

Autokowariancja:

( ) ( )

2

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

+

−

−

=

−

=

t

t

t

t

t

m

t

m

t

t

R

t

t

K

Wariancja:

(

)

1

1

2

2

)

(

2

2

+

−

=

+

−

=

t

t

t

t

V

Zauważmy, że wariancja tego procesu jest nie
mniejsza niż 1 dla dowolnego t.

Współczynnik autokorelacji:

( )

( )

1

1

1

1

2

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

+

−

+

−

+

−

−

=

=

t

t

t

t

t

t

t

V

t

V

t

t

K

t

t

ρ

19

Proces stochastyczny X nazywamy procesem o
przyrostach niezależnych, jeśli dla dowolnego
naturalnego n, dowolnych Niech t

0

< t

1

< ... < t

n

zmienne losowe

1

0

1

0

,......,

,

−

−

−

n

n

t

t

t

t

t

X

X

X

X

X

są niezależne.
Przykład: proces Poissona, proces Wienera.

20

Proces

stochastyczny

X

o

przyrostach

niezależnych nazywamy jednorodnym, jeśli dla
dowolnego nieujemnego t, X(0,

ω

) = 0 i dla

dowolnych t

1

< t

2

rozkład różnicy zmiennych

losowych

1

2

t

t

X

X

−

zależy tylko od różnicy t

2

- t

1

( nie zależy od t

1

).

Przykład: proces Poissona.

21

Proces

stochastyczny

nazywamy

procesem

normalnym (procesem Gaussa) jeśli wszystkie
n-wymiarowe rozkłady tego procesu są normalne.

22

Jednorodny proces normalny o przyrostach
niezależnych dla którego

m(t) = 0

0

,

)

(

>

=

=

c

c

ct

t

V

const

nazywamy procesem Wienera (procesem ruchu
Browna).

23

Procesy stacjonarne to procesy, których realizacje mają

postać losowych odchyleń od pewnej wartości i charakter tych

odchyleń nie ulega zmianie w czasie np. napięcie w sieci

energetycznej, szumy losowe w radiotechnice. Dla procesów

stacjonarnych

łatwo

eksperymentalnie

wyznaczyć

charakterystyki.

24

Proces jest stacjonarny w węższym sensie (ściśle

stacjonarny) gdy wszystkie jego charakterystyki

nie zależą od czasu.

25

Proces jest stacjonarny w szerszym sensie (słabo

stacjonarny) gdy ma stałą wartość oczekiwaną a

jego funkcja autokowariancyjna zależy wyłącznie

od różnicy argumentów tzn.

m(t) = m = const

s

t

k

s

t

k

t

s

K

−

=

=

−

=

τ

τ

)

(

)

(

)

,

(

Jeśli charakterystyki istnieją to każdy proces ściśle

stacjonarny jest słabo stacjonarny, odwrotna

własność nie musi zachodzić (wyjątek - procesy

gaussowskie).