28
7 Geometria analityczna w przes-
trzeni
7.1 Wektory
Definicja 7.1
Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R
3
są współ-
liniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty.
Definicja 7.2
Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R
3
są
współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punk-
ty.
Definicja 7.3
Mówimy, że wektory −
→
a ,
−
→
b są współliniowe, gdy ist-
nieje prosta, w której zawarte są te wektory. Wektory współliniowe
będziemy nazywać także wektorami równoległymi - piszemy wtedy
a k b.
Definicja 7.4
Mówimy, że wektory −
→
u , −
→
v , −
→
w są współpłaszczyzno-
we, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory.
Twierdzenie 7.1
1. Wektory −
→
a i
−
→
b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są li-
niowo zależne.
2. Wektory −
→
a ,
−
→
b , −
→
c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy,
gdy są liniowo zależne.
Definicja 7.5 Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy
ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie O, które są
wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez
Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz,
xOz płaszczyznami układu współrzędnych.
29
Definicja 7.6
W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy,
Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ pra-
woskrętny i układ lewoskrętny.
Definicja 7.7 Długość wektora −
→
v = (x, y, z) jest określona wzorem:
|−
→
v | =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
Twierdzenie 7.2
Niech −
→
u , −
→
v będą wektorami w R
3
oraz niech
α ∈ R. Wtedy:
1. |−
→
u | ≥ 0, przy czym |−
→
u | = 0 ⇐⇒ −
→
u =
−
→
0
2. |α−
→
u | = |α| · |−
→
u |
3. |−
→
u + −
→
v | ≤ |−
→
u | + |−
→
v |
Definicja 7.8
Wersorem nazywamy wektor o długości l.
Definicja 7.9
Wektory
−
→
i = (1, 0, 0),
−
→
j = (0, 1, 0),
−
→
k = (0, 0, 1)
nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
7.2 Iloczyn skalarny
Definicja 7.10
Niech −
→
u , −
→
v będą dowolnymi wektorami w R
3
.
Iloczyn skalarny wektorów −
→
u i −
→
v określamy wzorem:
−
→
u ◦ −
→
v = |−
→
u | · |−
→
v | · cos ϕ,
gdzie ϕ jest kątem między wektorami −
→
u i −
→
v .
Twierdzenie 7.3 Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w będą dowolnymi wektorami w R
3
oraz niech α ∈ R. Wtedy
1. −
→
u ◦ −
→
v = −
→
v ◦ −
→
u
2. (α−
→
u ) ◦ −
→
v = α(−
→
u ◦ −
→
v )
3. (−
→
u + −
→
v ) ◦ −
→
w = −
→
u ◦ −
→
w + −
→
v ◦ −
→
w
4. −
→
u ◦ −
→
u = |−
→
u |
2
30
5. |−
→
u ◦ −
→
v | ≤ |−
→
u | · |−
→
v |
6. −
→
u ⊥ −
→
v ⇐⇒ −
→
u ◦ −
→
v = 0
Twierdzenie 7.4
Niech −
→
u = (x
1
, y
1
, z
1
), −
→
v = (x
2
, y
2
, z
2
) będą wek-
torami w R
3
. Wtedy
−
→
u ◦ −
→
v = x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
.
7.3 Iloczyn wektorowy
Definicja 7.11 Niech −
→
u = (x
1
, y
1
, z
1
), −
→
v = (x
2
, y
2
, z
2
), −
→
w = (x
3
, y
3
, z
3
)
będą wektorami w R
3
. Mówimy, że wektory −
→
u , −
→
v , −
→
w tworzą układ o
orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
> 0
W przypadku, gdy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orien-
tacja układu wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w jest przeciwna do orientacji układu
współrzędnych. Układ −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy prawoskrętnym (lewoskręt-
nym), gdy jest on zgodny z prawoskrętnym (lewoskrętnym) układem
współrzędnych.
Definicja 7.12
Niech −
→
u i −
→
v będą niewspółliniowymi wektorami
w R
3
. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów −
→
u i −
→
v
nazywamy wektor −
→
w , który spełnia warunki:
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach −
→
u i −
→
v ,
tzn. −
→
w ⊥ −
→
u i −
→
w ⊥ −
→
v
2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wek-
torach −
→
u i −
→
v , tzn. |−
→
w | = |−
→
u | · |−
→
u | · sin ϕ, gdzie ϕ jest kątem
między wektorami −
→
u i −
→
v .
3. orientacja trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w jest zgodna z orientacją
układu współrzędnych Oxyz.
31
Iloczyn wektorowy pary wektorów −
→
u i −
→
v oznaczamy przez −
→
u × −
→
v .
Jeżeli jeden z wektorów −
→
u , −
→
v jest wektorem zerowym lub jeżeli wek-
tory te są współliniowe, to przyjmujemy, że −
→
u × −
→
v =
−
→
0 .
Twierdzenie 7.5
Niech −
→
u = (x
1
, y
1
, z
1
), −
→
v = (x
2
, y
2
, z
2
) będą wek-
torami w R
3
. Wtedy
−
→
u × −
→
v =
−
→
i
−
→
j
−
→
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
gdzie
−
→
i ,
−
→
j ,
−
→
k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
Twierdzenie 7.6
Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w będą dowolnymi wektorami w R
3
oraz niech α ∈ R. Wtedy
1. −
→
u × −
→
v = −(−
→
v × −
→
u )
2. (α−
→
u ) × −
→
v = α(−
→
u × −
→
v )
3. (−
→
u + −
→
v ) × −
→
w = −
→
u × −
→
w + −
→
v × −
→
w
4. −
→
u × (−
→
v + −
→
w ) = −
→
u × −
→
v + −
→
u × −
→
w
5. |−
→
u × −
→
v | ≤ |−
→
u | · |−
→
v |
6. −
→
u k −
→
v ⇐⇒ −
→
u × −
→
v =
−
→
0
7.4 Iloczyn mieszany
Definicja 7.13
Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w będą wektorami w R
3
. Iloczyn mie-
szany uporządkowanej trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w określamy wzorem:
(−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w
Twierdzenie 7.7
(interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego
wektorów) Iloczyn mieszany wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w jest równy (z dokład-
nością do znaku) objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach
−
→
u , −
→
v , −
→
w ,
32
|V | = |(−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w |
Twierdzenie 7.8
Niech −
→
u = (x
1
, y
1
, z
1
), −
→
v = (x
2
, y
2
, z
2
), −
→
w =
(x
3
, y
3
, z
3
) będą wektorami w R
3
. Wtedy
(−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w =
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
Twierdzenie 7.9
Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w , −
→
r będą wektorami w R
3
oraz
niech α ∈ R. Wtedy
1. (−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w = (−
→
v × −
→
w ) ◦ −
→
u
2. (−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w = −(−
→
v × −
→
u ) ◦ −
→
w
3. ((−
→
u + −
→
r ) × −
→
v ) ◦ −
→
w = (−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w + (−
→
r × −
→
v ) ◦ −
→
w
4. ((α−
→
u ) × −
→
v ) ◦ −
→
w = α((−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w )
5. wektory −
→
u , −
→
v , −
→
w są współpłaszczyznowe ⇐⇒ (−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w = 0
6. |(−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w | ≤ |−
→
u | · |−
→
v | · |−
→
w |
7.5 Równania płaszczyzny
Twierdzenie 7.10
Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez
punkt P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) o promieniu wodzącym −
→
r
0
i prostopadłej do nieze-
rowego wektora −
→
n = (A, B, C) ma postać
π : A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0
lub w postaci wektorowej
π : (−
→
r − −
→
r
0
) ◦ −
→
n = 0
Równania te nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny π.
Twierdzenie 7.11
Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez
punkt P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) o promieniu wodzącym −
→
r
0
i rozpiętej na niewspół-
liniowych wektorach −
→
u = (a
1
, a
1
, a
1
), −
→
v = (b
2
, b
2
, b
2
) ma postać
33
π :
x = x
0
+ a
1
t + b
1
s
y = y
0
+ a
2
t + b
2
s
z = z
0
+ a
3
t + b
3
s
,
gdzie
t, s ∈ R
lub w postaci wektorowej
π : −
→
r = −
→
r
0
+ t−
→
u + s−
→
v ,
gdzie
t, s ∈ R
Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny π.
Twierdzenie 7.12
Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez
trzy niewpółliniowe punkty P
1
(x
1
, y
1
, z
1
), P
2
(x
2
, y
2
, z
2
), P
3
(x
3
, y
3
, z
3
)
ma postać:
1.
π :
x
y
z
1
x
1
y
1
z
1
1
x
2
y
2
z
2
1
x
3
y
3
z
3
1
= 0
2.
π :
x − x
1
y − y
1
z − z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
= 0
Twierdzenie 7.13
Równanie płaszczyzny π odcinającej na osiach
Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane)
a, b, c 6= 0 ma postać:
π :
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
Równanie to nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny π.
7.6 Równania prostej
Twierdzenie 7.14
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt
P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) o promieniu wodzącym −
→
r
0
i równoległej do niezerowego
wektora −
→
v = (a, b, c) ma postać
34
l :
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
lub w postaci wektorowej
l : (−
→
r − −
→
r
0
) × −
→
v =
−
→
0 .
Postać tą nazywamy równaniem kierunkowym prostej l.
Twierdzenie 7.15
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt
P (x
0
, y
0
, z
0
) o promieniu wodzącym −
→
r
0
i równoległej do niezerowego
wektora −
→
v = (a, b, c) ma postać
l :
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
,
gdzie
t ∈ R
lub w postaci wektorowej
l : −
→
r = −
→
r
0
+ t−
→
v ,
gdzie
t ∈ R
Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi prostej l.
Twierdzenie 7.16
Równanie prostej l, będącej częścią wspólną
dwóch nierównoległych płaszczyzn π
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
π
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 ma postać
l :
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Postać tą nazywamy równaniem krawędziowym prostej l.
7.7 Wzajemne położenie punktów, płaszczyzn i prostych
Definicja 7.14
Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę π
nazywamy punkt P
0
tej płaszczyzny spełniający warunek:
−−→
P P
0
⊥ π.
35
Definicja 7.15
Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazy-
wamy punkt P
0
tej prostej spełniający warunek:
−−→
P P
0
⊥ l.
Twierdzenie 7.17
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:
d(P
0
, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Definicja 7.16
Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny π nazy-
wamy kąt ϕ =
π
2
− α, gdzie α jest kątem ostrym między wektorem
normalnym płaszczyzny π i wektorem kierunkowym prostej l.
Definicja 7.17
Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utwo-
rzony przez wektory kierunkowe tych prostych.
Definicja 7.18
Kątem między płaszczyznami nazywamy kąt ostry
między wektorami normalnymi tych płaszczyzn.