28

7 Geometria analityczna w przes-

trzeni

7.1 Wektory

Definicja 7.1

Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R

3

są współ-

liniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty.

Definicja 7.2

Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R

3

są

współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punk-

ty.

Definicja 7.3

Mówimy, że wektory −

→

a ,

−

→

b są współliniowe, gdy ist-

nieje prosta, w której zawarte są te wektory. Wektory współliniowe

będziemy nazywać także wektorami równoległymi - piszemy wtedy

a k b.

Definicja 7.4

Mówimy, że wektory −

→

u , −

→

v , −

→

w są współpłaszczyzno-

we, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory.

Twierdzenie 7.1

1. Wektory −

→

a i

−

→

b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są li-

niowo zależne.

2. Wektory −

→

a ,

−

→

b , −

→

c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy,

gdy są liniowo zależne.

Definicja 7.5 Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy

ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie O, które są

wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez

Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz,

xOz płaszczyznami układu współrzędnych.

29

Definicja 7.6

W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy,

Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ pra-

woskrętny i układ lewoskrętny.

Definicja 7.7 Długość wektora −

→

v = (x, y, z) jest określona wzorem:

|−

→

v | =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

Twierdzenie 7.2

Niech −

→

u , −

→

v będą wektorami w R

3

oraz niech

α ∈ R. Wtedy:

1. |−

→

u | ≥ 0, przy czym |−

→

u | = 0 ⇐⇒ −

→

u =

−

→

0

2. |α−

→

u | = |α| · |−

→

u |

3. |−

→

u + −

→

v | ≤ |−

→

u | + |−

→

v |

Definicja 7.8

Wersorem nazywamy wektor o długości l.

Definicja 7.9

Wektory

−

→

i = (1, 0, 0),

−

→

j = (0, 1, 0),

−

→

k = (0, 0, 1)

nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.

7.2 Iloczyn skalarny

Definicja 7.10

Niech −

→

u , −

→

v będą dowolnymi wektorami w R

3

.

Iloczyn skalarny wektorów −

→

u i −

→

v określamy wzorem:

−

→

u ◦ −

→

v = |−

→

u | · |−

→

v | · cos ϕ,

gdzie ϕ jest kątem między wektorami −

→

u i −

→

v .

Twierdzenie 7.3 Niech −

→

u , −

→

v , −

→

w będą dowolnymi wektorami w R

3

oraz niech α ∈ R. Wtedy

1. −

→

u ◦ −

→

v = −

→

v ◦ −

→

u

2. (α−

→

u ) ◦ −

→

v = α(−

→

u ◦ −

→

v )

3. (−

→

u + −

→

v ) ◦ −

→

w = −

→

u ◦ −

→

w + −

→

v ◦ −

→

w

4. −

→

u ◦ −

→

u = |−

→

u |

2

30

5. |−

→

u ◦ −

→

v | ≤ |−

→

u | · |−

→

v |

6. −

→

u ⊥ −

→

v ⇐⇒ −

→

u ◦ −

→

v = 0

Twierdzenie 7.4

Niech −

→

u = (x

1

, y

1

, z

1

), −

→

v = (x

2

, y

2

, z

2

) będą wek-

torami w R

3

. Wtedy

−

→

u ◦ −

→

v = x

1

x

2

+ y

1

y

2

+ z

1

z

2

.

7.3 Iloczyn wektorowy

Definicja 7.11 Niech −

→

u = (x

1

, y

1

, z

1

), −

→

v = (x

2

, y

2

, z

2

), −

→

w = (x

3

, y

3

, z

3

)

będą wektorami w R

3

. Mówimy, że wektory −

→

u , −

→

v , −

→

w tworzą układ o

orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli









x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

z

1

z

2

z

3









> 0

W przypadku, gdy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orien-

tacja układu wektorów −

→

u , −

→

v , −

→

w jest przeciwna do orientacji układu

współrzędnych. Układ −

→

u , −

→

v , −

→

w nazywamy prawoskrętnym (lewoskręt-

nym), gdy jest on zgodny z prawoskrętnym (lewoskrętnym) układem

współrzędnych.

Definicja 7.12

Niech −

→

u i −

→

v będą niewspółliniowymi wektorami

w R

3

. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów −

→

u i −

→

v

nazywamy wektor −

→

w , który spełnia warunki:

1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach −

→

u i −

→

v ,

tzn. −

→

w ⊥ −

→

u i −

→

w ⊥ −

→

v

2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wek-

torach −

→

u i −

→

v , tzn. |−

→

w | = |−

→

u | · |−

→

u | · sin ϕ, gdzie ϕ jest kątem

między wektorami −

→

u i −

→

v .

3. orientacja trójki wektorów −

→

u , −

→

v , −

→

w jest zgodna z orientacją

układu współrzędnych Oxyz.

31

Iloczyn wektorowy pary wektorów −

→

u i −

→

v oznaczamy przez −

→

u × −

→

v .

Jeżeli jeden z wektorów −

→

u , −

→

v jest wektorem zerowym lub jeżeli wek-

tory te są współliniowe, to przyjmujemy, że −

→

u × −

→

v =

−

→

0 .

Twierdzenie 7.5

Niech −

→

u = (x

1

, y

1

, z

1

), −

→

v = (x

2

, y

2

, z

2

) będą wek-

torami w R

3

. Wtedy

−

→

u × −

→

v =









−

→

i

−

→

j

−

→

k

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2









gdzie

−

→

i ,

−

→

j ,

−

→

k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.

Twierdzenie 7.6

Niech −

→

u , −

→

v , −

→

w będą dowolnymi wektorami w R

3

oraz niech α ∈ R. Wtedy

1. −

→

u × −

→

v = −(−

→

v × −

→

u )

2. (α−

→

u ) × −

→

v = α(−

→

u × −

→

v )

3. (−

→

u + −

→

v ) × −

→

w = −

→

u × −

→

w + −

→

v × −

→

w

4. −

→

u × (−

→

v + −

→

w ) = −

→

u × −

→

v + −

→

u × −

→

w

5. |−

→

u × −

→

v | ≤ |−

→

u | · |−

→

v |

6. −

→

u k −

→

v ⇐⇒ −

→

u × −

→

v =

−

→

0

7.4 Iloczyn mieszany

Definicja 7.13

Niech −

→

u , −

→

v , −

→

w będą wektorami w R

3

. Iloczyn mie-

szany uporządkowanej trójki wektorów −

→

u , −

→

v , −

→

w określamy wzorem:

(−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w

Twierdzenie 7.7

(interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego

wektorów) Iloczyn mieszany wektorów −

→

u , −

→

v , −

→

w jest równy (z dokład-

nością do znaku) objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach
−

→

u , −

→

v , −

→

w ,

32

|V | = |(−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w |

Twierdzenie 7.8

Niech −

→

u = (x

1

, y

1

, z

1

), −

→

v = (x

2

, y

2

, z

2

), −

→

w =

(x

3

, y

3

, z

3

) będą wektorami w R

3

. Wtedy

(−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w =









x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

z

1

z

2

z

3









Twierdzenie 7.9

Niech −

→

u , −

→

v , −

→

w , −

→

r będą wektorami w R

3

oraz

niech α ∈ R. Wtedy

1. (−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w = (−

→

v × −

→

w ) ◦ −

→

u

2. (−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w = −(−

→

v × −

→

u ) ◦ −

→

w

3. ((−

→

u + −

→

r ) × −

→

v ) ◦ −

→

w = (−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w + (−

→

r × −

→

v ) ◦ −

→

w

4. ((α−

→

u ) × −

→

v ) ◦ −

→

w = α((−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w )

5. wektory −

→

u , −

→

v , −

→

w są współpłaszczyznowe ⇐⇒ (−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w = 0

6. |(−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w | ≤ |−

→

u | · |−

→

v | · |−

→

w |

7.5 Równania płaszczyzny

Twierdzenie 7.10

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez

punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) o promieniu wodzącym −

→

r

0

i prostopadłej do nieze-

rowego wektora −

→

n = (A, B, C) ma postać

π : A(x − x

0

) + B(y − y

0

) + C(z − z

0

) = 0

lub w postaci wektorowej

π : (−

→

r − −

→

r

0

) ◦ −

→

n = 0

Równania te nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny π.

Twierdzenie 7.11

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez

punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) o promieniu wodzącym −

→

r

0

i rozpiętej na niewspół-

liniowych wektorach −

→

u = (a

1

, a

1

, a

1

), −

→

v = (b

2

, b

2

, b

2

) ma postać

33

π :







x = x

0

+ a

1

t + b

1

s

y = y

0

+ a

2

t + b

2

s

z = z

0

+ a

3

t + b

3

s

,

gdzie

t, s ∈ R

lub w postaci wektorowej

π : −

→

r = −

→

r

0

+ t−

→

u + s−

→

v ,

gdzie

t, s ∈ R

Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny π.

Twierdzenie 7.12

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez

trzy niewpółliniowe punkty P

1

(x

1

, y

1

, z

1

), P

2

(x

2

, y

2

, z

2

), P

3

(x

3

, y

3

, z

3

)

ma postać:

1.

π :











x

y

z

1

x

1

y

1

z

1

1

x

2

y

2

z

2

1

x

3

y

3

z

3

1











= 0

2.

π :









x − x

1

y − y

1

z − z

1

x

2

− x

1

y

2

− y

1

z

2

− z

1

x

3

− x

1

y

3

− y

1

z

3

− z

1









= 0

Twierdzenie 7.13

Równanie płaszczyzny π odcinającej na osiach

Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane)

a, b, c 6= 0 ma postać:

π :

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1

Równanie to nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny π.

7.6 Równania prostej

Twierdzenie 7.14

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) o promieniu wodzącym −

→

r

0

i równoległej do niezerowego

wektora −

→

v = (a, b, c) ma postać

34

l :

x − x

0

a

=

y − y

0

b

=

z − z

0

c

lub w postaci wektorowej

l : (−

→

r − −

→

r

0

) × −

→

v =

−

→

0 .

Postać tą nazywamy równaniem kierunkowym prostej l.

Twierdzenie 7.15

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt

P (x

0

, y

0

, z

0

) o promieniu wodzącym −

→

r

0

i równoległej do niezerowego

wektora −

→

v = (a, b, c) ma postać

l :







x = x

0

+ at

y = y

0

+ bt

z = z

0

+ ct

,

gdzie

t ∈ R

lub w postaci wektorowej

l : −

→

r = −

→

r

0

+ t−

→

v ,

gdzie

t ∈ R

Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi prostej l.

Twierdzenie 7.16

Równanie prostej l, będącej częścią wspólną

dwóch nierównoległych płaszczyzn π

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0,

π

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0 ma postać

l :



A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

Postać tą nazywamy równaniem krawędziowym prostej l.

7.7 Wzajemne położenie punktów, płaszczyzn i prostych

Definicja 7.14

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę π

nazywamy punkt P

0

tej płaszczyzny spełniający warunek:

−−→

P P

0

⊥ π.

35

Definicja 7.15

Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazy-

wamy punkt P

0

tej prostej spełniający warunek:

−−→

P P

0

⊥ l.

Twierdzenie 7.17

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:

d(P

0

, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

Definicja 7.16

Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny π nazy-

wamy kąt ϕ =

π

2

− α, gdzie α jest kątem ostrym między wektorem

normalnym płaszczyzny π i wektorem kierunkowym prostej l.

Definicja 7.17

Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utwo-

rzony przez wektory kierunkowe tych prostych.

Definicja 7.18

Kątem między płaszczyznami nazywamy kąt ostry

między wektorami normalnymi tych płaszczyzn.