MK-8

DRGANIA POPRZECZNE STRUNY

Zadanie przykładowe

Znaleźć przybliżone rozwiązanie równanie drgań poprzecznych struny zamocowanej nieruchomo na
końcach z dokładnością do 50 form drgań. Przyjąć następujące dane: długość l = 1 [m], gęstość liniowa
ρ =0.1 [kg/m], naciąg T = 1000 [N], oraz warunki początkowe

(

)

x

l

x

x

w

x

w

−

=

=

)

(

)

0

,

(

0

,

0

)

(

)

,

(

0

0

=

=

∂

∂

=

x

v

t

t

x

w

t

.

Rozwiązanie przedstawić jako animację.

Równanie drgań poprzecznych struny ma postać

0

)

,

(

)

,

(

2

2

2

2

2

=

∂

∂

−

∂

∂

x

t

x

w

v

t

t

x

w

gdzie

ρ

=

T

v

2

Rozwiązanie powyższego równania zawierające n form drgań jest następujące

( ) ( )

∑

=

⋅

=

n

i

i

i

t

T

x

X

t

x

w

1

)

,

(

gdzie

( )













=

l

x

i

x

X

i

π

sin

oznaczają formy drgań struny zamocowanej nieruchomo na końcach, a

( )

( )

( )

t

B

t

A

t

T

i

i

i

i

i

ω

ω

sin

cos

+

=

. A

i

, B

i

to stałe wyznaczane z warunków początkowych,

ω

i

jest częstością

drgań, którą można wyznaczyć ze wzoru

i

l

v

i

π

ω

=

. W przypadku, gdy prędkość początkowa struny

równa jest zeru stałe B

i

= 0, i = 1..n.

Rozwiązanie zadania w Maple’u

Dane

> restart:

> l:=1;T:=1000;rho:=1/10;
> v:=sqrt(T/rho);

funkcje definiujące formy i częstości drgań

> X:=(x,i)->sin(Pi*i*x/l);
> omega:=i->v/l*Pi*i;
> n:=50;

# liczba określająca ilość form własnych w rozwiązaniu

warunek początkowy

> w0:=x->x*(l-x);
> plot(w0(x),x=0..l);

wyznaczanie stałych A

i

> for i to n do
A[i]:=evalf(Int(w0(x)*X(x,i),x=0..l))/evalf(Int(X(x,i)^2,x=0..l));

p[i]:=plot([[i,0],[i,A[i]]]):
end do:
> plots[display](seq(p[i],i=1..n));

# wykres widma stałych A

i

funkcja przedstawiająca rozwiązanie równania struny

> w:=(x,t)->add(A[i]*cos(omega(i)*t)*X(x,i),i=1..n):
> plots[animate](w(x,t),x=0..l,t=0..2*Pi/omega(1),frames=50);

Zadanie

Rozwiązać powyższy przykład przy następujących warunkach początkowych:

a)

16

1

2

)

(

4

0

+











 −

−

=

l

x

x

w

b)

(

)

2

2

0

)

(

x

l

x

x

w

−

=

c)













≤

<

+

−

≤

=

l

x

l

x

l

x

x

x

w

2

dla

2

2

2

dla

2

)

(

0

d)

(

)

0

4

dla

4

( )

4

1

dla

3

4

l

x

x

w x

l

x

x l



≤



= 



−

< ≤



e)

0

4

dla

4

3

( )

4

2

dla

4

4

3

4

4

dla

4

l

x

x

l

w x

x

x

l

x

l x l



≤







= − +

< ≤





 −

< ≤



oraz w każdym przypadku wykreślić ruch przekroju struny

3

l

x

= w przedziale czasu













ω

π

∈

1

2

;

0

t