DRGANIA POPRZECZNE STRUNY
Zadanie przykładowe
Znaleźć przybliżone rozwiązanie równanie drgań poprzecznych struny zamocowanej nieruchomo na końcach z dokładnością do 50 form drgań. Przyjąć następujące dane: długość l = 1 [m], gęstość liniowa ρ =0.1 [kg/m], naciąg T = 1000 [N], oraz warunki początkowe
∂ (
w x, t)
w( x )
0
, = w ( x) = x 0
( l − x),
= v ( x) = 0
0
.
t=0
∂ t
Rozwiązanie przedstawić jako animację.
Równanie drgań poprzecznych struny ma postać 2
∂ (
w x, t)
2
∂
2
(
w x, t)
− v
= 0
2
2
∂ t
∂ x
gdzie
= T
v 2
ρ
Rozwiązanie powyższego równania zawierające n form drgań jest następujące n
w( x, t) = ∑ X x T t i ( ) ⋅ i ( ) i=1
π ix
gdzie X
sin
oznaczają formy drgań struny zamocowanej nieruchomo na końcach, a i ( x) =
l
T
=
cos ω +
sin ω . A
i ( t )
Ai
( ti) Bi ( ti) i, Bi to stałe wyznaczane z warunków początkowych, ω i jest częstością v
drgań, którą można wyznaczyć ze wzoru ω = π i . W przypadku, gdy prędkość początkowa struny i
l
równa jest zeru stałe Bi = 0, i = 1.. n.
Rozwiązanie zadania w Maple’u Dane
> restart:
> l:=1;T:=1000;rho:=1/10;
> v:=sqrt(T/rho);
funkcje definiujące formy i częstości drgań
> X:=(x,i)->sin(Pi*i*x/l);
> omega:=i->v/l*Pi*i;
> n:=50; # liczba określająca ilość form własnych w rozwiązaniu warunek początkowy
> w0:=x->x*(l-x);
> plot(w0(x),x=0..l);
wyznaczanie stałych Ai
> for i to n do
A[i]:=evalf(Int(w0(x)*X(x,i),x=0..l))/evalf(Int(X(x,i)^2,x=0..l)); p[i]:=plot([[i,0],[i,A[i]]]): end do:
> plots[display](seq(p[i],i=1..n)); # wykres widma stałych Ai
funkcja przedstawiająca rozwiązanie równania struny
> w:=(x,t)->add(A[i]*cos(omega(i)*t)*X(x,i),i=1..n):
> plots[animate](w(x,t),x=0..l,t=0..2*Pi/omega(1),frames=50); Zadanie
Rozwiązać powyższy przykład przy następujących warunkach początkowych: 4
1
a) w ( x) =
l
− x − +
0
2
16
b)
2
w ( x) = x l − x 0
(
)2
2 x
dla ≤ l
x
c) w ( x) =
2
0
l
− 2 x + 2
dla
< x ≤ l
2
l
4 x
dla x ≤
d)
4
w ( x) =
0
4
(
l
1− x)
dla
< x ≤ l
3
4
l
4 x
dla x ≤
4
l
3
e) w ( x) = 4
− x + 2
dla
< x ≤ l
0
4
4
3
4 x − 4
dla
l < x ≤ l
4
l
2π
oraz w każdym przypadku wykreślić ruch przekroju struny x = w przedziale czasu t ∈ ; 0
3
ω1