1

1.

Oblicz granicę ciągów:

A)

a)

lim

→

√2

+ 8



W celu obliczenia granicy używamy twierdzenia o trzech ciągach, za pierwszy ciąg podstawiamy jakiś

o mniejszej wartości, np.

√8



, za drugi nasz ciąg dla którego mamy policzyć granicę, a za trzeci jakiś o

większej (np.

√3 ∗ 8



). W efekcie uzyskamy:

√8



< √2

+ 8



< √3 ∗ 8



Ciąg

√8



= 8, ciąg √3 ∗ 8



= 8 ∗ √3



= 8 ∗ 1 = 8. Wiemy więc z tego, że granica środkowego ciągu

również wynosi

8. Również, w oparciu o naszą wiedzę, możemy od razu napisać granicę,

argumentując że zależy ona od największego składnika i wynika z twierdzenia o trzech ciągach.

b)

√3

+ 7

+ 4



√7



< √3

+ 7

+ 4



< √4 ∗ 7



√7



= 7

√4 ∗ 7



= 7 ∗ √4



= 7 ∗ 1 = 7

√3

+ 7

+ 4



= 7

c)

√2

+ 9

+ 8

+ 7



√9



< √2

+ 9

+ 8

+ 7



< √4 ∗ 9



√9



= 9

√4 ∗ 9



= 9 ∗ √4



= 9 ∗ 1 = 9

√2

+ 9

+ 8

+ 7



= 9

B)

a)

lim

→

1 +









W celu obliczenia granicy tego typu

[1



], musimy podnieść wyrażenie w nawiasie do potęgi według

przykładu

(1 +





)



= (1 +





)



 !

, czyli symbolicznie:

1 +

"

#

= 1 +

"

#

$

%

&∗

'

W efekcie otrzymamy liczbę

( podniesioną do potęgi

%∗

$

lim

→

1 +









= lim 1 +







 

!

= (



!

2

b)

lim 1 +

)



*

= lim 1 +

)





+

,

= (

-

c)

lim

→

1 +



)



.

= lim 1 +

)



)

/+

= (



/

+

C)

a)

lim

→

(√0 + 1 − √0 + 7)

W celu obliczenia granicy tego typu mnożymy liczbę dla której chcemy wyznaczyć granicę przez tzw.

„specyficzną jedynkę”, w której iloczynie i mianowniku jest liczba o przeciwnym znaku (w tym

przypadku

√0 + 1 + √0 + 7)

lim

→

(√0 + 1 − √0 + 7) = lim2√0 + 1 − √0 + 73 ∗ √

0 + 1 + √0 + 7

√0 + 1 + √0 + 7

= lim

n + 1 − n − 7

√0 + 1 + √0 + 7

=

= lim

−6

∞ = 0

b)

lim

→

(√60 + 8 − √60 + 2)

lim

→

(√60 + 8 − √60 + 2) = lim2√60 + 8 − √60 + 23 ∗ √

60 + 8 + √60 + 2

√60 + 8 + √60 + 2

=

= lim

60 + 8 − 60 − 2

√60 + 8 + √60 + 2

= lim

6

∞ = 0

c)

lim

→

(√0 + 3 – √0 + 11 )

lim

→

(√0 + 3 – √0 + 11 ) = lim 2√0 + 3 − √0 + 113 ∗ √

0 + 3 + √0 + 11

√0 + 3 + √0 + 11

=

= lim

n + 3 − n − 11

√0 + 3 + √0 + 11

= lim

−8

∞ = 0

2.

Zamień ułamek okresowy na zwykły

a)

3,1(2)

Żeby rozwiazać to zadanie należy potraktować zadanie jako ciąg geometryczny, w tym przypadku o

ilorazie

: = 0,1. Okresową częścią jest 0,02 i ją będziemy rozpatrywać jako ciąg, a następnie dodamy

do wyniku

3,1

;

=

"



1 − : =

0,02

1 − 0,1 =

0,02

0,9 =

2

90

3,1 =

31

10

31

10 +

2

90 =

31

10 +

2

90 =

279

90 +

2

90 =

281

90

3

b)

5,2(63)

: = 0,01

"



= 0,063

5,2 =

52

10

;

=

0,063

1 − 0,01 =

0,063

0,99 =

63

990

52

10 +

63

990 =

5148 + 63

990

=

5211

990

c)

6,1(9)

: = 0,1

"



= 0,09

6,1 =

61

10

;

=

"



1 − : =

0,09

1 − 0,1 =

0,09

0,9 =

9

90

61

10 +

9

90 =

549 + 9

90 =

558

90

3.

Funkcja

a)

=(>) =

.*?
@)?

- dziedzina i przeciwdziedzina

W celu wyznaczenia dziedziny funkcji homograficznej musimy przyrównać jej mianownik do 0, a

następnie odjąć wynik od R

D:

1 + 3> = 0 ⇔ 3> = −1 ⇔ > = −


)

B = C\{−

1

3}

Przeciwdziedzinę odczytamy później, a będzie ona

C\asymptota pozioma

G = C\{−

2

3}

- parzystość i nieparzystość

W celu zbadania parzystości bądź nieparzystości funkcji, należy w miejsce

> podstawić – > i zobaczyć

czy w wyniku przekształceń uzyskamy

=(>) lub – =(>)

Parzystość funkcji jest to jej symetria względem osi OY,

HIJKęMNOąQ" RSI =(−>) = =(>)

4

=(−>) =

4 + 2>

1 − 3> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta

Nieparzystość funkcji jest to jej symetria względem początku układu współrzędnych i sprawdza się ją

korzystając ze wzoru

=(>) = −=(>)

=(−>) =

4 + 2>

1 − 3> = −

−4 − 2>

3> − 1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta

- punkty przecięcia z osiami

Punkty przecięcia z osiami to innymi słowy miejsca zerowe funkcji oraz jej wartość dla 0.

Miejsca zerowe funkcji homograficznej wyznaczamy przyrównując iloczyn licznika i mianownika do 0.

(4 − 2>)(1 + 3>) = 0 ⇔ 4 − 2> = 0 ∨ 1 + 3> = 0 ⇔ > = 2⋁> = −

1

3

Następnie musimy sprawdzić czy liczby, które nam wyszły należą do dziedziny.

> = 2 ∈ B, > = −

1

3 ∉ B

Wartość funkcji dla 0 wyznaczamy podstawiając

> = 0

=(0) =

4 − 2 ∗ 0

1 + 3 ∗ 0 =

4

1 = 4

- granice na końcach przedziału określoności

Musimy wyznaczyć granicę dla

> → ∞,> → −∞ oraz dla > → liczb wyrzuconych z dziedziny, zarówno

od lewej i prawej strony, czyli w tym przypadku dla

> → −


)



i

> → −


)

@

lim

?→

4 − 2>

1 + 3> = lim

x(4x − 2)

>(1> + 3)

= lim

−2

3 = −

2

3

lim

?→

4 − 2>

1 + 3> = lim

>(4> − 2)
>(1> + 3)

= lim

−2

3 = −

2

3

lim

?→)



4 − 2>

1 + 3> = lim

4 − 2 ∗ − 13



1 + 3 ∗ − 13



= lim

4 + 23



1 − 1



= lim

4 23

0



= −∞

lim

g→)

h

4 − 2>

1 + 3> = lim

4 − 2 ∗ − 13

@

1 + 3 ∗ − 13

@

= lim

4 + 23

@

1 − 1

@

= lim

4 23

0

@

= ∞

- asymptota pionowa i pozioma

5

W celu wyznaczenia asymptoty poziomej liczymy

lim

g→

i lim

g→

lub korzystamy z faktu, że

asymptota ta jest dana wzorem

I =

%

i

, gdzie

" i Q to współczynniki przy x.

I =

−2

3 = −

2

3

W celu wyznaczenia asymptoty pionowej bierzemy liczbę bądź liczby wyrzucone z dziedziny lub

korzystamy ze wzoru

> = −

j

i

> = −

1

3

-szkic wykresu

Wszystko co do tej pory obliczyliśmy przyda nam się do obliczenia granicy. Na osi współrzędnych

zaznaczamy asymptoty, punkty przecięcia współrzędnych, granice dla obliczonych punktów.

-funkcja odwrotna

k

l

W celu wyznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji

=, musimy wyznaczyć z jej wzoru x

I =

4 − 2>

1 + 3> /∗ (1 + 3>) ⇔ I(1 + 3>) = 4 − 2> ⇔ I + 3>I = 4 − 2> ⇔ 3>I + 2> = 4 − I

>(3I + 2) = 4 − I/: (3I + 2) ⇔ > =

4 − I

3I + 2

Następnie zamieniamy miejscami x i y, i mamy wzór funkcji odwrotnej

=



: I =

4 − >

3> + 2

6

− złożenie funkcji k2k

l

(o)3 ,k

l

(k(o))

Złożenie funkcji polega na podstawienie w miejsce x z pierwszej funkcji, wzoru funkcji drugiej.

Wynikiem złożenia powinien być x

=2=



(>)3 =

4 − 2 ∗ 4 − >

3> + 2

1 + 3 ∗ 4 − >

3> + 2

=

4 ∗ (3> + 2) − 2 ∗ (4 − >)

3> + 2

3> + 2 + 3 ∗ (4 − >)

3> + 2

=

12> + 8 − 8 + 2>

3> + 2

3> + 2 + 12 − 3>

3> + 2

=

14>

3> + 2

14

3> + 2

=

14>

14

= >

=



2=(>)3 =

4 − (4 − 2>

1 + 3>)

3 ∗ 4 − 2>

1 + 3> + 2

=

4 ∗ (1 + 3>) − 4 − 2>

1 + 3>

12 − 6> + 2 ∗ (1 + 3>)

1 + 3>

=

4 + 12> − 4 + 2>

1 + 3>

12 − 6> + 2 + 6>

1 + 3>

=

14>

1 + 3>

14

1 + 3>

=

14>

14

= >

b)

=(>) =

-?

*?@

-dziedzina, przeciwdziedzina

D:

2> + 1 = 0 ⇔ 2> = −1 ⇔ > = −


*

B = C\{−


*

}

G = C\{−


*

}

-parzystość, nieparzystość

=(−>) =

6 + >

1 − 2> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta

=(−>) =

6 + >

1 − 2> = −

−> − 6

2> − 1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta

-punkty przecięcia z osiami
(6 − >)(2> + 1) = 0

6 − > = 0 ⋁ 2> + 1 = 0
> = 6 ∈ B ⋁ > = −


*

∉ B

=(0) =

6 − 0

2 ∗ 0 + 1 =

6

1 = 6

-granice na końcach przedziału określoności

lim

?→

6 − >

2> + 1 = lim

>(6> − 1)
>(2 + 1>)

= lim

−1

2 = −

1

2

lim

?→

6 − >

2> + 1 = lim

x 6x − 1

> 2 + 1>

= lim

−1

2 = −

1

2

lim

?→*



6 − >

2> + 1 = lim

6 + 12



2 ∗ − 12



 + 1

= lim

6 12

−1



+ 1 = lim

6 12

0



= −∞

7

lim

?→*

h

6 − >

2> + 1 = lim

6 + 12

@

2 ∗ p− 12

@

q + 1

= lim

6 12

−1

@

+ 1 = lim

6 12

0

@

= ∞

- asymptota pionowa i pozioma

I =

"

Q =

−1

2 = −

1

2

> = −

S

Q = −

1

2 = −

1

2

- szkic wykresu

-funkcja odwrotna

k

l

I =

6 − >

2> + 1 /∗ (2> + 1) ⇔ I(2> + 1) = 6 − > ⇔ 2>I + I = 6 − > ⇔ 2>I + > = 6 − I

>(2I + 1) = 6 − I/: (2I + 1) ⇔ > =

6 − I

2I + 1

=



: I =

6 − >

2> + 1

- złożenie funkcji

k(k

l

(o)), k

l

(k(o))

=2=



(>)3 =

6 − 6 − >

2> + 1

2 ∗ 6 − >

2> + 1 + 1

=

6 ∗ (2> + 1) − 6 + >

2> + 1

12 − 2> + 2> + 1

2> + 1

=

12> + 6 − 6 + >

2> + 1

13

2> + 1

=

13>

2> + 1

13

2> + 1

=

13>

13 = >

=



2=(>)3 =

6 − 6 − >

2> + 1

2 ∗ 6 − >

2> + 1 + 1

=

6 ∗ (2> + 1) − 6 + >

2> + 1

2 ∗ (6 − >) + 2> + 1

2> + 1

=

12> + 6 − 6 + >

2> + 1

12 − 2> + 2> + 1

2> + 1

=

13>

2> + 1

13

2> + 1

=

13>

13 = >

c)

=(>) =

)@*?
-@?

8

- dziedzina, przeciwdziedzina

B: 6 + 5> = 0 ⇔ 5> = −6 ⇔ > = −

6

5

B = C\{−

6

5}

G = C\{

2

5}

- parzystość, nieparzystość

=(−>) =

3 − 2>

6 − 5> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta

=(−>) =

3 − 2>

6 − 5> = −

2> − 3

5> − 6 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta

- punkty przecięcia z osiami

(3 + 2>)(6 + 5>) = 0

3 + 2> = 0 ∨ 6 + 5> = 0

2> = −3 ∨ 5> = −6

> = −

3

2 ∈ B ∨ > = −

6

5 ∉ B

=(0) =

3

6 =

1

2

- granice na końcach przedziału określoności

lim

g→

3 + 2>

6 + 5> = lim

>(3> + 2)
>(6> + 5)

= lim

2

5 =

2

5

lim

g→

3 + 2>

6 + 5> = lim

>(3> + 2)
>(6> + 5)

= lim

2

5 =

2

5

lim

?→-



3 + 2>

6 + 5> = lim

3 + − 12

5





6 + (−6



) = lim

3

5

0



= −∞

lim

g→-

h

3 + 2>

6 + 5> = lim

3 + (− 12

5

@

)

6 − 6

@

= lim

3

5

0

@

= ∞

- asymptota pionowa i pozioma

9

I =

"

Q =

2

5

> = −

S

Q = −

6

5

- szkic wykresu

- funkcja odwrotna

I =

3 + 2>

6 + 5> /∗ (6 + 5>) ⇔ I(6 + 5>) = 3 + 2> ⇔ 6I + 5>I = 3 + 2> ⇔ 5>I − 2> =

= 3 − 6I ⇔ >(5I − 2) = 3 − 6I ⇔ > =

3 − 6I

5I − 2

=



: I =

3 − 6>

5> − 2

- złożenie funkcji

k k

l

(o) , k

l

(k(o))

=2=



(>)3 =

3 + 2 ∗ 3 − 6>

5> − 2

6 + 5 ∗ 3 − 6>

5> − 2

=

15> − 6 + 6 − 12>

5> − 2

30> − 12 + 15 − 30>

5> − 2

=

3>

5> − 2

3

5> − 2

=

3>

3 = >

=



2=(>)3 =

3 − 6 ∗ 3 + 2>

6 + 5>

5 ∗ 3 + 2>

6 + 5> − 2

=

18 + 15> − 18 − 12>

6 + 5>

15 + 10> − 12 − 10

6 + 5>

=

3>

6 + 5>

3

6 + 5>

=

3>

3 = >

10

4.

Granica funkcji

A)

a)

lim

g→r

√?

?*

W celu wyznaczenia granicy w miejsce x podstawiamy liczbę do której x dąży (w tym przypadku 0)

lim

?→r

5√0 + 1 − 5

0 − 2

= lim

5 ∗ √1 − 5

−2

= lim

5 − 5

−2 = lim

0

−2 = 0

b)

lim

g→*

)√?@)

*?

lim

?→*

3√> + 1 − 3

2>

= lim

3√2 + 1 − 3

4

= lim

3√3 − 3

4

=

3√3 − 3

4

c)

lim

g→)

)√?@*

?)

lim

g→)

3√> + 1 − 2

> − 3

= lim

3√3 + 1 − 2

3 − 3

= lim

3√4 − 2

0

= lim

6 − 2

0 = lim

4

0 = ∞

B)

a)

lim

g→

st (u?)

-?

W celu wyznaczenia granicy funkcji trygonometrycznej należy pamiętać o dwóch rzeczach:

lim

?→r

st(?)

?

= 1 oraz lim

?→

sin (>) nie istnieje. Czyli:

lim

?→

sin (7>)

6> 0v( vJK0v(O(

b)

lim

?→r

st(?)

)?

lim

?→r

st(?)

)?

= 1

c)

lim

g→r

st (w?)

x?

lim

g→r

sin (8>)

9>

= 1

C)

a)

lim

g→

?

!

@-?r

?@w

W celu wyznaczenia granicy tego rodzaju musimy wyciągnąć w liczniku i mianowniku przed nawias

najwyższą potęgę wielomianu

lim

?→

15>



+ 6> − 10

−> + 8

= lim

>



(15 + 6

>

.

− 10

>



)

>



(− 1

>

.

+ 8

>



)

= lim

15

0



= −∞

11

b)

lim

g→

?

y

@-?

-?w

lim

g→

−5>

*

+ 6> − 1

6> − 8

= lim

>

*

(−5 + 6> −

1

>

*

)

>

*

(6> −

8

>

*

)

= lim

−5

0

@

= ∞

c)

lim

g→

-?

!

@w?

y

@u?

w?

!

?

/

*

lim

g→

6>



+ 8>

*

+ 7>

8>



− >

.

− 12 = lim

x



(6 + 8

x

)

+ 7

x

.

)

>



(8 − 1> −

12

>



)

= lim

6

8 =

6

8

Autor: shenlon