1. Oblicz granicę ciągów:

A)

a) lim→ √2 + 8

W celu obliczenia granicy używamy twierdzenia o trzech ciągach, za pierwszy ciąg podstawiamy jakiś o mniejszej wartości, np. √8 , za drugi nasz ciąg dla którego mamy policzyć granicę, a za trzeci jakiś o większej (np. √3 ∗ 8 ). W efekcie uzyskamy:

√

8 < √2 + 8 < √3 ∗ 8

Ciąg √8 = 8, ciąg √3 ∗ 8 = 8 ∗ √3 = 8 ∗ 1 = 8. Wiemy więc z tego, że granica środkowego ciągu również wynosi 8. Również, w oparciu o naszą wiedzę, możemy od razu napisać granicę, argumentując że zależy ona od największego składnika i wynika z twierdzenia o trzech ciągach.

b) √3 + 7 + 4

√

7 < √3 + 7 + 4 < √4 ∗ 7

√

7 = 7

√

4 ∗ 7 = 7 ∗ √4 = 7 ∗ 1 = 7

√

3 + 7 + 4 = 7

c) √2 + 9 + 8 + 7

√

9 < √2 + 9 + 8 + 7 < √4 ∗ 9

√

9 = 9

√

4 ∗ 9 = 9 ∗ √4 = 9 ∗ 1 = 9

√

2 + 9 + 8 + 7 = 9

B)

a) lim→ 1 +

W celu obliczenia granicy tego typu [1], musimy podnieść wyrażenie w nawiasie do potęgi według przykładu (1 + ) = (1 + ) !

, czyli symbolicznie:

&∗

"

" $ '

1 +

%

# = 1 + #

%∗

W efekcie otrzymamy liczbę ( podniesioną do potęgi $

lim

!

→ 1 +

= lim 1 +

= ( !

1

*

,

+

b) lim 1 + )

= lim 1 + )

= (-

.

) /+

c) lim→ 1 +

= lim 1 + )

= (/+

)

C)

a) lim →(√0 + 1 − √0 + 7)

W celu obliczenia granicy tego typu mnożymy liczbę dla której chcemy wyznaczyć granicę przez tzw.

„specyficzną jedynkę”, w której iloczynie i mianowniku jest liczba o przeciwnym znaku (w tym przypadku √0 + 1 + √0 + 7)

n + 1 − n − 7

lim (√0 + 1 − √0 + 7) = lim2√0 + 1 − √0 + 73 ∗ √0 + 1 + √0 + 7 = lim

=

→

√0 + 1 + √0 + 7

√0 + 1 + √0 + 7

−6

= lim ∞ = 0

b) lim →(√60 + 8 − √60 + 2)

lim (√60 + 8 − √60 + 2) = lim2√60 + 8 − √60 + 23 ∗ √60 + 8 + √60 + 2 =

→

√60 + 8 + √60 + 2

60 + 8 − 60 − 2

6

= lim

= lim

√60 + 8 + √60 + 2

∞ = 0

c) lim →(√0 + 3 – √0 + 11 )

lim (√0 + 3 – √0 + 11 ) = lim 2√0 + 3 − √0 + 113 ∗ √0 + 3 + √0 + 11 =

→

√0 + 3 + √0 + 11

n + 3 − n − 11

−8

= lim

= lim

√0 + 3 + √0 + 11

∞ = 0

2. Zamień ułamek okresowy na zwykły

a) 3,1(2)

Żeby rozwiazać to zadanie należy potraktować zadanie jako ciąg geometryczny, w tym przypadku o ilorazie : = 0,1. Okresową częścią jest 0,02 i ją będziemy rozpatrywać jako ciąg, a następnie dodamy do wyniku 3,1

"

0,02

0,02

2

;

= 1 − : = 1 − 0,1 = 0,9 = 90

31

3,1 = 10

31

2

31 2

279

2

281

10 + 90 = 10 + 90 = 90 + 90 = 90

2

b) 5,2(63)

: = 0,01

" = 0,063

52

5,2 = 10

0,063

0,063

63

; = 1 − 0,01 = 0,99 = 990

52

63

5148 + 63 5211

10 + 990 =

990

= 990

c) 6,1(9)

: = 0,1

" = 0,09

61

6,1 = 10 " 0,09 0,09 9

;

= 1 − : = 1 − 0,1 = 0,9 = 90

61

9

549 + 9 558

10 + 90 = 90 = 90

3. Funkcja

a) =(>) = .*?

@)?

- dziedzina i przeciwdziedzina

W celu wyznaczenia dziedziny funkcji homograficznej musimy przyrównać jej mianownik do 0, a następnie odjąć wynik od R

D: 1 + 3> = 0 ⇔ 3> = −1 ⇔ > = − )

1

B = C\{− 3}

Przeciwdziedzinę odczytamy później, a będzie ona C\asymptota pozioma 2

G = C\{− 3}

- parzystość i nieparzystość

W celu zbadania parzystości bądź nieparzystości funkcji, należy w miejsce > podstawić – > i zobaczyć czy w wyniku przekształceń uzyskamy =(>) lub – =(>) Parzystość funkcji jest to jej symetria względem osi OY, HIJKęMNOąQ" RSI =(−>) = =(>) 3

4 + 2>

=(−>) = 1 − 3> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta Nieparzystość funkcji jest to jej symetria względem początku układu współrzędnych i sprawdza się ją korzystając ze wzoru =(>) = −=(>)

4 + 2>

−4 − 2>

=(−>) = 1 − 3> = − 3> − 1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta

- punkty przecięcia z osiami

Punkty przecięcia z osiami to innymi słowy miejsca zerowe funkcji oraz jej wartość dla 0.

Miejsca zerowe funkcji homograficznej wyznaczamy przyrównując iloczyn licznika i mianownika do 0.

1

(4 − 2>)(1 + 3>) = 0 ⇔ 4 − 2> = 0 ∨ 1 + 3> = 0 ⇔ > = 2⋁> = − 3

Następnie musimy sprawdzić czy liczby, które nam wyszły należą do dziedziny.

1

> = 2 ∈ B, > = − 3 ∉ B

Wartość funkcji dla 0 wyznaczamy podstawiając > = 0

4 − 2 ∗ 0 4

=(0) = 1 + 3 ∗ 0 = 1 = 4

- granice na końcach przedziału określoności

Musimy wyznaczyć granicę dla > → ∞,> → −∞ oraz dla > → liczb wyrzuconych z dziedziny, zarówno

@

od lewej i prawej strony, czyli w tym przypadku dla > → − ) i > → − ) 4 − 2>

x(4

−2

2

lim

x − 2) = lim

?→ 1 + 3> = lim >(1

3 = − 3

> + 3)

4 − 2>

>(4

−2

2

lim

> − 2) = lim

?→ 1 + 3> = lim >(1

3 = − 3

> + 3)

4 − 2>

4 − 2 ∗ − 1

4 + 2

4 2

lim

3

3

3

= lim

?→ 1 + 3> = lim

1 − 1 = lim 0 = −∞

)

1 + 3 ∗ − 13

@

@

4 − 2>

4 − 2 ∗ − 1

4 + 2

4 2

lim

3

3

3

h 1 + 3> = lim

@ = lim 1 − 1@ = lim 0@ = ∞

g→)

1 + 3 ∗ − 13

- asymptota pionowa i pozioma

4

W celu wyznaczenia asymptoty poziomej liczymy limg→ i limg→ lub korzystamy z faktu, że asymptota ta jest dana wzorem I = %i, gdzie " i Q to współczynniki przy x.

−2

2

I = 3 = −3

W celu wyznaczenia asymptoty pionowej bierzemy liczbę bądź liczby wyrzucone z dziedziny lub korzystamy ze wzoru > = − ji

1

> = − 3

-szkic wykresu

Wszystko co do tej pory obliczyliśmy przyda nam się do obliczenia granicy. Na osi współrzędnych zaznaczamy asymptoty, punkty przecięcia współrzędnych, granice dla obliczonych punktów.

-funkcja odwrotna kl

W celu wyznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji =, musimy wyznaczyć z jej wzoru x 4 − 2>

I = 1 + 3>/∗ (1 +3>) ⇔ I(1 + 3>) = 4 − 2> ⇔ I +3>I = 4 − 2> ⇔ 3>I + 2> = 4 − I 4 − I

>(3I + 2) = 4 − I/: (3I + 2) ⇔ > = 3I + 2

Następnie zamieniamy miejscami x i y, i mamy wzór funkcji odwrotnej 4 − >

=: I = 3> + 2

5

− złożenie funkcji k2kl(o)3 ,kl(k(o))

Złożenie funkcji polega na podstawienie w miejsce x z pierwszej funkcji, wzoru funkcji drugiej.

Wynikiem złożenia powinien być x

4 − 2 ∗ 4 − >

4 ∗ (3> + 2) − 2 ∗ (4 − >)

12> + 8 − 8 + 2>

14>

14>

=2=(>)3 =

3> + 2 =

3> + 2

=

3> + 2

= 3> + 2 =

1 + 3 ∗ 4 − >

3> + 2 + 3 ∗ (4 − >)

3> + 2 + 12 − 3>

14

14

3> + 2

3> + 2

3> + 2

3> + 2

= >

4 − (4 − 2>

4 ∗ (1 + 3>) − 4 − 2>

4 + 12> − 4 + 2>

14>

14>

=2=(>)3 =

1 + 3>) =

1 + 3>

=

1 + 3>

= 1 + 3> =

3 ∗ 4 − 2>

12 − 6> + 2 ∗ (1 + 3>)

12 − 6> + 2 + 6>

14

14

1 + 3> + 2

1 + 3>

1 + 3>

1 + 3>

= >

b) =(>) = -?

*?@

-dziedzina, przeciwdziedzina

D: 2> + 1 = 0 ⇔ 2> = −1 ⇔ > = − *

B = C\{− }

*

G = C\{− }

*

-parzystość, nieparzystość

6 + >

=(−>) = 1 − 2> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta 6 + >

−> − 6

=(−>) = 1 − 2> = − 2> −1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta

-punkty przecięcia z osiami

(6 − >)(2> + 1) = 0

6 − > = 0 ⋁ 2> + 1 = 0

> = 6 ∈ B ⋁ > = − ∉ B

*

6 − 0

6

=(0) = 2 ∗ 0 + 1 = 1 = 6

-granice na końcach przedziału określoności

6 − >

>(6

−1

1

lim

> − 1) = lim

?→ 2> + 1 = lim >(2 + 1

2 = − 2

>)

6 − >

x 6

−1

1

lim

x − 1 = lim

?→ 2> + 1 = lim > 2 + 1

2 = − 2

>

6 − >

6 + 1

6 1

6 1

lim

2

2

2

= lim

?→ 2> + 1 = lim

−1 + 1 = lim 0 = −∞

*

2 ∗ − 12 + 1

6

@

6 − >

6 + 1

6 1

6 1

lim

2

= lim

2

2

h 2> + 1 = lim

@

−1@ + 1 = lim 0@ = ∞

?→*

2 ∗ p− 12 q + 1

- asymptota pionowa i pozioma

" −1

1

I = Q = 2 = −2

S

1

1

> = − Q = −2 = −2

- szkic wykresu

-funkcja odwrotna kl

6 − >

I = 2> + 1/∗ (2> + 1) ⇔ I(2> + 1) = 6 − > ⇔ 2>I + I = 6 − > ⇔ 2>I + > = 6 −I 6 − I

>(2I + 1) = 6 − I/: (2I + 1) ⇔ > = 2I + 1

6 − >

=: I = 2> + 1

- złożenie funkcji k(kl(o)), kl(k(o))

6 − 6 − >

6 ∗ (2> + 1) − 6 + >

12> + 6 − 6 + >

13>

13>

=2=(>)3 =

2> + 1 =

2> + 1

=

2> + 1

= 2> + 1 =

2 ∗ 6 − >

12 − 2> + 2> + 1

13

13

13 = >

2> + 1 + 1

2> + 1

2> + 1

2> + 1

6 − 6 − >

6 ∗ (2> + 1) − 6 + >

12> + 6 − 6 + >

13>

13>

=2=(>)3 =

2> + 1 =

2> + 1

=

2> + 1

= 2> + 1 =

2 ∗ 6 − >

2 ∗ (6 − >) + 2> + 1

12 − 2> + 2> + 1

13

13 = >

2> + 1 + 1

2> + 1

2> + 1

2> + 1

c) =(>) = )@*?

-@?

7

- dziedzina, przeciwdziedzina

6

B: 6 + 5> = 0 ⇔ 5> = −6 ⇔ > = − 5

6

B = C\{− 5}

2

G = C\{5}

- parzystość, nieparzystość

3 − 2>

=(−>) = 6 − 5> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta 3 − 2>

2> − 3

=(−>) = 6 − 5> = −5> − 6 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta

- punkty przecięcia z osiami

(3 + 2>)(6 + 5>) = 0

3 + 2> = 0 ∨ 6 + 5> = 0

2> = −3 ∨ 5> = −6

3

6

> = − 2 ∈ B ∨ > = −5 ∉ B

3 1

=(0) = 6 = 2

- granice na końcach przedziału określoności

3 + 2>

>(3

2 2

lim

> + 2) = lim

g→ 6 + 5> = lim >(6

5 = 5

> + 5)

3 + 2>

>(3

2 2

lim

> + 2) = lim

g→ 6 + 5> = lim >(6

5 = 5

> + 5)

3

3 + 2>

3 + − 12

lim

5

5

?→- 6 + 5> = lim 6 + (−6) = lim 0 = −∞

@

3

3 + 2>

3 + (− 12 )

lim

5

5

h 6 + 5> = lim

6 − 6@

= lim 0@ = ∞

g→-

- asymptota pionowa i pozioma

8

" 2

I = Q = 5

S

6

> = − Q = −5

- szkic wykresu

- funkcja odwrotna

3 + 2>

I = 6 + 5>/∗ (6 +5>) ⇔ I(6 + 5>) = 3 + 2> ⇔ 6I + 5>I = 3 + 2> ⇔ 5>I − 2> =

3 − 6I

= 3 − 6I ⇔ >(5I − 2) = 3 − 6I ⇔ > = 5I − 2

3 − 6>

=: I = 5> − 2

- złożenie funkcji k kl(o) , kl(k(o))

3 + 2 ∗ 3 − 6>

15> − 6 + 6 − 12>

3>

3>

=2=(>)3 =

5> − 2 =

5> − 2

= 5> − 2 =

6 + 5 ∗ 3 − 6> 30> − 12 + 15 − 30>

3

3 = >

5> − 2

5> − 2

5> − 2

3 − 6 ∗ 3 + 2> 18 + 15> − 18 − 12>

3>

3>

=2=(>)3 =

6 + 5> =

6 + 5>

= 6 + 5> =

5 ∗ 3 + 2>

15 + 10> − 12 − 10

3

3 = >

6 + 5> − 2

6 + 5>

6 + 5>

9

4. Granica funkcji

A)

√?

a) limg→r

?*

W celu wyznaczenia granicy w miejsce x podstawiamy liczbę do której x dąży (w tym przypadku 0) 5

5 ∗

5 − 5

0

lim √0 + 1 − 5

√1 − 5

?→r

0 − 2

= lim

−2

= lim −2 = lim−2 = 0

)√?@)

b) limg→*

*?

3

3

3

3

lim √> + 1 − 3

√2 + 1 − 3

√3 − 3

√3 − 3

?→*

2>

= lim

4

= lim

4

=

4

)√?@*

c) limg→)

?)

3

3

3

6 − 2

4

lim √> + 1 − 2

√3 + 1 − 2

√4 − 2

g→)

> − 3

= lim

3 − 3

= lim

0

= lim 0 = lim0 = ∞

B)

st (u?)

a) limg→

-?

W celu wyznaczenia granicy funkcji trygonometrycznej należy pamiętać o dwóch rzeczach: lim

st(?)

?→r

= 1

?

oraz lim?→ sin (>) nie istnieje. Czyli:

sin (7>)

lim

?→

6> 0v( vJK0v(O(

st(?)

b) lim?→r

)?

lim

st(?)

?→r

= 1

)?

st (w?)

c) limg→r x?

sin (8>)

lim

g→r

9>

= 1

C)

?!@-?r

a) limg→

?@w

W celu wyznaczenia granicy tego rodzaju musimy wyciągnąć w liczniku i mianowniku przed nawias najwyższą potęgę wielomianu

15> + 6> − 10

>(15 + 6

15

lim

>. − 10

>) = lim

?→

−> + 8

= lim >(− 1

0 = −∞

>. + 8

>)

10

?y@-?

b) limg→

-?w

−5>* + 6> − 1

>*(−5 + 6

−5

lim

> − 1

>*) = lim

g→

6> − 8

= lim >*(6

0@ = ∞

> − 8

>*)

-?!@w?y@u?

c) limg→

w?!?/*

6> + 8>* + 7>

x(6 + 8

6 6

lim

x) + 7

x.) = lim

g→ 8> − >. − 12 = lim >(8 − 1

8 = 8

> − 12

>)

Autor: shenlon

11