1. Doświadczenie losowe D:
Doświadczenie losowe D jest to pewne powtarzalne postępowanie, którego wyniku nie da

się przewidzieć z całkowitą pewnością (rzut idealną kostką sześcienną).

2. Zdarzenie elementarne:

Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik doświadczenia losowego.
3. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω:

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń

elementarnych, a wiec wszystkich możliwych realizacji (wyników) danego doświadczenia

losowego D. Przestrzeń ta może być skończona, przeliczalna nieskończona lub
nieprzeliczalna .

4. Zdarzenia losowe:

Zdarzenia losowe najczęściej oznacza sie dużymi literami: A, B, C, itd. Zdarzeniem losowym

nazwiemy zbiór zdarzeń elementarnych Ω oraz zbiór pusty i nie zawierający ani jednego
elementu przestrzeni Ω. Oczywiście zdarzeniem losowym jest także każde zdarzenie
elementarne.

5. Zdarzenie pewne:

Zdarzenie pewne to zbiór składający się ze wszystkich zdarzeń elementarnych danej

przestrzeni zdarzeń elementarnych. Jest ono interpretowane jako zdarzenie, które musi
zajść.

6. Kiedy mówimy, że zaszło zdarzenie A:

Mówimy, że zaszło zdarzenie A kiedy w toku danego doświadczenia losowego D zaszło

którekolwiek (ale tylko jedno) ze zdarzeń elementarnych składających się na zdarzenie A.
7. Alternatywa C zdarzeń losowych A i B:

Alternatywa C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = AuB = A+B = A lub B. Jest to zbiór

zdarzeń elementarnych ω∈Ω takich, że każde z nich należy przynajmniej do jednego ze

zdarzeń A lub B: ω∈C=AuB <=> {ω∈Ω: ω∈A lub ω∈B}.
8. Koniunkcja C zdarzeń losowych A i B:

Koniunkcja C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = A∩B = A

.

B = A i B. Jest to zbiór

zdarzeń elementarnych ω∈Ω takich, że każde z nich należy do obu zdarzeń losowych

9. Różnica C zdarzeń losowych A i B:
Różnica C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = A-B =A\B. Jest to zbiór zdarzeń

elementarnych ω∈Ω takich, że każde z nich należy do zdarzenia losowego A i nie należy do

zdarzenia losowego B: ω∈C =A\B <=> { ω∈Ω: ω∈A i ω∉B}

10. Następstwo zdarzeń zdarzenia losowego:

Następstwo zdarzeń zdarzenia losowego A w B. Oznaczenia: A⊂B Termin ten oznacza, że
każde zdarzenie elementarne należące do A należy również do B:

A⊂B <=> (ω∈A => ω∈B)

11. Negacja zdarzenia A:

Negacja zdarzenia A. Oznaczenia: C =Ᾱ= Á. Jest ono zbiorem wszystkich zdarzeń
elementarnych ω∈Ω nie należących do zdarzenia A: ω∈Ᾱ <=> {ω∈Ω: ω∉A}

12. Kiedy mówimy o rozłączności zdarzeń?

Zdarzenia A i B nazywamy rozłącznymi, jeśli ich część wspólna jest zbiorem pustym: A∩B

=⌀. Bardzo użyteczne są prawa de Morgana: AuB= A∩B ;A∩B = AuB.
13. Co to jest Podział Przestrzeni Zdarzeń Elementarnych?
Podział przestrzeni zdarzeń elementarnych: rodzina zdarzeń {A

t

} t∈T jest podziałem Ω

jeżeli: A

t1

∩A

t2

=⌀; ⋃

𝑡∈𝑇

A

t

= Ω.

14. Podaj Aksjomaty prawdopodobieństwa:

Aksjomaty prawdopodobieństwa:
- P(A) ≥0

- P(Ω) = 1

- istnieje takie „i” różne od „j”, że A

i

⋀A

j

= ⌀ to P(⋃ 𝐴

𝑖

𝑖

)=∑ 𝑃(𝐴

𝑖

𝑖

)

15. P(⌀) = 0

16. P(A)+P(B) = 1

17. P(AuB) =P(A)+P(B)-P(A∩B)
18. P(A\B) =P(A)-P(A∩B) = P(AuB)-P(B)

19. Na czym polega Interpretacja Klasyczna Prawdopodobieństwa?

Interpretacja klasyczna (Laplace’a). Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wyraża sie

wzorem: P(A) = m/n,

m - liczba zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A,

n - liczba wszystkich możliwych zdarzeń w danym doświadczeniu D.

Założenia niezbędne dla stosowania powyższego wzoru:

- Zdarzenia są jednakowo możliwe.

- Ilość zdarzeń n jest skonczona.

- Znamy liczby n i m.

20. Na czym polega Intepretacja statystyczna Prawdopodobieństwa?

Interpretacja statystyczna. Dane jest doświadczenie D. Powtarzamy go n-krotnie. Jeśli

zdarzenie A zostało zrealizowane m razy, to prawdopodobieństwo jego zajścia można
wyrazić w przybliżony sposób: P(A) ≈ P*(A) = m/n. Zakładamy, że w miarę wzrostu n

wartość P*(A) zbliża sie do prawdziwej (nieznanej) wartości prawdopodobieństwa P(A)

zajścia zdarzenia A.

21. Zdefiniuj pojęcie Przestrzeni Probabilistycznej.
Przestrzeń probabilistyczna doświadczenia D jest to trójka wielkości (E,Z,P). Stanowi ona

probabilistyczny opis tego doświadczenia i jest zarazem maksimum informacji, jakie na

jego temat możemy zdobyć.

22. P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

23. Kiedy zdarzenia A i B są niezależne?

Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw
zajścia tych zdarzeń: P(AB) = P(A)P(B).

24. Zdefiniuj Niezależność Zespołową n Zdarzeń.

Uogólnienie pojęcia niezależności na większa liczbę zdarzeń. Mówimy, ze zdarzenia A1,
A2,...,An są niezależne zespołowo, jeśli dla dowolnych wskaźników k1, k2,...,ks takich, ze

1≤k

1

<k

2

<...<k

s

≤n zachodzi równość: P(A

k1

,A

k2

…A

ks

) = P(A

k1

)P(A

k2

)…P(A

ks

).

26. Sformułuj Twierdzenie o Prawdopodobieństwie Zupełnym.

Prawdopodobieństwo zupełne. Jeśli

1) zdarzenia Ai, Aj są zdarzeniami rozłącznymi,

2) zdarzenia Ai wypełniają cała przestrzeń Ω,

3) zdarzenia Ai zachodzą z niezerowym prawdopodobieństwem,

to prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia B można w następujący

sposób

wyrazić poprzez prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń Ai: P(B) =

∑

𝑃(𝐵|𝐴

𝑖

)𝑃(𝐴

𝑖

)

𝑛

𝑖=1

27. Sformułuj Twierdzenie Bayesa.
Twierdzenie Bayesa. Przyjmijmy znowu założenia przyjęte przy wyprowadzaniu wzoru na

prawdopodobieństwo całkowite. Wiemy, że jeśli tylko P(B)>0 oraz dla każdego j zachodzi

P(Aj)>0, to P(Aj)P(B|Aj) = P(B)P(Aj|B) Stad oraz ze wzoru na prawdopodobieństwo
całkowite (1.22) dostajemy:

𝑃(𝐴

𝑗

|𝐵 =

𝑃(𝐵|𝐴

𝑗

)𝑃(𝐴

𝑗

)

𝑃(𝐵)

=

𝑃(𝐵|𝐴

𝑗

)𝑃(𝐴

𝑗

)

∑

𝑃(𝐵|𝐴

𝑖

)𝑃(𝐴

𝑖

)

𝑛

𝑖=1

28. Co to jest Dystrybuanta zmiennej Losowej?

Dystrybuantą zmiennej losowej x nazywamy funkcję F określoną na zbiorze liczb

rzeczywistych taką, że F(x) = P(x<x).
29. Podaj własności dystrybuanty:

Własności dystrybuanty:

- 0 ≤ F(x) ≤ 1

- 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

𝐹(𝑥) = 𝐹(−∞) = 0

𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

𝐹(𝑥) = 𝐹(∞) = 1

- F(x) jest funkcją niemalejącą
- F(x) jest co najmniej lewostronnie ciągła

- P(a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)

- P(x=x

0

) = F(x

0+

) – F(x

0

)

30. Kiedy mówimy, że Zmienna Losowa jest typu Dyskretnego?
Mówimy, że zmienna losowa x jest typu dyskretnego jeżeli istnieje skończony lub przeliczalny
zbiór w

x

= {x

1

,x

2

,…,x

n

) wartości tej zmiennej losowej taki, że:

P(x=x

i

) = p

i

>0 oraz ∑

𝑝

𝑖

∞

𝑖=1

= 1

31

.

Co to jest Funkcja Rozkładu Prawdopodobieństwa?

Zmiany wartości prawdopodobieństwa wzdłuż osi liczbowej.

32. Jaką zmienną losową nazywamy ciągłą? Zmienna losową ciągłą nazywamy

zmienną losową x przyjmującą wszystkie wartości z pewnego przedziału, dla której istnieje
nieujemna funkcja f taka, że dystrybuantę F tej zmiennej losowej można przedstawić w
postaci: F(x)=∫f(t)dt; x€R.
f- funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( gęstość)

33. Co to jest funkcja gęstości.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa- funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić
prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości całki

Lebesque’a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w kontekście rozkładów

prawdopodobieństwa na prostej jak i wielomianowej. Rozkłady mające gęstość nazywane

SA rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości
rozkładu zmiennej losowej.

35. Zdefiniuj wartość oczekiwaną (wartość przeciętną).

36. E (3*( X - 3))=3*(EX-3)

37.E( ((1/3)X)

3

)=(1/3)

3*

E(X

3

), bo E((CX)

k

)=C

k

*E(X

k

)

38. Co to jest mediana?

MEDIANA- wartość środkowa me

Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy Medianą.

 próba indywidualna

o nieparzysta liczba elem.- jedna wartość środkowa
o parzysta liczba elem.- dwie wartpości środkowe

me= x(n+1)/2

n= nieparzyste

0,5*(X

n/2

+X

n/2+1

)

n= parzyste

 wartość środkowa klasy:

𝑚𝑒 = 𝑋𝑚 +

𝑘

𝑛𝑚

∗ (

𝑛−𝑛𝑚

2

− ∑

𝑛𝑗

𝑚−1

𝑗=1

)

39. Zdefiniuj Kwantyl rzędu 0,75 dla zmiennej losowej ciągłej.
F(X

o,75

)≤0,75≤F(X

0,75+

), dla czmiennej losowej ciągłej: F(X

0,75)

=0,75

Def. ogólna:
Kwantylem rzędu p nazywamy każdą liczbę spełniającą warunki F(x

p

)≤p≤F(x

p+

)

dla z.l. dyskretnej: Σ

xi<xp

pi≤p≤Σ

xi≤xp

pi

dla z.l. ciągłej: F(x)=p

40. Zdefiniuj Modę dla zmiennej losowej dyskretnej.

Def. ogólna: MODA(DOMINANTA) Mo

 dla zmiennej losowej dyskretnej jest to: Punkt X

k

dla każdego P(X

k

) osiąga

maksimum absolutne (bez pkt. brzegowych)

 dla zmiennej losowej ciągłej jest to: odcięta maksimum absolutnego gęstości

41. Co to jest wariancja?

Wariancja ( D

2

x, D

2

(x), Vx,б

2

)

Def za pomocą wartości oczekiwanej:
D

2

x= Σ

xicWx

(Xi-EX)

2

pi

z.l. dyskretna

∫

(𝑋 − 𝐸𝑋)

+00

−00

2

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

z.l. ciągła

własności wariancji: 1)D

2

(c)=0, 2) D

2

(ax)=a

2

D

2

X, 3) D

2

(X+b)= D

2

X, 4) D

2

(X)=E(X)

2

-(EX)

2.

42. D

2

(3* (X -3))=3

2

-D

2

X

43. Zdefiniuj Moment Zwykły rzędu r dla zmiennej losowej ciągłej.
Def. ogólna: α

r

=EX

r

= Σ

xicWx

Xi*pi

z.l.dyskretna

∫

𝑥

+00

−00

𝑟

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

z.l. ciągła

44. Zdefiniuj Moment Centralny rzędu r dla zmiennej losowej dyskretnej.
Def. ogólna: α

r

=EX

r

= Σ

xicWx (

Xi-ΣX)

2

*pi

z.l.dyskretna

∫

(𝑥 − 𝐸𝑋)

+00

−00

𝑟

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

z.l. ciągła

45. Zdefiniuj Rozkład Dwumianowy (Rozkład Bernoulli'ego)

Zmienna losowa K przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem n+1 wartości k,

takie że k=1,2,3,…n, z prawdopodobieństwem:
P(K=k,n,p) =(

𝑛
𝑘

) ∗ 𝑝

𝑘

∗ (1 − 𝑝)

𝑛−𝑘

(𝑎 + 𝑏)

𝑛

= ∑ (

𝑛
𝑘

) 𝑎

𝑘

𝑏

𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

∑

𝑃(𝐾 = 𝑘; 𝑛, 𝑝) = ∑ (

𝑛
𝑘

) 𝑝

𝑘

(1 − 𝑝)

𝑛−𝑘

= (𝑝 + (1 − 𝑝))

𝑛

= 1

𝑛

𝑖=0

𝐸𝐾 = ∑

𝑘𝑃(𝑘; 𝑛, 𝑝) = 𝑛𝑝

𝑛

𝑘=0

𝐷

2

𝐾 = ∑(𝑘 − 𝑛𝑝)

2

∗ 𝑃(𝑘; 𝑛, 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞

𝑛

𝑘=0

46. Jeśli( K;n,p)=P(K;12,0.7), podaj EK= , D

2

K= , ko= .



EK=n*p=12*0,7=8,4



D

2

K=n*p*q=12*0,7*0,3=2,52, q=1-p=1-0,73=0,3



ko=Int((n+1)*p)

47. Zdefiniuj Rozkład Poissona.
Zmienna losowa K przyjmuje nieskończenie wiele różnych wartości k=0,1,2…n, z
P(K=k,λ)=(λ

k

/k!)*e

-λ

e

x

rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa,

wyrażającym prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie,

gdy te wydarzenia występują ze znaną średnia częstotliwością i w sposób niezależny od czasu
jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia.

48. Dla n>50 i np<l0 wyraź prawdopodobieństwo P(k;n,p) z rozkładu
Bernoulli'ego przez prawdopodobieństwo z rozkładu Poissona.
P(k;n,p)≈P(k; λ=np) gdzie:
P(k;n,p)- rozkład Bernoulliego, P(k; λ=np)- rozkład Poissona.
49. Podaj Funkcję Gęstości dla Rozkładu Normalnego o parametrach μ, σ

Funkcję gęstości rozkładu normalnego wyraża się wzorem ( rozkład Gaussa):

𝑓(𝑥; 𝜇; б) =

1

б√2ח

𝑒

−1

2

∗

(𝑥−𝜇)2

2б2

б

>0, EX=μ=x

0,5

=Mo, D

2

X=б

2

50. Podaj Funkcję Gęstości dla Standaryzowanego Rozkładu Normalnego.
Standaryzowany rozkład normalny:

∫ 𝑓(𝑥; 𝜇; б)

00

−00

𝑑𝑥 = ∫

1

б√2ח

𝑒

−1

2

∗

(𝑥−𝜇)2

2б2

00

−00

𝑑𝑥 = 𝑝𝑜𝑑𝑠𝑡. : =

𝑥 − 𝜇

б

=

1
б

𝑑𝑥

= ∫

1

√2ח

00

−00

𝑒

−

1
2

𝑢

2

𝑑𝑢

51. Jakiej transformacji używamy, aby przejść od Rozkładu Normalnego do

Rozkładu Normalnego Standaryzowanego?Najczęściej spotykanym sposobem

standaryzacji jest tzw. standaryzacja, którą można wyznaczyć poniższym wzorem: u=(x-
μ

)/б gdzie: x-zmienna niestandaryzowana, μ- średnia z populacji, б- odchylenie

standardowe populacji. Patrz. pkt 50.
52. Podaj EX = oraz D

2

X = dla rozkładu normalnego N(-1,4).

 EX=μ= -1
 D

2

X=3

2

=4

2

=16

53. Podaj funkcje Gęstości dla Rozkładu Logarytmiczno – Normalnego.

𝑓𝐿𝑁(𝑥; 𝜇; б) =

{

1

𝑋б√2ח

𝑒

−

1
2

(𝑙𝑛𝑥−𝜇)2

б2

; 𝑥 > 0

0; 𝑥 ≤ 0

55. Podaj Funkcję Gęstości dla Rozkładu gamma( Rozkładu Pearsona III typu) [Ѓ-
gamma]

𝑓(𝑥; 𝛼; 𝜆) = {

𝛼

𝜆

Ѓ(𝑥)

𝑋

𝜆−1

𝑒

−𝛼𝜆

0; 𝑝𝑜𝑧𝑎 𝑡𝑦𝑚

; x>0

56. Podaj EX= , D

2

X= dla rozkładu gamma o parametrach (α,λ)= (2,3)

 EX=λ/α=3/2
 D

2

X=λ/α

2

=3/2

2

=3/4

57. Co to jest populacja?Populacja- zbiór Z majacy przynajmniej jedną właściwość

wspólną dla wszystkich jego elementów kwalifikujaca je do tego zb. oraz przynajmniej
jedną właściwość ze względu na którą El. tego zbioru mogą różnić się między sobą.

58. Co to jest Próba Losowa?Próba losowa-próba otrzymana w drodze losowania

59. Jakie własności ma Próba Losowa Prosta?
Próba losowa prosta- próba losowa wylosowana z populacji w taki sposób że przed jej

pobraniem każdy podzbiór składający się z n- elementów populacji ma takie same szanse

wylosowania. Próba losowa prosta to także próba ze zmienną losową X1,X2,…Xn mają ten

sam rozkład i są niezależne zespołowo.
60. Co to jest statystka?Statystyka jest to funkcja z próby.

61. Kiedy Próbę Losową nazywamy Dużą?

Próba losowa jest duża kiedy z wystarczającą dokładnością możemy korzystać z

rozkładu granicznego.

62. Kiedy Próbę Losową nazywamy Małą?

Próba losowa jest mała kiedy do znajomości rozkładu Fz(x) niezbędna jest

znajomość rozkładu cechy X populacji.
63. Zdefiniuj Dystrybuantę Empiryczną.

Odpowiednik dokładnego rozkładu cechy X populacji.

F(x)=x Femp(x)

1.Def: Niech (x1,x2, … , xn) będzie realizacją prostej próby losowej 

Femp(x)=(liczba El. Xi próby<x)/n

2.Def: Niech będzie uporządkowana prosta próba losowa

x1≤x2≤…≤xn

0

x<x1

Femp(x)=

k/n

x_k<x≤x_k+1 dla k=1,2,…,n-1

1

x>xn

64. Skomentuj słowami jak rozumiemy Twierdzenie Gliwienki-Cantelliego.

Jeżeli prosta próba losowa (x1, x2, … xn) pochodzi z populacji o rozkładzie Fx(x) to

𝑃(𝑙𝑖𝑚

n

→∞

sup

xϵR

|

Femp(x)-Fx(x)|=0)=1

Supremum czyli największe wartości z |różnicy|

Granica supremum=0

65. Która funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zachowuje więcej informacji o

wylosowanej próbie: Dystrybuanta Empiryczna czy Histogram?

Dystrybuanta Empiryczna – ponieważ jest to odpowiednik dokładnego rozkładu cechy X
populacji

Histogram to tylko rozkład cechy dla próby  odpowiednik funkcji gęstości

ó6. Co to jest Szereg Rozdzielczy? ,

budowane w kontekście: jeśli jest liczna próba to ustalamy klasy - przedziały

67. Którą ze średnich jest Wartość średnia z Próby?

𝑥̅ =

1

𝑛

∑

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

jest to średnia arytmetyczna

68. Jak wyznaczamy Medianę dla próby?

(x

(n+1)

/2

dla n-nieparzystych

me= ½(x_

n/2

+x_

n/2+1

)

dla n-parzystych

𝑚𝑒 = 𝑥̅

𝑚

+

ℎ

𝑗

𝑛

𝑚

(

𝑛−𝑛

𝑚

2

− ∑

𝑛𝑗

𝑛−1

𝑗=1

)  szereg rozdzielczy

69. Jak zdefiniowana jest wariancja z próby ?

𝑠

2

=

1
𝑛

∑(𝑥 − 𝑥̅)

2

𝑛

𝑖=1

Za pomocą wartości oczekiwanej:

E((X-EX)

2

)

∑

(𝑋𝑖 − 𝐸𝑋)

2

𝑝𝑖

𝑥𝑖𝜖𝑊𝑥

zmienna losowa dyskretna

D

2

X=

∫ (𝑋 − 𝐸𝑋)

2

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

zmienna losowa

ciągła

70. Jak definiuje się Modę dla próby?

Najczęściej powtarzająca się wartość nie będąca Xmin, Xmax

Dla zmiennej losowej dyskretnej jest to:
Punkt Xk dla każdego P(xk) osiąga maksimum absolutne (bez pkt brzegowych)

Dla zmiennej losowej ciągłej jest to:

Odcieta maksimum absolutnego gęstości.

Dla szeregu rozdzielczego

𝑚

0

= 𝑥

𝑚

̅̅̅̅ +

ℎ
2

∗

𝑛

𝑚+1

− 𝑛

𝑚−1

2 ∗ 𝑛

𝑚

− 𝑛

𝑚−1

− 𝑛

𝑚+1

71. Do czego służy Teoria Estymacji?

1)Estymacja – szacowanie wartosci nieznanych parametrów w populacji na podstawie

próby losowej.

2)Do najważniejszych form wnioskowania statystycznego należą: estymacja(ocena)
nieznanych parametrów bądź ich funkcji, które charakteryzują rozkład badanej cechy oraz

weryfikacja (badanie prawdziwości) postawionych hipotez statystycznych.

Z estymacją parametryczną mamy do czynienie, gdy znana jest funkcja rozkładu

prawdopodobieństwa, a poszukiwana jest tylko ocena parametrów rozkładu.
Z estymacją nieparametryczną mamy do czynienie, gdy nie są znane parametry i funkcja

rozkładu prawdopodobieństwa.

72. Kiedy mówimy o Estymacji Punktowej?

Estymacja punktowa polega na ustaleniu najbardziej prawdopodobnej wartości
poszukiwanego parametru.

Niech rozkład badanej cechy zmiennej losowej X pewnej populacji zależy od nieznanego
parametru



. Parametr ten będziemy szacowali na podstawie n-elementowej próby

X

1

,



,X

n

pobranej z tej populacji.

73. Kiedy mówimy o Estymacji Przedziałowej?

1)Estymacja przedziałowa określa przedział wartości, w którym z zadanym

prawdopodobieństwem mieści się wartość poszukiwanego parametru.

2)Estymacja przedziałowa polega na konstruowaniu tzw. przedziału ufnosci, w celu

szacowania nieznanej wartosc parametru Q w populacji.

Przedziałem ufnosci nazywamy taki przedział liczbowy, który z zadanym z góry
prawdopodobienstwem (1-α), zwanym poziomem ufnosci, pokrywa nieznana wartosc

parametru w populacji generalnej.

Typowe wartosci poziomu ufnosci:0,95; rzadziej 0,90 lub 0,98; 0,99

74. Zdefiniuj Estymator Parametru g.
Jeśli wartość g statystyki Gn(x1,..,xn) możemy przyjąć jak ocenę nieznanego parametru g

populacji to taką statystykę nazywamy estymatorem parametru g.

75. Kiedy Estymator nazywamy Zgodnym?

Estymator zgodny jest to estymator, który ze wzrostem liczności próby daje coraz
mniejsze odstępstwa od prawdziwej wartości parametru, tzn.

1

)

ˆ

(

lim

















n

n

P

dla dowolnie małego



> 0.

76. Kiedy Estymator nazywamy Nieobciążonym?
Estymator nieobciążony jest to estymator, którego wartość oczekiwane dla każdego n

jest równa wartości parametru, tzn.

E(

n



ˆ

) =



.

77. Jak porównuje się Względną Efektywność Estymatorów?

Estymator najefektywniejszy jest estymatorem, którego wariancja jest najmniejsza ze
wszystkich innych.

Względna efektywność estymatorów wyraża się stosunkiem ich wariancji

)

ˆ

(

)

ˆ

(

2

2









n

n

D

D







.

78. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wartości oczekiwanej μ populacji, gdy cecha X

populacji ma rozkład N(μ,σ) o znanym Odchyleniu Standardowym σ.

𝑥̅ − 𝑢 (1 −

∝

2

)

𝜎

√𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑢 (1 −

𝛼

2

)

𝜎

√𝑛

79. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wartości oczekiwanej μ populacji, gdy cecha X
populacji ma rozkład dowolny o nieznanych parametrach a Próba jest Duża.
𝑥̅ − 𝑢 (1 −

∝

2

)

𝑠

√𝑛−1

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑢 (1 −

𝛼

2

)

𝑠

√𝑛−1

,

n≥100 duża próba

80. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wariancji σ

2

populacji, gdy cecha X populacji

ma rozkład N(μ,σ) o nieznanych parametrach a Próba jest Mała.

𝑛𝑠

2

𝜒

2

(1−

1
2

𝛼,𝑛−1)

< 𝜎

2

<

𝑛𝑠

2

𝜒

2

(

1
2

𝛼,𝑛−1)

, n≤50 mała próba

81. Co to jest Hipoteza Statystyczna?

Przez hipotezę statystyczną rozumiemy dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji
generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość
przypuszczenia oceniana jest na podstawie wyników próby losowej.

82. Na czym polega Weryfikacja Hipotezy Statystycznej?

— W praktyce przy weryfikacji hipotez postepujesie w ten sposób, ze oprócz
weryfikowania danej hipotezy wyróznia

sie jeszcze inna hipoteze (prosta albo złozona), zwana hipoteza alternatywna.

— Hipoteza, która chcemy sprawdzic nazywamy hipoteza zerowa i oznaczamy symbolem

H0, zashipoteze alternatywna
oznaczamy przez H1.

— Wyrózniona hipoteza H0 mozebyc prawdziwa lub fałszywa. Postepowanie, w wyniku

którego nastepujeprzyjecie

lub odrzucenie hipotezy nazywamy sprawdzaniem lub weryfikowaniem hipotezy
statystycznej.

— Weryfikacja hipotezy statystycznej składa sie z dwóch etapów: wyboru odpowiedniego

testu i ustalenia tzw. zbioru

krytycznego.
83. Zdefiniuj pojęcie Testu Statystycznego.

Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która każdej możliwej próbie

losowej pobranej z populacji generalnej przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub

odrzucenia stawianej hipotezy.
84. Na czym polega Błąd I Rodzaju przy testowaniu hipotez statystycznych?

Gdy istnieją podstawy do odrzucenia H0, pomimo iż jest prawdziwa hipoteza  błąd

pierwszego rodzaju (α)

85. Na czym polega Błąd II Rodzaju przy testowaniu hipotez statystycznych?
Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia H0, akceptujemy pomimo, że może być fałszywa 

błąd II rodzaju (β).
86. Co to jest Hipoteza Alternatywna?

Hipoteza alternatywna H1  taka hipoteza którą jesteśmy skłonni przyjąc w przypadku

odrzucenia hipotezy H0

g≠g0  P(y1<Y<y2)=1-α
g<g0  P(Y>y3)

g>g0  P(Y<y4)

87. Podaj Statystykę Testową dla Testu Istotności dotyczącego wartości
oczekiwanej μ populacji, gdy badana cecha X ma rozkład normalny o nieznanych

parametrach.

N(μ, δ); μ, δ  nieznane

𝑡 =

𝑥̅ − 𝜇

𝑜

𝑠

√𝑛 − 1

88. Podaj Statystykę Testową dla Testu Istotności dotyczącego wariancji σ

2

populacji, gdy badana cecha ma rozkład o nieznanych parametrach a Próba jest
Duża

N(μ,δ); μ, δ  nieznane, Próba duża ≥ 50

𝑢 = √

2𝑛 ∗ 𝑠

2

𝛿

2

− √2𝑛 − 3

89. Co to jest Test Zgodności?

Nazywamy test do weryfikacji hipotezy dotyczącej zgodności pomiędzy nieznanym

prawdziwym rozkładem cechy x populacji Fx(x) założonym, hipotetycznym rozkładem

teoretycznym Fteor(x).
Dla małej próby – test Kołmogorowa

Dla dużej próby -- test χ

2

Pearsona

90. Podaj Przedział Krytyczny dla Testu χ

2

Pearsona.

S

kryt

=[χ

2

(1-α, k-1); ∞] ; 𝜒

2

= ∑

(𝑛

𝑖

−𝑛

𝑝𝑖

)

2

𝑛

𝑝𝑖

𝑘

𝑖=1

, test Pearsona

91. Zdefiniuj statystykę Testową dla Testu Zgodności Kołmogorowa

Hipoteza Ho: Fx(x)=Fteor(x)

Femp(x)

Statystyka testowa: 𝐷𝑛 = 𝑠𝑢𝑝

𝑥

|𝐹

𝑡𝑒𝑜𝑟

(𝑥) − 𝐹

𝑒𝑚𝑝

(𝑥)|