Matematyka A, kolokwium dodatkowe, 1 czerwca 2010, 18:05 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozruszni-

k´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb ca lkowitych a, b istnieja

,

takie liczby ca lkowite

x, y , ˙ze



−2

5

−5 13



x
y



=



a

b



.

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy



−2

5

−5 13



.

Naszkicowa´c wektory w lasne.

Czy istnieja

,

takie wektory ~u i ~v , ˙ze kA~uk < k~uk i kA~vk > k~vk ?

Czy istnieje taki niezerowy wektor ~

w , ˙ze kA~

wk = k~

wk ?

2. (10 pt.) Niech A =





−1

√

3 0

−

√

3 −1 0

−3

√

3 2



 .

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A .

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

−1

.

Znale´z´c warto´sci i wszystkie wektory w lasne macierzy A

3

.

Znale´z´c macierz A

3

.

3. (10 pt.) Niech A =

1
9





1 8 −4
8 1

4

−4 4

7



 .

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A .

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

−1

.

Znale´z´c warto´sci i wszystkie wektory w lasne macierzy A

2

.

Znale´z´c macierz A

2

.

Znale´z´c wszystkie takie wektory ~v ∈ R

3

, ˙ze kA~vk = k~vk .

4. (10 pt.) Rozwia

,

za´c uk lad r´owna´

n



x

0

(t) = −6x(t) − 3y(t),

y

0

(t) = 8x(t) + 5y(t).

5. (10 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n



x

0

(t) = −14x(t) + 25y(t),

y

0

(t) = −9x(t) + 16y(t),

kt´ore spe lnia warunek x(0) = −2 , y(0) = −1 .

Ciekawostka: A(α~v + β ~

w) = αA~v + βA~

w , λ(α~v + β ~

w) = αλ~v + βλ~

w dla ka˙zdej macierzy A

i dla dowolnych wektor´ow ~v, ~

w i dowolnych liczb α, β, λ .