Semestr
zimo
wy
2007/2008
Analiza
Ma
tema
ty zna
3
Lista
zada«
nr
3
¢w.
1
Znale¹¢
szereg,
którego
n
-ta
suma
z± io
w
a
jest
ró
wna
a)
S
n
=
n
n
+ 1
,
b)
S
n
=
2
n
n
!
,
)
S
n
=
1
4
.
¢w.
2
Rozstrzygn¡¢,
który
z
p
o
dan
y
h
szeregó
w
jest
zbie»n
y
,
a
który
rozbie»n
y
.
a)
∞
X
n=1
n
+ 1
2n + 1
,
b)
∞
X
n=1
1
n
−
1
n
+ 1
,
)
∞
X
n=1
sin
1
√
n
− sin
1
√
n
+ 1
.
¢w.
3
Który
z
p
o
dan
y
h
ni»ej
szeregó
w
jest
zbie»n
y
,
a
który
rozbie»n
y?
T
am
gdzie
jest
to
mo»liw
e,
wyzna zy¢
sum
szeregu.
a)
∞
P
k=1
10
−k
+ 9
−k
,
d)
∞
P
k=1
(7
−n
+ 2
n
)
,
b)
∞
P
k=1
|x|
n/3
dla
|x| < 1
,
e)
∞
P
j=1
(−1)
j
t
2j
dla
0 6 t < 1
,
)
∞
P
n=1
nz
n
dla
|z| < 1
,
f
)
∞
P
k=1
u
k
1 − u
k
dla
|u| < 1
,
g)
∞
P
m=0
x
m
cos
mπ
2
dla
|x| < 1
.
zd.
1
K
orzysta
j¡
z
o
dp
o
wiedni
h
kryterió
w
zbie»no± i
szeregó
w,
rozstrzygn¡¢,
który
z
p
o
dan
y
h
ni»ej
szeregó
w
jest
zbie»n
y
,
a
który
rozbie»n
y
.
Dla
szeregó
w
o
wyraza
h
ujemn
y
h
zbada¢
zbie»no±¢
b
ezwzgldn¡
i
w
arunk
o
w
¡.
a)
∞
P
j=1
j
sin j
,
l)
∞
P
n=3
n
√e
n
2
,
b)
∞
P
n=1
cos
nπ
2
,
m)
∞
P
n=1
1·3·5·...·(2n+1)
2·4·6·...·(2n+2)
,
)
∞
P
m=1
(−1)
m
log
n
n+2
,
n)
∞
P
n=1
1·3·5·...·(2n+1)
2·5·8·...·(3n+2)
,
d)
∞
P
n=1
1
√
n+1+
√
n+2
,
o)
∞
P
n=1
e
n
n!
,
e)
∞
P
n=1
cos
2
n
2
n
,
p)
∞
P
n=1
arctg n
n
,
f
)
∞
P
n=1
2+sin n
n
2
,
q)
∞
P
n=1
n!
n
n
,
g)
∞
P
n=0
1
3
n
−sin n
,
r)
∞
P
n=1
(−1)
n
√
n+3
,
h)
∞
P
n=1
log(n+3)
n
3
+3
,
s)
∞
P
n=1
cos 2n
2
n
,
i)
∞
P
n=2
1
n!−n
,
t)
∞
P
n=3
(−1)
n
+1
n
2
−n
,
j)
∞
P
n=0
1
(n+2) log(n+2)
,
u)
∞
P
n=2
(−1)
n
n log n
,
k)
∞
P
n=1
1
(n+2)[log(n+2)]
2
,
w)
∞
P
n=2
(−1)
n
n log
2
n
.