Semestr

zimo

wy

2007/2008

Analiza

Ma

tema

tyzna

3

Lista

zada«

nr

3

¢w.

1

Znale¹¢

szereg,

którego

n

-ta

suma

z±io

w

a

jest

ró

wna

a)

S

n

=

n

n

+ 1

,

b)

S

n

=

2

n

n

!

,

)

S

n

=

1
4

.

¢w.

2

Rozstrzygn¡¢,

który

z

p

o

dan

y

h

szeregó

w

jest

zbie»n

y

,

a

który

rozbie»n

y

.

a)

∞

X

n=1

n

+ 1

2n + 1

,

b)

∞

X

n=1

1

n

−

1

n

+ 1

,

)

∞

X

n=1

sin

1

√

n

− sin

1

√

n

+ 1

.

¢w.

3

Który

z

p

o

dan

y

h

ni»ej

szeregó

w

jest

zbie»n

y

,

a

który

rozbie»n

y?

T

am

gdzie

jest

to

mo»liw

e,

wyznazy¢

sum

szeregu.

a)

∞

P

k=1

10

−k

+ 9

−k

,

d)

∞

P

k=1

(7

−n

+ 2

n

)

,

b)

∞

P

k=1

|x|

n/3

dla

|x| < 1

,

e)

∞

P

j=1

(−1)

j

t

2j

dla

0 6 t < 1

,

)

∞

P

n=1

nz

n

dla

|z| < 1

,

f

)

∞

P

k=1

u

k

1 − u

k

dla

|u| < 1

,

g)

∞

P

m=0

x

m

cos

mπ

2

dla

|x| < 1

.

zd.

1

K

orzysta

j¡

z

o

dp

o

wiedni

h

kryterió

w

zbie»no±i

szeregó

w,

rozstrzygn¡¢,

który

z

p

o

dan

y

h

ni»ej

szeregó

w

jest

zbie»n

y

,

a

który

rozbie»n

y

.

Dla

szeregó

w

o

wyraza

h

ujemn

y

h

zbada¢

zbie»no±¢

b

ezwzgldn¡

i

w

arunk

o

w

¡.

a)

∞

P

j=1

j

sin j

,

l)

∞

P

n=3

n

√e
n

2

,

b)

∞

P

n=1

cos

nπ

2

,

m)

∞

P

n=1

1·3·5·...·(2n+1)
2·4·6·...·(2n+2)

,

)

∞

P

m=1

(−1)

m

log

n

n+2

,

n)

∞

P

n=1

1·3·5·...·(2n+1)
2·5·8·...·(3n+2)

,

d)

∞

P

n=1

1

√

n+1+

√

n+2

,

o)

∞

P

n=1

e

n

n!

,

e)

∞

P

n=1

cos

2

n

2

n

,

p)

∞

P

n=1

arctg n

n

,

f

)

∞

P

n=1

2+sin n

n

2

,

q)

∞

P

n=1

n!

n

n

,

g)

∞

P

n=0

1

3

n

−sin n

,

r)

∞

P

n=1

(−1)

n

√

n+3

,

h)

∞

P

n=1

log(n+3)

n

3

+3

,

s)

∞

P

n=1

cos 2n

2

n

,

i)

∞

P

n=2

1

n!−n

,

t)

∞

P

n=3

(−1)

n

+1

n

2

−n

,

j)

∞

P

n=0

1

(n+2) log(n+2)

,

u)

∞

P

n=2

(−1)

n

n log n

,

k)

∞

P

n=1

1

(n+2)[log(n+2)]

2

,

w)

∞

P

n=2

(−1)

n

n log

2

n

.