WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest doświadczalne zbadanie zjawiska
wypływu cieczy przez mały otwór ze zbiornika i porównanie
wyników pomiarów z obliczeniami.
2. Podstawy teoretyczne
Ruchem swobodnym cieczy nazywamy takie zjawiska,
w czasie których poddana badaniu ciekła bryła nie podlega
w całej rozciągłości wydatniejszemu oddziaływaniu ścian stałych,
lecz jest ograniczona na swych krańcach częściowo pozostałymi
partiami płynącej cieczy , częściowo zaś ośrodkiem
nie oddziałującym w wyczuwalny sposób na przebieg zjawiska.
Wypływ cieczy przez mały ostrobrzeżny otwór można
traktować jako ruch swobodny . Zjawiska te można opisywać przy
pomocy metod dynamiki cieczy doskonałej , a przy przejściu
do analogicznych zjawisk cieczy rzeczywistych wprowadzamy
jedynie współczynniki doświadczalne , nie wpływające na postać
wzorów teoretycznych.
Aby wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór był
ustalony, zwierciadło cieczy w zbiorniku musi pozostawać
w niezmiennej wysokości, a ciśnienia na zwierciadło i na strumień
wypływający z otworu musza być stałe . Aby utrzymać zwierciadło
na stałym poziomie należy dostarczać do zbiornika tyle samo
cieczy, ile w tym czasie z niego przez otwór wypływa.
Rys. 1.
Wypływ cieczy przez mały otwór w obszernym zbiorniku
F -
powierzchnia zwierciadła cieczy w zbiorniku
f -
swobodny przekrój przepływowy otworu
h - różnica poziomów pomiędzy zwierciadłem cieczy
a środkiem geometrycznym otworu
v - prędkość wypływu cieczy ze zbiornika
v
0
- prędkość z jaką zwierciadło cieczy poczęłoby się
obniżać, gdybyśmy odcięli dopływ cieczy do
zbiornika (w przypadku wypływu ustalonego
prędkość v
o
jest średnią prędkością przepływu
cieczy przez zbiornik)
p
b
, p
b
’-
ciśnienia atmosferyczne w przekrojach F i f .
Warunek ciągłości ruchu:
v
*
f
v
*
F
0
=
(1)
Stosując twierdzenie Bernoulliego:
γ
γ
/
b
2
b
2
o
p
g
2
v
p
g
2
v
h
+
=
+
+
(2)
1
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
2
b
b
F
f
1
p
p
h
g
2
v
−
−
′
−
=
γ
(3)
Wysokość rozporządzalną H przedstawić można jako:
γ
γ
b
b
p
p
h
H
′
−
+
=
(4)
Podstawiając tą wysokość do równania (3) otrzymujemy
zależność:
2
)
F
/
f
(
1
gH
2
v
−
=
(5)
Jeżeli otwór jest bardzo mały w porównaniu z powierzchnią
zwierciadła,oraz różnica pomiędzy poziomami otworu i zwierciadła
cieczy jest niewielka, to : (f/F)
2
→
0 oraz p
b
/
-p
b
→
0. Uwzględniając
te założenia równanie na prędkość wypływu cieczy ze zbiornika
można zapisać następująco:
h
g
2
v
⋅
=
(6)
Równanie to nazywamy równaniem Torricelliego.
Natężenie przepływu możemy określić zależnością:
gh
2
f
v
f
Q
⋅
=
⋅
=
(7)
Otworem swobodnym nazywamy otwór, przez który
strumień cieczy wypływa w powietrze lub inny ośrodek gazowy.
W zjawiskach wypływu cieczy rzeczywistych wskutek istnienia
oporów ruchu prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej
prędkości wypływu, obliczonej na podstawie wzoru
TORTICELLIEGO. Uwzględniamy to za pomocą współczynnika
doświadczalnego
ϕ
, zwanego współczynnikiem prędkości, którego
wartość liczbowa zależy głównie od lepkości wypływającej cieczy,
a ponadto od wielkości i kształtu otworu oraz od wysokości
napełnienia zbiornika.
Prędkość w przekroju wypływowym otworu
gh
2
v
ϕ
=
(8)
przy czym współczynnik prędkości dla wody i innych cieczy o tej
samej lepkości wynosi
ϕ
= 0,97
÷
0,98
W zagadnieniach technicznych chodzi nie tyle o prędkość
wypływu co natężenie wypływu, tj. objętość cieczy wypływającej
przez otwór w jednostce czasu.
Gdyby wypływający strumień cieczy miał ten sam przekrój
co otwór, wówczas natężenie wypływu Q = f v
W rzeczywistości strumień wypływający przez otwór
ostrobrzeżny zwęża się, tak iż jego przekrój f
c
jest mniejszy
od przekroju otworu f. Zjawisko to wywołane jest niemożnością
nagłej zmiany kierunku przepływu cząstek, poruszających się
wzdłuż ścian zbiornika przez otwór na zewnątrz oraz dławieniem
strumienia wzdłuż krawędzi otworu. Stosunek przekroju strugi
w miejscu przewężenia do przekroju otworu nazywamy
współczynnikiem zwężenia (kontrakcji)
2
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
Rys. 2.
Zwężenie strumienia przy wypływie przez mały otwór
f
f
c
=
ℵ
(9)
Wartość liczbowa współczynnika zwężenia dla otworów
ostrobrzeżnych o dowolnym konturze zawarta jest w granicach:
χ
= 0,61
÷
0,64.
Rzeczywiste natężenie wypływu:
gH
2
f
gH
2
Q
µ
ϕ
=
ℵ
=
(10)
Iloczyn
χϕ
=
µ
zwiemy współczynnikiem wypływu.
Wartość współczynnika wypływu dla otworów
ostrobrzeżnych
µ
=0.580-0,63 (wartości liczbowe współczynników
wypływu dla otworów o różnych kształtach można znaleźć
w poradnikach technicznych ).
Aby obliczyć czas wypływu cieczy ze zbiornika, należy
uwzględnić zmianę natężenia wypływu podczas opróżniania się
zbiornika. Ogólna postać równania do wyznaczenia czasu
wypływu:
dt
*
dQ
dV
=
gdzie dV jest zależne od kształtu zbiornika
( )
dz
z
A
dV
=
Rys. 3. Schemat wypływu cieczy ze zbiornika w kształcie stożka
Elementarny czas opróżniania zbiornika wynosi:
( )
c
d
dz
z
A
4
dt
2
µ π
=
3
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
w zależności czy wyznaczamy czas wypływu całej cieczy ze
zbiornika, czy też pewnej objętości tej cieczy zmieniają się granice
całkowania.
Dla zbiornika w kształcie walca czas wypływu wynosi:
1
2
h
h
2
2
z
g
2
d
D
2
t
=
Dla zbiornika w kształcie stożka czas wypływu wynosi:
1
2
h
h
5
2
2
2
z
g
2
H
d
D
5
2
t
=
3. Opis stanowiska pomiarowego
Stanowisko pomiarowe składa się z następujących
elementów:
zbiorników o różnym kształcie z otworem
wykonanym w dnie,
rurki pomiarowej umieszczonej z boku każdego ze
zbiorników,
zaworu regulacyjnego (do zmiany natężenia
przepływu)
Rys. 4. Schemat stanowiska pomiarowego
4. Przebieg ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy
porównawczej teoretycznego i rzeczywistego czasu wypływu
cieczy ze zbiornika.
Dane, które powinny znajdować się w sprawozdaniu:
jednorazowy pomiar średnicy zbiornika D, średnicy otworu
wypływowego d oraz wysokości zbiornika H,
ustalenie wysokości lustra cieczy H
1
i H
2
, pomiędzy którymi
będzie mierzony czas wypływu,
4
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
trzykrotny pomiar czasu wypływu określonej ilości cieczy
dla każdego ze zbiorników dla ustalonych wcześniej
punktów odniesienia.
Po wykonaniu pomiarów czasu należy wykonać obliczenia
teoretycznych czasów wypływu dla każdego przypadku,
uwzględniając położenie początkowe i końcowe cieczy w zbiorniku.
Po wykonaniu obliczeń wartości teoretyczne i zmierzone czasu
wypływu nanieść na wykres f(t
r
)=t
t
.
Na zakończenie przeprowadzić analizę wyników
i sformułować wnioski końcowe.
5
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR
KARTA POMIAROWA
Imię i nazwisko ..............................................................................................................................................................................
Imię i nazwisko ..............................................................................................................................................................................
Kierunek
...........................................................................................
Rok.....................................
Grupa.......................
Ćw..........
...............................
(nr)
(data)
Średnica zbiornika[cm]
.......................................
Średnica otworu wylot. [mm]
.......................................
Wysokość zbiornika [cm]
.......................................
Kształt zbiornika
.......................................
6
Lp.
Wysokości
lustra cieczy
Czas wypływu
H
p
-H
k
[cm]
t
1
[s]
t
2
[s]
t
3
[s]
1
2
3
4
5