7. Falowe właściwości materii, hipoteza de Broglie’a; długość fali elektronu i cząstki
makroskopowej; dyfrakcja elektronów.
Według hipotezy dualizmu korpuskularno-falowego każdy obiekt może być opisywany na dwa
sposoby: jako cząstka/obiekt materialny albo jako fala (materii).Pomysł opisu cząstek za pomocą fal
pochodzi od Louisa de Broglie'a.
Korpuskularno-falowa natura materii jest jednym z głównych wyników mechaniki kwantowej: każdy
obiekt materialny może przejawiać naturę falową, co oznacza, że może podlegać zjawiskom dyfrakcji
(zjawisko zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód) i interferencji(zjawisko
nakładania się fal pochodzących z wielu źródeł).
hipoteza de Broglie’a:
- długość fali, p – pęd,
h - stała Plancka
De Broglie przypisał każdej cząstce pewną falę o długości
i częstotliwości
. Propozycja De Broglie'a
polegała na odwróceniu rozumowania - aby każdej cząstce o różnym od zera pędzie przypisać falę, o
określonej długości i częstotliwości.
Obiekty makroskopowe też można traktować jak falę materii, ale długość takiej fali jest tak mała, że
staje się niemierzalna. Mówi się, że obiekty makroskopowe nie ujawniają swoich własności falowych.
Na przykład można obliczyć, że dla człowieka o masie 50
kg
poruszającego się z prędkością 10 km/h
długość fali materii równa jest :
Wartość ta jest tak mała, że nie sposób wykryć falowych własności człowieka.
Dla elektronu długość fali jest większa, dzięki czemu można obserwować dyfrakcję i interferencję fal
materii elektronu. Dzięki temu, że długość fali materii dla elektronu jest bardzo mała w porównaniu z
długością fali światła, elektrony (także neutrony, jony, itd) doskonale nadają się do obserwacji małych
obiektów. Na tej zasadzie opiera się m.in. budowa mikroskopu elektronowego.
Dyfrakcja elektronów – doświadczenie Thompsona: Thomson
wykazał, że wiązka elektronów przechodząc przez cienkie folie
polikrystaliczne ( np. złota, aluminium, miedzi) ulega również
dyfrakcji, a następnie w sposób niezależny szczegółowo
potwierdził relację de Broglie'a
=h/p. Thomson stosował
elektrony o dużej energii, a więc bardziej przenikliwe, tak że wiele
setek płaszczyzn atomowych brało udział w tworzeniu fali ugiętej.
Otrzymał pierścienie dyfrakcyjne podobne do tych uzyskiwanych
przy dyfrakcji promieniowania X .
Dyfrakcja na strukturach krystalicznych:
p
h
14. Równanie Schrödingera, rozwiązanie w postaci fali biegnącej, zgodność z klasycznym
związkiem między energią i pędem.
Równanie Schrödingera we współrzędnych kartezjańskich ma postać następującą:
Gdzie: m -
masa poruszającej się cząstki, V - potencjał, h - stała Plancka, i- jest liczbą zespoloną.
Cząstka w mikroświecie opisana jest za pomocą funkcji falowej
(x,y,z,t), która związana jest z
prawdopodobieństwem znalezienia cząstki.
Dla fali biegnącej:
Rozwiązanie ogólne: fala bieżąca:
t
E
i
ikx
ikx
e
Be
Ae
t
x
,
0
V
E
: Dla fali biegnącej:
Klasycznie: Obszar I
Kwantowo: Obszar I
Obszar II
21. Oscylator harmoniczny -
opis klasyczny: częstość drgań, zasięg ruchu, rozkład
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki.
Opis klasyczny:
ruch cząstki o masie m pod wpływem sprężystej siły F
x
= −kx, gdzie
k jest współczynnikiem sprężystości.
W tym ruchu, energia potencjalna jest:
/2
kx
/2
x
mw
2
2
2
0
x
V
a energia
całkowita:
2
kA
E
.
Cząstka jest uwięziona w obszarze: -A ≤ x ≤ A; wszystkie wartości energii E są
dozwolone.
Częstość drgań: ruch harmoniczny z częstością:
m
k
2
1
Prawdopodobieństwo znalezienia w różnych położeniach cząstki wykonującej drgania
harmoniczne o energii E
7
=7.5ħw
0
w potencjale V(x)=mw
0
2
x
2
/2 zgodnie z klasycznym opisem ruchu
(krzywa amarantowa);
t
i
V
z
y
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
Oscylator harmoniczny n=7, E=15ħ
0
/2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y=(m
0
/ħ)
1/2
x
V
/(
ħ
0
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P
klas
, P
kw
an
t
potencjał V
P klasycznie
P kwantowo
26. Orbitale elektronu w atomie wodoru, lokalna gęstość prawdopodobieństwa i rozkład
radialny, porównanie z modelem Bohra.
Elektron porusza się po orbicie kołowej dookoła jądra atomowego. Energia elektronu jest stała (nie
wypromieniowuje energii).
W stanie podstawowym elektron w atomie wodoru opisuje orbital 1s. Indeks związany z wartością
magnetycznej liczby kwantowej nie jest konieczny. Skoro orbital jest typu s (czyli l = 0) to wartość
magnetycznej liczby kwantowej musi być równa zero.
Dla n = 2 mamy cztery możliwe zestawy dozwolonych wartości liczb kwantowych. Oznacza to, że w
pierwszym stanie wzbudzonym, strukturę atomu wodoru opisują aż cztery funkcje falowe:
Dla wartości wiekszych od n=2:
Gdy orbitalna liczba kwantowa ma
największą dozwoloną wartość
l=n-1
największy moment pędu:
orbital jest podobny do kołowej orbity w
modelu Bohra atomu wodoru
28. Moment pędu w mechanice kwantowej, operatory składowych i kwadratu momentu pędu,
przemienność, wartości własne, funkcje własne, kwantowanie przestrzenne.
Operator
Ᾱ - działa na funkcję (falową) przekształcając ją w inną funkcję, np. mnożenie przez x:
x(f(x))=xf(x) Działanie operatora na funkcję własną polega na mnożeniu przez wartość własną.
Wybrane składowe:
h kreślone), m=0, ±1, … , ±l. Możliwe jest 2l+1 możliwości m.
π
2
2π
1
nh
h
l
l
L
Operator kwadratu mom. Pędu:
Ĺ^2= Ĺx^2+ Ĺy^2+ Ĺz^2 jest przemienny ze składowymi mom. Pędu:
[Ĺ^2, Ĺx]=0 , [Ĺ^2, Ĺy]=0 , [Ĺ^2, Ĺz]=0
Gdy operatory są przemienne to mają wspólny układ funkcji własnych.
Wartość własna operatora: Ĺ^2 to l(l+1)*(h^2 kreślone),
Kwantowanie przestrzenne: