CA LKA

November 26, 2010

Jak stwierdzili´smy granica wyra˙zenia

lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (x

∗
i

)∆x = lim

n→∞

[f (x

∗
1

)∆x + f (x

∗
2

)∆x + .... + f (x

∗
n

)∆x]

pojawiaj¸

a si¸e gdy liczymy pole obszaru pod wykresem funkcji f.

Definicja 1. Niech f b¸

edzie funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a okre´

slon¸

a na przedziale domkni¸

etym

[a,b]. Dzielimy ten przedzia lna n mniejszych przedzia l´

ow o r´

ownej d lugo´

sci

∆x =

(b−a)

n

. Niech punkty x

0

= a, x

1

, x

2

, ..., x

n

= b b¸

ed¸

a ko´

ncami tych

przedzia l´

ow. Nast¸

epnie wybieramy punkty x

∗
1

, x

∗
2

, ..., x

∗
n

tak, ˙ze x

∗
i

∈ [x

i−1

, x

i

].

Ca lk¸

a oznaczon¸

a funkcji f od a do b nazywamy

Z

b

a

f (x)dx = lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (x

∗
i

)∆x

f funkcja podca lkowa

a, b granice ca lkowania, a dolna granica ca lkowania, b g´

orna granice ca lkowania

operacj¸e nazywamy ca lkowaniem

Wyra˙zenie Σ

n
i=1

f (x

∗
i

)∆x nazywamy sum¸

a Riemann’a

Z

b

a

f (x)dx = lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (x

i

)∆x

Z

b

a

f (x)dx = lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (x

i−1

)∆x

1

Przyk lad

Oblicz

R

3

0

(x

3

− 6x)dx

a) n = 6, ∆x =

3−0

6

=

1
2

We´

zmy prawe ko´

nce przedzia l´

ow x

1

= 0, 5, x

2

= 1, x

3

= 1, 5...x

6

= 3

R

6

= f (0, 5)∆x + f (1)∆x + f (1, 5)∆x + f (2)∆x + f (2, 5)∆x + f (3)∆x

=

1

2

(−2, 875 − 5 − 5, 625 − 4 + 0, 625 + 9) = −3, 9375

Teraz we´

zmy dowolne n

∆x =

3−0

n

=

3

n

Wtedy x

0

= 0, x

1

= 3/n, x

2

= 6/n, x

3

= 9/n, a og´

olnie x

i

= 3i/n

U˙zywaj¸

ac prawych ko´

nc´

ow przedzia l´

ow otrzymujemy

Z

3

0

(x

3

− 6x)dx = lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (x

i

)∆x = lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (

3i

n

)

3

n

= lim

n→∞

3

n

Σ

n
i=1

[(

3i

n

)

3

− 6

3i

n

]

= lim

n→∞

3

n

Σ

n
i=1

[

27

n

3

i

3

−

18

n

i]

= lim

n→∞

[

81

n

4

Σ

n
i=1

i

3

−

54

n

2

Σ

n
i=1

i]

= lim

n→∞

[

81

n

4

[

n(n + 1)

2

]

2

−

54

n

2

n(n + 1)

2

]

= lim

n→∞

[

81

4

(1 +

1

n

) − 27(1 +

1

n

)]

=

81

4

− 27 = −

27

4

= −6, 75.

2

Stosowali´smy wzory:

Σ

n
i=1

i =

n(n + 1)

2

Σ

n
i=1

i

2

=

n(n + 1)(2n + 1)

6

Σ

n
i=1

i

3

= [

n(n + 1)

2

]

2

3

W lasno´

sci ca lki oznaczonej

1.

R

b

a

cdx = c(b − a) c dowolna sta la

2.

R

b

a

[f (x) + g(x)]dx =

R

b

a

f (x)dx +

R

b

a

g(x)dx

3.

R

b

a

cf (x)dx = c

R

b

a

f (x)dx c dowolna sta la

4.

R

b

a

[f (x) − g(x)]dx =

R

b

a

f (x)dx −

R

b

a

g(x)dx

5.

R

c

a

f (x)dx +

R

b

c

f (x)dx =

R

b

a

f (x)dx

Twierdzenie 1. Je´

sli f jest funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a na odcinku [a,b], to

Z

b

a

f (x)dx = F (b) − F (a)

gdzie F jest funkcj¸

a pierwotn¸

a f, tj. F’ = f.

Dow´

od twierdzenia

Dzielimy odcinek [a,b] na n odcink´

ow o ko´

ncach x

0

= a, x

1

, x

2

, ....x

n

= b

od d lugo´sci ∆x =

b−a

n

. We´

zmy funkcj¸e pierwotn¸

a F funkcji f . F (b) − F (a)

mo˙zemy zapisa´

c

F (b) − F (a) = F (x

n

) − F (x

0

)

= F (x

n

) − F (x

n

1

) + F (x

n

1

) − F (x

n

2

) + F (x

n

2

)...F (x

1

) + F (x

1

) − F (x

0

)

= Σ

n
i=1

[F (x

i

) − F (x

i−1

)]

Poniewa˙z funkcja F jest ci¸

ag la, to mo˙zemy zastosowa´

c twierdzenie o warto´sci

´sredniej do odcinka [x

i−1

, x

i

]. Zatem istnieje liczba x

∗
i

∈ (x

i−1

, x

i

) taka ˙ze:

F (x

i

) − F (x

i−1

) = F

0

(x

∗
i

)(x

i

− x

i−1

) = f (x

∗
i

)(x

i

− x

i−1

)

Sk¸

ad

F (b) − F (a) = Σ

n
i=1

f (x

∗
i

)∆x

4

Po prawej stronie mamy sumy Riemann’a. Przechodz¸

ac do granicy otrzymu-

jemy

F (b) − F (a) = lim

n→∞

Σ

n
i=1

f (x

∗
i

)∆x =

Z

b

a

f (x)dx

U˙zywamy oznacze´

n:

F (x)|

b
a

= F (b) − F (a)

oraz

Z

b

a

f (x)dx = F (x)|

b
a

gdzie F

0

= f

5

CA LKA NIEOZNACZONA

OZNACZENIE

Z

f (x)dx

Z

f (x)dx = F (x) oznacza, ˙ze F

0

(x) = f (x)

Definicja

Ca lk¸

a nieoznaczon¸

a funkcji f nazywamy rodzin¸e funkcji F takich, ˙ze F

0

=

f, tj. rodzin¸e funkcji pierwotnych funkcji f .

Je´sli funkcja f jest okre´slona na odcinku (a,b), to dwie funkcje pierwotne

r´

o˙zni¸

a si¸e o sta l¸

a, tj.

F, G s¸

a funkcjami pierwotnymi funkcji f, to istnieje liczba C taka, ˙ze

F = G + C.

TABELA CA LEK NIEOZNACZONYCH

Z

cf (x) = c

Z

f (x)dx

Z

[f (x) + g(x)]dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx

Z

x

n

dx =

x

n+1

n + 1

+ C

(n 6= −1)

Z

1

x

dx = ln|x| + C

Z

e

x

dx = e

x

+ C

Z

a

x

dx =

a

x

lna

+ C

Z

sinxdx = −cosx + C

Z

cosxdx = sinx + C

Z

1

cos

2

dx = tgx + C

Z

1

sin

2

dx = −ctgx + C

Z

1

x

2

+ 1

dx = arctgx + C

Z

1

√

1 − x

2

dx = arcsinx + C

6

Przyk lad

Oblicz

R

9

1

2t

2

+t

2

√

t−1

t

2

dt

Z

9

1

2t

2

+ t

2

√

t − 1

t

2

dt =

Z

9

1

(2 + t

1/2

− t

−2

)dt

= 2t +

t

3/2

3
2

−

t

−1

−1

|

9
1

= 2t +

3

2

t

3/2

−

1

t

|

9
1

= [2.9 +

2

3

(9)

3/2

+

1

9

] − (2.1 +

2

3

.1

3/2

+

1

1

)

= 18 + 18 +

1

9

− 2 −

2

3

− 1 = 32

4

9

7

Dalsze w lasno´

sci ca lki

Z

b

a

f (x)dx = −

Z

a

b

f (x)dx

Z

a

a

f (x)dx = 0

Por´

ownywanie ca lek

1. Je´sli f (x) ≥ 0 dla a ≤ x ≤ b, to

R

b

a

f (x)dx ≥ 0.

2. Je´sli f (x) ≥ g(x) dla a ≤ x ≤ b, to

R

b

a

f (x)dx ≥

R

b

a

g(x)dx.

3. Je´sli m ≤ f (x) ≤ M dla a ≤ x ≤ b, to m(b − a) ≤

R

b

a

f (x)dx ≤

M (b − a).

Przyk lad

Oszacuj warto´s´

c

R

1

0

e

−x

2

dx.

Funkcja e

−x

2

jest funkcj¸

a malej¸

ac¸

a on odcinku [0,1], osi¸

aga ona warto´s´

c

najwi¸eksz¸

a w 0, tj. mo˙zna przyj¸

a´

c M = f (0) = 1, a najmniejsz¸

a w 1, tj.

mo˙zna przyj¸

a´

c m = f (1) = e

−1

. Zatem

e

−1

(1 − 0) ≤

Z

1

0

e

−x

2

dx ≤ 1(1 − 0)

czyli

e

−1

≤

Z

1

0

e

−x

2

dx ≤ 1

0, 367 ≤

Z

1

0

e

−x

2

dx ≤ 1.

8

Twierdzenie Fundamentalne o ca lkowaniu Je´

sli funkcja f jest ci¸

ag la

na [a,b], to

a) funkcja g okre´

slona wzorem

g(x) =

Z

x

a

f (t)dt

dla a ≤ x ≤ b,

jest funkcj¸

a pierwotn¸

a funkcji f, tj. g

0

(x) = f (x) dla a < x < b.

b)

R

b

a

f (x)dx = F (b) − F (a), gdzie funkcja F jest funkcj¸

a pierwotn¸

a funkcji

f.

Dow´

od

a) Niech g(x) =

R

x

a

f (t)dt. Je´sli x i x + h s¸

a w (a,b) to

g(x + h) − g(x) =

Z

x+h

a

f (t)dt −

Z

x

a

f (t)dt

= (

Z

x

a

f (t)dt +

Z

x+h

x

f (t)dt) −

Z

x

a

f (t)dt

=

Z

x+h

x

f (t)dt

Zatem dla h 6= 0,

g(x + h) − g(x)

h

=

1

h

Z

x+h

x

f (t)dt

Za l´

o˙zmy, ˙ze h > 0. Poniewa˙z funkcja f jest ci¸

ag la na [x, x + h] to istniej¸

a

liczby u i v takie ˙ze f (u) = m a f (v) = M , gdzie M jest absolutnym
maksimum, a m absolutnym minimum funkcji f na odcinku [x, x+h]. Zatem

mh ≤

Z

x+h

x

f (t)dt ≤ M h

to jest

f (u)h ≤

Z

x+h

x

f (t)dt ≤ f (v)h

Poniewa˙z h > 0, mo˙zemy podzieli´

c nier´

owno´s´

c przez h

9

f (u) ≤

1

h

Z

x+h

x

f (t)dt ≤ f (v)

Cz¸e´s´

c ´srodkowa tej nier´

owno´sci wyra˙za si¸e za pomoc¸

a funkcji pierwotnej g

f (u) ≤

g(x + h) − g(x)

h

≤ f (v)

Co wi¸ecej z ci¸

ag lo´sci

lim

h→0

f (u) = lim

u→x

f (u) = f (x)

oraz

lim

h→0

f (v) = lim

v→x

f (v) = f (x)

Zatem

g

0

(x) = lim

h→0

g(x + h) − g(x)

h

= f (x)

10

Zamiana zmiennych w ca lce

Z

2x

√

1 + x

2

dx =

Z

√

1 + x

2

2xdx

=

Z

√

udu =

2

3

u

3/2

+ C

=

2

3

(x

2

+ 1)

3/2

+ C

Sprawdzenie

d

dx

[

2

3

(x

2

+ 1)

3/2

+ C] =

2

3

3

2

(x

2

+ 1)

1/2

2x = 2x

√

x

2

+ 1

Zasada zmiany zmiennych Je´sli u = g(x) jest funkcj¸

a r´

o˙zniczkowaln¸

a,

kt´

orej obrazem (przeciwdziedzin¸

a) jest odcinek I, a funkcja f jest ci¸

ag la on

I, to

Z

f (g(x))g

0

(x)dx =

Z

f (u)du

Zasada zmiany zmiennych w ca lce oznaczonej

Je´sli funkcja g

0

(x) jest ci¸

ag la na [a, b] i funkcja f jest ci¸

ag la na przeciw-

obrazie u = g(x), to

Z

b

a

f (g(x))g

0

(x)dx =

Z

g(b)

g(a)

f (u)du

11

Ca lkowanie funkcji symetrycznych

Niech f b¸edzie funkcj¸

a symetryczn¸

a na [-a,a].

(a) Je´sli funkcja f jest parzysta (tj. f (−x) = f (x)), to

Z

a

−a

f (x)dx = 2

Z

a

0

f (x)dx.

(b) Je´sli funkcja f jest nieparzysta (tj. f (−x) = −f (x)), to

Z

a

−a

f (x)dx = 0.

12

Ca lkowanie przez cz¸

e´

sci

d

dx

[f (x)g(x)] = f (x)g

0

(x) + g(x)f

0

(x)

Zatem

Z

[f (x)g

0

(x) + g(x)f

0

(x)]dx = f (x)g(x) + C

lub

Z

f (x)g

0

(x)dx +

Z

g(x)f

0

(x)dx = f (x)g(x) + C

Przekszta lcaj¸

ac otrzymujemy

Z

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x) −

Z

g(x)f

0

(x)dx

13

Przyk lad Oblicz

R xsinxdx

Niech f (x) = x, g

0

(x) = sinx. Wtedy f

0

(x) = 1 g(x) = −cosx. Zatem

Z

xsinxdx = f (x)g(x) −

Z

g(x)f

0

(x)dx

= x(−cosx) −

Z

(−cosx)dx

= −x(cosx) +

Z

cosxdx

= −xcosx + sinx + C

Przyk lad Oblicz

R lnxdx

f (x) = lnx g

0

(x) = 1

f

0

(x) =

1

x

g(x) = x

Czyli

Z

lnxdx = xlnx −

Z

1

x

xdx = xlnx −

Z

1dx = xlnx − x + C

14

Wz´

or dla ca lki oznaczonej

Z

b

a

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x)|

b
a

−

Z

b

a

g(x)f

0

(x)dx

15

1

Ca lki niew la´

sciwe

We´

zmy pod uwag¸e obszar ograniczony przez wykres funkcji

f (x) =

1

x

,

lub g(x) =

1

x

2

o´s 0x i prost¸

a x = 1.

Pole takie obszaru jest przybli˙zane przez odpowiednio

A(t) =

Z

t

1

1

x

dx

B(t) =

Z

t

1

1

x

2

dx

Zatem

A(t) = lnt a B(t) = −

1

x

|

t
1

= −

1

t

− (−1) = 1 −

1

t

Wtedy

lim

t→∞

A(t) = +∞ a lim

t→∞

B(t) = 1

Definition

(a) Je´sli ca lka

R

t

a

f (x)dx istnieje dla ka˙zdego t ≥ a, to

Z

+∞

a

f (x)dx = lim

t→+∞

Z

t

a

f (x)dx

przy za lo˙zeniu, ˙ze ta granica istnieje i jest sko´

nczona.

(b) Je´sli ca lka

R

b

t

f (x)dx istnieje dla ka˙zdego t ≤ b, to

Z

b

−∞

f (x)dx = lim

t→−∞

Z

b

t

f (x)dx

przy za lo˙zeniu, ˙ze ta granica istnieje i jest sko´

nczona.

Ca lki niew la´sciwe nazywamy zbie˙znymi je´sli odpowiadaj¸

ace granice ist-

niej¸

a i s¸

a sko´

nczone. W przeciwnym wypadku nazywamy je rozbie˙znymi .

(c) Je´sli obie ca lki

R

+∞

a

f (x)dx oraz

R

a

−∞

f (x)dx s¸

a zbie˙zne, to definiujemy

16

Z

+∞

−∞

f (x)dx =

Z

a

−∞

f (x)dx +

Z

+∞

a

f (x)dx

Warto´s´

c

R

+∞

−∞

f (x)dx nie zale˙zy od wyboru a.

Przyk lad

Oblicz

R

0

−∞

xe

x

dx.

Z

0

−∞

xe

x

dx = lim

t→−∞

Z

0

t

xe

x

dx

Ca lkuj¸

ac przez cz¸e´sci dla

f (x) = x g

0

(x) = e

x

f

0

(x) = 1 g(x) = e

x

otrzymujemy

Z

0

t

xe

x

dx = xe

x

|

0
t

−

Z

0

t

e

x

dx = −te

t

− 1 + e

t

Poniewa˙z e

t

→ 0 gdy t → −∞ oraz z regu ly de l’Hospitala

lim

t→−∞

te

t

= lim

t→−∞

t

e

−t

= lim

t→−∞

1

−e

−t

= lim

t→−∞

−e

t

= 0

Zatem

Z

0

−∞

xe

x

dx = lim

t→−∞

(−te

t

− 1 + e

t

) = −0 − 1 + 0 = −1.

17

Przyk lad

Oblicz

R

+∞

−∞

1

1+x

2

dx.

Wybierzmy a = 0. Wtedy

Z

+∞

−∞

1

1 + x

2

dx =

Z

0

−∞

1

1 + x

2

dx +

Z

+∞

0

1

1 + x

2

dx

Obliczamy ca lki oddzielnie

Z

+∞

0

1

1 + x

2

dx = lim

t→+∞

Z

t

0

1

1 + x

2

dx

= lim

t→+∞

arctgx|

t
0

= lim

t→+∞

(arctgt − arctg0)

= lim

t→+∞

arctgt =

π

2

Z

0

−∞

1

1 + x

2

dx = lim

t→−∞

Z

0

t

1

1 + x

2

dx

= lim

t→−∞

arctgx|

0
t

= lim

t→−∞

(arctg0 − arctgt)

= lim

t→−∞

− arctgt =

π

2

Sk¸

ad

Z

+∞

−∞

1

1 + x

2

dx =

π

2

+

π

2

= π

Przyk lad

Dla jakich warto´sci p ca lka

Z

p

1

1

x

p

dx

jest zbie˙zna?

Dla p = 1 ca lka jest rozbie˙zna.

18

p 6= 1. Wtedy

Z

∞

1

1

x

p

dx = lim

t→∞

Z

t

1

1

x

p

dx = lim

t→∞

Z

t

1

x

−p

dx

= lim

t→∞

x

−p+1

−p + 1

|

x=t
x=1

= lim

t→∞

1

1 − p

[

1

t

p−1

− 1]

Je´sli p > 1, to p − 1 > 0, zatem gdy t → +∞, t

p−1

→ ∞ oraz 1/t

p−1

→ 0.

Zatem

Z

∞

1

1

x

p

dx =

1

p − 1

gdy p > 1,

czyli ca lka jest zbie˙zna.

Je´sli p < 1, to p − 1 < 0, wtedy

1

t

p−1

= t

1−p

→ ∞ gdy t → ∞

czyli ca lka jest rozbie˙zna.

19

Nieci¸

ag le funkcje podca lkowe

Niech f : [a, b) → R b¸edzie funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a z pionow¸

a asymptot¸

a w b.

Definiujemy

A(t) =

Z

t

a

f (x)dx

Je´sli A(t) zmierza do liczby sko´

nczonej A gdy t → b to

Z

b

a

f (x)dx = A = lim

t→b

Z

t

a

f (x)dx

Definition

(a) Je´sli funkcja f jest ci¸

ag la na [a, b) i nieci¸

ag la w b lub nieokre´slona w

tym punkcie, to

Z

b

a

f (x)dx = lim

t→b

−

Z

t

a

f (x)dx

je´sli ta granica istnieje i jest sko´

nczona.

(b) Je´sli funkcja f jest ci¸

ag la na (a, b] i nieci¸

ag la w a lub nieokre´slona w

tym punkcie, to

Z

b

a

f (x)dx = lim

t→a

+

Z

b

t

f (x)dx

je´sli ta granica istnieje i jest sko´

nczona.

Ca lka niew la´sciwa

R

b

a

f (x)dx jest zbie˙zna gdy odpowiednia granica istnieje

i rozbie˙zna gdy ta granica nie istnieje.

(c) Gdy funkcja f ma nieci¸

ag lo´s´

c w punkcie c,

a < c < b, lub w

tym punkcie jest nieokre´slona, oraz gdy obie ca lki

R

c

a

f (x)dx i

R

b

c

f (x)dx

s¸

a zbie˙zne, to definiujemy

Z

b

a

f (x)dx =

Z

c

a

f (x)dx +

Z

b

c

f (x)dx

20

Przyk lad

Oblicz

R

5

2

1

√

x−2

dx

Funkcja nie jest okre´slona dla x = 2.

Z

5

2

1

√

x − 2

dx = lim

x→2

+

dx

√

x − 2

= lim

x→2

+

2

√

x − 2|

5
t

= lim

x→2

+

2(

√

3−

√

t − 2) = 2

√

3

Przyk lad

Oblicz

R

3

0

dx

x−1

dx je´sli jest to mo˙zliwe, tj. je´sli ca lka zbie˙zna.

Funkcja podca lkowa nieokre´slona dla c = 1. Musimy obliczy´

c

Z

1

0

dx

x − 1

dx

oraz

Z

3

1

dx

x − 1

dx

Z

1

0

dx

x − 1

dx = lim

t→1

−

dx

x − 1

dx

= lim

t→1

−

ln|x − 1||

t
0

= lim

t→1

−

(ln| − 1| − ln| − 1|)

lim

t→1

−

ln(1 − t) = −∞

Wniosek: ca lka

R

3

0

dx

x−1

dx jest rozbie˙zna

21

Twierdzenie por´

ownawcze dla ca lek niew la´

sciwych

Za l´

o˙zmy, ˙ze funkcje f i g s¸

a ci¸

ag le oraz f (x) ≥ g(x) ≥ 0 dla x ≥ a. Wtedy

(a) Je´sli ca lka

R

∞

a

f (x)dx jest zbie˙zna, to ca lka

R

∞

a

g(x)dx jest tak˙ze

zbie˙zna.

(b) Je´sli ca lka

R

∞

a

g(x)dx jest rozbie˙zna, to ca lka

R

∞

a

f (x)dx jest tak˙ze

rozbie˙zna.

Przyk lad
Wyka˙z, ˙ze ca lka

R

∞

0

e

−x

2

dx jest zbie˙zna.

R

∞

0

e

−x

2

dx =

R

1

0

e

−x

2

dx +

R

∞

1

e

−x

2

dx

Ca lk¸e

R

∞

1

e

−x

2

dx szacujemy przez

R

∞

1

e

−x

dx = lim

t→∞

R

t

1

e

−x

dx = lim

t→∞

(e

−1

− e

−t

) = e

−1

.

ODP. Ca lka jest zbie˙zna

22