Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr

Instrukcja do laboratorium nr 2 z Modelowania Biosystemów

Modele pojedynczych populacji

Prowadzący: dr inż. Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)

[e-mail]

1.

Zakres materiału laboratorium

Przygotowanie do zajęć obejmuje znajomość modeli pojedynczych populacji: maltuzjańskiego
(wykładniczego), Gompertza oraz logistycznego (wersja ciągła i dyskretna) – postaci ich równań, rozwizań
czasowych oraz własności poszczególnych modeli. Dodatkowo studenci powinni zapoznać się ze
sposobem tworzenia funkcji w środowisku Matlab (help function w linii komend Matlaba) oraz
funkcją ode45() (help ode45 w linii komend) służącej do rozwiązywania numerycznego równań
różniczkowych zwyczajnych. Podczas zajęć wykorzystywana będzie ponadto metoda numeryczna Eulera
opisana poniżej.

Metoda Eulera – to najprostsza z metod rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych
zwyczajnych, polega na zastosowaniu tzw. różnicy skończonej (ang. finite difference) w celu aproksymacji
różniczki. Problem polega na znalezieniu przybliżonego rozwiązania równania o zadanym warunku
początkowym

W metodzie tej aproksymujemy różniczkę z równania (1) tzw. skończoną różnicą

co prowadzi do następującego równania

Dobierając stały krok różnicy czasu h konstruujemy ciąg t

0

, t

1

=t

0

+h, t

2

=t

0

+2h, ... Oznaczając przez y

n

numeryczne przybliżenie rozwiązania y(t

n

), obliczamy kolejne wartości równania z rekursywnego wzoru

2.

Program zajęć laboratoryjnych

Zad 1.

Model ciągły dany jest równaniem dN(t)/dt = r

1

N(t), natomiast model dyskretny

równaniem N

t+1

= N

t

+ r

2

N

t

.

a.

Napisać funkcje znajdującą rozwiązania modelu ciągłego i dyskretnego. W przypadku

modelu ciągłego zastosować metode Eulera oraz znany wzór analityczny rozwiązania
modelu.

b.

Zbadać wpływ parametrów N

0

i r

1

lub r

2

na dynamikę modeli, przedstawić kilka

wykresów czasowych dla t

∈

[0,9] dni.

c.

Wyznaczyć czas zdwojenia dla modelu ciągłego dla podanego r

1

.

d.

Wyprowadzić zależność funkcyjną r

1

(r

2

), dla której wartości rozwiązań modeli są równe

oraz przedstawić graficznie (na jednym wykresie) rozwiązanie modelu ciagłego (za
pomcą czerwonej linii) dla t

∈

[0,9] oraz modelu dyskretnego (za pomocą niebieskich )

dla wartości t

∈

{0,1,...,8,9}.

e.

Sprawdzić dla jakiego r

1

model ciągły przyjmuje te same wartości w ustalonych punktach

czasowych co model dyskretny o zadanych przez prowadzącego parametrach N

0

i r

2

.

Zad 2.

Zbadać zachowanie modelu logistycznego ciągłego oraz modelu Gompertza w zależności

od zmian parametrów modeli (zakresy wartości parametrów będą podane przez
prowadzącego na zajęciach). W celu znalezienia rozwiązań modeli zastosować
predefiniowaną funkcję ode45(). Sporządzić wykresy z przebiegami czasowymi oraz
portrety fazowe obu modeli dla wybranych parametrów.

Zad 3.

Logistyczny model dyskretny ma postać N

t+1

= N

t

+ r N

t

( 1 - N

t

/ K ), gdzie K oznacza

pojemność środowiska. Stosując podstawienia a=1+r, b=r/K oraz zmianę zmiennych X

t

= (b/a)N

t

równanie modelu logistycznego przyjmuje uproszczoną postać X

t+1

=aX

t

(1-X

t

).

a.

Zbadać wpływ zmian parametru a na zmianę dynamiki modelu, przedstawić przebiegi

czasowe modelu dla zadanych wartości a.

b.

Dla podanego N

0

znaleźć a, dla którego rozpoczynają się oscylację oraz a, dla którego

występuje chaos.

c.

Sporządzić diagram bifurkacyjny.

Rozwiązania poszczególnych zadań (odpowiedzi, wartości liczbowe, wykresy, kody
ź

ródłowe) proszę na bieżąco zapisywać do pliku np. Microsoft Word i na koniec zajęć

przesłać na plik przez stronę platforma.polsl.pl. W proszę zamieścić imię i nazwisko, datę
oraz nr grupy laboratoryjnej.