Ćwiczenie 2 

Analiza błędów i niepewności pomiarowych 

 

Program ćwiczenia: 
 
1. Wyznaczenie niepewności typu B w bezpośrednim pomiarze napięcia stałego 
2. Wyznaczenie niepewności typu B w pośrednim pomiarze rezystancji metodą techniczną 
3. Wyznaczenie niepewności typu A i B w bezpośrednim pomiarze napięcia  
 
 
Wykaz przyrządów: 
• Multimetr cyfrowy Rigol DM3051 
• Multimetr analogowy UM‐3A/UM‐4B/UM‐5B 
• Zasilacz/Generator uniwersalny 
 
Literatura: 

[1] Kuśmierek Z., Kalus‐Jęcek B., Wzorce wielkości elektrycznych i ocena niepewności pomiaru. Wydawnictwo 

Politechniki Łódzkiej, 2006 

[2] Tumański S., Technika pomiarowa, Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, 2007, Warszawa 
[3] Chwaleba A., Poniński M., Siedlecki A. Metrologia elektryczna. WNT, Warszawa 1979, 1991, 1994, 2009 

 
Dokumentacja techniczna przyrządów pomiarowych: 

[4] Instrukcja obsługi: RIGOL, Multimetry cyfrowe serii DM3000 

http://www.kmet.agh.edu.pl

  ‐> dydaktyka ‐> Materiały dla studentów 

 
Strony www: 

http://www.rigolna.com/

 

http://www.home.agilent.com

 ‐> Technical Support 

http://polskiemultimetry.prv.pl/

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Zakres wymaganych wiadomości do kolokwium wstępnego: 

• przyczyny błędów i niepewności pomiarowych, 
• obliczanie błędów granicznych w pomiarach przyrządem analogowym i cyfrowym, 
• obliczanie niepewności typu A pomiarach bezpośrednich, 
• obliczanie niepewności typu B w pomiarach bezpośrednich, 
• obliczanie niepewności złożonej A i B w pomiarach bezpośrednich 
• obliczanie niepewności typu B w pomiarach pośrednich. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Wyznaczenie niepewności typu B w bezpośrednim pomiarze napięcia stałego 

1) Połączyć układ według schematu. 

 

V

1

 – RIGOL DM3051, V

2

 – UM‐4a lub UM‐4b 

2) Włączyć  zasilanie  multimetru  cyfrowego.  Nacisnąć  przycisk 

  ,  aby  przejść  do  trybu  pomiaru 

napięcia  stałego.  Ustawić  automatyczny  dobór  zakresu  pomiarowego  poprzez  naciśnięcie 
przycisku Auto w menu kontekstowym.  

3) Dolne  pokrętło  multimetru  analogowego  ustawić  w  pozycji  pomiaru  napięcia  stałego  V‐. 

Ponieważ  zakres  mierzonych  napięć  zawiera  się  w  granicach  5V  do  20V,  zakres  pomiarowy 
miernika ustawić powyżej wartości 20V. 

4) Włączyć zasilacz, a pokrętło regulacji napięcia ustawić w pozycji 6V.  

5) Dobrać  zakres  pomiarowy  multimetru  analogowego  w  taki  sposób  aby  wskazanie  ustaliło  się 

powyżej ½ długości podziałki.  

6) Odczytać  i  zanotować  wynik  pomiaru  obydwoma  multimetrami  w  tabeli  2.  Dla  multimetru 

analogowego zanotować liczbę wskazanych działek, całkowitą liczbę działek na podziałce i zakres 
pomiarowy w tabeli 1. 

7) Wyłączyć zasilacz. 

8) Obliczyć błędy graniczne i niepewności pomiarowe według następującego schematu podanego w 

poniższej tabeli. Współczynniki a i b odczytać z tabeli A (załącznik do instrukcji). 

 

Multimetr UM‐4a lub UM‐4b 

Multimetr Rigol DM3051 

Błąd graniczny 

100

U

gr

Z

K

U

⋅

=

Δ

 

100

U

gr

Z

b

U

a

U

⋅

+

⋅

=

Δ

 

Niepewność standardowa typu B 

( )

3

U

U

u

gr

B

Δ

=

 

Współczynnik rozszerzania 

95

,

0

;

3

=

⋅

=

p

p

k

 

Niepewność rozszerzona 

( )

( )

U

u

k

U

U

B

⋅

=

 

2. Wyznaczenie niepewności typu B w pośrednim pomiarze rezystancji 

1) Połączyć układ według schematu: 

 

 

V – RIGOL DM3051, A – UM‐4a lub UM‐4b, R – opornica dekadowa 

 

2) Na opornicy dekadowej ustawić wartość rezystancji 40Ω. 

3) Włączyć  multimetr  cyfrowy.  Nacisnąć  przycisk 

  ,  aby  przejść  do  trybu  pomiaru  napięcia 

stałego.  

4) Multimetr analogowy ustawić w tryb pomiaru prądu stałego. W tym celu dolne pokrętło ustawić 

w pozycji A ‐. 

5) Spodziewana  wartość  mierzonego  prądu  stałego  wynosi  około  0,16  A  w  związku  z  tym  lewym 

pokrętłem  multimetru  analogowego  należy  ustawić  zakres  mierzonego  prądu  powyżej  tej 
wartości. 

6) Na zasilaczu pokrętło regulacji napięcia ustawić w pozycji 6V. Włączyć zasilacz. 

7) Dobrać  zakres  pomiarowy  multimetru  analogowego  w  taki  sposób  aby  wskazanie  natężenia 

prądu ustaliło się powyżej ½ długości podziałki. 

8) Zanotować wyniki pomiarowe w tabeli 4 i 5; odczytać wartość napięcia z multimetru cyfrowego i 

wartość  prądu  z  multimetru  analogowego  (w  tym  przypadku  zanotować  liczbę  wskazanych 
działek, całkowitą liczbę działek na podziałce i zakres pomiarowy).  

9) Wyłączyć zasilacz. 

Poniższe obliczenia, należy zanotować w sprawozdaniu, a wyniki wpisać w tabelę. 

10) Obliczyć wartość zmierzonej rezystancji wg zależności: 

 

I

U

R

=

 

 

11) Obliczyć niepewności typu B dla pomiaru napięcia i prądu: 

( )

100

3

3

⋅

⋅

+

⋅

=

Δ

=

Z

b

U

a

U

U

u

gr

B

 

( )

100

3

3

⋅

⋅

=

Δ

=

I

gr

B

Z

K

I

I

u

 

Współczynniki a i b dla multimetru RIGOL, należy odczytać z tabeli A (załącznik do instrukcji), a 
wskaźnik klasy i zakres bezpośrednio z przyrządu analogowego. 

12) Niepewność złożoną pośredniego pomiaru rezystancji wyznaczamy z zależności: 

 

( )

( )

( )

( )

( )

I

u

I

U

U

u

I

I

u

I

R

U

u

U

R

R

u

B

B

B

B

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

 

 

13) Podobnie  jak  przy  pomiarach  bezpośrednich  wyznaczona  niepewność  złożona  daje  zbyt  małe 

zaufanie do wyniku pomiaru (patrz część teoretyczna instrukcji). Z tego powodu należy obliczyć 
niepewność  rozszerzoną  pomiaru  zakładając  poziom  ufności  p=0,95.  W  przypadku  pomiarów 
pośrednich,  wyznaczenie  współczynnika  rozszerzania  nie  jest  zadaniem  łatwym,  gdyż  zazwyczaj 
nie  jest  znany  rozkład  gęstości  prawdopodobieństwa  błędów  pomiarowych.  W  takiej  sytuacji 
należy  posłużyć  się  uproszczonym  kryterium  wyboru  tego  współczynnika,  które  mówi,  że  dla 
poziomu ufności p=0,95, współczynnik rozszerzania k=2.  

( )

( )

R

u

k

R

U

⋅

=

 

14) Zapisać ostateczny wynik pomiaru. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Wyznaczenie niepewności typu A i B w bezpośrednim pomiarze napięcia  

1) Multimetr  RIGOL  podłączyć  do  zacisków  „WY”  zasilacza  uniwersalnego  w  sposób  umożliwiający 

pomiar napięcia stałego.  

2) Po  włączeniu  zasilania  multimetr  znajduje  się  w  trybie  pomiaru  ciągłego,  to  znaczy  odczyt 

wielkości  mierzonej  następuje  z  maksymalną  częstotliwością  próbkowania  i  jest  na  bieżąco 
aktualizowany na ekranie. W tym punkcie ćwiczenia należy zmienić tryb pracy multimetru w taki 
sposób  aby  pomiar  był  wykonywany  na  życzenie  użytkownika.  W  tym  celu  należy  nacisnąć 

przycisk 

 na płycie czołowej multimetru. 

3) Nacisnąć  przycisk 

  ,  aby  przejść  do  trybu  pomiaru  napięcia  stałego.  Za  pomocą  przycisków 

Rng+  lub  Rng‐  z  menu  kontekstowego  na  wyświetlaczu  multimetru  ustawić  zakres  pomiarowy 
40V.  

4) Zasilacz  uniwersalny  ustawić  na  napięcie  9V.  Gałkę  wyboru  rodzaju  sygnału  w  generatorze 

ustawić w położeniu ”////”. Do zacisków układu zostanie przyłączone niestabilizowane napięcie 
stałe, które zmienia wartość w sposób losowy wokół wartości średniej. 

5) Zwrócić się do prowadzącego o ustawienie parametrów mierzonego napięcia. 

6) Do wykonania pomiarów należy wykorzystać funkcje statystyczne. Aby wejść w menu pomiarów 

statystycznych, należy nacisnąć przycisk 

, a następnie z menu kontekstowego wybrać kolejno 

Stats Æ All. Opuścić podmenu naciskając ↵,  a następnie włączyć funkcje statystyczne naciskając 
On.  Po  włączeniu  funkcji  statystycznych  multimetr  automatycznie  wykona  pierwszy  pomiar  i 
przejdzie  w  tryb  oczekiwania  na  wyzwolenie  kolejnego  pomiaru  przez  użytkownika.  Zanotować 
wynik pomiaru z pola Current w tabeli 3.  

7) Wykonać  kolejne  n=2,  3,  …,  10  pomiarów  poprzez  ręczne  wyzwolenie  multimetru  przyciskiem 

. Wyniki na bieżąco notować w tabeli 3.  

8) W trybie pomiarów statystycznych multimetr automatycznie oblicza wartość średnią pomiarów. 

Wpisać  wartość  z  pola  Ave  do  tabeli  3  jako  wartość  średnią,  przyjmując,  że  jest  to  najlepsze 
oszacowanie wartości rzeczywistej mierzonego napięcia. Wyłączyć zasilacz. 

9) Na podstawie zanotowanych wyników, obliczyć odchylenie standardowe 

x

σ

ˆ

. 

(

)

∑

=

−

−

=

N

n

i

x

U

U

N

1

2

1

1

ˆ

σ

 

10) Obliczyć niepewność standardową typu A, rozumianą jako odchylenie standardowe średniej wg 

wzoru: 

( )

N

U

u

x

A

σ

ˆ

=

 

 

 

11) Ponieważ  nie  można  zaniedbać  niepewności  wnoszonej  przez  przyrząd  pomiarowy  należy 

obliczyć niepewność typu B: 

100

U

gr

Z

b

U

a

U

⋅

+

⋅

=

Δ

 

( )

3

U

U

u

gr

B

Δ

=

 

12) Na  podstawie  obliczonych  niepewności  typu  A  i  B  należy  wyznaczyć  niepewność  złożoną 

pomiaru: 

( )

( ) ( )

U

u

U

u

U

u

B

A

2

2

+

=

 

 

13) Niepewność  złożona  daje  zbyt  małe  zaufanie  do  wyniku  pomiaru  (patrz  część  teoretyczna 

instrukcji).  Z  tego  powodu  należy  obliczyć  niepewność  rozszerzoną  pomiaru  zakładając  poziom 
ufności  p=0,95.  Ponieważ  liczba  pomiarów  jest  mniejsza  od  30,  współczynnik  rozszerzania 
przyjmuje wartości standaryzowanej zmiennej losowej rozkładu t‐Studenta. Dla poziomu ufności 
p=0,95 i liczby stopni swobody 

η

=9 (η=liczba_pomiarów– 1=10‐1=9), odczytany z tablic rozkładu 

t‐Studenta  współczynnik rozszerzania ma wartość k=2,22. 

 

( )

( )

U

u

k

U

U

⋅

=

 

14) Zapisać ostateczny wynik pomiaru.