Obwody trójfazowe ... /11
2008 K.M.Gawrylczyk
1
O
BWODY TRÓJFAZOWE
Znikanie sumy napięć ïród»owych i sumy prądów
w wielofazowym układzie symetrycznym
n – liczba faz układu,
α = 2π / n - kąt pomiędzy kolejnymi napięciami fazowymi,
e
j
nα
= 1, e
-j
nα
= 1
Napięcie k-tej fazy:
e
k
= |E
m
| sin[ωt − (k − 1)α]
Przy n - fazach:
[
]
(
)
(
)
(
)
1
j t
j( t- )
j[ -( -1) ]
- j t
- j( t- )
- j[ -( -1) ]
j t
- j
- j( -1)
- j t
j
( -1)
- j
j
- j
=
sin + sin(
) +... + sin[
( 1) ]
1
e +e
+...+e
e
e
... e
2j
1
e 1+e +...+e
e
1+e +...+e
2j
1
1 e
e
2j
1 e
n
k
m
k=
t n
t n
m
n
n
m
n
t
m
e
E
t
t
t
n
E
E
E
ω
ω α
ω
α
ω
ω α
ω
α
ω
α
α
ω
α
α
α
ω
α
ω
ω
α
ω
α
−
−
−
=
=
−
−
− −
=
=
−
=
−
=
−
−
∑
j
- j
j
1 e
e
= 0.
1 e
n
t
α
ω
α
−
−
UŜyty został wzór na sumę ciągu geometrycznego:
1
j
1
1
,
e
1
n
n
k
k
a
a
a
a
α
−
±
=
−
=
=
−
∑
.
Analogicznie dla funkcji typu cosinus:
=1
cos[
( 1) ] = 0.
ω
α
−
−
∑
n
k
t
n
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
2
Wyrównanie układu symetrycznego o liczbie faz n $ 3
Moc chwilowa wytwarzana w k-tej fazie źródła:
p
k
= e
k
·i
k
= |E
m
|·|I
m
|·sin[ωt − (k − 1)·α]·sin[ωt − (k − 1)·α − n] =
= |E|·|I|·{cos n − cos[2ωt − 2(k − 1)·α − n]}
Przy n $ 3 zachodzi :
n
=
= | || | cos
k=1
k
p
p n E I
φ
⋅
⋅ ⋅
∑
Dla n = 2 α = 2π/n = π , wi“c:
2(k−1)·α = 0 przy k = 1,
2(k−1)·α = 2π przy k = 2,
stąd moc chwilowa pobierana w dwóch fazach :
p = p
1
+ p
2
= |E|·|I|·2 [cosn − cos(2ωt − n)]
i wyrównanie nie występuje (moc jest funkcją czasu).
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
3
Układ trójfazowy skojarzony w gwiazdę
Rys. 1. Generator i odbiornik skojarzone w gwiazdę.
Suma prądów w węźle środkowym odbiornika:
I
A
+ I
B
+ I
C
=I
0
,
i
A
+ i
B
+ i
C
=i
0
.
Przy symetrycznym generatorze:
e
A
= |E
m
| sin ωt
e
B
= |E
m
| sin (ωt−120°)
e
C
= |E
m
| sin (ωt−240°) = |E
m
| sin (ωt+120°)
i symetrycznym odbiorniku prądy w gałęziach odbiornika wynoszą:
i
A
= |I
m
| sin (ωt − φ)
i
B
= |I
m
| sin (ωt − 120°− φ)
i
C
= |I
m
| sin (ωt − 240°− φ)
i tworzą układ trójfazowy symetryczny (trójkąt zamknięty), a ich suma,
prąd i
0
= 0. Układ jest wyrównany, a jego moc czynna wynosi
P = 3·|E|·|I|·cosφ.
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
4
Rys. 2. Wykres wskazowy dla generatora symetrycznego, lecz odbiornika niesymetrycznego.
JeŜeli odbiornik nie jest symetryczny, płynie prąd I
0
w przewodzie
zerowym. Moc czynna odbiornika, wraz z mocą traconą w impedancji Z
0
wynosi wtedy:
P = |E
A
|·|I
A
|·cosφ
A
+|E
B
|·|I
B
|·cosφ
B
+|E
C
|·|I
C
|·cosφ
C
lub:
P = Re(E
A
·I
A
*
+E
B
·I
B
*
+E
C
·I
C
*
)
Moc czynna samego odbiornika wynosi:
P' = |I
A
|
2
·Re(Z
A
) + |I
B
|
2
·Re(Z
B
) + |I
C
|
2
·Re(Z
C
).
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
5
A
NALIZA ODBIORNIKA NIESYMETRYCZNEGO
Rys. 3. Odbiornik gwiaździsty niesymetryczny z impedancjami przewodów.
Rys. 4. Wykres wskazowy dla odbiornika niesymetrycznego.
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
6
W celu wyznaczenie prądów faz odbiornika trzeba najpierw
wyznaczyć potencjał punktu zerowego odbiornika U
0
, odniesiony do
punktu zerowego generatora. W tym celu uŜyjemy metody węzłowej:
(
)
0
A
B
C
0
A A
B B
C C
A
B
C
0
A
A
B
B
C
C
0
'
'
'
'
,
1
1
1
1
gdzie:
,
,
,
.
U Y
Y
Y
Y
E Y
E Y
E Y
Y
Y
Y
Y
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
+ + +
=
+
+
=
=
=
=
+
+
+
czyli:
A A
B B
C C
0
A
B
C
0
E Y
E Y
E Y
U
Y
Y
Y
Y
+
+
=
+ + +
.
Prądy poszczególnych faz odbiornika wynoszą:
A
0
B
0
C
0
A
A
C
A
A
B
B
C
C
'
'
'
,
,
E
U
E
U
E
U
I
I
I
Z
Z
Z
Z
Z
Z
−
−
−
=
=
=
+
+
+
.
Np. przy symetrycznym generatorze (230V):
E
A
= |E
m
| = 230[V]
E
B
= |E
m
| e
-j120°
= −115−j200[V]
E
C
= |E
m
| e
-j240°
= |E
m
| e
j120°
=−
115+j200[V]
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
7
U
KŁAD TRÓJKĄT
-
GWIAZDA
Rys. 5. Odbiornik gwiaździsty połączony z generatorem w układzie trójkąta.
|E
fm
| = 400[V]
E
AB
= E
A
−
E
B
= |E
fm
| e
j30°
= 345 + j200,
E
BC
= E
B
−
E
C
= |E
fm
| e
-j90°
= −j400
E
CA
= E
C
−
E
A
= |E
fm
| e
j150°
= −345 + j200
stąd:
Z dzielnika napięć:
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
'
'
'
'
,
Z
U
U
U
U I
Z
Z
Z
Z
Z
=
=
=
+
+
, itd. kolejno dla pozostałych faz.
A
A
B B
C C
A
B
AB
A
C
CA
'
'
'
'
'
'
'
0
Y U
Y U
Y U
U
U
E
U
U
E
+
+
=
−
=
−
+ =
(
)
(
)
(
)
A
B AB
C CA
A
B
C
B
C BC
A AB
A
B
C
C
A CA
B BC
A
B
C
'
'
'
1
1
1
U
Y E
Y E
Y
Y
Y
U
Y E
Y E
Y
Y
Y
U
Y E
Y E
Y
Y
Y
=
−
+ +
=
−
+ +
=
−
+ +
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
8
U
KŁAD TRÓJKĄT
-
TRÓJKĄT
Rys. 6. Odbiornik trójkątowy połączony z generatorem w układzie trójkąta.
Bilans napięć w oczku:
A A
AB AB
B B
AB
'
'
Z I
Z I
Z I
E
+
−
=
Prądy liniowe w funkcji prądów fazowych:
A
AB
CA
B
BC
AB
,
I
I
I
I
I
I
=
−
=
−
Stąd otrzymujemy pierwsze równanie, kolejne przez przestawienie
wskaźników:
(
)
(
)
(
)
A
AB
B
AB
B BC
A CA
AB
B AB
B
BC
C
BC
C CA
BC
A AB
C BC
C
CA
A
CA
CA
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Z
Z
Z I
Z I
Z I
E
Z I
Z
Z
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z
Z
Z I
E
+
+
−
−
=
−
+
+
+
−
=
−
−
+
+
+
=
Z tego układu równań moŜna wyznaczyć prądy fazowe odbiornika:
I
AB
, I
BC
, I
CA
.
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
9
P
OMIAR MOCY W UKŁADACH TRÓJFAZOWYCH
Pomiar mocy w układzie symetrycznym
Rys. 7. UŜycie watomierza do pomiaru mocy w układzie trójfazowym symetrycznym.
W
V
I
f
f
W
f
f
cos
cos ,
3
3
cos
3
cos ,
P
U
I
U
I
P
P
U
I
U I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
= ⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
gdzie:
U
f
, I
f
– napięcie i prąd fazowy,
U, I – napięcie i prąd liniowy.
Rys. 8. Pomiar mocy czynnej w układzie symetrycznym ze sztucznym zerem,
R
V
+
R
dod
=
R
.
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
10
Pomiar mocy biernej w układzie symetrycznym
Rys. 9. Układ do pomiaru mocy biernej w układzie symetrycznym.
Wskazanie waromierza wynosi P
W
:
(
)
o
W
V
I
BC
A
f
f
3f
f
f
3f
W
cos
cos
3
cos 90
3
sin
, czyli:
3 .
3
P U I
U
I
U I
Q
U I
Q
P
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
−
=
=
⋅
=
=
Obwody trójfazowe ...
/11
2008
K.M.Gawrylczyk
11
Pomiar mocy w układzie niesymetrycznym
Rys. 10. Pomiar mocy czynnej układu niesymetrycznego trzema watomierzami.
A
A
A
B
B
B
C
C
C
cos
cos
cos
P
U
I
U
I
U
I
ϕ
ϕ
ϕ
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
Rys.11. Pomiar mocy w układzie Arona.
Na przykładzie odbiornika symetrycznego:
(
)
(
)
o
o
1
2
AC
A
BC
B
o
o
o
o
odb
o
o
1
2
AC
A
BC
B
odb
cos(30
)
cos(
30 )
cos cos30 sin sin30
cos cos30 sin sin30
3
cos
,
1
cos(30
)
cos(
30 )
sin
.
3
W W U
I
U I
U I
U I
U I
P
W W U
I
U I
U I
Q
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
− +
+
=
=
+
+
−
=
=
=
−
=
− −
+
=
=