Klas´

owka poprawkowa, matematyka A, 17 lutego 2005

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia udowodnione

na zaje

,

ciach.

Rozwia

,

zanie ka˙zdego zadania nale˙zy napisa´c na oddzielnej kartce. Ka˙zda

,

kartke

,

nale˙zy podpisa´

c

swoim nazwiskiem, imieniem, numerem grupy ´

cwiczeniowej i numerem swego indeksu

Pierwsze kolokwium — zadania 11,12,13;

drugie lub trzecie — zadania 21 – 26

11. Poda´c definicje

,

logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza

,

spe lnia´c liczby a, x , by

mo˙zna by lo zdefiniowa´c log

a

x ?

Obliczy´c:

log

10

1

√

1000

,

log

5

5

5

√

5

,

log

0,25

2 ,

log

√

3

1
3

.

12. Poda´c definicje

,

sinusa dowolnego ka

,

ta dodatniego. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c 1 > | sin t| ≥

1
2

i zaznaczy´c

odpowiednie fragmenty okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 (przyja

,

wszy, ˙ze x = cos t , y = sin t ).

13. Znale´z´c granice lim

n→∞

3n−2n

3

+15n

2

√

n

3

+2

√

n

4

+3

√

n

5

+

√

4n

6

+1

oraz lim

n→∞

1 +

2n

n

2

+1

n

21. Znale´z´c liczby a, b, c takie, ˙ze lim

x→0

4

√

1+x−(a+bx+cx

2

)

x

2

= 0 , naste

,

pnie — granice

,

lim

x→0

4

√

1+x−(a+bx+cx

2

)

x

3

.

22. Niech f (t) = c cos ωt

√

13

+d sin ωt

√

13

+sin t dla t ∈ R . Obliczy´c f

0

(t) i f

00

(t) . Znale´z´c wszystkie

tr´ojki liczb ω, c, d ∈ R takie, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´owno´s´c

f

00

(t) + 13f (t) + 12 sin t = 0 .

23. Znale´z´c granice

lim

x→+∞

sin x

x

,

lim

x→+∞

√

x+1

x

oraz

lim

x→+∞

3

p

x +

√

x + 1 −

3

√

x + sin x

.

24. Znale´z´c najmniejsza

,

warto´s´c funkcji x

2

+

4x

2

(x−2)

2

na p´o lprostej otwartej (2, +∞) lub wykaza´c, ˙ze ta

funkcja na p´o lprostej (2, ∞) najmniejszej warto´sci nie ma.

25. Znale´z´c ca lke

,

nieoznaczona

,

R

x

3

e

−x

2

dx , a naste

,

pnie ca lke

,

oznaczona

,

niew la´sciwa

,

R

+1

−1

x

3

e

−x

2

dx .

26. Niech f (x) = (3 − x)

3

q

(x

2

−9)

2

(2−x)

2

dla wszystkich x 6= 2 .

Zachodza

,

r´owno´sci

f

0

(x) =

5
3

x(x − 1)

3

q

(3−x)

2

(2−x)

5

(x+3)

,

f

00

(x) =

10(x

4

−2x

3

−14x

2

+54x−27)

9

3

√

(x−2)

8

(x+3)

4

(3−x)

dla tych wszystkich liczb x ∈ R , dla kt´orych prawe strony wzor´ow maja

,

sens. Zachodzi r´owno´s´c

x

4

− 2x

3

− 14x

2

+ 54x − 27 = (x − x

1

)(x − x

2

)(x

2

+ px + q) , gdzie x

1

≈ −4, 37 i x

2

≈ 0, 6 i p

2

< 4q .

Funkcja nie ma asymptot poziomych, ani uko´snych.
a. Znale´z´c przedzia ly,

na kt´orych funkcja f jest rosna

,

ca i przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest maleja

,

ca;

na kt´orych ta funkcja jest wypuk la i przedzia ly, na kt´orych jest wkle

,

s la.

b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pierwszej pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?
d. Znale´z´c punkty przegie

,

cia wykresu funkcji f .

e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow sk ladaja

,

cych sie

,

na jej

dziedzine

,

.

f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f

0

(pochodnej funkcji f ) w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow

sk ladaja

,

cych sie

,

na jej dziedzine

,

.

Naszkicowa´

c wykres funkcji f uwzgle

,

dniaja

,

c otrzymane rezultaty.

inf. Informacje przer´o˙zne (po˙zyteczne lub zbe

,

dne):

sin

5π

6

=

1
2

;

sin

5π

4

= −

√

2

2

;

1 + x ≤ e

x

dla x ∈ R ;

sin x < x < tg x ,

gdy

π

2

> x > 0 ;

sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x ;

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ;

cos

2

x + sin

2

x = 1 .