owka poprawkowa, matematyka A, 17 lutego 2005
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urzadze´
n elektro-
,
nicznych; jeśli ktoś ma, musza by´
c schowane i wy laczone!
,
,
Nie wolno korzystać z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia udowodnione
,
na zajeciach.
,
Rozwiazanie każdego zadania należy napisać na oddzielnej kartce. Każda kartke należy podpisa´
c
,
,
,
swoim nazwiskiem, imieniem, numerem grupy ´
cwiczeniowej i numerem swego indeksu
Pierwsze kolokwium — zadania 11,12,13;
drugie lub trzecie — zadania 21 – 26
11. Podać definicje logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza spe lniać liczby a, x , by
,
,
można by lo zdefiniować log
1
55
1
a x ?
Obliczyć:
log10 √
,
log √ ,
log
.
1000
5
5
0 , 25 2 ,
log √ 3 3
12. Podać definicje sinusa dowolnego kata dodatniego. Rozwiazać nierówność 1 > | sin t| ≥ 1 i zaznaczyć
,
,
,
2
odpowiednie fragmenty okregu x 2 + y 2 = 1 (przyjawszy, że x = cos t , y = sin t ).
,
,
13. Znaleźć granice lim
3 n− 2 n 3+15 n 2
n
√
√
√
√
oraz lim 1 + 2 n
n→∞
n 3+2 n 4+3 n 5+ 4 n 6+1
n→∞
n 2+1
√
√
4
4
21. Znaleźć liczby a, b, c takie, że lim 1+ x−( a+ bx+ cx 2) = 0 , nastepnie — granice lim 1+ x−( a+ bx+ cx 2) .
x→ 0
x 2
,
, x→ 0
x 3
√
√
22. Niech f ( t) = c cos ωt 13 + d sin ωt 13 +sin t dla t ∈ R . Obliczyć f 0( t) i f 00( t) . Znaleźć wszystkie trójki liczb ω, c, d ∈ R takie, że dla każdej liczby rzeczywistej t zachodzi równość f 00( t) + 13 f ( t) + 12 sin t = 0 .
√
p
√
√
23. Znaleźć granice
lim sin x ,
lim
x+1 oraz lim
3 x + x + 1 − 3 x + sin x .
x→+ ∞ x
x→+ ∞
x
x→+ ∞
24. Znaleźć najmniejsza wartość funkcji x 2 + 4 x 2
na pó lprostej otwartej (2 , + ∞) lub wykazać, że ta
,
( x− 2)2
funkcja na pó lprostej (2 , ∞) najmniejszej wartości nie ma.
R
R
25. Znaleźć ca lke nieoznaczona
x 3 e−x 2 dx , a nastepnie ca lke oznaczona niew laściwa
+1 x 3 e−x 2 dx .
,
,
,
,
,
,
− 1
q
26. Niech f ( x) = (3 − x) 3 ( x 2 − 9)2 dla wszystkich x 6= 2 .
Zachodza równości
(2 −x)2
,
q
f 0( x) = 5 x( x − 1) 3
(3 −x)2
,
f 00( x) = 10( x 4 − 2 x 3 − 14 x 2+54 x− 27)
√
3
(2 −x)5( x+3)
9 3 ( x− 2)8( x+3)4(3 −x)
dla tych wszystkich liczb x ∈ R , dla których prawe strony wzorów maja sens. Zachodzi równość
,
x 4 − 2 x 3 − 14 x 2 + 54 x − 27 = ( x − x 1)( x − x 2)( x 2 + px + q) , gdzie x 1 ≈ − 4 , 37 i x 2 ≈ 0 , 6 i p 2 < 4 q .
Funkcja nie ma asymptot poziomych, ani ukośnych.
a. Znaleźć przedzia ly,
na których funkcja f jest rosnaca i przedzia ly, na których funkcja f jest malejaca;
,
,
na których ta funkcja jest wypuk la i przedzia ly, na których jest wkles la.
,
b. Znaleźć punkty, w których funkcja f nie ma pierwszej pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?
d. Znaleźć punkty przegiecia wykresu funkcji f .
,
e. Znaleźć granice jednostronne funkcji f w końcach wszystkich przedzia lów sk ladajacych sie na jej
,
,
dziedzine. ,
f. Znaleźć granice jednostronne funkcji f 0 (pochodnej funkcji f ) w końcach wszystkich przedzia lów sk ladajacych sie na jej dziedzine.
,
,
,
Naszkicowa´
c wykres funkcji f uwzgledniajac otrzymane rezultaty.
,
,
inf. Informacje przeróżne (pożyteczne lub zbedne):
,
√
sin 5 π = 1 ;
sin 5 π = − 2 ;
1 + x ≤ ex dla x ∈ R ;
sin x < x < tg x ,
gdy π > x > 0 ;
6
2
4
2
2
sin( x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x ; cos( x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; cos2 x + sin2 x = 1 .