Rząd A

Kolokwium z analizy matematycznej nr 1

1.12.2008r.

Zadanie 1. Proszę obliczyć całkę podwójną

RR

D

|y − lnx|dxdy,

gdzie

D = [e

−1

, e] × [0, 2]

Zadanie 2. Proszę obliczyć pole płata z =

√

2

3

(x

2

+ y

2

)

3
4

wyciętego przez walec x

2

+ y

2

− 2x ¬ 0.

Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę potrójną

RRR

V

x

2

y

2

(x

2

+y

2

)

2

dxdydz,

gdzie

V = {(x, y, z) ∈ R

3

; x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4; z ­

√

3

p

x

2

+ y

2

}

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę krzywoliniową

R

Γ

ye

−x

dl,

gdzie Γ jest krzywą zadaną przez x(t) = ln(1 + t

2

), y(t) = 2arctgt − t + 3, z(t) =

√

3t.

Zadanie 5. Proszę obliczyć całkę krzywoliniową

R

Γ

(e

x

y

2

+ y)dx + (2e

x

y + x)dy,

gdzie Γ jest łamaną (0, 0) → (1, 0) → (1, 2) → (ln2, 3).

Kolokwium z analizy matematycznej nr 2

26.01.2009

Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y =

m

p

1 −

n

√

x

dookoła osi x w przedziale [0,1] wyraża się wzorem

V

m,n

=

2mn!Γ(

2

m

)

(mn+2)Γ(n+

2

m

)

Wykorzystując ten wzór proszę obliczyć V

1,4

. Podać dokładny wynik.

Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną

RR

S

zdS,

gdzie S jest częścią powierzchni z = 1 + x

2

+ y

2

, odciętą płaszczyzną z = 3.

Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną

RR

Σ

xdydz − ydzdx + zdxdy,

gdzie Σ jest powierzchnią zadaną parametrycznie

Σ =



x = cosϕ − tsinϕ

y = sinϕ + t cos ϕ

z = t,

n

0 ¬ ϕ ¬ 2π

0 ¬ t ¬ 1,

zorientowaną na zewnątrz. Pytanie bonusowe: Co to za powierzchnia?

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną

RR

Σ

(

1
3

x

3

+ y

2

+ z

2

)dydz + (3y −

1
4

x

2

y + xz)dzdx + (z −

3
4

x

2

z + xy)dxdy.

gdzie Σ-dolna strona dolnej półsfery z = −

p

a

2

− x

2

− y

2

(a ­ 0)

1

Zadanie 5 Wykorzystując twierdzenie Stokesa, proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

H

K

zdx + xdy + ydz,

gdzie K jest łamaną A → B → C → A, A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).

Zadanie 6 Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = |x| na przedziale [−π, π], a następnie

wykorzystując równość Parsevala udowodnić, że

P

∞
n=1

1

(2n−4)

4

=

π

4

96

(* Należało wybrać tylko pięć zadań)

Rząd A

Egzamin z analizy matematycznej

3.02.2009r.

Zadanie 1. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena, a następnie sprawdzić, czy można zastosować

to twierdzenie do policzenia poniższej całki:

H

K

y

x

2

+y

2

dx −

x

x

2

+y

2

dy,

gdzie K jest okręgiem x

2

+ y

2

= 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

b) Proszę obliczyć tę całkę.

Zadanie 2. a) Proszę podać warunki Dirichleta (warunki wystarczające aby funkcja f była rozwijalna w szereg Fouriera)

b) Rozwinąć funkcję f : [0, π] → R daną wzorem f (x) =

1
2

x w szereg sinusów.

Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę

H

K

(e

x

+ y + z

2

)dx + (−z +

1
2

z

2

+ cosy + x)dy + (yz + z

2

+ 2xz)dz,

gdzie K jest okręgiem {x

2

+ y

2

= R

2

, z = 0} zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę

1

R

0

dx

R

1

x

e

y 2

dy

Zadanie 5. Proszę obliczyć objętość części wspólnej kuli x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9 oraz walca x

2

+ (y −

3
2

)

2

¬

9
4

Rząd A

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

16.02.2009r.

Zadanie 1. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena, a następnie sprawdzić, czy można zastosować

to twierdzenie do policzenia poniższej całki:

H

K

y

x

2

+y

2

dx −

x

x

2

+y

2

dy,

gdzie K jest okręgiem x

2

+ y

2

= 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

b) Proszę obliczyć tę całkę.

Zadanie 2. a) Proszę podać warunki Dirichleta (warunki wystarczające aby funkcja f była rozwijalna w szereg Fouriera)

b) Rozwinąć funkcję

f : [−π, π] → R

daną wzorem

f (x) = x + 1

w szereg sinusów.

Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę

H

K

(e

x

+ y + z

2

)dx + (−z +

1
2

z

2

+ cosy + x)dy + (yz + z

2

+ 2xz)dz,

2

gdzie K jest okręgiem {x

2

+ y

2

= R

2

,

x = 0

} zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę

1

R

0

dx

R

1

x

e

y 2

dy

Zadanie 5. Proszę obliczyć objętość bryły ograniczonej przez powierzchnie:

x

2

+ y

2

= 1, x + z = 4, 2x − z = 4

.

Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss lub R.Krawczyk)

18.12.2009

Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej

∞

R

0

cos

4

x

x

2

+

√

x

dx.

Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę podwójną

RR

D

(1 +

y
x

)

2

dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym prostymi y = x, y = 3x, x + y = 1, x + y = 4.

Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę potrójną

RRR

V

((arcctg

x
y

)

2

+ y

2

z)dxdydz,

gdzie V = {(x, y, x) ∈ R

3

;

√

3

3

p

x

2

+ y

2

¬ z ¬

p

R

2

− x

2

− y

2

; x, y ­ 0}.

Zadanie 4 Proszę obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną

R

Γ

yzdl,

jeżeli krzywa Γ ma parametryzację x(t) = e

t

, y(t) = e

−t

, z(t) =

√

2t, t ∈ [0, ln2].

Zadanie 5 Proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

H

Γ

−ydx + x

2

dy,

gdzie Γ jest okręgiem x

2

+ (y − 2)

2

= 4, zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Zadanie 6. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną

RR

S

√

1 + x + ydS,

gdzie S jest płatem powierzchniowym z =

2
3

√

x

3

+

2
3

p

y

3

dla 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ x − 1.

(* Należało wybrać tylko pięć zadań)

Kolokwium z analizy matematycznej (dr G.Graff )

Zadanie 1. Obliczyć długość krzywej: x(t) = e

t

cost, y(t) = e

−t

sin(t), z(t) = e

(

− t), t ∈ [0, +∞]

Zadanie 2. Objętość kuli x

2

+ y

2

+ z

2

= 1 (nie wiem czy dokładnie takiej; możliwe, że była przesunięta)

za pomocą współrzędnych sferycznych.

Zadanie 3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = 5x, y = 8x.

Zadanie 4. Oblicz całkę krzywoliniową

R

K

(x + y)dx + y

2

dy,

gdzie K jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach: A = (−1, −1), B = (1, −1), C = (1, 1), D(−1, 1).

Oblicz ją wykorzystując twierdzenie Greena, a następnie sprawdź wynik obliczając tę całkę bezpośrednio.

3

Kolokwium z analizy matematycznej (K.Wroński)

Zadanie 1.(2pkt) Zmienić kolejność całkowania w całce podwójnej

1

R

0

dx

R

1−x

√

1−x

2

f (x, y)dy

Zadanie 2.(4pkt) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

= xyz

i zawartej w pierwszej ósemce układu współrzędnych.

Zadanie 3.(3pkt) Obliczyć długość krzywej opisanej równaniami: x(t) = t, y(t) = cost, z(t) = sint, t ∈ [0; 3π]

Zadanie 4.(4pkt) Sformułować twierdzenie Greena, uzasadnić, że można je zastosować do obliczenia całki:

R

L

x

3

dx + xy

2

dy,

gdzie L jest krzywą złożoną z odcinka prostej y = x od (1, 1) do (0, 0) i odcinka krzywej y

2

= x

3

od (0, 0) do (1, 1).

Tą metodą obliczyć daną całkę.

Zadanie 5.(2pkt) Sprawdzić, że dla całki

R

(2,1)

(2,0)

(y − 1)e

y

dx + xye

y

dy

można zastosować metodę różniczki zupełnej i obliczyć ją tą metodą.

Kolokwium z analizy matematycznej (M.Styborski)

Zadanie 1. Korzystając z kryterium porównawczego proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej:

∞

R

2

x−1

x

4

+x+1

dx.

Zadanie 2. Proszę wykazać, że pole obszaru

∆ = {(r, ϕ) : 0 ¬ r ¬ r(ϕ), ϕ

1

¬ ϕ ¬ ϕ

2

}

opisanego we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:

|∆| =

1
2

ϕ

2

R

ϕ

1

r

2

(ϕ)dϕ.

Korzystając z tego wzoru proszę policzyć pole wycinka koła wyciętego promieniami

π

3

oraz

7π

3

.

Zadanie 3. Proszę wykazać, że pole obszaru D ograniczonego krzywą dodatnio zorientowaną Γ można wyrazić wzorem:

|D| =

1
2

H

Γ

(y

2

− 2y)dx + 2xydy

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę

R

γ

f (x, y), gdzie f (x, y) = (3x

2

+ y

2

+ 2x)dx + (2xy − 4y + 1)dy,

a γ: x(t) = 2t, y(t) = tsint,

π

2

¬ t ¬ π.

Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia Gaussa – Ostrogradskiego proszę policzyć całkę

RR

Σ

(x − y)dydz + (y − z)dzdx + (z − x)dxdy,

gdzie Σ jest zewnętrzną stroną stożka x

2

+ y

2

¬ z

2

, 0 ¬ z ¬ H.

4

Egzamin z analizy matematycznej

3.02.2010r.

Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej

∞

R

0

cos

2

x

x

2

+

√

x

dx.

Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę potrójna

RRR

V

x

2

z

2

dxdydz,

gdzie V = {(x, y, z) ∈ R

3

;

p

x

2

+ y

2

¬ z ¬

p

R

2

− x

2

− y

2

}.

Zadanie 3. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena.

b) W oparciu o powyższe twierdzenie proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

H

Γ

xydx + dy,

gdzie Γ jest okręgiem (x − 1)

2

+ y

2

= 1 zorientowanym dodatnio.

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną

RR

S

(x + y + z)dS,

gdzie S jest płaszczyzna 3x + 2y + z − 6 = 0 położoną w I oktancie układu współrzędnych.

Zadanie 5. a) Niech ~

F : R

3

→ R

3

będzie polem wektorowym klasy C

2

.

Proszę udowodnić tożsamość div(rot ~

F )=0.

b) Niech µ : F → [0, ∞] będzie miarą określoną na σ-ciele zbiorów F.

Proszę udowodnić wykorzystując definicję miary, że

∀

A,B∈F

A ⊂ B ⇒ µ(A) ¬ µ(B).

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

17.02.2010r.

Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej

∞

R

0

1

x

3

+

3

√

x

dx.

Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę potrójna

RRR

V

(x

2

+ y

2

)dxdydz,

gdzie V = {(x, y, z) ∈ R

3

;

√

3

3

p

x

2

+ y

2

¬ z ¬

p

1 − x

2

− y

2

}.

Zadanie 3. a) Proszę sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania na płaszczyźnie.

b) Proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

H

Γ

(3x

2

y

2

− y)dx + (2x

3

y − x + 1)dy,

gdzie Γ we współrzędnych biegunowych określona jest wzorem Γ = {(r, ϕ); r =

√

2, ϕ ∈ [

π

2

,

9π

4

]}.

5

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną

RR

Σ

x

3

dydz + ydzdx + zdxdy,

gdzie Σ jest górną stroną płata z = y

2

, dla −1 ¬ x ¬ 1, 0, ¬ y ¬ 1.

Zadanie 5. a) Niech f : R

3

→ R

3

będzie funkcją klasy C

2

.

Proszę udowodnić tożsamość rot(grad f)=~0.

b) Proszę obliczyć całkę Lebesguea

R

[0,1]

f dλ,

gdzie f jest funkcja Dirichleta określoną wzorem

Σ =



1 dla x ∈ Q ∩ [0, 1]

0 dla x ∈ IQ ∩ [0, 1]

.

Rząd A

Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss)

8.12.2010r.

Zadanie 1. Obliczyć całkę niewłaściwą

s

D

1

√

x

2

+y

2

dxdy

w obszarze D = {(x, y) ∈ R

2

: 0 < x

2

+ y

2

< 4, y > 0}.

Zadanie 2. Oblicz objętość obszaru przestrzennego V ⊂ R

3

ograniczonego powierzchniami

x

2

+ y

2

= 1, x

2

+ y

2

+ z

2

= 4 i zawierającego punkt (0, 0, 0).

Zadanie 3. Oblicz długość łuku γ : x = 3t, y = 3t

2

, z = 2t

3

, gdzie 0 ¬ t ¬ 1.

Zadanie 4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (x, y) = (y

2

, −x

2

) po okręgu γ : (x − 1)

2

+ y

2

= 1.

Zadanie 5. Sprawdzić, że całkę krzywoliniową

(2,2,

3π

2

)

R

(1,1,

π

2

)

y sin zdx + x sin zdy + xy cos zdz

nie zależy od kształtu krzywej całkowania i obliczyć ją.

Rząd B

Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss)

8.12.2010r.

Zadanie 1. Obliczyć całkę niewłaściwą

s

D

e

−(x

2

+y

2

)

dxdy

w obszarze D = {(x, y) ∈ R

2

: y > 0}.

Zadanie 2. Oblicz objętość obszaru przestrzennego V ⊂ R

3

ograniczonego powierzchniami

x

2

+ y

2

= 4, x

2

+ y

2

+ z

2

= 9 i zawierającego punkt (0, 0, 0).

Zadanie 3. Oblicz masę łuku γ : y = ln x, gdzie 1 ¬ x ¬ e, o gęstości liniowej masy ρ(x, y) = x

2

.

Zadanie 4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (x, y) = (−y

2

, x

2

) po okręgu γ : x

2

+ (y − 1)

2

= 1.

Zadanie 5. Sprawdzić, że całkę krzywoliniową

(2,

3π

2

,2)

R

(1,

π

2

,1)

z sin ydx + xz cos ydy + x sin ydz

nie zależy od kształtu krzywej całkowania i obliczyć ją.

6

Egzamin z analizy matematycznej

24.01.2011r.

Zadanie 1. Proszę obliczyć objętość bryły

V = {(x, y, z) ∈ R

3

;

p

1 − x

2

− y

2

¬ z ¬

p

9 − x

2

− y

2

,

p

x

2

+ y

2

¬ z ¬

√

3 ·

p

x

2

+ y

2

, 0 ¬ y ¬ x}.

Zadanie 2. Niech ~

F : R

3

→ R

3

będzie polem wektorowym klasy C

2

.

Proszę udowodnić tożsamość rot(grad f)=0 oraz div(rot ~

F )=0.

Zadanie 3. Oblicz masę łuku γ ⊂ R

3

leżącego na przecięciu powierzchni walcowej x

2

+ y

2

= 4 z paraboloidą

z = 1 − x

2

− y

2

, mającego gęstość liniową masy równą ρ(x, y, z) = e

x

2

+y

2

+5

.

Zadanie 4.

a) Proszę podać treść twierdzenia Stokesa.

b) Stosując twierdzenie Stokesa proszę obliczyć całkę:

R

K

ydx + z

2

dy + x

3

dz,

gdzie K jest dodatnio zorientowaną krzywą będącą przecięciem płaszczyzny z = 1 − 2x + 3y z walcem x

2

+ y

2

= 2y.

Zadanie 5. Niech f : [−π, π] → R będzie dana wzorem:

f (x) =



1 dla x ∈ [−π, 0)
x dla x ∈ [0, π]

.

Proszę napisać szereg Fouriera funkcji f oraz ustalić w jakich punktach przedziału [−π, π] szereg ten jest

zbieżny do wartości funkcji f.

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

7.02.2011r.

Zadanie 1. Proszę obliczyć całkę podwójną

RR

D

xdxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym przez krzywe y = 1, y = x

2

, y =

8

x

.

Zadanie 2. Niech f,g: R

3

→ R będą funkcjami klasy C

2

. Uzasadnić równości:

a) rot(gradf )=0 oraz grad(f · g)=g· gradf + f ·grad g.

Zadanie 3. Oblicz masę łuku γ ⊂ R

3

leżącego na przecięciu powierzchni walcowej x

2

+ y

2

= 4 z paraboloidą

z = x

2

+ y

2

+ 7, mającego gęstość liniową masy równą ρ(x, y, z) =

p

x

2

+ y

2

+ 5.

Zadanie 4.

a) Proszę sformułować twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego.

b) Korzystając z powyższego twierdzenia proszę obliczyć całkę:

RR

Σ

xdydz + ydzdx + (

1
2

z

2

+ z)dxdy,

gdzie Σ jest zorientowaną na zewnątrz powierzchnią całkowitą stożka −4 ¬ z ¬ −

px

2

+ (y − 2)

2

.

Zadanie 5. Niech f : [−π, π] → R będzie dana wzorem:

f (x) =



1 dla x ∈ [−π, 0]
−1 dla x ∈ (0, π]

.

Proszę napisać szereg Fouriera funkcji f oraz ustalić w jakich punktach przedziału [−π, π] szereg ten jest

zbieżny do wartości funkcji f.

7