LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

4

Wyznaczanie współczynnika restytucji

Cel

ć

wiczenia

Celem

ć

wiczenia jest zapoznanie ze sposobem wyznaczania współczynnika

restytucji

Literatura

1.

J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II.

2.

R. Grybo

ś

, Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych

Zagadnienia kontrolne

1. Pop

ę

d siły

2. Zale

ż

no

ść

mi

ę

dzy p

ę

dem i pop

ę

dem

3. Zasada zachowania p

ę

du

4. Zasada kr

ę

tu

5. Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

6. Współczynnik restytucji

7. Definicja zderzenia
8. Zderzenia niespr

ęż

yste i spr

ęż

yste

9. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

10. Wyznaczanie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci ciała zło

ż

onego z układu kilku podstawowych brył

Podstawy teoretyczne zwi

ą

zane z realizacj

ą

ć

wiczenia

W niektórych sytuacjach mamy do czynienia z siłami, które działaj

ą

na ciało w

okresie bardzo krótkiego przedziału czasu, osi

ą

gaj

ą

c bardzo du

ż

e chwilowe warto

ś

ci.

Tego rodzaju siły pojawiaj

ą

si

ę

przy zderzeniach ciał materialnych oraz wszelkiego

rodzaju szarpni

ę

ciach.

Cz

ę

sto rozpatruje si

ę

zderzenia doskonale spr

ęż

yste lub doskonale

niespr

ęż

yste

(plastyczne).

Przy

analizie

zderzenia

spr

ęż

ysto-plastycznego

uwzgl

ę

dni

ć

nale

ż

y współczynnik uderzenia, tzw. współczynnik restytucji.

Rozpatrzmy jedno z ciał bior

ą

cych udział w zderzeniu i zapiszmy drug

ą

zasad

ę

dynamiki Newtona:

a

m

F

r

r

=

Mo

ż

emy wi

ę

c zapisa

ć

:

( )

dt

p

d

dt

v

m

d

dt

v

d

m

a

m

r

r

r

r

=

=

=

gdzie

p

r

jest p

ę

dem.

Drug

ą

zasad

ę

dynamiki Newtona mo

ż

na wi

ę

c zapisa

ć

jako:

dt

p

d

F

r

r

=

Bior

ą

c pod uwag

ę

ż

e siła zale

ż

y od czasu mo

ż

emy napisa

ć

:

dt

t

F

p

d

)

(

r

r

=

∫

∫

=

konc

pocz

konc

pocz

t

t

p

p

dt

t

F

p

d

)

(

r

r

r

r

gdzie indeksy pocz i konc odnosz

ą

si

ę

do wielko

ś

ci przed i po zderzeniu.

Lewa strona równania stanowi zmian

ę

p

ę

du ciała. Prawa strona zale

ż

na od czasu

działania i wielko

ś

ci siły, stanowi pop

ę

d siły.

W wyniku zderzenia dwóch ciał i braku oddziaływa

ń

zewn

ę

trznych ulega zmianie p

ę

d

poszczególnych ciał bior

ą

cych udział w zderzeniu (nie zmienia si

ę

natomiast

całkowity p

ę

d układu tzn. p

ę

du kładu przed i po zderzeniu s

ą

sobie równe – zasada

zachowania p

ę

du).

Oznaczaj

ą

c chwil

ę

pojawienia si

ę

siły jako t

0

i czas jej trwania jako

τ

mamy:

τ

+

=

0

t

t

konc

i ostatecznie pop

ę

d (impuls) siły mo

ż

emy wyrazi

ć

jako:

∫

+

=

τ

0

0

)

(

t

t

dt

t

F

S

r

r

Na rysunku 1 znajduje si

ę

przykładowy przebieg czasowy warto

ś

ci siły. Zgodnie z

powy

ż

szym moduł pop

ę

du siły stanowi pole powierzchni pod krzyw

ą

F(t).

Rys.1. Warto

ść

chwilowa siły w funkcji czasu

Proces zderzenia mo

ż

na podzieli

ć

na dwie fazy. Pierwsza z nich charakteryzuje si

ę

wzrostem siły chwilowej i narastaniem odkształce

ń

. Odkształcenia maj

ą

charakter

zarówno lokalny w miejscu zetkni

ę

cia si

ę

ciał oraz ogólne, obejmuj

ą

ce zasi

ę

giem

cał

ą

obj

ę

to

ść

zderzaj

ą

cych si

ę

ciał. Stan ten trwa do chwili

1

τ

=

t

(patrz rysunek 2).

Rys.2. Dwie fazy zderzenia. Dla uproszczenia przyj

ę

to,

pocz

ą

tek zderzenia w chwili t=0

W chwili tej siła jak i lokalne odkształcenia osi

ą

gaj

ą

warto

ść

maksymaln

ą

. W kolejnej

fazie trwaj

ą

cej do chwili

τ

nast

ę

puje spadek siły do zera i zanikanie odkształce

ń

lokalnych. Oznaczaj

ą

c odpowiednie impulsy siły jak na rysunku 2 mo

ż

emy napisa

ć

,

ż

e całkowity pop

ę

d siły wynosi:

2

1

S

S

S

r

r

r

+

=

W celu scharakteryzowania stopnia spr

ęż

ysto

ś

ci zderzenia wprowadza si

ę

współczynnik restytucji R, wyra

ż

aj

ą

cy jaka cz

ęść

impulsu pierwszej fazy zderzenia

zostaje odzyskana w drugiej fazie.

1

2

S

S

R

=

Je

ż

eli przebieg czasowy siły chwilowej w drugiej fazie, jest zwierciadlanym odbiciem

przebiegu w pierwszej fazie, to S

2

= S

1

, a R=1. Ma to miejsce wówczas gdy

odkształcenia lokalne i ogólne s

ą

wył

ą

cznie spr

ęż

yste i zderzeniu nie towarzysz

ą

ż

adne straty energii kinetycznej (zderzenie idealnie spr

ęż

yste). Drugi skrajny

przypadek stanowi zderzenie plastyczne (całkowicie niespr

ęż

yste), w którym ciała

doznaj

ą

odkształce

ń

trwałych, a wi

ę

c nie zanikaj

ą

cych mimo tego,

ż

e siła chwilowa

maleje do zera. Przy zderzeniu plastycznym istnieje tylko pierwsza faza, czyli S

2

=0,

S

1

=S, oraz R=0.

W warunkach rzeczywistych mamy do czynienia z przypadkami po

ś

rednimi

czyli zderzeniami elasto-plastycznymi (niespr

ęż

ystymi) dla których 0< R <1.

Zasada zmienno

ś

ci kr

ę

tu dla sił chwilowych

Rozpatrzmy ciało poddane działaniu siły chwilowej

F

r

w punkcie A.

Rys.3. Impuls sił chwilowych działaj

ą

cych na ciało sztywne.

Pocz

ą

tek układu współrz

ę

dnych le

ż

y w

ś

rodku masy.

Niech

K

r

oznacza wektor kr

ę

tu ciała wzgl

ę

dem

ś

rodka masy. Siła chwilowa

F

r

, której

impuls wynosi

S

r

, działa na promieniu – wektorze

r

r

.

Na podstawie zasady kr

ę

tu:

F

r

dt

K

d

r

r

r

×

=

Po scałkowaniu otrzymamy:

(

)

∫

×

=

−

τ

τ

0

)

(

dt

t

F

r

K

K

r

r

r

r

gdzie:

τ

K

r

oznacza kr

ę

t po zderzeniu natomiast

K

r

- tu

ż

przed zderzeniem

Załó

ż

my,

ż

e

r

r

nie ulega zmianie w czasie działania siły chwilowej wi

ę

c:

(

)

( )

S

r

dt

t

F

r

dt

t

F

r

r

r

r

r

r

×

=

×

=

×

∫

∫

τ

τ

0

0

)

(

Zatem równanie zasady zmienno

ś

ci kr

ę

tu dla sił chwilowych przyjmuje posta

ć

:

S

r

K

r

r

r

×

=

∆

(1)

Układ rzeczywisty
Rozpatrzmy zderzenie wahadła fizycznego 1 (bijaka) z nieruchomym wahadłem
fizycznym 2. Układ zaprezentowano na rysunku 4.

Rys.4. Wahadła w spoczynku (stykaj

ą

si

ę

swobodnie)

Przez I oznaczono odpowiednie momenty bezwładno

ś

ci wahadeł wzgl

ę

dem osi

obrotu, h poło

ż

enie

ś

rodków mas,

ω

pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe. Na rysunku 5 przedstawiono

poszczególne fazy ruchu zwi

ą

zane z prowadzonym podczas

ć

wiczenia

eksperymentem.

Rys.5. Kolejne fazy ruchu układu, a) wahadło 1 wychylone o k

ą

t

α

0

, b) wahadło 1

uderza w drugie z pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

ω

1

, c) wahadło 2 wychyla si

ę

o k

ą

t

α

max

Skorzystamy z zasady zachowania kr

ę

tu, która mówi

ż

e przyrost kr

ę

tu ciała

materialnego wzgl

ę

dem bieguna wywołany działaniem siły chwilowej równy jest

momentowi jej impulsu wzgl

ę

dem tego

ż

bieguna (wzór 1). Poniewa

ż

ruch odbywa si

ę

w jednej płaszczy

ź

nie wi

ę

c kierunki wektorów kr

ę

tu obu wahadeł s

ą

równoległe.

Mo

ż

emy wi

ę

c zrezygnowa

ć

z opisu wektorowego.

Dla pierwszego okresu zderzenia mamy:







=

−

=

−

1

2

1

1

1

1

lS

I

lS

I

I

ω

ω

ω

(2)

gdzie:

ω

1

– pr

ę

dko

ść

k

ą

towa wahadła 1 przed zderzeniem,

ω

pr

ę

dko

ść

k

ą

towa w

ś

rodkowej fazie zderzenia (pr

ę

dko

ść

k

ą

towa zderzenia wahadeł).

Dla drugiej fazy zderzenia mamy:







=

−

−

=

−

2

2

2

2

2

1

*

1

1

lS

I

I

lS

I

I

ω

ω

ω

ω

(3)

gdzie:

ω

*

1

jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

wahadła 1 po zderzeniu,

ω

2

jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

wahadła 2.

Wykorzystuj

ą

c definicj

ę

współczynnika restytucji oraz powy

ż

sze układy równa

ń

otrzymamy:

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

−

=

−

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

I

I

I

I

I

S

S

R

(4)

Z układu równa

ń

(2) mo

ż

emy wyznaczy

ć

nieznane

ω

:

2

1

1

1

I

I

I

+

=

ω

ω

(5)

Wykorzystuj

ą

c zale

ż

no

ś

ci (4) i (5) otrzymamy

(

)

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

ω

ω

ω

I

I

I

I

I

I

I

R

−

+

=

(6)

Aby wyznaczy

ć

pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe nale

ż

y przyrówna

ć

energi

ę

kinetyczn

ą

T do pracy

L sił ci

ęż

ko

ś

ci.

)

cos

1

(

2

1

0

1

1

2

1

1

α

ω

−

=

gh

m

I

(7)

gdzie: m

1

masa pierwszego wahadła.

Powy

ż

sze równanie prowadzi do:

2

sin

2

2

sin

2

2

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

2

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

α

α

α

α

ω

I

gh

m

I

gh

m

I

gh

m

I

gh

m

=

⋅

=

−

⋅

=

−

=

(8a)

Analogicznie mo

ż

na wyznaczy

ć

ω

2

co daje:

(8b)

2

sin

2

max

2

2

2

2

α

ω

I

gh

m

=

Wracaj

ą

c do wyra

ż

enia na R i podstawiaj

ą

c wyznaczone pr

ę

dko

ś

ci

ω

1

i

ω

2

otrzymamy:

1

2

sin

2

sin

0

max

2

2

1

1

1

1

2

2

2

−

⋅

+

⋅

=

α

α

I

I

I

h

m

I

h

m

I

R

(9)

Momenty bezwładno

ś

ci wahadeł mo

ż

na wyznaczy

ć

do

ś

wiadczalnie za pomoc

ą

wzoru:

2

4

π

i

i

i

i

T

gh

m

I

=

(10)

gdzie: T

i

–

ś

redni okres waha

ń

i – tego wahadła fizycznego, h

i

– odległo

ść

ś

rodka

masy od osi obrotu wahadła (wyznaczona na podstawie oblicze

ń

).

Przebieg

ć

wiczenia

Ć

wiczenie nale

ż

y wykona

ć

zgodnie z przebiegiem podanym w arkuszu

sprawozdania.