LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ 

Instrukcja do ćwiczenia 

 

4 

 

Wyznaczanie współczynnika restytucji 

Cel 

ć

wiczenia 

Celem 

ć

wiczenia  jest  zapoznanie  ze  sposobem  wyznaczania  współczynnika 

restytucji 

Literatura 

1.

  J.Leyko, Mechanika Ogólna,  tom II.  

2.

  R. Grybo

ś

, Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych      

Zagadnienia kontrolne 

1.  Pop

ę

d siły 

2.  Zale

ż

no

ść

 mi

ę

dzy p

ę

dem i pop

ę

dem 

3. Zasada zachowania p

ę

du  

4. Zasada kr

ę

tu  

5. Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi 

6. Współczynnik restytucji 

7. Definicja zderzenia 
8. Zderzenia niespr

ęż

yste i spr

ęż

yste 

9. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym  

10. Wyznaczanie 

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci ciała zło

ż

onego z układu kilku podstawowych brył 

 
Podstawy teoretyczne zwi

ą

zane z realizacj

ą

 

ć

wiczenia 

 

W niektórych sytuacjach mamy do czynienia z siłami, które działaj

ą

 na ciało w 

okresie bardzo krótkiego przedziału czasu, osi

ą

gaj

ą

c bardzo du

ż

e chwilowe warto

ś

ci. 

Tego  rodzaju  siły  pojawiaj

ą

  si

ę

  przy  zderzeniach  ciał  materialnych  oraz  wszelkiego 

rodzaju szarpni

ę

ciach.  

Cz

ę

sto  rozpatruje  si

ę

  zderzenia  doskonale  spr

ęż

yste  lub  doskonale 

niespr

ęż

yste 

(plastyczne). 

Przy 

analizie 

zderzenia 

spr

ęż

ysto-plastycznego 

uwzgl

ę

dni

ć

 nale

ż

y współczynnik uderzenia, tzw. współczynnik restytucji. 

 

Rozpatrzmy  jedno  z  ciał  bior

ą

cych  udział  w  zderzeniu  i  zapiszmy  drug

ą

 

zasad

ę

 dynamiki Newtona: 

a

m

F

r

r

=

 

Mo

ż

emy wi

ę

c zapisa

ć

: 

( )

dt

p

d

dt

v

m

d

dt

v

d

m

a

m

r

r

r

r

=

=

=

 

gdzie 

p

r

jest p

ę

dem. 

Drug

ą

 zasad

ę

 dynamiki Newtona mo

ż

na wi

ę

c zapisa

ć

 jako: 

 

 

 

 

 

dt

p

d

F

r

r

=

 

Bior

ą

c pod uwag

ę

 

ż

e siła zale

ż

y od czasu mo

ż

emy napisa

ć

: 

dt

t

F

p

d

)

(

r

r

=

 

∫

∫

=

konc

pocz

konc

pocz

t

t

p

p

dt

t

F

p

d

)

(

r

r

r

r

 

gdzie indeksy pocz i konc odnosz

ą

 si

ę

 do wielko

ś

ci przed i po zderzeniu.  

Lewa  strona  równania  stanowi  zmian

ę

  p

ę

du  ciała.  Prawa  strona  zale

ż

na  od  czasu 

działania i wielko

ś

ci siły, stanowi pop

ę

d siły.  

W wyniku zderzenia dwóch ciał i braku oddziaływa

ń

 zewn

ę

trznych ulega zmianie p

ę

d 

poszczególnych  ciał  bior

ą

cych  udział  w  zderzeniu    (nie  zmienia  si

ę

  natomiast 

całkowity p

ę

d układu tzn. p

ę

du kładu przed i po zderzeniu s

ą

 sobie równe – zasada 

zachowania p

ę

du). 

Oznaczaj

ą

c chwil

ę

 pojawienia si

ę

 siły jako t

0

 i czas jej trwania jako 

τ

 mamy: 

 

 

 

 

 

 

τ

+

=

0

t

t

konc

 

i ostatecznie pop

ę

d (impuls) siły mo

ż

emy wyrazi

ć

 jako: 

 

∫

+

=

τ

0

0

)

(

t

t

dt

t

F

S

r

r

 

Na  rysunku  1  znajduje  si

ę

  przykładowy  przebieg  czasowy  warto

ś

ci  siły.  Zgodnie  z 

powy

ż

szym moduł pop

ę

du siły stanowi pole powierzchni pod krzyw

ą

 F(t). 

 

 

 

Rys.1. Warto

ść

 chwilowa siły w funkcji czasu 

 
Proces zderzenia mo

ż

na podzieli

ć

 na dwie fazy. Pierwsza z nich charakteryzuje si

ę

 

wzrostem  siły  chwilowej  i  narastaniem  odkształce

ń

.  Odkształcenia  maj

ą

  charakter 

zarówno  lokalny  w  miejscu  zetkni

ę

cia  si

ę

  ciał  oraz  ogólne,  obejmuj

ą

ce  zasi

ę

giem 

cał

ą

 obj

ę

to

ść

 zderzaj

ą

cych si

ę

 ciał. Stan ten trwa do chwili 

1

τ

=

t

 (patrz rysunek 2). 

 

 

 

Rys.2. Dwie fazy zderzenia. Dla uproszczenia przyj

ę

to,  

pocz

ą

tek zderzenia w chwili t=0 

 

W chwili tej siła jak i lokalne odkształcenia osi

ą

gaj

ą

 warto

ść

 maksymaln

ą

. W kolejnej 

fazie  trwaj

ą

cej  do  chwili 

τ

  nast

ę

puje  spadek  siły  do  zera  i  zanikanie  odkształce

ń

 

lokalnych. Oznaczaj

ą

c odpowiednie impulsy siły jak na rysunku 2 mo

ż

emy napisa

ć

, 

ż

e całkowity pop

ę

d siły wynosi: 

2

1

S

S

S

r

r

r

+

=

 

W  celu  scharakteryzowania  stopnia  spr

ęż

ysto

ś

ci  zderzenia  wprowadza  si

ę

 

współczynnik  restytucji  R,  wyra

ż

aj

ą

cy  jaka  cz

ęść

  impulsu  pierwszej  fazy  zderzenia 

zostaje odzyskana w drugiej fazie. 

1

2

S

S

R

=

 

Je

ż

eli przebieg czasowy siły chwilowej w drugiej fazie, jest zwierciadlanym odbiciem 

przebiegu  w  pierwszej  fazie,  to  S

2

  =  S

1

,  a  R=1.  Ma  to  miejsce  wówczas  gdy 

odkształcenia  lokalne  i  ogólne  s

ą

  wył

ą

cznie  spr

ęż

yste  i  zderzeniu  nie  towarzysz

ą

 

ż

adne  straty  energii  kinetycznej  (zderzenie  idealnie  spr

ęż

yste).  Drugi  skrajny 

przypadek  stanowi  zderzenie  plastyczne  (całkowicie  niespr

ęż

yste),  w  którym  ciała 

doznaj

ą

  odkształce

ń

  trwałych,  a  wi

ę

c  nie  zanikaj

ą

cych  mimo  tego, 

ż

e  siła  chwilowa 

maleje do zera. Przy zderzeniu plastycznym istnieje tylko pierwsza faza, czyli S

2

 =0, 

S

1

 =S, oraz R=0.  

 

W  warunkach  rzeczywistych  mamy  do  czynienia  z  przypadkami  po

ś

rednimi 

czyli zderzeniami elasto-plastycznymi (niespr

ęż

ystymi) dla których 0< R <1.     

 
Zasada zmienno

ś

ci kr

ę

tu dla sił chwilowych 

 
Rozpatrzmy ciało poddane działaniu siły chwilowej 

F

r

w punkcie A. 

 
 

 

Rys.3. Impuls sił chwilowych działaj

ą

cych na ciało sztywne.  

Pocz

ą

tek układu współrz

ę

dnych le

ż

y w 

ś

rodku masy. 

 
Niech 

K

r

oznacza wektor kr

ę

tu ciała wzgl

ę

dem 

ś

rodka masy. Siła chwilowa 

F

r

, której 

impuls wynosi 

S

r

, działa na promieniu – wektorze 

r

r

. 

Na podstawie zasady kr

ę

tu: 

F

r

dt

K

d

r

r

r

×

=

 

Po scałkowaniu otrzymamy: 

 

 

 

 

 

(

)

∫

×

=

−

τ

τ

0

)

(

dt

t

F

r

K

K

r

r

r

r

 

 
gdzie: 

τ

K

r

 oznacza kr

ę

t po zderzeniu natomiast 

K

r

- tu

ż

 przed zderzeniem 

 
Załó

ż

my, 

ż

e 

r

r

nie ulega zmianie w czasie działania siły chwilowej wi

ę

c: 

 

(

)

( )

S

r

dt

t

F

r

dt

t

F

r

r

r

r

r

r

×

=

×

=

×

∫

∫

τ

τ

0

0

)

(

 

Zatem równanie zasady zmienno

ś

ci kr

ę

tu dla sił chwilowych przyjmuje posta

ć

: 

 

S

r

K

r

r

r

×

=

∆

   

 

 

 

(1) 

 
Układ rzeczywisty 
Rozpatrzmy  zderzenie  wahadła  fizycznego  1  (bijaka)  z  nieruchomym  wahadłem 
fizycznym 2. Układ zaprezentowano na rysunku 4. 

 

Rys.4. Wahadła w spoczynku (stykaj

ą

 si

ę

 swobodnie) 

 

Przez  I  oznaczono  odpowiednie  momenty  bezwładno

ś

ci  wahadeł  wzgl

ę

dem  osi 

obrotu, h poło

ż

enie 

ś

rodków mas, 

ω

 pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe. Na rysunku 5 przedstawiono 

poszczególne  fazy  ruchu  zwi

ą

zane  z  prowadzonym  podczas 

ć

wiczenia 

eksperymentem. 

 

Rys.5. Kolejne fazy ruchu układu, a) wahadło 1 wychylone o k

ą

t 

α

0

, b) wahadło 1 

uderza w drugie z pr

ę

dko

ś

ci

ą

 k

ą

tow

ą

 

ω

1

, c) wahadło 2 wychyla si

ę

 o k

ą

t 

α

max

    

 

Skorzystamy  z  zasady  zachowania  kr

ę

tu,  która  mówi 

ż

e  przyrost  kr

ę

tu  ciała 

materialnego  wzgl

ę

dem  bieguna  wywołany  działaniem  siły  chwilowej  równy  jest 

momentowi jej impulsu wzgl

ę

dem tego

ż

 bieguna (wzór 1). Poniewa

ż

 ruch odbywa si

ę

 

w  jednej  płaszczy

ź

nie  wi

ę

c  kierunki  wektorów  kr

ę

tu  obu  wahadeł  s

ą

  równoległe. 

Mo

ż

emy wi

ę

c zrezygnowa

ć

 z opisu wektorowego.  

 

Dla pierwszego okresu zderzenia mamy:

 

 

 







=

−

=

−

1

2

1

1

1

1

lS

I

lS

I

I

ω

ω

ω

 

 

 

 

 

(2)

  

gdzie: 

ω

1

  –  pr

ę

dko

ść

  k

ą

towa  wahadła  1  przed  zderzeniem, 

ω

  pr

ę

dko

ść

  k

ą

towa  w 

ś

rodkowej fazie zderzenia (pr

ę

dko

ść

 k

ą

towa zderzenia wahadeł).  

Dla drugiej fazy zderzenia mamy: 

 







=

−

−

=

−

2

2

2

2

2

1

*

1

1

lS

I

I

lS

I

I

ω

ω

ω

ω

    

 

 

 

(3) 

gdzie: 

ω

*

1

 jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

 wahadła 1 po zderzeniu, 

ω

2

 jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

 wahadła 2. 

Wykorzystuj

ą

c  definicj

ę

  współczynnika  restytucji  oraz  powy

ż

sze  układy  równa

ń

 

otrzymamy: 

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

−

=

−

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

I

I

I

I

I

S

S

R

  

 

 

 

(4) 

Z układu równa

ń

 (2) mo

ż

emy wyznaczy

ć

 nieznane 

ω

: 

2

1

1

1

I

I

I

+

=

ω

ω

    

 

 

 

 

(5) 

Wykorzystuj

ą

c zale

ż

no

ś

ci (4) i (5) otrzymamy 

(

)

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

ω

ω

ω

I

I

I

I

I

I

I

R

−

+

=

    

 

 

 

(6) 

Aby wyznaczy

ć

 pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe nale

ż

y przyrówna

ć

 energi

ę

 kinetyczn

ą

 T do pracy 

L sił ci

ęż

ko

ś

ci. 

)

cos

1

(

2

1

0

1

1

2

1

1

α

ω

−

=

gh

m

I

    

 

 

 

(7) 

gdzie: m

1

 masa pierwszego wahadła. 

Powy

ż

sze równanie prowadzi do: 

2

sin

2

2

sin

2

2

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

2

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

α

α

α

α

ω

I

gh

m

I

gh

m

I

gh

m

I

gh

m

=

⋅

=

−

⋅

=

−

=

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (8a) 

Analogicznie mo

ż

na wyznaczy

ć

 

ω

2

 co daje: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8b) 

2

sin

2

max

2

2

2

2

α

ω

I

gh

m

=

 

Wracaj

ą

c  do  wyra

ż

enia  na  R  i  podstawiaj

ą

c  wyznaczone  pr

ę

dko

ś

ci 

ω

1 

i 

ω

2 

otrzymamy: 

1

2

sin

2

sin

0

max

2

2

1

1

1

1

2

2

2

−

⋅

+

⋅

=

α

α

I

I

I

h

m

I

h

m

I

R

    

 

 

(9) 

Momenty  bezwładno

ś

ci  wahadeł  mo

ż

na  wyznaczy

ć

  do

ś

wiadczalnie  za  pomoc

ą

 

wzoru: 
 

2

4

π

i

i

i

i

T

gh

m

I

=

    

 

 

 

(10) 

gdzie:  T

i

  – 

ś

redni  okres  waha

ń

  i  –  tego  wahadła  fizycznego,  h

i

  –  odległo

ść

 

ś

rodka 

masy od osi obrotu wahadła (wyznaczona na podstawie oblicze

ń

). 

 
Przebieg 

ć

wiczenia 

 

Ć

wiczenie  nale

ż

y  wykona

ć

  zgodnie  z  przebiegiem  podanym  w  arkuszu 

sprawozdania.