1

Logika

Zdanie logiczne – takie, któremu można przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych:

prawdę (oznaczaną przez 1) albo fałsz (0)

Zdania, które nie są logicznymi:

„Gdańsk jest uprzejmy” – bo miasto nie może być uprzejme, „Sopot jest duży” – trudno się do tego
ustosunkować, zależy względem jakiej miejscowości. „Po co ja to piszę” – tego zdradzić nie mogę, ale z
pewnością o żadnym pytaniu nie da się powiedzieć, czy jest prawdziwe czy fałszywe. „I co teraz?” –
jeszcze nie wiem, ale to też jest pytanie. „Dość już tego wszystkiego!” – krzyczeć sobie można, ale takich
wrzasków nikt nie oceni logicznie. „Gdybym tylko mógł to zrobić” – nie ja jeden tak sobie myślę, ale w
takiej formie to robiąc nie mówię ani prawdy ani fałszu.

Zdania, które są logiczne:

„Mam wszystko w tyle” – nie wiem czy to zdanie jest dostatecznie jasne, ale mogę o nim powiedzieć czy
jest prawdziwe. „Wyjadę do Krakowa na chwilę” – tu można mieć pewne wątpliwości, ale gdy powiem
„Wyjadę jutro do Krakowa na chwilę” – wszystko będzie jasne. „Jestem kompletnie łysy” – bardzo
fałszywe, ale absolutnie logiczne. „W moim samochodzie leżą duże irysy” – totalny fałsz chociażby z
tego powodu, że nie posiadam samochodu.

Ale to wszystko nic. Jak się później okaże zdaniami logicznymi są również takie, które normalnie

okrzyknęlibyśmy kosmiczną bzdurą: „jeżeli 2>3, to w 1999 roku w Berlinie był Festiwal Miłości” –
mało, że logiczne, to jeszcze prawdziwe. „Skrzydła rosną nam u rąk lub kąty to nie trójkąty” – też
prawda. „Jestem tu i jestem tam” – niestety fałsz. „Rosną mi dwie głowy wtedy i tylko wtedy, gdy
pomidor to owad matowy” – prawda!

Niełatwo jest wymyślać zdania logiczne, które miałyby związek z tak zwanym życiem. Równie

trudno oceniać logicznie te zdania, którymi się na co dzień posługujemy. Na szczęście (?) nasza precyzja
takiej oceny daleko odbiega od ścisłego ideału, ale dzięki temu na ogół mamy jakiś konkretny stosunek
do informacji, które do nas docierają nawet jeżeli nie ma w nich za grosz sensu.

Pojedyncze zdania logiczne możemy sobie nazwać atomowymi. W ich przypadku trzeba

bezpośrednio przyporządkować jakąś wartość logiczną. Na szczęście nie jesteśmy skazani na
posługiwanie się tylko nimi. Możemy również tworzyć zdania złożone (jak np. „Jestem tu lub jestem
tam”). W logice dokładnie definiuje się za pomocą czego je tworzymy (za pomocą funktorów
zdaniotwórczych) i w jaki sposób oceniamy je logicznie. Do najważniejszych i najczęściej używanych
funktorów (można też je nazywać spójnikami) należą: negacja, koniunkcja, alternatywa, alternatywa
wykluczająca, implikacja i równoważność. Zdania złożone składają się z pojedynczych (atomowych)
zdań, zatem ich wartości logiczne będą zależne od wartości logicznych zdań atomowych (oznaczać je
będziemy małymi literami p, q, r, s, t itd.). Stad też definiując funktory zdaniotwórcze tak naprawdę
określać będziemy wartości logiczne tworzonych za ich pomocą zdań.

1. Negacja (oznaczenie np.: ~)

Tabela ta mówi dokładnie tyle, że jeżeli p jest prawdziwe, to ~p (nie prawda, że p) jest
fałszywe, jeżeli p fałszywe, to ~p prawdziwe

„Nieprawda, że Ziemia stoi na dużym żółwiu” – zdanie prawdziwe, bo jest negacją

fałszywego zdania „Ziemia stoi na dużym żółwiu” (fałszywego bynajmniej nie z powodu podawania
błędnych gabarytów żółwia lub złego określenia rodzaju podtrzymującego nas zwierzaka).

2. Koniunkcja (oznaczenie:

∧

)

Zgodnie z tabelą zdanie

q

p

∧

(p i q) jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba zdania p

oraz q są prawdziwe

„Jestem tu i 2<3” – pozornie bezsensowne zdanie to jest jednak jak najbardziej
prawdziwe, bowiem zarówno zdanie „Jestem tu” jak i „2<3” są prawdziwe, więc

ich koniunkcja również taką jest.

p

~p

1

0

0

1

p

q

q

p

∧

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

2

3. Alternatywa: (oznaczenie:

∨

)

Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy oba zdania
są fałszywe.

q

p

∨

czytamy jako „p lub q”

„Skrzydła nam rosną u rąk lub kąty to nie trójkąty” – skrzydła co prawda u rąk nam
nie rosną, ale kąty to z pewnością nie trójkąty – prawdziwość tego jednego zdania
powoduje, że cała alternatywa również jest prawdziwa. Z tych samych powodów

prawdziwe jest również zdanie „2 jest mniejsze lub równe 2” (

2

2

2

2

=

∨

<

), które zapisujemy krótko:

„

2

2

≤

”.

4. Implikacja (oznaczenie: ⇒ )

W zdaniu

q

p ⇒

(p to q) p nazywamy

poprzednikiem implikacji, zaś q

następnikiem. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest
prawdziwy a następnik fałszywy

„Jeżeli to, co na tej stronie napisałem jest prawdą, to w Pizie nie ma żadnej

krzywej wieży” – w Pizie jak wiadomo jedna z wież naprawdę z lekka się skrzywiła (następnik jest
fałszywy), mam nadzieję, że nie ma szans, by to, co tutaj jest napisane było choćby w części bzdurą
(poprzednik jest prawdziwy) więc cała implikacja jest fałszywa.

5.

Równoważność (oznaczenie:

⇔

)

Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba mają te samą
wartość logiczną

q

p

⇔

- p wtedy i tylko wtedy, gdy q

„Mam trzy nogi wtedy i tylko wtedy, gdy na żadnym baranim łbie nigdy nie rosły

rogi” – ilość moich nóg z pewnością nie przekracza dwóch, moja uboga intuicja zoologiczna podpowiada
mi, że przynajmniej jeden z baranów posiadał kiedyś jakieś rogi. Skoro więc oba zdania są fałszywe
równoważność jest prawdziwa. W praktyce rzadko zdarza nam się mówić „wtedy i tylko wtedy, gdy”:
zamiast „Jestem tu wtedy i tylko wtedy, gdy on tu jest” mówimy krótko „Jestem tu, gdy on jest” starając
się akcentować fragment „gdy on jest”. Akcentując fragment „jestem tu” raczej mamy na myśli
implikację „Jeżeli on tu jest, to ja tu jestem”.

6.

Alternatywa wykluczająca (oznaczenie

∨

)

q

p

∨

- p albo q

Albo tym się różni od lub, że przy alternatywie oba zdania mogą być prawdziwe
by całość była prawdą, przy prawdziwej alternatywie wykluczającej prawdziwe
może być (i musi) tylko jedno zdanie

„Nie mam skrzydeł u rąk albo kąty to nie trójkąty” – zdanie to jest fałszywe, bo ani mi skrzydła rosną u
rąk ani też jakikolwiek kąt trójkątem nie jest. Ale już zdanie „Nie mam skrzydeł u rąk lub kąty to nie
trójkąty” dokładnie z tych samych powodów jest prawdziwe.

Korzystając z funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów możemy tworzyć zdania jeszcze

bardziej złożone. Ich wartości logiczne ustalamy korzystając z wartości logicznych zdań atomowych oraz
podanych wyżej zdań złożonych, stosując dość prostą metodę (nazwijmy ją zero-jedynkową), która
wygląda następująco:

oceńmy wartość logiczną zdania np.

(

)

[

]

{

}

p

q

p

q

p

⇔

∨

∧

⇒

~

~

p

q

q

p

∨

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

p

q

q

p ⇒

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

p

q

q

p

⇔

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

p

q

q

p

∨

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

3

Z ostatniej kolumny wynika, że zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy prawdziwe jest p i

fałszywe q. Wartości logiczne w poszczególnych kolumnach powstały następująco:

z tabeli negacji z tabeli koniunkcji z tabeli implikacji z tabeli negacji

z tabeli alternatywy

z tabeli równoważności

Okazuje się, że tą metodą można ocenić wartości logiczne nawet długich zdań, z których nic lub

prawie nic nie rozumiemy. Np. takie zdanie: „Jeżeli izometria ma trzy niewspółliniowe punkty stałe, to
każdy punkt płaszczyzny jest punktem stałym tej izometrii, a jeżeli każdy punkt płaszczyzny jest punktem
stałym przekształcenia, to przekształcenie jest tożsamościowe, a więc jeśli izometria ma trzy
niewspółliniowe punkty stałe, to jest przekształceniem tożsamościowym płaszczyzny”. Można spróbować
od razu ustalić wartość logiczną tego zdania, ale można to zrobić również tak: niech p oznacza zdanie
„Izometria ma trzy niewspółliniowe punkty stałe”, q – „Każdy punkt płaszczyzny jest punktem stałym
izometrii”, r – „Przekształcenie jest tożsamościowe”, wówczas całe nasze zdanie wygląda następująco:

(

) (

)

[

]

(

)

r

p

r

q

q

p

⇒

⇒

⇒

∧

⇒

(zauważmy, że „a jeżeli” oznacza to samo, co „i jeżeli” zaś „a więc” to

samo, co „to”; przy okazji widać tu chyba sens stosowania symboliki w matematyce – dzięki niej pewne
długie zdania można zapisać w znacznie krótszy sposób). Oceńmy wartość logiczną tego zdania:

p q r

q

p ⇒

r

q ⇒

(

) (

)

r

q

q

p

⇒

∧

⇒

r

p ⇒

(

) (

)

[

]

(

)

r

p

r

q

q

p

⇒

⇒

⇒

∧

⇒

1 1 1

1

1

1

1

1

1 1 0

1

0

0

0

1

1 0 1

0

1

0

1

1

1 0 0

0

1

0

0

1

0 1 1

1

1

1

1

1

0 1 0

1

0

0

1

1

0 0 1

1

1

1

1

1

0 0 0

1

1

1

1

1

Z ostatniej kolumny wynika, że zdanie to jest prawdziwe bez względu na to jakie wartości

logiczne maja zdania p, q i r. Nawet jeżeli nie rozumie się tych zdań i nie umie ocenić ich wartości
logicznych można ocenić wartość logiczną całości. Zdania, które w ten sposób da się ocenić (są
prawdziwe bez względu na wartości logiczne występujących w nim zdań atomowych) nazywamy
tautologiami. Niektóre z nich noszą swoje nazwy i są w matematyce często stosowane. Wypiszmy
ważniejsze z nich:

p

q

~p

p

q

~

∧

(

)

p

q

p

~

∧

⇒

~q

(

)

[

]

q

p

q

p

~

~

∨

∧

⇒

(

)

[

]

{

}

p

q

p

q

p

⇔

∨

∧

⇒

~

~

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

p

~p

1

0

1

0

0

1

0

1

q

~p

p

q

~

∧

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

p

p

q

~

∧

(

)

p

q

p

~

∧

⇒

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

q

~q

1

0

0

1

1

0

0

1

(

)

p

q

p

~

∧

⇒

~q

(

)

[

]

q

p

q

p

~

~

∨

∧

⇒

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

(

)

[

]

q

p

q

p

~

~

∨

∧

⇒

p

(

)

[

]

{

}

p

q

p

q

p

⇔

∨

∧

⇒

~

~

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

4

1.

(

) (

)

[

]

(

)

r

p

r

q

q

p

⇒

⇒

⇒

∧

⇒

- prawo przechodniości implikacji

2.

(

)

(

) (

)

[

]

p

q

q

p

q

p

⇒

∧

⇒

⇔

⇔

3.

(

) (

)

q

p

q

p

~

~

∧

⇔

⇒

- prawo

zaprzeczenia implikacji

4.

(

) (

)

p

q

q

p

~

~

⇒

⇔

⇒

- prawo

kontrapozycji

5.

(

) (

)

q

p

q

p

~

~

~

∨

⇔

∧

- prawo zaprzeczenia koniunkcji

6.

(

) (

)

q

p

q

p

~

~

~

∧

⇔

∨

- prawo zaprzeczenia alternatywy

(prawa 5 i 6 nazywamy

prawami de Morgana)

7.

(

)

[

]

(

) (

)

[

]

r

q

q

p

r

q

p

∨

∧

∨

⇔

∧

∨

- rozdzielność alternatywy względem koniunkcji

8.

(

)

[

]

(

) (

)

[

]

r

q

q

p

r

q

p

∧

∨

∧

⇔

∨

∧

- rozdzielność koniunkcji względem alternatywy

9.

(

) (

)

p

q

q

p

∨

⇔

∨

- przemienność alternatywy

10.

(

) (

)

p

q

q

p

∧

⇔

∧

- przemienność koniunkcji

11.

(

)

[

]

(

)

[

]

r

q

p

r

q

p

∧

∧

⇔

∧

∧

- łączność koniunkcji (dzięki temu prawu, jeżeli występuje sama

koniunkcja, nie musimy używać nawiasów i możemy pisać

r

q

p

∧

∧

)

12.

(

)

[

]

(

)

[

]

r

q

p

r

q

p

∨

∨

⇔

∨

∨

- łączność alternatywy (korzyść jak w 11)

13.

( )

p

p

⇔

~

~

- prawo podwójnego zaprzeczenia

14.

p

p

~

∨

- prawo wyłączonego środka

15.

(

)

[

]

q

q

p

p

⇒

⇒

∧

- reguła odrywania

Jeżeli jakieś zdanie przy pewnym układzie wartości logicznych zdań atomowych okaże się

fałszywe wówczas nie jest ono tautologią (tak jak zdanie

(

)

[

]

{

}

p

q

p

q

p

⇔

∨

∧

⇒

~

~

, które np. dla p i q

fałszywych okazało się fałszywe).

Forma zdaniowa jednej zmiennej – wyrażenie zawierające zmienną, dla której istnieje

przynajmniej jedna wartość taka, że jej podstawienie w miejsce zmiennej czyni z tej formy zdanie
logiczne. Np.

x

x

1

1

3

<

−

- forma zdaniowa jednej zmiennej x – istnieje przynajmniej jedna wartość (w

tym przypadku liczba rzeczywista), która po podstawieniu w miejsce x czyni z tego wyrażenia zdanie
logiczne (np. dla x=1:

1

1

1

1

3

<

−

⋅

jest zdaniem logicznym – nie jest istotne to, że fałszywym).

Forma zdaniowa wielu zmiennych – wyrażenie zawierające zmienne, dla których istnieją

wartości takie, że po ich podstawieniu w miejsce tych zmiennych otrzymujemy zdanie logiczne. Np.
forma zdaniową dwóch zmiennych jest wyrażenie x+y=1 (wystarczy za x i y wstawić np. 1: 1+1=1 –
otrzymujemy zdanie logiczne).

Dziedzinę formy zdaniowej tworzą wszystkie te wartości, dla których staje się ona zdaniem

logicznym. Dziedzinę formy

x

x

1

1

3

<

−

tworzą wszystkie liczby rzeczywiste różne od zera. Dziedziną

formy x+y=1 są wszystkie możliwe pary liczb rzeczywistych. Elementami dziedziny nie muszą być
liczby czy też układy liczb. Dziedziną formy „x jest lekkoatletycznym mistrzem świata w biegu na 100
m” tworzą wszyscy ludzie.

Formy zdaniowe występują powszechnie w matematyce. Każde równanie, nierówność, układ

równań, układ nierówności jest formą zdaniową jednej lub wielu zmiennych. W zasadzie dla każdej z
nich trzeba czynić odpowiednie założenia dla zmiennych, czyli ustalać dziedzinę.

Podstawienie wartości w miejsce zmiennych nie jest jedynym sposobem uczynienia z formy

zdaniowej zdania logicznego. Innym często spotykanym jest użycie

kwantyfikatorów:

ogólnego -

∧

(inne oznaczenie

∀

)

szczegółowego -

∨

(inne oznaczenie

∃

)

Jeżeli p(x) jest formą zdaniową zmiennej x wówczas następujące zdania czytamy:

( )

x

p

A

x

∧

∈

- dla każdego

A

x

∈

p(x) (A – pewien zbiór)

np.

1

1

3

<

−

∧

∈

x

R

x

- dla każdego

R

x

∈

3x-1<1

5

( )

x

p

A

x

∨

∈

- istnieje x należące do zbioru A takie, że p(x)

np.

1

≠

∨

∈

x

R

x

- istnieje x należące do zbioru R (liczb rzeczywistych) takie, że

1

≠

x

Możemy stosować większą ilość kwantyfikatorów (ale bez sensu stosować ich więcej niż forma

zdaniowa ma zmiennych):

1

=

+

∨

∧

∈

∈

y

x

R

y

R

x

- dla każdego

R

x

∈

istnieje

R

y

∈

taki, że x+y=1

1

=

+

∧

∨

∈

∈

y

x

R

y

R

x

- istnieje

R

x

∈

taki, że dla każdego

R

y

∈

x+y=1

1

=

+

∧

∧

∈

∈

y

x

R

y

R

x

- dla każdego

R

x

∈

i każdego

R

y

∈

x+y=1 (krócej zdanie to zapisujemy tak:

1

,

=

+

∧

∈

y

x

R

y

x

- dla każdych x i y należących do R x+y=1)

1

=

+

∨

∨

∈

∈

y

x

R

y

R

x

- istnieje

R

x

∈

i istnieje

R

y

∈

takie, że x+y=1 (krócej zdanie to zapisujemy tak:

1

,

=

+

∨

∈

y

x

R

y

x

- istnieją x i y należące do R takie, że x+y=1)

Jeżeli zastosujemy tyle kwantyfikatorów ile dana forma zdaniowa ma zmiennych wówczas

otrzymamy zdanie logiczne (należy pamiętać o tym, że zawsze najpierw stawiamy kwantyfikatory a
dopiero po nich formę zdaniową – nigdy odwrotnie!).

0

3

<

−

∨

∈

x

x

R

x

- prawda – wystarczy, że za x wstawimy -1:

0

1

3

<

−

−

−

jest prawdą

0

3

<

−

∧

∈

x

x

R

x

- fałsz – np. dla x=1 forma

0

3

<

−

x

x

staje się zdaniem fałszywym (

0

1

3

<

−

) – nie

można więc powiedzieć, że dla wszystkich x rzeczywistych jest ona prawdziwa.

0

≥

∧

∈

x

R

x

- prawda – można to udowodnić korzystając z definicji wartości bezwzględnej

0

<

∨

∈

x

R

x

- fałsz – wykazujemy korzystając z tej samej definicji

Uzasadnianie wartości logicznych pierwszych dwóch zdań jest raczej proste: wystarczy podać

jedną wartość dla zmiennej (w tym przypadku x). Znacznie trudniejsze są sytuacje takie jak w
pozostałych dwóch zdaniach, gdzie trzeba przeprowadzać już dowód opierając się na definicjach bądź też
innych zdaniach, o których wiadomo, że są prawdziwe.

1

=

+

∨

∧

∈

∈

y

x

R

y

R

x

- prawda – jeżeli mamy jakąś ustaloną wartość x, to wystarczy za y wstawić 1-x i forma

x+y=1 stanie się zdaniem prawdziwym

1

=

+

∧

∨

∈

∈

y

x

R

y

R

x

- fałsz – jeżeli wybierzemy sobie jakąś liczbę rzeczywistą x, to biorąc za y np. liczbę –x

otrzymamy z pewnością zdanie fałszywe (

( )

1

0

≠

=

−

+

x

x

) czyli dla tego x nie jest prawdą, że

1

=

+

∧

∈

y

x

R

y

1

,

=

+

∨

∈

y

x

R

y

x

- prawda – np. x=1, y=0

1

,

=

+

∧

∈

y

x

R

y

x

- fałsz – np. dla x=y=1

1

≠

+

y

x

Dostawienie kwantyfikatora zmienia nam ilość zmiennych w formie zdaniowej: x+y=1 – forma

dwóch zmiennych x i y,

1

=

+

∨

∈

y

x

R

x

- forma jednej zmiennej y.

Zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorami dokonujemy zgodnie ze schematem:

( )

( )

x

p

x

p

A

x

A

x

~

~

∧

∨

∈

∈

⇔

( )

( )

x

p

x

p

A

x

A

x

~

~

∨

∧

∈

∈

⇔

W zaprzeczeniu kwantyfikator zmienia się na drugi, zaprzeczenie wędruje przed formę zdaniową.

(

)

0

3

0

3

~

0

3

~

≥

−

⇔

<

−

⇔

<

−

∧

∧

∨

∈

∈

∈

x

x

x

x

x

x

R

x

R

x

R

x

6

(

)

1

3

1

3

~

1

3

~

≠

−

⇔

=

−

⇔

=

−

∨

∨

∧

∈

∈

∈

x

x

x

x

x

x

R

x

R

x

R

x

Dla większej ilości kwantyfikatorów ta sama zasada: każdy zamieniamy na drugi, zaprzeczenie

wędruje przed formę zdaniową:

⇔

≠

+

∨

∧

∈

∈

1

~

y

x

R

y

R

x

(

)

⇔

≠

+

∧

∨

∈

∈

1

~

y

x

R

y

R

x

1

=

+

∧

∨

∈

∈

y

x

R

y

R

x

(można zawsze pisać wynik ostateczny)

R

y

x

R

y

R

x

∈

+

∧

∨

∈

∈

~

R

y

x

R

y

R

x

∉

+

⇔

∨

∧

∈

∈

⇔

≤

+

∨

∈

1

~

,

y

x

R

y

x

1

,

>

+

∧

∈

y

x

R

y

x

⇔

>

+

∧

∈

1

~

,

y

x

R

y

x

1

,

≤

+

∨

∈

y

x

R

y

x

Przeczenia najczęściej występujących symboli: < -

≥

,

≤

- >,

∈

-

∉

, = -

≠

Zaprzeczenia zdań złożonych:

(

)

(

)

(

)

(

)

R

x

x

R

x

x

R

x

x

R

x

x

R

x

R

x

R

x

R

x

∉

∧

≥

⇔

∈

∧

<

⇔

∈

∨

<

⇔

∈

∨

<

∧

∧

∧

∨

∈

∈

∈

∈

1

~

1

~

1

~

1

~

(korzystamy z

prawa zaprzeczenia alternatywy)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

~

1

~

1

1

~

1

1

~

<

∨

≠

⇔

≥

∨

=

⇔

≥

∧

=

⇔

≥

∧

=

∨

∨

∨

∧

∈

∈

∈

∈

x

x

x

x

x

x

x

x

R

x

R

x

R

x

R

x

(korzystamy z

prawa zaprzeczenia koniunkcji)

(

)

(

)

(

)

(

)

R

x

x

R

x

x

R

x

x

R

x

x

R

x

R

x

R

x

R

x

∈

∧

≤

⇔

∉

∧

≤

⇔

∉

⇒

≤

⇔

∉

⇒

≤

∧

∧

∧

∨

∈

∈

∈

∈

1

~

1

1

~

1

~

(korzystamy

z prawa zaprzeczenia implikacji)

Zapisywanie zdań za pomocą symboli logicznych:

1) Równanie 3x-2=0 ma pierwiastek rzeczywisty:

0

2

3

=

−

∨

∈

x

R

x

(

pierwiastek równania to inaczej jego

rozwiązanie)
2) Istnieje liczba rzeczywista m, od której nie jest większy kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej x:

m

x

R

x

R

m

≤

∧

∨

∈

∈

2

(nie jest większy – jest niewiększy czyli jest mniejszy lub równy)

3) Dla każdego rzeczywistego m równanie mx-m+1=0 ma rozwiązanie rzeczywiste:

0

1

=

+

−

∨

∧

∈

∈

m

mx

R

x

R

m

(rozwiązanie równania – wartość, która to równanie spełnia – po podstawieniu jej w miejsce zmiennej
otrzymujemy zdanie prawdziwe)
4) Nie dla każdej liczby rzeczywistej x jej sześcian jest niewiększy od tej liczby:

x

x

R

x

≤

∧

∈

3

~

(niewiększy

czyli mniejszy lub równy)
5) Dla każdej liczby rzeczywistej x jej wartość bezwzględna jest nieujemna:

0

≥

∧

∈

x

R

x

(nieujemna czyli

mniejsza lub równa zero)

Podstawowe pojęcia wspólne dla wszystkich teorii matematycznych:

1) język – symbole oznaczające zmienne lub konkretne obiekty (x, y, liczby, punkty, zbiory itd.) –

każdy z obiektów jest albo pojęciem pierwotnym (np. punkt, zbiór, należenie elementu do zbioru) albo
jest ściśle zdefiniowany;

zmienna jest symbolem, w miejsce którego możemy w każdej chwili wstawić

konkretny obiekt

2)

pojęcia pierwotne – takie, których nie definiujemy (ale te z ich własności, z których

korzystamy określane są w aksjomatach)

3)

definicje – określają pojęcia nie będące pierwotnymi odwołując się do nich bądź też do pojęć

już zdefiniowanych

4)

aksjomaty – zdania orzekające o pewnych faktach – nie sprawdzamy ich prawdziwości,

przyjmujemy, że takimi właśnie są. Układ takich zdań – aksjomatów nie może być dowolny – przede
wszystkim nie może prowadzić do sprzeczności czyli do wywiedzenia z nich jakiegoś zdania i jego
zaprzeczenia. Aksjomaty są fundamentem każdej teorii – wszystkie inne fakty w jej obrębie dają się z
nich wywieść. Aksjomaty służą również do określenia własności istniejących w danej teorii pojęć

7

pierwotnych (nikt nie definiuje np. pojęcia zbiór; zakłada się, że wszyscy rozumieją je tak samo. Okazało
się jednak, że nie można go używać w sposób dowolny, bo powstają wówczas sprzeczności np. paradoks
golibrody: zakładamy, że goli on tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy należy on do zbioru tych,
którzy golą się sami czy też do zbioru tych, którzy tego nie robią? Aby uniknąć tego typu pytań, na które
odpowiedź nie istnieje, w matematyce korzysta się tylko z tych własności pojęć pierwotnych, które
zostały zapisane w aksjomatach lub z nich wyprowadzone)

5)

twierdzenia – zdania logiczne orzekające o prawdziwości pewnych faktów – każde daje się

wywieść mniej lub bardziej bezpośrednio z aksjomatów. Zawsze ma postać implikacji albo
równoważności (z każdego w postaci równoważności można zrobić dwa twierdzenia, oba mające postać
implikacji – patrz tautologia nr 2). Jeżeli twierdzenie jest postaci

q

p ⇒

, to p nazywamy

warunkiem

wystarczającym dla q, zaś q warunkiem koniecznym dla p. Jeżeli jest postaci

q

p

⇔

, to p jest

warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q (podobnie jak q dla p).

Jeżeli mamy twierdzenie

q

p ⇒

(możemy je nazwać

prostym), to

p

q ⇒

nazywamy

twierdzeniem (tw.)

odwrotnym,

p

q

~

~

⇒

-

przeciwstawnym,

q

p

~

~

⇒

-

przeciwnym. Z prawa

kontrapozycji (patrz tautologia nr 3) wynika, że twierdzenia proste i przeciwstawne są sobie równoważne
(podobnie jak w przypadku odwrotnego i przeciwnego). Wartość logiczna twierdzenia prostego nie ma
wpływy na wartość logiczną odwrotnego (potocznie używa się określeń: twierdzenie prawdziwe,
twierdzenie fałszywe a więc i wartość logiczna twierdzenia)

Tw. proste: „Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są równe i równoległe, to czworokąt ten

jest równoległobokiem”.

Tw. odwrotne: „Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to jego dwa boki przeciwległe są równe

i równoległe”.

Tw. przeciwstawne: „Jeżeli czworokąt nie jest równoległobokiem, to jego dwa przeciwległe boki

nie są równe lub nie są równoległe”. (wykorzystano prawo zaprzeczenia koniunkcji)

Tw. przeciwne: „Jeżeli dwa przeciwległe boki czworokąta nie są równe lub nie są równoległe, to

nie jest on równoległobokiem”. (wykorzystano prawo zaprzeczenia koniunkcji)

Zdanie, o którego prawdziwości nic nie wiemy, nazywane jest

hipotezą (każdego roku setki

tysięcy hipotez pada pod mózgami matematyków przekształcając się w twierdzenia. Niektóre z nich
trzymają się jednak dzielnie – większość dlatego, że nikt ich jeszcze nie sformułował, nieliczne dlatego,
bo są piekielnie trudne – do niedawna (do 1995 roku) taką hipotezą przez kilkaset lat nie udowodnioną
było, teraz już twierdzenie, Fermata o rozwiązaniach całkowitych, x, y, z równania

n

n

n

z

y

x

=

+

, gdzie n

jest dowolną liczbą naturalną).

Dowody twierdzeń – polegają na tworzeniu mniej lub bardziej długiego ciągu implikacji:

q

p

p

p

p

n

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

...

2

1

(lub równoważności, jeśli takiej postaci jest twierdzenie) poczynając od p

–

założenia twierdzenia a kończąc na q – jego tezie (nazwy te występują przy twierdzeniu postaci

q

p ⇒

). Jeżeli wszystkie występujące w tym ciągu implikacje (równoważności) będą prawdziwe, to

prawdziwe będzie również nasze twierdzenie czyli implikacja

q

p ⇒

(równoważność

q

p

⇔

). Ilość

implikacji pośrednich zależy od stopnia skomplikowania twierdzenia i możliwości intelektualnych
odbiorcy dowodu. Każda z nich jest wykazywana wprost albo nie wprost (przez zaprzeczenie).
Ewentualnie tworzymy dla nich implikacje przeciwstawne wykazując ich prawdziwość jedną z dwu
wymienionych metod. W przypadku równoważności od razu dokonujemy wnioskowań równoważnych
albo równoważności rozbijamy na dwie implikacje osobno (czasem różnymi metodami) wykazując
prawdziwość każdej z nich (korzystamy z tautologii nr 2)
Twierdzenie:

Jeżeli w trójkącie suma miar dwóch kątów jest równa

o

90 , to jest on prostokątny

Lemat:

Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi

o

180

Dowód twierdzenia:

Niech a, b, c – miary kątów danego trójkąta. Przy tych oznaczeniach twierdzenie możemy

sformułować następująco:

o

o

90

90

=

⇒

=

+

c

b

a

.

Z lematu

o

180

=

+

+

c

b

a

a z założenia twierdzenia

o

90

=

+

b

a

, więc

o

o

180

90

=

+

c

czyli

o

90

=

c

.

cnd

8

(co należało dowieść)

Często w dowodach twierdzeń korzystamy z twierdzeń już dowiedzionych (zwanych lematami)

choć nie zawsze wyraźnie to zaznaczamy (robimy to raczej wtedy, gdy jest on dość skomplikowany, gdy
jego dowód przedstawiamy w innym miejscu).
Dowód tego samego twierdzenia (nie wprost):
(korzystamy z tautologii nr 3 dotyczącej zaprzeczenia implikacji)
Założenie: suma miar dwóch kątów w trójkącie jest równa

o

90 i trójkąt ten nie jest prostokątny.

Jeżeli a, b, c – miary kątów w trójkącie, to

o

180

=

+

+

c

b

a

. Z założenia np.

o

90

=

+

b

a

. Stąd

(

)

o

o

o

o

90

90

180

180

=

−

=

+

−

=

b

a

c

. Zatem trójkąt ten posiada kąt prosty, więc jest prostokątny, co jest

sprzeczne z założeniem, że prostokątny nie jest. Założenie jest więc fałszywe, prawdziwe jest zatem jego
zaprzeczenie czyli nasze twierdzenie.

cnd

Rozważmy twierdzenie będące kontrapozycją poprzedniego:

Jeżeli trójkąt nie jest prostokątny, to suma miar żadnych dwóch kątów nie jest równa

o

90 .

Dowód wprost:

Z założenia trójkąt nie jest prostokątny, więc jeśli a, b, c to miary jego trzech kątów, to

o

90

≠

a

,

o

90

≠

b

i

o

90

≠

c

. W każdym trójkącie

o

180

=

+

+

c

b

a

, zatem:

(

)

o

o

o

o

o

o

90

90

90

180

180

90

≠

+

=

−

≠

−

=

+

⇒

≠

c

b

a

c

b

a

(

)

o

o

o

o

o

o

90

90

90

180

180

90

≠

+

=

−

≠

−

=

+

⇒

≠

c

a

b

c

a

b

(

)

o

o

o

o

o

o

90

90

90

180

180

90

≠

+

=

−

≠

−

=

+

⇒

≠

b

a

c

b

a

c

czyli suma miar żadnych dwóch kątów nie jest równa

o

90 .

cnd

Dowód nie wprost tego twierdzenia wygląda identycznie tak samo jak dowód nie wprost

poprzedniego:

(

) (

)

(

)

p

q

q

p

q

p

~

~

~

~

~

⇒

⇔

∧

⇔

⇒

.

Wszystkie te sposoby prowadzą do dowodów o podobnej trudności, więc który z nich wybierzemy

nie jest zbyt istotne. Ale nie zawsze tak jest. Weźmy twierdzenie następujące: Liczb pierwszych jest
nieskończenie wiele. Bardzo trudno było by (o ile to w ogóle możliwe) wykazać go wprost. Twierdzenie
to można wysnuć jako wniosek z innych, niestety bardziej zaawansowanych, twierdzeń. Można jednak
wykazać go całkiem prosto stosując metodę nie wprost.
Dowód (nie wprost)

Założenie: liczb pierwszych jest skończona ilość (różna od zera – np. 2, 3 są liczbami

pierwszymi). Niech liczbami tymi są

n

p

p

p

,...,

,

2

1

(

+

∈

N

n

). Utwórzmy liczbę

1

...

2

1

+

⋅

⋅

⋅

=

n

p

p

p

x

. Z

pewnością nie jest ona równa żadnej z nich i x>1.

Jeżeli x jest liczbą pierwszą otrzymujemy, że prócz

n

p

p

p

,...,

,

2

1

istnieje jeszcze jedna liczba

pierwsza, co jest sprzeczne z założeniem, że innych liczb pierwszych nie ma.

Lemat : Każda liczba złożona dzieli się przez liczbę pierwszą

Jeżeli x jest liczbą złożoną, to (z lematu) dzieli się przez liczbę pierwszą. Nie jest ona równa

ż

adnej z liczb

n

p

p

p

,...,

,

2

1

(żadna z nich nie jest dzielnikiem liczby x) jest więc inną jeszcze jedną liczbą

pierwszą, co znowu daje nam sprzeczność.

Założenie okazało się błędne. Prawdziwe jest więc jego zaprzeczenie czyli nasze twierdzenie.

cnd

Twierdzenie:

2

jest liczbą niewymierną.

(dokładniejsze sformułowanie winno być takie: jeżeli

2

jest liczbą rzeczywistą (a więc jeśli istnieje), to

jest liczba niewymierną)
Dowód wprost tego twierdzenia również był by potwornie trudny, tutaj również zastosowanie metody nie
wprost znacznie ułatwia sprawę.
Dowód (nie wprost)

9

Załóżmy, że

2

jest liczbą rzeczywistą (istnieje) i nie jest liczbą niewymierną. Wynika stąd, że jest

liczbą wymierną, a więc postaci

q

p

, gdzie p i q są pewnymi liczbami całkowitymi (

0

≠

q

).

2

jest liczbą

dodatnią, możemy zatem dodatkowo założyć, że p i q są liczbami naturalnymi. Poza tym niech są one

względnie pierwsze – zapewni to nieskracalność ułamka

q

p

. Równość

q

p

=

2

przekształćmy

następująco:

p

q

=

2

i podnieśmy teraz obie jej strony do kwadratu (wolno to zrobić skoro p i q są tego

samego znaku) otrzymując:

2

2

2

p

q

=

. 2 jest dzielnikiem lewej strony tej równości, jest więc również

dzielnikiem jej strony prawej czyli liczby

2

p . Zatem liczby p też. Stąd p jest postaci 2n, gdzie n jest

pewną liczbą naturalną dodatnią. Równość

2

2

2

p

q

=

przekształca się na

( )

2

2

2

2

n

q

=

co jest równoważne

równości

2

2

4

2

n

q

=

. Dzieląc obie jej strony przez 2 otrzymujemy

2

2

2n

q

=

. 2 jest dzielnikiem prawej

strony więc lewej również czyli liczby

2

q , a stad liczby q. Otrzymaliśmy w ten sposób, że 2 jest

dzielnikiem zarówno p jak i q. To zaś sprawia, że ułamek

q

p

jest skracalny, co jest sprzeczne z

założeniem, że skracalny nie jest. Nasze założenie, że

2

jest liczba wymierną doprowadziło do

sprzeczności, zatem

2

jest liczbą niewymierną.

cnd

Zapiszmy ten dowód stosując symbolikę logiczną:

Zał.:

NW

R

∉

∧

∈

2

2

Wtedy:

(

)

0

2

2

,

≠

∧

=

⇒

∈

∨

∈

q

W

q

p

C

q

p

Zał.: p,

+

∈

N

q

∧

( )

1

,

=

q

p

q

q

p

⋅

=

2

( )

2

2

p

q

=

n

p

p

p

p

q

N

n

2

2

2

2

2

2

2

=

⇒

⇒

⇒

=

∨

+

∈

( )

2

2

2

2

n

q

=

⇔

2

:

4

2

2

2

n

q

=

2

2

2n

q

=

q

q

2

2

2

⇒

⇒

(

)

( )

1

,

2

2

≠

⇒

∧

q

p

q

p

sprzeczność z założeniem

( )

1

,

=

q

p

czyli

NW

NW

∈

⇒

∉

2

2

~

cnd

(opieramy się tu na założeniu, że

R

∈

2

(czyli, że w ogóle istnieje. Jest ono spełnione – już wieleset lat

temu platończycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 ma taką właśnie wartość)

Porównanie dwóch różnych zapisów ostatniego twierdzenia przekonuje, mam nadzieję, że

symbolika znacznie skraca wszelkie wywody matematyczne (i nie tylko takie) czyniąc je bardziej
przejrzystymi.