elektrod3 Elektrodynamika1 id 6 Nieznany

POLITECHNIKA GDA ´

NSKA

WYDZIAÃL FIZYKI TECHNICZNEJ I MATEMATYKI STOSOWANEJ

S.B. Leble

D.W. Rohraff

ELEKTRODYNAMIKA

22 maja 2005

Gda´nsk 2005

Spis tre´sci

1 UkÃlady inercjalne

1.1 UkÃlady inercjalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Referencje do rozdziaÃlu: 1.UkÃlady inercjalne . . . . . . . . . . . . . .

2 Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

2.1 Elektrodynamika w pr´o˙zni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 PotencjaÃly wektorowe i skalarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Zasady zachowania. Twierdzenie Poyntinga. . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Niejednorodne r´ownanie falowe. Generacja fal E-M. . . . . . . . . . .

2.6 Promieniowanie fal elektromagnetycznych. Przybli˙zenie dipolowe. . .

RozdziaÃl 1

UkÃlady inercjalne

1.1

UkÃlady inercjalne

Fizyka opiera sie

na pewnych zaÃlo˙zeniach, kt´orych cecha

jest to, ˙ze sa

zdefiniowane

bezwzgle

dnie. Oznacza to, ˙ze podstawa

ich wprowadzenia jest nie do´swiadczenie,

lecz zaÃlo˙zenie (umowa). PrzykÃladem mo˙ze by´c jednostka dÃlugo´sci - 1 metr [m]. In-
nymi jednostkami podstawowymi sa

: kilogram [kg] - okre´slenie masy, sekunda [s] -

czasu, amper [A] - nate

˙zenia pra

du elektrycznego, Kelvin [K] - jednostka temperatury,

mol [mol] - okre´slenie ilo´sci materii. ´SwiatÃlo´s´c ´zr´odÃla emituja

cego promieniowanie

okre´slamy w kandelach [cd].

Nie mo˙zemy m´owi´c o bezwzgle

dnym ruchu lub te˙z bezwzgle

dnym spoczynku. Ruch

ciaÃl opisujemy wzgle

dem jakiego´s ukladu, czyli ruch ten jest wzgle

dny. ZaÃlo˙zenie to

jest opisywane przez zasade

wzgle

dno´sci Galileusza.

Poje

cie ukÃladu inercjalnego jest r´ownie˙z poje

ciem bezwzgle

dnym.

Co to jest ukÃlad inercjalny? Zgodnie z defincja

: jest to taki ukÃlad odniesienia, w

kt´

orym ciaÃlo punktowe, w przypadku braku siÃl zewne

trznych lub gdy siÃly

dziaÃlaja

ce na to ciaÃlo sie

r´

ownowa˙za

, to porusza sie

ono ze staÃla

pre

dko´scia

Wektor pre

dko´sci ~v tego ciaÃla jest w takim przypadku staÃly.

~v(t) =

d~v

= const

(1.1.1)

Obecno´s´c powy˙zszych ukÃlad´ow opisuje I zasada dynamiki Newtona, kt´ora wprowadza
poje

cie bezwÃladno´sci. M´owia

, ˙ze ruch ciaÃla jest bezwÃladny, gdy nie dziaÃla na niego

˙zadna siÃla zewne

trzna lub gdy siÃly dziaÃlaja

ce sie

r´ownowa˙za

Pierwsza zasada dynamiki zostaÃla sprawdzona do´swiadczalnie, potwierdzaja

c teo-

retyczne zaÃlo˙zenia. Okazuje sie

, zgodnie z okre´sleniem, ˙ze Ziemia nie jest ukÃladem

inercjalnym. Empirycznie mo˙zna to wykaza´c analizuja

c ruch wahadÃla Foucault.

Skoro najbli˙zsza nam planeta nie speÃlnia powy˙zszych zaÃlo˙ze´n, powstaje pytanie: gdzie
mo˙zna spotka´c ukÃlady inercjalne? By je znale˙z´c musimy nasze poszukiwania posze-
rzy´c o Wszech´swiat. UkÃlady takie (z do´s´c dobrym przybli˙zeniem) tworza

gwiazdy, z

RozdziaÃl 1. UkÃlady inercjalne

kt´orymi zwia

zany jest np. heliocentryczny ukÃlad odniesienia - to jest taki, w kt´orym

masywna gwiazda znajduje sie

w ´srodku ukÃladu pokrywaja

cego sie

ze ´srodkiem masy.

Przeprowadzaja

c eksperymenty, dosy´c cze

sto mo˙zemy uwa˙za´c Ziemie

jako inerc-

jalny ukÃlad odniesienia (zaniedbuja

c przy tym ,,siÃle

Coriolisa”). Czasami ruch Ziemi

nie ma znacza

cego wpÃlywu na zjawiska znane z ˙zycia codziennego jak praca wykony-

wana z udziaÃlem maszyn, przemiany energii dokonywane w domu i w laboratorium,
procesy zwia

zane z przesyÃlaniem faÃl elektromagnetycznych (m.in. wsp´oÃlczesna ko-

munikacja). Poprawiaja

c nasze zaÃlo˙zenia w celu idealizacji zmierzaja

cej do idealnego

ukÃladu inercjalnego, jest ukÃlad zwia

zany ze ´srodkiem Ziemi. Taki ukÃlad nazywamy

ukÃladem geocentrycznym. Kolejnym przybli˙zeniem mo˙ze by´c ukÃlad heliocentryczny,
gdzie w centrum ukÃladu znajduje sie

SÃlo´nce. (Nale˙zy pamie

ta´c, ˙ze Ziemia porusza sie

dookoÃla SÃlo´nca ruchem przyspieszonym). Nasza

idealizacje

mo˙zemy stosowa´c dalej,

w zale˙zno´sci od dokÃladno´sci, kt´ora

chcemy uzyska´c.

Eksperyment, tak bardzo przydatny w wielu dziedzinach fizyki, w przypadku

bada´n nad ukÃladami inercjalnymi zawodzi, gdy˙z nie jest w stanie wyr´o˙zni´c ukÃladu
,,czysto” inercjalnego - tego szczeg´olnego przypadku, kt´ory posÃlu˙zyÃlby za wz´or -
etalon.

UkÃlady inercjalne sa

do siebie r´

ownowa˙zne

Zasada wzgle

dno´sci we wsp´oÃlczesnym sformuÃlowaniu rozszerza poje

cie ukÃladu in-

ercjalnego:

W ka˙zdym ukÃladzie inercjalnym wszystkie zjawiska fizyczne przebiegaja

tak samo

Podsumowuja

- w ka˙zdym ukÃladzie inercjalnym obowia

zuja

te same prawa przyrody.

- zachowanie formy r´owna´n fizyki (matematycznej) podczas transformacji z ukÃladu
S

do S

, mianowicie, r´ownania fizyki matematycznej powinny by´c r´ownaniami ten-

sorowymi wzgle

dem pewnej grupy transformacji (tj. forma ka˙zdego r´ownania po-

zostaje taka sama - patrz [Ref 2]).
- istnienie jednego ukÃladu inercjalnego S, stwarza mo˙zliwo´s´c wyznaczenia kolejnych
ukÃlad´ow inercjalnych, gdy˙z ka˙zdy ukÃlad poruszaja

cy sie

ruchem jednostajnym ze staÃla

pre

dko´scia

wzgle

dem ukÃladu S, te˙z jest ukÃladem inercjalnym.

1.2. Referencje do rozdziaÃlu: 1.UkÃlady inercjalne

1.2

Referencje do rozdziaÃlu: 1.UkÃlady inercjalne

[Ref 1] J.D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna, wyd 2, PWN, Warszawa 1987.

[Ref 2] V.A. Fok, Teori prostranstva, vremeni i tgomeri, Moskva 1955.

[Ref 3] L.B. Okun, Fundamental units: physics and metrology, (2003), arXiv, physics
0310069.

[Ref 4] A. Einstein, The meaning of relativity, 4th edn, Princeton 1953.

[Ref 5] D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa 2001.

[Ref 6] D. Stauffer, H. Eugene Stanley, Od Newtona do Mandelbrota. Wste

p do fizyki

teoretycznej, WNT, Warszawa 1996.

[Ref 7] A. Puankare, O nauke, Izdatel~stvo «Nauka» 1983. X

RozdziaÃl 2

Podstawowe poje

cia

elektrodynamiki

2.1

Elektrodynamika w pr´

o˙zni

Fundamentem elektrodynamiki jest obecno´s´c p´ol: elektrycznego i magnetycznego,

wytworzonych przez poruszaja

ce sie

Ãladunki elektryczne. Pola te wyste

puja

ze soba

w ´scisÃlym zwia

zku, dlatego te˙z okre´slamy je wsp´olnym mianem pola elektromagnety-

cznego (E-M). Zasada interakcji pomie

dzy Ãladunkami a polem E-M dziaÃla r´ownie˙z na

odwr´ot: pole elektromagnetyczne wpÃlywa na ruch Ãladunk´ow elektrycznych. Po´sre-
dniczy ono w oddziaÃlywaniu pomie

dzy nimi, co przejawia sie

tym, i˙z cza

stka pr´obna

zachowa sie

identycznie w dw´och r´o˙znych ukÃladach odniesienia, je´sli podziaÃlaja

nia

takie same E i B.

Analize

pola elektromagnetycznego rozpocznijmy od okre´slenia nate

˙zenia pola

elektrycznego w danym punkcie:

E =

(2.1.1)

co oznacza, i˙z badaja

c nate

˙zenie pola E mierzymy siÃle

wywierana

na Ãladunek pun-

ktowy. ÃLadunek pr´obny powinien by´c maÃly, aby jego obecno´s´c nie zaburzaÃla istnieja

cego pola elektrycznego (przez wpÃlyw na Ãladunki tworza

ce to pole).

Aby dokona´c peÃlnego opisu pola elektromagnetycznego, opr´ocz zdefiniowania pola

elektryczego, nale˙zy poda´c r´ownie˙z okre´slenie pola magnetycznego. W tym celu
przeprowad´zmy naste

puja

ce rozwa˙zania. Wybierzmy dowolna

poruszaja

sie

cza

stke

punktowa

i umie´s´cmy ja

w polu B. Na te

cza

stke

dziaÃla´c be

dzie siÃla magnetyczna F

kt´ora zale˙zy od kierunku ~v, przez co jej warto´s´c mo˙ze zmienia´c sie

od 0 do pewnej

warto´sci granicznej F

max

. Podczas obserwacji zauwa˙zymy, ˙ze wektor siÃly magnety-

cznej jest zawsze prostopadÃly do wektora pre

dko´sci cza

stki: ~

⊥~v. Oznacza to, ˙ze

siÃla magnetyczna nie wpÃlywa na warto´s´c ruchu cza

stki (czyli brak przyspieszenia lub

op´o´znienia co jest zwia

zane ze zmiana

energii kinetycznej cza

stki) a jedynie mo˙ze

zmienia´c tor ruchu, a to oznacza ˙ze praca wykonana przez F

jest zawsze r´owna 0

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

(zero). Zatem siÃle

magnetyczna

zdefiniujemy jako:

= q

~v × ~

= qvBsin(~v ~

(2.1.2)

Przyjmujemy, i˙z kierunek wektora indukcji magnetycznej B, jest zgodny z kierunkiem
pre

dko´sci w przypadku gdy F

= 0.

Kontynuuja

c, zawsze mo˙zemy tak dostroi´c ukÃlad pomiarowy przez odpowiednie

ustawienie zwrotu B, aby cza

stka poruszaÃla sie

pod ka

tem prostym do B, a to oz-

nacza, ˙ze siÃla dziaÃlaja

ca na nia

dzie maksymalna, gdy˙z sin(~v ~

B) = sin(90

◦

) = 1.

Otrzymamy zatem r´ownanie:

= qvB

(2.1.3)

kt´ore posÃlu˙zy nam do okre´slenia pola B:

B =

(2.1.4)

WÃlasno´sci pola magnetycznego sa

wykorzystywane bardzo cze

sto w fizyce i tech-

nice. Dzie

ki wiedzy o tym, jak zachowa sie

naÃladowana cza

stka elektryczna w B,

mo˙zliwe byÃlo zbudowanie takich urza

dze´n jak cyklotron (1932) lub komora Wilsona

(1912). Cyklotrony stosowane sa

do przyspieszania cza

stek, natomiast komora Wilsona

sÃlu˙zy do detekcji cza

stek lub promieniowania [Ref 5].

Rys 2.1. ´

Slady po przej´sciach naÃladowanych cza

stek w komorze Wilsona. Widoczne sa

zakrzywienia

tor´ow cza

stek pod wpÃlywem pola magnetycznego. Ilustracja pochodzi ze zbior´ow Brookhaven Na-

tional Laboratory http://www.bnl.gov/bnlweb/history/charmed.asp

PeÃlny opis oddziaÃlywania pola EM z naÃladowana

cza

stka

mo˙zna zatem przedstawi´c

naste

puja

co:

= q

E + ~v × ~

(2.1.5)

2.1. Elektrodynamika w pr´

o˙zni

SiÃle

nazywamy siÃla

Lorentza. R´ownanie (2.1.3) zostaÃlo wprowadzone w opar-

ciu o eksperyment (np. przez analize

zachowania sie

dw´och przewodnik´ow podczas

przepÃlywu przez nie pra

d´ow elektrycznych).

Po wprowadzeniu okre´slenia pola elektromagnetycznego, mo˙zemy przej´s´c do r´owna´n
dla tego pola. Do opisu pola E-M u˙zywamy r´owna´n Maxwella [Ref 1, Ref 2], kt´ore
wyra˙zaja

cztery podstawowe prawa elektryczno´sci i magnetyzmu:

- prawo Coulomba (1785 r.)
- brak Ãladunk´ow magnetycznych!
- prawo Faradaya (1831 r.)
- r´ownanie Amp`ere’a-Maxwella (1864 r.)

Dokonajmy opisu wy˙zej wymienionych praw:
1. Prawo Coulomba.

Rozwa˙zmy oddziaÃlywania o charakterze centralnym (pochodza

ce od Ãladunk´ow

punktowych). SiÃly pochodza

ce od takich Ãladunk´ow podlegaja

zasadzie liniowej su-

perpozycji:

+ ~

+ ... =

i=1

= ~

kt´ora mo˙ze by´c zapisana w spos´ob cia

gÃly zamieniwszy sume

na caÃlke

, oraz zasadzie i˙z

siÃla oddziaÃlywania pomie

dzy Ãladunkami jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu

ich odlegÃlo´sci.

Aby wyprowadzi´c prawo Coulomba posÃlu˙zymy sie

prawem Gaussa, kt´ore zasto-

sujemy do opisu pojedynczego Ãladunku q. Prawo to mo˙zna zastosowa´c do dowolnej
sfery, jednak my, dla uÃlatwienia wykorzystamy powierzchnie

kulista

o promieniu r,

ze wzgle

du na symetrie

, gdy˙z wtedy pole E jest takie same na caÃlej jej powierzchni.

W ´srodku sfery znajduje sie

Ãladunek punktowy q.

Rys 2.2. Hipotetyczna sfera dla naszych rozwa˙za´

n, gdzie: r - to jej promie´

n, ~n - jednostkowy wektor

skierowany na zewnatrz da (infinitezymalnej cze

´sci powierzchni sfery)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

Policzmy teraz strumie´n przechodza

cy przez wybrana

sfere

Φ =

E · d~

(2.1.6)

t pomie

dzy wektorem pola elektrycznego a wektorem stycznym do powierzchni

wynosi zero. Wiemy r´ownie˙z z rozwa˙za´n nad symetria

, i˙z pole E jest w ka˙zdym

punkcie takie same, czyli:

E · d~

S = E

dS = 4πr

(2.1.7)

gdzie 4πr

jest powierzchnia

sfery. Strumie´n dla pojedynczego Ãladunku mo˙zemy

r´ownie˙z zapisa´c jako:

Φ =

q
ε

(2.1.8)

co pozwala, po przyr´ownaniu (2.1.7) i (2.1.8) wyznaczy´c nate

˙zenie pola E pochodza

od Ãladunku q.

E =

4πε

(2.1.9)

Gdy w pobli˙zu Ãladunku q pojawi sie

drugi Ãladunek Q, to wielko´s´c siÃly dziaÃlaja

cej na

ten Ãladunek wynosi F = Eq

, a uwzgle

dniaja

c wcze´sniej otrzymany wynik, dostajemy:

F =

4πε

(2.1.10)

czyli r´ownanie Coulomba. Prawo Gaussa mo˙zemy stosowa´c do dowolnej powierzchni,
przez co jest ono wygodne przy znajdowaniu zale˙zno´sci pomie

dzy strumieniem pola

elektrycznego Φ przechodza

cym przez dana

powierzchnie

a Ãladunkiem, kt´ory jest

przez nia

otoczony. Je˙zeli rozkÃlad Ãladunk´ow jest cia

gÃly, to pewnym uÃlatwieniem

mo˙ze by´c wprowadzenie ge

sto´sci Ãladunku elektrycznego ρ. Pozwoli to zapisa´c prawo

Coulomba w formie caÃlkowej:

E · d~

S = 4πρ

(2.1.11)

Gdy skorzystamy z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

K · d~

S =

div ~

KdV

dziemy mogli przedstawi´c prawo Gaussa w postaci r´o˙zniczkowej:

div ~

E = 4πρ

(2.1.12)

2. Brak Ãladunk´

ow magnetycznych.

2.1. Elektrodynamika w pr´

o˙zni

Prawo to mo˙zna wykaza´c naste

puja

co: wybieraja

c jaka

´s powierzchnie

zamknie

a naste

pnie policzy´c (na podstawie pomiar´ow) caÃlke

wedÃlug okre´slenia Riemanna:

B · d~

kt´ora, jak mo˙zna stwierdzi´c (empirycznie!), wynosi 0.

Oznacza to, ˙ze jedynym

´zr´odÃlem pola magnetycznego sa

pra

dy elektryczne.

Gdyby istniaÃl Ãladunek magnetyczny, wytwarzaÃlby pole magnetyczne skierowane ra-

dialnie od obiektu. Pole to (analogicznie do pola elektrycznego) malaÃloby jak

. Ist-

nienie Ãladunku magnetycznego - pojedynczego bieguna magnetycznego (o poszukiwa-
niach monopolu magnetycznego [Ref 3]), spowodowaÃloby, ˙ze z obszaru, w kt´orym zna-
jdowaÃlby sie

, wypÃlywaÃlby strumie´n indukcji B. IstniaÃlaby r´ownie˙z symetria pomie

dzy

r´ownaniami opisuja

cymi Ãladunki elektryczne (prawo Coulomba) i Ãladunki magne-

tyczne. Jednak zastosowanie twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa (podobnie jak to
zrobili´smy dla E), daje wÃla´snie r´ownanie rotB = 0 zgodne z wynikami pomiar´ow.

3. Prawo Faradaya.

Rozwa˙zmy przewodnik umieszczony w polu magnetycznym B. Gdy wycia

gniemy

go z tego pola, okazuje sie

, ˙ze przewodniku popÃlyna

Ãl pra

d elektryczny. M´owimy,

˙ze zaindukowaÃla sie

siÃla elektromotoryczna SEM. Gdy wprowadzimy przewodnik

ponownie do B, powstanie znowu siÃla elektromotoryczna tylko, ˙ze o przeciwnym
znaku. Oznacza to, i˙z na umieszczony w zmiennym polu magnetycznym przewod-
nik dziaÃla SEM. Pod jej wpÃlywem, w przewodniku powstaje pra

d indukcyjny. SiÃla

elektromotoryczna jest proporcjonalna (ze znakiem minus) do szybko´sci zmian stru-
mienia magnetycznego przenikaja

cego przez powierzchnie

, czego skutkiem jest reguÃla

Lenza: zmiana strumienia magnetycznego przechodza

cego przez powierzchnie

nad ob-

wodem powoduje powstanie pra

du indukcyjnego, kt´orego w Ãlasne pole magnetyczne

przeciwdziaÃla zmianom strumienia magnetycznego, kt´ore wywoÃluje pra

d indukcyjny.

4. R´

ownanie Amp`

ere’a-Maxwella.

R´ownanie to okre´sla zale˙zno´s´c pomie

dzy polem magnetycznym a predko´scia

zmian

pola elektrycznego oraz pre

dko´scia

ruchu Ãladunk´ow elektrycznych. CzÃlon

∂ ~

∂t

w tym

r´ownaniu, wprowadzony przez Maxwella, uwzgle

dniÃl symetrie

r´owna´n, zawieraja

cych

rotacje

, czym potwierdziÃl do´swiadczalna

zasade

zachowania Ãladunku elektrycznego.

Podsumowywuja

c, r´ownania Maxwella (w pr´o˙zni) przyjmuja

posta´c:

r´ownianie Coulomba:

div ~

E = 4πρ

(2.1.13)

brak Ãladunk´ow magnetycznych:

div ~

B = 0

(2.1.14)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

prawo Faraday’a:

rot ~

E = −

∂ ~

∂t

(2.1.15)

r´ownanie Amp`ere’a-Maxwella:

rot ~

B =

∂ ~

∂t

4π

(2.1.16)

gdzie: ρ(~r, t) - ge

sto´s´c Ãladunku elektrycznego, ~j(~r, t) - ge

sto´s´c pra

du elektrycznego.

Korzystaja

c z wÃlasno´sci r´ownania (2.1.7), mo˙zemy wyprowadzi´c zasade

zachowania

Ãladunku elektrycznego. Policzmy zatem dywergencje

r´ownania (2.1.9):

div(rot ~

B) =

∂(div ~

∂t

4π

div~j

(2.1.17)

pamie

taja

c jednak, ˙ze:

∇, [∇ × B]

∇, [B × ∇]

B, [∇ × ∇]

= 0

(2.1.18)

Otrzymujemy:

0 =

∂(4πρ)

∂t

4π

div~j

(2.1.19)

Porza

dkuja

c r´ownanie (2.1.12) oraz dziela

c przez czynnik

4π

, dostajemy:

∂ρ

∂t

+ div~j = 0

(2.1.20)

R´ownanie (2.1.13) przedstawia prawo zachowania Ãladunku elektrycznego (= r´ownanie
cia

gÃlo´sci). Prawo to nie jest zaÃlo˙zeniem a priori, lecz bezpo´srednio wynika z r´owna´n

Maxwella, co zreszta

udowodnili´smy. Jest ono speÃlnione dla cia

gÃlego rozkÃladu Ãladunk´ow.

Wprowadzenie p´ol: elektrycznego i magnetycznego pozwala na niezale˙zne rozpa-

trzenie ´zr´odeÃl i Ãladunk´ow podlegaja

cych dziaÃlaniu siÃl elektromagnetycznych. Dla

ka˙zdego (wybranego) Ãladunku obecno´s´c innych Ãladunk´ow wpÃlywa na jego ruch z
przyspieszeniem, co z kolei opisujemy r´ownaniem ruchu. Aby zamkna

´c ukÃlad r´owna´n

Maxwella (tj. dokona´c peÃlnego opisu) konieczne jest dopisanie r´owna´n ruchu. Kiedy
jednak istnieje mo˙zliwo´s´c zaniedbania przyspieszenia, korzystamy z r´owna´n Maxwella,
rozpatruja

c opis Ãladunk´ow tylko na podstawie ge

sto´sci Ãladunku i ge

sto´sci pra

du.

Je˙zeli na Ãladunki pr´obne be

dziaÃla´c jednakowe siÃly, to rozkÃlad p´ol E i B jest

jednakowy w okre´slonym punkcie przestrzeni. Bardzo wa˙zne jest stwierdzenie, i˙z pola
elektromagnetyczne moga

istnie´c w obszarach, w kt´orych brak jest ´zr´odeÃl. Istotnym

faktem jest r´ownie˙z to, E i B ˙ze moga

by´c one no´snikami energii, pe

du, momentu

du.

Podsumowywuja

c, sformuÃlujmy matematyczna

podstawe

opisu E i B. Og´olna

liczna r´owna´n Maxwella wynosi osiem. Dwa z nich sa

r´ownaniami, w kt´orych nie

2.2. PotencjaÃly wektorowe i skalarne

ma pochodnych po czasie, co oznacza, ˙ze mo˙zemy w dowolnej chwili wyznaczy´c jedna

ze skÃladowych obu p´ol E i B a naste

pnie podstawi´c do pozostalych (dynamicznych,

tj. zawieraja

cych pochodne po czasie) r´owna´n.

SformuÃlowanie zagadnienia pocza

tkowego (tj. zagadnienia Cauchy’ego) dla ukÃladu

r´owna´n Maxwella zawiera sze´s´c warunk´ow pocza

tkowych, po jednym dla ka˙zdej zmi-

ennej. R´ownania (2.1.1) i (2.1.4) [?] wprowadzaja

pewne wie

zy dla podstawowych

zmiennych (tj. E i B), wa˙znych w dowolnym czasie, a wie

c i w chwili pocza

tkowej.

To oznacza, ze tylko cztery ze skÃladowych p´ol sa

dynamicznie niezale˙zne, czyli mo˙zna

zostawi´c cztery r´ownania przy uzyskaniu zale˙zno´sci od czasu.

2.2

PotencjaÃly wektorowe i skalarne

Rozwa˙zmy r´ownania (2.1.7) i (2.1.9). Wynika z nich i˙z rotacja B w (2.1.9)

w og´olnym przypadku nie musi by´c r´owna zero. Skutkiem tego, pole B (w przeci-
wie´nstwie do pola E) nie mo˙ze by´c ju˙z przedstawione za pomoca

gradientu. Jednak

uwzgle

dniaja

c i˙z divB = 0, pole B mo˙zna wyrazi´c za pomoca

innego pola wek-

torowego. Wprowad´zmy zatem potencjaÃl wektorowy A, kt´ory zdefiniujemy naste

pu-

co:

B = rot ~

(2.2.1)

co automatycznie daje div(rot ~

B) = 0. Podstawmy potencjaÃl wektorowy A do r´ow-

nania Faradaya (2.1.8):

rot ~

E = −

∂

∂t

rot ~

=⇒

rot

E +

∂ ~

∂t

= 0

(2.2.2)

W elektrostatyce potencjaÃl definiowali´smy jako:

E = −∇φ = −gradϕ

(2.2.3)

Na podstawie (2.2.2) i (2.2.3) wprowad´zmy nowa

definicje

potencjaÃlu:

E +

∂ ~

∂t

= −gradϕ

(2.2.4)

kt´ory mo˙zemy zapisa´c naste

puja

co:

E = −gradϕ −

∂ ~

∂t

(2.2.5)

Stosuja

c okre´slenie potencjaÃlu (2.2.3) do r´ownania Coulomba (2.1.6) stwierdzamy, ˙ze

zasada zachowania Ãladunku elektrycznego jest speÃlniona.

div ~

E = −4ϕ −

∂

div ~

∂t

= 4πρ

(2.2.6)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

Podobnie mo˙zemy posta

pi´c z pozostaÃlymi r´ownaniami Maxwella (2.1.7) i (2.1.9):

div ~

B = div

rot ~

= 0

(2.2.7)

rot ~

B = rot

rot ~

= −

grad

∂ϕ

∂t

−

∂

∂t

4π

~j = ∇

div ~

− ∇

(2.2.8)

W r´ownaniu (2.2.8) wykorzystali´smy zale˙zno´s´c:

rot

rot ~

∇ × [∇ × ~

= ∇

∇, ~

− ∇

gdzie:

∇, ~

= div ~

A =

∂A

∂x

∂A

∂y

∂A

∂z

oraz

grad

div ~

A +

∂ϕ

∂t

= 4 ~

A −

∂

∂t

4π

(2.2.9)

Z powy˙zszych wzor´ow wynika naste

puja

ca transformacja:

A → ~

+ ∇Λ(t, ~r)

(2.2.10)

z kt´orej wynika, i˙z pole wektorowe ~

A jest okre´slone do pewnej staÃlej, kt´ora znika przy

r´o˙zniczkowaniu, wie

c og´olna posta´c r´ownania nie ulegnie zmianie. Nasza

staÃla

jest

gradient pola skalarnego ∇Λ(t, ~r).

Gdy podstawimy (2.2.10) do r´ownania (2.2.4):

E = ∇ϕ −

∂ ~

∂t

− 1c∇

∂Λ

∂t

= −∇

ϕ +

∂Λ

∂t

−

∂ ~

∂t

(2.2.11)

otrzymamy zale˙zno´s´c okre´slaja

potencjaÃl ϕ:

ϕ → ϕ

= −

∂Λ(t, ~r)

∂t

+ ϕ

(2.2.12)

−

∂

∂t

+ div(gradΛ) = 0

(2.2.13)

Mo˙zemy opisa´c skÃladowe E pola elektromagnetycznego przy pomocy wprowadzonych
przez nas potencjaÃl´ow Ai ϕ:

E = −∇ϕ

−

∂ ~

∂t

(2.2.14)

Uzyskana

transformacje

tj. (2.2.10) i (2.2.12) nazywamy transformacja

cechowania:

A → ~

+ ∇Λ(t, ~r)

ϕ → ϕ

= −

∂Λ(t, ~r)

∂t

+ ϕ

2.2. PotencjaÃly wektorowe i skalarne

Powy˙zsze zwia

zki (transformacje) pozwalaja

nam zachowa´c pewna

dowolno´s´c przy

wyborze potencjaÃlu wektorowego. Funkcja Λ jest dowolna, a to oznacza, ˙ze mo˙zemy
wybra´c funkcje

ϕ i A takie, aby m´oc upro´sci´c r´ownanie (2.2.9), jednak pod warunk-

iem, ˙ze:

∂ϕ

∂t

+ div ~

A = 0

(2.2.15)

R´ownanie (2.2.15) jest okre´sleniem warunku cechowania Lorentza.
W przypadku, gdy

div ~

A = 0

(2.2.16)

mamy do czynienia z warunkiem cechowania Coulomba.

Z przedstawienia E i B za pomoca

potencjaÃl´ow: wektorowego i skalarnego, korzys-

tamy maja

c na celu uproszczenie oblicze´n. Startuja

c z r´owna´n Maxwella dysponujemy

sze´scioma zmiennymi (E

), podczas gdy wprowadzaja

c potencjaÃly :

wektorowy i skalarny, pozostana

ju˙z tylko cztery zmienne (A

,ϕ). Z wÃlasno´sci

potencjaÃlu wektorowego A korzystamy w obliczeniach dla p´ol magnetycznych, nato-
miast potencjaÃl skalarny ϕ stosujemy rozpatruja

c pola elektryczne.

Jakie mo˙zliwo´sci daje nam cechowanie? - rozwa˙zania teoretyczne

Warunek na cechowanie Lorentza jest bardzo cze

sto wykorzystywany ze wzgle

du na

dwie, bardzo wa˙zne wÃlasno´sci. Przede wszystkim mo˙zna uzyska´c niezale˙zne r´ownania
falowe speÃlniane przez A i ϕ:

−

∂

∂t

+ 4 ~

A = −

4π

(2.2.17)

oraz

¤ϕ = −4πρ

(2.2.18)

gdzie: ¤ = −

1
c

∂

∂t

+ 4

oraz zawsze mo˙zemy tak dobra´c A i ϕ aby uzyska´c to cechowanie.

Natomiast z warunk´ow cechowania Coulomba korzystamy kiedy wygodnie jest

zastosowa´c r´ownanie Poissona dla potencjaÃlu ϕ. PotencjaÃl skalarny w tym przypadku,
to po prostu dobrze znany potencjaÃl kulombowski.

∇ϕ = −

∂

∂t

+ 4 ~

A +

4π

(2.2.19)

gdzie: 4 = ∇

oraz

4ϕ = −4πρ

(2.2.20)

Po rozwia

zaniu powy˙zszych r´owna´n, mo˙zemy obliczy´c pole A.

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

2.3

Zasady zachowania. Twierdzenie Poyntinga.

Zasady zachowania tworza

fundamenty fizyki. Na nich opieraja

sie

wszelkie prawa

oraz zjawiska zachodza

ce w przyrodzie. GÃl´owna

cecha

zasad zachowania jest ich

niepodwa˙zalno´s´c! Do tych podstawowych praw, zaliczamy m.in. zachowanie Ãladunku
elektrycznego, zasady zachowania energii, pe

du, momentu pe

du [Ref 3, Ref 4]. Z

punktu widzenia elektrodynamiki, najbardziej interesuja

nas zasady zachowania ener-

gii oraz pe

du, kt´ore dotycza

podstawowych wÃlasno´sci pola elektromagnetycznego oraz

poruszaja

cych sie

Ãladunk´ow.

Jako pierwsza

rozpatrzmy zasade

zachowania energii, nazywana

r´ownie˙z twierdze-

niem Poyntinga. W tym celu skorzystamy z r´owna´n Maxwella:

rot ~

E = −

∂ ~

∂t

rot ~

B =

∂ ~

∂t

4π

Korzystaja

c z powy˙zszych wzor´ow mo˙zemy obliczy´c naste

puja

ce iloczyny skalarne:

( ~

B, rot ~

E) = −

∂ ~

∂t

= −

∂ ~

∂t

(2.3.1)

( ~

E, rot ~

B) =

∂ ~

∂t

4π

( ~

E,~j)

(2.3.2)

Gdy odejmiemy stronami (2.3.1) od (2.3.2), otrzymamy:

∂ ~

∂t

4π

E,~j

∂ ~

∂t

∂

+ ~

∂t

4π

E,~j

B, rot ~

−

E, rot ~

= 0

(2.3.3)

Korzystaja

c z zale˙zno´sci wektorowej:

div

E × ~

B, rot ~

−

E, rot ~

ostatecznie mo˙zemy zapisa´c prawo zachowania energii w postaci:

8π

∂

∂t

+ ~

= −

4π

div

E × ~

−

E,~j

(2.3.4)

Powy˙zsze r´ownanie (2.3.4) skÃlada sie

z dw´och czÃlon´ow: div

4π

E × ~

¤¢

oraz z ( ~

E,~j).

W pierwszym z nich, wyra˙zenie

4π

E × ~

¤¢

nazywamy wektorem Poyntinga i oz-

naczamy jako:

S =

4π

E × ~

(2.3.5)

Wektor ten reprezentuje ge

sto´s´c strumienia energii, tj. energie

przenoszona

przez pola

w jednosce czasu na jednostke

powierzchni. Zdolno´s´c p´ol do przenoszenia i maga-

zynowania energii, jest jedna

z wa˙zniejszych wÃlasno´sci fal elektromagnetycznych.

2.3. Zasady zachowania. Twierdzenie Poyntinga.

Korzystaja

c z wÃlasno´sci wektora Poyntinga mo˙zemy opisa´c pre

dko´s´c przepÃlywu

energii przez jednostkowa

powierzchnie

dla pÃlaskiej fali elektromagnetycznej. Wektor

ten, korzystaja

c ze zwia

zk´ow pomie

dzy c i µ

, mo˙zna zapisa´c tak˙ze w r´ownowa˙zny

spos´ob:

S =

E × ~

(2.3.6)

gdzie: µ

to przenikalno´s´c magnetyczna pr´o˙zni.

Wymiar wektora Poyntinga okre´slamy jako

[energia]

[pole powierzchni]·[czas]

, co w ukÃladzie jed-

nostek SI przyjmuje posta´c

W r´ownaniu opisuja

cym prawo zachowania energii, liczymy div ~

S. Oznacza to, i˙z

wektor Poyntinga jest okre´slony z dokÃladno´scia

do pewnej staÃlej, w naszym przy-

padku jest to dowolne pole wektorowe (analogicznie jak w przypadku potencjaÃlu
wektorowego i skalarnego). Natomiast drugi z czÃlon´ow, okre´slaja

cy iloczyn skalarny

E,~j

okre´sla ge

sto´s´c mocy (prace

wykonana

w jednostce czasu w jednostkowej

obje

to´sci).

Zatem zasada zachowania energii to suma zmian energii elektromagnetycznej na

jednostke

czasu w pewnej obje

to´sci oraz energii elektromagnetycznej wypÃlywaja

cej w

jednostce czasu przez powierzchnie

ograniczaja

obje

to´s´c, przy czym jest r´owna

(−) pracy wykonanej w jednostce czasu przez pola nad ´zr´odÃlami w tej obje

to´sci.

sto´s´c energii definiujemy jako:

energii

+ ~

8π

(2.3.7)

Druga

z rozpatrywanych przez nas zasad jest zasada zachowania pe

du.

Wybie˙zmy zatem dowolny Ãladunek punktowy, kt´ory porusza sie

w polu E ruchem

jednostajnym z pre

dko´scia

v. Na Ãladunek ten, dziaÃla´c be

dzie siÃla Lorentza F

, kt´ora

wcze´sniej zdefiniowali´smy naste

puja

co:

= q

E +

~v × ~

PosÃluguja

c sie

druga

zasada

dynamiki Newtona, oznaczmy sume

d´ow wszystkich

cza

stek w pewnej obje

to´sci V przez P. Otrzymamy:

ρ ~

E +

~j × ~

(2.3.8)

Aby m´oc wyeliminowa´c ze wzoru (2.3.8) ge

sto´s´c Ãladunku elektrycznego ρ(t, ~r) oraz

sto´s´c pra

du elektrycznego ~j(t, ~r) posÃlu˙zymy sie

r´ownaniami Maxwella (2.1.6) i

(2.1.9):

rot ~

B =

∂ ~

∂t

4π

⇒

~j =

4π

rot ~

B −

∂ ~

∂t

(2.3.9)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

div ~

E = 4πρ

⇒

ρ =

4π

div ~

(2.3.10)

Gdy podstawimy (2.3.9) i (2.3.10) do (2.3.8) otrzymamy naste

puja

ce wyra˙zenie:

4π

∇, ~

B ×

∂ ~

∂t

−

B ×

∇ × ~

¸¶

(2.3.11)

W powy˙zszym r´ownaniu skorzystamy z wÃlasno´sci iloczynu wektorowego:

B ×

∂ ~

∂t

= −

∂

∂t

E × ~

E ×

∂ ~

∂t

a naste

pnie gdy dodamy B(∇, B) = 0, dostaniemy:

4π

E(∇, ~

E)+ ~

B(∇, ~

B)−

E×

∇× ~

−

B×

∇× ~

−

∂

∂t

E× ~

(2.3.12)

Wz´or (2.3.8), przedstawiaja

cy pre

dko´s´c zmiany pe

du, w postaci (2.3.12) mo˙zna za-

pisa´c naste

puja

co:

4πc

∂

∂t

E × ~

4π

E(∇, ~

E) + ~

B(∇, ~

B) −

E ×

∇ × ~

−

B ×

∇ × ~

¸!

(2.3.13)

gdzie caÃlka po lewej stronie r´ownania (2.3.13) opisuje caÃlkowity pe

d pola elektromag-

netycznego P

4πc

∂

∂t

E × ~

(2.3.14)

Funkcje

podcaÃlkowa

[E × B] mo˙zna zinterpretowa´c jako ge

sto´s´c pe

du pola elektro-

magnetycznego. Jest ona proporcjonalna do wektora Poyntinga (ge

sto´sci strumienia

energii), przy czym wsp´oÃlczynnik proporcjonalno´sci wynosi

Zgodnie z zasada

zachowania pe

du, poruszaja

ce sie

cza

stki oraz pola E i B posiadaja

d. Oznacza to, i˙z aby zasada ta byÃla speÃlniona, pe

d tracony przez cza

stki, jest

przekazywany polom.

2.4

Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska

Przedstawmy r´ownania Maxwella za pomoca

potencjaÃl´ow: wektorowego i skalarnego,

podobnie jak to uczynili´smy w podrozdziale (2.2). Wprowad´zmy jednak pewne ogra-
niczenie dotycza

ce Ãladunk´ow elektrycznych, a mianowicie ich brak. Oznacza to, ˙ze

2.4. Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska

czÃlony zawieraja

ce ge

sto´s´c Ãladunku ρ oraz ge

sto´s´c pra

du elektrycznego ~j znikna

. Poz-

woli nam to uzyska´c warunek na ¤ ~

E :

∂

∂t

∂

∂t

∂ ~

∂t

∂

∂t

rot ~

rot

∂ ~

∂t

rot

− crot ~

= −rot(rot ~

B) =

= −grad(div ~

E) + ∇

E = ∇

E (2.4.1)

W r´ownaniu (2.4.1) div ~

E = 0, poniewa˙z nasze zaÃlo˙zenia dotycza

pr´o˙zni. Tak wie

¤ ~

E = 0

(2.4.2)

gdzie ¤ jest operatorem d’Alemberta. Powy˙zsze r´ownanie (2.4.2) tworzy ukÃlad r´owna´n
dla skÃladowych (t, x, y, z) :

∂

∂t

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

(2.4.3)

kt´ory rozwia

˙zemy metoda

Fouriera. Metoda ta polega na rozdzieleniu zmiennych

funkcji:

(t, x, y, z) = T (t)X(x)Y (y)Z(z)

(2.4.4)

a naste

pnie scaÃlkowaniu po parametrze zewne

trznym k

. Rozwia

zanie szczeg´olnego

r´ownania falowego przyjmie posta´c:

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.5)

przy czym wprowadzili´smy oznaczenie ~k~r = k

x + k

y + k

z, w kt´orym k

, k

stanowia

parametry separacji zmiennych. Sa

to wspomniane wy˙zej parametry

zewne

trzne, niezale˙zne od siebie.

Podobny algorytm poste

powania, przeprowad´zmy dla pola B. Ostatecznie otrzy-

mamy wzory dla p´ol E i B stowarzyszonych z fala

pÃlaska

E = E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.6a)

B = B

i(~k~r−ωt)

+ c.c

(2.4.6b)

W r´ownaniach (2.4.6), E

oraz B

stanowia

amplitudy fal.

Naszym kolejnym etapem be

dzie policzenie rotacji pola elektrycznego wyste

puja

cego

w (2.4.6). Skorzystamy przy tym z r´ownania Faradaya (2.1.15):

∇ × ~

E = −

∂ ~

∂t

= −

iϕ

(−iω)

= i

iϕ

(2.4.7a)

∇ × ~

E =

∇ × ~

iϕ

= e

iϕ

∇ϕ × ~

= ie

iϕ

~k × ~E

(2.4.7b)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

Przyr´ownujemy stronami powy˙zsze wyra˙zenia, aby wyznaczy´c B:

~k × ~E

(2.4.8)

Podobny algorytm poste

powania zastosujemy obliczaja

c rotacje

pola magnetycznego.

Wykorzystamy r´ownania (2.4.6) oraz Amp´ere’a-Maxwella.

∇ × ~

B = −i

iϕ

(2.4.9a)

∇ × ~

B = ie

iϕ

~k × ~B

(2.4.9b)

Ponownie musimy przyr´owna´c stronami wyra˙zenia r´owno´sci(2.4.9), jednak tym razem
wykorzystamy warto´s´c B otrzymana

w (2.4.8).

~k ×

~k × ~E

= −

(2.4.10)

Wyra˙zenie po lewej stronie r´ownania (2.4.10) upro´scimy, gdy skorzystamy z zale˙zno´sci
”bac-cab”:

a × [b × c]

= b(a, c) − c(a, b)

czyli w naszym przypadku:

~k, ~E

− ~

= −

(2.4.11)

Poniewa˙z wektory k i E sa

ortogonalne, wie

c wyra˙zenie (2.4.11) zredukuje sie

postaci

− ~k

= 0

(2.4.12)

Rozwia

zanie r´ownania (2.4.12) be

dzie jedno, gdy zaÃlo˙zymy, ˙ze jest ono nietrywialne,

tzn. E

6= 0.

gdy :

6= 0

⇒

− ~k

= 0

= c

(2.4.13)

R´ownanie postaci (2.4.13) jest warunkiem dyspersyjnym dla fali pÃlaskiej, kt´ory wraz z
powy˙zszym rozumowaniem, stanowi potwierdzenie poprawno´sci otrzymanych wzor´ow
(2.4.6). Gdy rozwa˙zamy ruch falowy jako og´oÃl zjawisk, to oka˙ze sie

, ˙ze zachowanie

fal mo˙ze by´c dwojakie: moga

ulega´c dyspersji lub te˙z nie. Zale˙zy to od pewnych

czynnik´ow tj. rodzaju fali oraz wÃlasno´sci fizycznych o´srodka propagacji.

Rozwia

zanie szczeg´olne r´ownania falowego (2.4.6) m´owi nam, ˙ze czoÃlo fali pÃlaskiej

jest fala

harmoniczna

. O fali m´owimy, ˙ze jest harmoniczna

, je˙zeli w chwili pocza

tkowej

jej ksztaÃlt przyjmuje posta´c funkcji sinus lub cosinus. Oznacza to, ˙ze funkcje te

tworza

baze

, za pomoca

kt´orej mo˙zemy przedstawi´c fale

2.4. Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska

Z propagacja

fal nieodzownie zwia

zane jest poje

cie paczki falowej. Paczka falowa

jest skutkiem pracy (rzeczywistego) generatora. Generator wytwarza impuls, kt´ory
tworzy fale. Czas trwania tego impulsu jest ograniczony, wie

c w miare

oddalania sie

fal od generatora utworza

one paczke

falowa

. Z kolei paczka falowa stanowi pewna

reprezenstacje

caÃlki Fouriera, kt´ora

liczymy w granicach od k do k + dk.

Rys 2.4.1 Model dwuwymiarowej paczki falowej.

Kontynuuja

c rozwa˙zania dotycza

ce fali pÃlaskiej w pro˙zni, posÃlu˙zymy sie

superpozycja

fourierowska

paczek falowych. Z jej pomoca

mo˙zemy r´ownie˙z skonstruowa´c r´ownanie

falowe. Pomijaja

c warunki brzegowe, otrzymamy caÃlke

Fouriera:

, k

)

(2.4.14)

oraz posta´c transformacji Fouriera w przestrzeni tr´ojwymiarowej:

(0, ~r) =

d~kE

(~k)e

i~k~r

(2.4.15)

(~k) =

2π

d~rE

(0, ~r)e

−i~k~r

(2.4.16)

kt´ora przy policzeniu dla ka˙zdej skÃladowej (x, y, z):

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.17a)

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.17b)

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.17c)

da warunek

+ k

= 0

(2.4.18)

(~k, ~

) = 0

(2.4.19)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

R´ownanie (2.4.19) oznacza, i˙z amplituda pola ~

(a przez to i ~

), jest prostopadÃla do

wektora falowego ~k. Wektor ~k okre´sla kierunek propagacji fali. Oznacza to, ˙ze w fali
pÃlaskiej skÃladowe pola elektromagnetycznego sa

prostopadÃle do kierunku propagacji,

kt´ory z kolei jest zgodny z kierunkiem wektora Poyntinga ~

S. Wektor ten informuje o

´srednim kierunku strumienia energii (2.3.5).

Interesuja

cy nas przypadek stanowi propaguja

ca fala pÃlaska stowarzyszona z polem

elektromagnetycznym. Jej posta´c mo˙zna przedstawi´c naste

puja

co:

Rys 2.4.2. PÃlaskiej fali E-M towarzysza

pola elektryczne E oraz magnetyczne B, kt´ore sa

do siebie

prostopadÃle.

Poruszaja

ca sie

fala mo˙ze by´c no´snikiem informacji. Fala nie poddana modyfikacji

mo˙ze nas poinformowa´c tylko, czy dotarÃla do okre´slonego punktu (np. antena,

2.5. Niejednorodne r´

ownanie falowe. Generacja fal E-M.

odbiornik) czy te˙z nie. Wykorzystujemy przy tym dwie wÃlasno´sci fali, kt´ore mo˙zemy
modelowa´c. Sa

to mianowicie amplituda oraz cze

stotliwo´s´c. Taki mechanizm jest

wykorzystywany m.in. przy przesyÃlaniu fal radiowych. Stosujemy dwie techniki:
modulujemy amplitude

(fale tzw. ,,AM”-Amplitude Modulation), wtedy w r´ownaniach

(2.4.6) zmieniaja

sie

w czasie E

i B

- amplitudy. Mo˙zna r´ownie˙z zmienia´c cze

stotliwo´s´c

(fale tzw. ,,FM” - Frequency Modulation). Wtedy zmianom w r´ownaniach falowych
podlega ω. W uje

ciu fizycznym, metoda wytwarzania fali zawarta jest w warunkach

brzegowych, kt´ore ograniczaja

liczbe

rozwia

za´n do konkretnego modelu.

2.5

Niejednorodne r´

ownanie falowe. Generacja fal E-M.

W poprzednich rozdziaÃlach rozwa˙zali´smy liniowe r´ownanie falowe. W tym rozdziale
zajmiemy sie

niejednorodnym (nieliniowym) r´ownaniem falowym, tj. w og´olnym przy-

padku gdy f 6= 0:

¤u(t, r) = f (t, r)

Rozwa˙zmy r´ownanie Poissona:

4u(t, r) = f (t, r)

(2.5.1)

w kt´orym r = (x, y, z) ∈ R

. W elektrostatyce f przyjmuje posta´c: f = 4πρ, gdy˙z:

divE = div(gradϕ) = 4πρ, przy czym ρ = ρ(t, ~r) jest ge

sto´scia

Ãladunku. ZakÃladamy

jednak, ˙ze Ãladunki sa

staÃle w czasie, czyli: f (t, r) = f (r). Naste

pnie chcemy wykaza´c,

i˙z rozwia

zanie r´ownania falowego mo˙zna wyrazi´c za pomoca

funkcji Greena G. Dla

fal poruszaja

cych sie

w trzech wymiarach, przy uwzgle

dnieniu warunk´ow brzegowych

oraz funkcji u = u(~r) be

cej potencjaÃlem pochodza

cym od Ãladunku, opisywanego

przez funkcje

f , mamy:

u(~r) =

G(~r, ~r

)f (~r

)d~r

gdzie d~r

= dx

. Funkcje

Greena (w trzech wymiarach) definiujemy analogicznie:

¤G(~r − ~r

) = δ(~r − ~r

)δ(t − t

)

(2.5.2)

co inaczej mo˙zemy zapisa´c jako:

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−

∂

∂t

= δ(x − x

)δ(y − y

)δ(z − z

)δ(t − t

)

Wprowad´zmy oznaczenie dla |~r − ~r

| = R.

Funkcje

G rozpatrzmy we wsp´oÃlrze

dnych sferycznych. Operator 4 be

dzie skÃladaÃl sie

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

z naste

puja

cych czÃlon´ow:

∂

∂R

∂

∂R

(2.5.3a)

sinϕ

∂

∂ϕ

sinϕ

∂

∂ϕ

(2.5.3b)

sin

∂

∂ϑ

(2.5.3c)

Stosuja

c powy˙zszy zapis otrzymujemy:

G(R) = δ(R)

(2.5.4)

ZwÃlasno´sci funkcji Greena oraz z wÃlasno´sci funkcji δ-Diraca wiadomo, ˙ze

drδ(~r − ~r

) =

dRδ(R) = 1, caÃlkuja

c to po powierzchni kuli o promieniu R, otrzymujemy:

µ Z

2π

G(R)R

cosϑdϑ

dϕ

dR = 1

(2.5.5)

Przy czym mo˙zemy zapisa´c:

G =

∂

∂R

∂G
∂R

co upro´sci caÃlke

(2.5.4) do postaci:

4π

= 4πR

∂G
∂R

= 1

Po trywialnych przeksztaÃlceniach, otrzymujemy r´ownanie r´o˙zniczkowe:

dG
dR

4πR

kt´orego rozwia

zanie przyjmuje posta´c:

G = −

4πR

(2.5.6)

Maja

c posta´c funkcji Greena G, mo˙zemy ja

naste

pnie zastosowa´c do (2.5.3), pamie

taja

i˙z R = |~r − ~r

4πR

= δ(~r − ~r

)

(2.5.7)

Omawiana przez nas fala eletromagnetyczna jest emitowana z punktu pocza

tkowego

r. Rozchodzi sie

ona w caÃlej przestrzeni z jednokowa

pre

dko´scia

v tworza

c kule

promieniu R = |~r − ~r

Gdy fala rozchodzi sie

w pr´o˙zni, promie´n R mo˙zemy opisa´c r´ownie˙z zale˙zno´scia

R = c

− t

, gdzie

− t

to czas, w kt´orym fala pokonuje dystans R =

− r

Schematycznie mo˙zna to przedstawi´c:

2.6. Promieniowanie fal elektromagnetycznych. Przybli˙zenie dipolowe.

Rozpatrywany przez nas przypadek, mo˙zna rozsze˙zy´c na peÃlne r´ownanie falowe (ana-
logicznie jak wy˙zej):

− ~r

d~r

= 1

(2.5.8)

4u =

f dr = f

4G = δ

~r − ~r

¤G = δ

~r − ~r

t − t

(2.5.9)

G =

t − t

−

4πR

(2.5.10)

Powy˙zszy schemat przedstawia rozwia

zanie funkcji Greena dla fali kulistej (prze-

dziaÃly czasowe t

r´owne). Cecha

tej fali, wyra˙zonej (2.5.9) jest to, i˙z pokonuje ona

odlegÃlo´s´c |r − r

| w ´sci´sle okre´slonym czasie t

= t +

. CzÃlon

odpowiedzialny jest

r´ownie˙z za wzrost op´o´znienia propagacji fali kulistej. [ Fale

kulista

mo˙zemy zaob-

serwowa´c, detonuja

c na pewnej wysoko´sci Ãladunek wybuchowy a naste

pnie mierza

rozchodzenie sie

fali uderzeniowej ]

2.6

Promieniowanie fal elektromagnetycznych. Przybli˙zenie
dipolowe.

Nie ka˙zdy Ãladunek promieniuje.

¤ ~

A = −

4π

(2.6.1a)

¤ϕ = −4πρ

(2.6.1b)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

˙Zeby nie caÃlkowa´c wielokrotnie, stosujemy funkcje

Greena:

ϕ(t, ~r) = e

iωt

(~r

)

−i

d~r

(2.6.2)

przy czym punkt R jest punktem obserwacji danym naste

puja

co:

R = |~r − ~r

| ¿ R

(2.6.3)

Rozwi´nmy R w szereg Taylorowski:

R =

(x − x

)

+ (y − y

)

+ (z − z

)

= r +

∂R

∂x

(−x

) +

∂R
∂y

(−y

) +

∂R
∂z

(−z

) + . . . =

= r −

(~r, ~r

)

+ . . . (2.6.4)

gdzie:

r =

+ y

+ z

(2.6.5a)

+ y

+ z

(2.6.5b)

oraz odwrotno´s´c R:

1
r

(~r, ~r

)

+ ...

(2.6.6)

Uzyskane rozwinie

cia stosuje

do (2.6.2).

ϕ(t, ~r) = e

iωt

Z ·

1
r

(~r, ~r

)

+ ...

−i

r−

r,~

)

+...

d~r

(2.6.7)

W powy˙zszym r´ownaniu skorzystajmy z rozwinie

cia funkcji e

w szereg:

r,~

r0)

≈ 1 +

iω

(~r, ~r

)

+ . . .

(2.6.8)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
9) Powinowactwo elektronowe id Nieznany (2)
Indukcja elektromagnetyczna id Nieznany
Opracowanie egamin elektro id 3 Nieznany
Dysocjacja elektrolityczna id 1 Nieznany
GOSPODARKA ELEKTRONICZNA(1) id Nieznany
Oscyloskop elektroniczny 3 id 3 Nieznany
9) Powinowactwo elektronowe id Nieznany (2)
Echo elektroniczne id 149974 Nieznany
Fizyka Prad elektryczny test id Nieznany
33 Schemat elektryczny FM445 id Nieznany (2)
Mikroskopia elektronowa id 3018 Nieznany
elektro 3 id 157863 Nieznany
elektra 4 id 157704 Nieznany
5 Pole elektrostatyczne id 397 Nieznany
ELEKTRON przykladowe pytania id Nieznany
elektrae1 id 157847 Nieznany
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE id 1677 Nieznany

więcej podobnych podstron