1

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

PYTANIA EGZAMINACYJNE

1.

Uogólniony szereg Fouriera.

- jest to analityczna reprezentacja sygnału, która prowadzi do uproszczenia obliczeń i umożliwia głębszą interpretacje jego cech fizycznych

- reprezentacja dyskretna sygnału umożliwia zastąpienia badania funkcyjnej zależności w nieprzeliczalnym zbiorze punktów badaniem

przeliczalnego, ale w ogólnym przypadku nieskończonego, zbioru współczynników (liczb rzeczywistych lub zespolonych)

- jest to zagadnienie dyskretnej reprezentacji sygnału, które sprowadza się do zagadnienia aproksymacji, czyli przybliżenia sygnału x(t)

szeregiem typu:





n

i

i

i

t

u

a

0

)

(

Gdzie:

a

i

– współczynniki szeregu

u

i

(t) – ustalone funkcje czasu

fazy rozwijania w szereg:

- wybranie zbioru funkcji u

i

(t) o określonych właściwościach

- wyznaczenie liczby a

i

tak aby błąd aproksymacji był najmniejszy w sensie pewnego ustalonego kryterium miary błędu (funkcje u

i

(t) są

dobierane tak aby wraz ze wzrostem ich liczby błąd aproksymacji malał, mówimy wówczas że ciąg funkcji jest zbieżny w sensie ustalonego
kryterium zbieżności do sygnału x(t))

- szereg







n

i

i

i

t

u

a

t

x

0

)

(

)

(

Dla którego współczynniki a

i

określone są zależnością





2

1

)

(

)

(

1

2

t

t

i

i

i

dt

t

u

t

x

u

a

nosi nazwę uogólnionego szeregu Fouriera.

- współczynnik uogólnionego szeregu Fouriera dla układu ortogonalnych funkcji zespolonych wyznacza się z następującego wzoru







2

1

)

(

)

(

1

2

t

t

i

i

i

dt

t

u

t

x

u

a

Uogólniony szereg F. zapewnia najlepszą aproksymację w sensie minimum błędu średniokwadratowego. Ma bardzo istotne znaczenie
praktyczne, zamiast badać zależność w nieprzeliczalnym zbiorze punktów, możemy charakteryzować go przeliczalnym zbiorem
współczynników. Do celów analizy wybiera się takie funkcje, które zapewniają najszybszą zbieżność szeregu tzn. wymagających najmniejszej
liczby wyrazów szeregu, przy zadanej dokładności przybliżenia.

2

2.

Rozwinięcie sygnałów w szereg wykładniczy.

- jest to analityczna reprezentacja sygnału, która prowadzi do uproszczenia obliczeń i umożliwia głębszą interpretacje jego cech fizycznych

- reprezentacja dyskretna sygnału umożliwia zastąpienia badania funkcyjnej zależności w nieprzeliczalnym zbiorze punktów badaniem

przeliczalnego, ale w ogólnym przypadku nieskończonego, zbioru współczynników (liczb rzeczywistych lub zespolonych)

- jest to zagadnienie dyskretnej reprezentacji sygnału, które sprowadza się do zagadnienia aproksymacji, czyli przybliżenia sygnału x(t)

szeregiem typu:





n

i

i

i

t

u

a

0

)

(

Gdzie:

a

i

– współczynniki szeregu

u

i

(t) – ustalone funkcje czasu

- dowolny sygnał można rozwinąć w przedziale (t

0

,t

0

+T) w szereg wykładniczy











i

t

ji

i

o

e

a

t

x



)

(

- współczynniki uogólnionego szeregu F. dla układu funkcji zespolonych wyznacza się z następujących wzorów:









T

t

t

i

i

i

dt

t

u

t

x

u

a

0

0

)

(

)

(

1

2

gdzie:











T

t

t

i

i

i

i

dt

t

u

dt

t

u

t

u

u

0

0

2

*

2

)

(

)

(

)

(

- zatem układ funkcji wykładniczych



















T

t

t

t

ji

i

T

t

t

t

ji

t

ji

i

dt

e

t

x

T

a

oraz

T

dt

e

e

u

0

0

0

0

0

0

0

)

(

1

2







Podsumowując:

Przedstawienie dowolnego sygnału x(t) za pomocą szeregu wykładniczego











i

t

ji

i

o

e

a

t

x



)

(

Gdzie









T

t

t

t

ji

i

dt

e

t

x

T

a

0

0

0

)

(

1



nazywamy rozwinięciem sygnału w szereg wykładniczy Fouriera w przedziale (t

0

,t

0

+T).

- jeżeli sygnał x(t) jest okresowy z okresem T to równość jest zachowana w przediale nieskończonym, czyli przedstawienie sygnału okresowego

x(t), o okresie T, za pomocą szeregu wykładniczego











i

t

ji

i

e

a

t

x

0

)

(



gdzie:









T

t

t

t

ji

i

dt

e

t

x

T

a

0

0

0

)

(

1



nazywamy rozwinięciem sygnału okresowego w szereg wykładniczy Fouriera w przedziale nieskończonym.

Współczynniki a

i

w ogólnym przypadku są wielkościami zespolonymi uwzględniając, że

)

sin(

)

cos(

0

0

0

t

i

j

t

i

e

t

ji













Otrzymamy:

is

ic

T

t

t

T

t

t

i

ja

a

tdt

i

t

x

T

j

tdt

i

t

x

T

a

















0

0

0

0

0

0

sin

)

(

1

cos

)

(

1





gdzie:
a

is

– składowa urojona współczynnika a

i

a

ic

– składowa rzeczywista współczynnika a

i

- współczynniki a

i

można również przedstawić w postaci wykładniczej

3

3.

Rozwinięcie sygnałów w szereg trygonometryczny.

(rozpocząć od definicji uogólnionego szeregu Fouriera, nie wykazywać, że zbiór funkcji trygonometrycznych spełnia warunki nakładane na
zbiór funkcji bazowych, przypadki rozwijania sygnału dowolnego oraz sygnału okresowego)

- jest to analityczna reprezentacja sygnału, która prowadzi do uproszczenia obliczeń i umożliwia głębszą interpretacje jego cech fizycznych

- reprezentacja dyskretna sygnału umożliwia zastąpienia badania funkcyjnej zależności w nieprzeliczalnym zbiorze punktów badaniem

przeliczalnego, ale w ogólnym przypadku nieskończonego, zbioru współczynników (liczb rzeczywistych lub zespolonych)

- jest to zagadnienie dyskretnej reprezentacji sygnału, które sprowadza się do zagadnienia aproksymacji, czyli przybliżenia sygnału x(t)

szeregiem typu:





n

i

i

i

t

u

a

0

)

(

Gdzie:

a

i

– współczynniki szeregu

u

i

(t) – ustalone funkcje czasu

Dla którego współczynniki a

i

określone są zależnością





2

1

)

(

)

(

1

2

t

t

i

i

i

dt

t

u

t

x

u

a

- dowolny sygnał można rozwinąć w przedziale (t

0

,t

0

+T) w szereg postaci























1

0

0

0

0

0

0

)

sin

cos

(

)

sin

cos

(

)

(

i

i

i

i

i

i

t

i

b

t

i

a

a

t

i

b

t

i

a

t

x









gdzie:













T

t

t

i

T

t

t

i

tdt

i

t

x

T

b

tdt

i

t

x

T

a

0

0

0

0

0

0

sin

)

(

2

cos

)

(

2





Podsumowując dowolny sygnał x(t) można rozwinąć w szereg trygonometryczny w przedziale (t

0

,t

0

+T)























1

0

0

0

0

0

0

)

sin

cos

(

)

sin

cos

(

)

(

i

i

i

i

i

i

t

i

b

t

i

a

a

t

i

b

t

i

a

t

x









Gdzie:

















T

t

t

T

t

t

i

T

t

t

i

dt

t

x

T

a

tdt

i

t

x

T

b

tdt

i

t

x

T

a

0

0

0

0

0

0

)

(

1

sin

)

(

2

cos

)

(

2

0

0

0





A sygnał okresowy o okresie T można rozwinąć w szereg trygonometryczny w przedziale nieskończonym (wzory takie same jak wyżej).

4

4.

Całkowe przekształcenie Fouriera sygnałów nieokresowych.

(uzasadnić potrzebę poszukiwania innych narzędzi (innej reprezentacji) niż rozwijanie w szereg, koncepcja okresowego powielania sygnału
nieokresowego, widmo amplitudowe, widmo fazowe, warunki Dirichleta)

Aby sygnał x(t) można było rozwinąć w szereg F. musi spełniać tzw. Warunki Dirichleta
1. sygnał x(t) musi być bezwzględnie całkowalny









T

t

t

dt

t

x

0

0

)

(

2. dla dowolnego przedziału czasu o długości T sygnał x(t) posiada skończoną liczbę ekstremów
3. dla dowolnego przedziału czasu o długości T sygnał x(t0 posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości

Każdy przebieg okresowy, który można wytworzyć w warunkach eksperymentalnych spełnia warunki Dirichleta.

Sygnał okresowy x(t, o okresie T można rozwinąć w przedziale nieskończonym szereg trygonometryczny lub wykładniczy, w rzeczywistości

analizie poddawane są sygnały ograniczone w czasie oraz na ogół nieokresowe, nastała potrzeba stworzenia narzędzi analitycznych do
badania dowolnych sygnałów, w tym nieokresowych, o dowolnym czasie trwania.

















dt

e

t

x

X

d

e

X

t

x

t

j

t

j













)

(

)

(

)

(

2

1

)

(

Wyrażenia te stanowią parę całkowych przekształceń Fouriera.

Przekształcenie całkowe F. przedstawia sygnał impulsowy w postacie nieskończonej sumy małych składowych harmonicznych określonych na

całej osi pulsacji. Widmo X(w) jest zespoloną funkcją pulsacji, niosącą zarówno informacje o amplitudzie jak i fazie elementarnych
składowych harmonicznych.

Charakterystykę widmową sygnału x(t) można przedstawić w postaci trygonometrycznej oraz wykładniczej

gdzie:

Moduł charakterystyki widmowej sygnału nazywa się charakterystyką amplitudowo-częstotliwościową (widmo amplitudowe), a argument –

charakterystyką azowo-częstotliwościową (widmo fazowe).

Warunki istnienia transformaty Fouriera. Przekształcenie F. nie zawsze może być wyznaczone dla wszystkich sygnałów x(t). musi spełniać

warunki Dirichleta. W celu rozszerzenia zakresu stosowalności analizy częstotliwościowej na sygnały nie posiadające F – transformaty w
sensie zwykłym wprowadzane są uogólnienia, np. przekształcenie Fouriera w sensie granicznym.

5

5.

Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera.

(nie wystarczy ich wymienienie - konieczna dyskusja kolejnych właściwości)

Dane są pary transformat:

Własności:

Twierdzenie o liniowości:

Twierdzenie o symetrii:

Jeśli sygnał o kształcie x(t) ma widmo X(w), to sygnał X(t) o kształcie tego widma ma widmo o kształcie sygnału pierwotnego odbitego

względem osi rzędnych przeskalowane o 2pi.

Twierdzenieo przesunięciu w dziedzinie czasu:

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości (o modulacji):

Twierdzenie o podobieństwie (o zamianie skali):

Twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu

Twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości:

Uogólnione twierdzenie Rayleigh:

Iloczyn skalarny jest proporcjonalny do iloczynu skalarnego ich widm

Twierdzenie o energii (Parsevala):

Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie czasu:

Twierdzenie o funkcji korelacji wzajemnej:

6

6.

Analiza korelacyjna sygnałów o ograniczonej energii.

(pojęcie sygnału o ograniczonej energii, funkcja autokorelacji i jej właściwości, jej związek z widmem energii, funkcja korelacji wzajemnej i
jej właściwości, związek z widmem energii wzajemnej)

Funkcje korelacji – miary podobieństwa sygnałów. Porównanie analizowanego sygnału z innym w szczególnym przypadku ze swoja własną,

przesuniętą w czasie kopia, potrzeba określenia ilościowego stopnia ich podobieństwa. Miarą tego podobieństwa jest funkcja autokorelacji
określonej w oparciu o definicję iloczynu skalarnego sygnałów.

Iloczyn skalarny zespolonego sygnału x(t) oraz jego przesunięty o tał kopii

Funkcją autokorelacji sygnału x(t) o ograniczonej energii nazywamy zależność iloczynu skalarnego od przesunięcia tał

Funkcja autokorelacji sygnału zespolonego jest zespolona, rzeczywistego – rzeczywista.

Własności funkcji autokorelacji:

- wartość funkcji autokorelacji przy tał = 0 jest rzeczywista i równa energii sygnału

- funkcja autokorelacji sygnału jest funkcją hermitowską (dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą i parzystą)

- dla każdej wartości przesunięcia tał moduł funkcji autokorelacji nie przekracza co do modułu wartości energii sygnału (funkcja autokorelacji ma

zawsze dla tał = 0 dodatnie maksimum)

- jeśli dla pewnego przesunięcia tał0 funkcja autokorelacji

to sygnał x(t) i

są ortogonalne

- funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tzn. funkcja autokorelacji sygnału x(t) równa jest funkcji autokorelacji sygnału

dla dowolnej wartości przesunięcia t.

- funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej energii jest funkcjąo ograniczonej energii (F-transormowalną)

Związek funkcji autokorelacji z widmem energii sygnału

Para transformat Fouriera:

Zakładając w wyrażeniu na odwrotną transformatę Fouriera tał =0 otrzymamy

Podsumowując, energię sygnału można wyznaczyć na trzy sposoby:

- w dziedzinie czasu

- w dziedzinie korelacyjnej

- w dziedzinie częstotliwości

Widmo energii jest nieujemną, rzeczywistą funkcją pulsacji. Funkcja autokorelacji sygnału rzeczywistego jest funkcją rzeczywistą i parzystą,

zatem widmo energii sygnału też jest funkcją parzystą.

7

Charakterystyczną cechą widmowej reprezentacji sygnału jest to, że energie odpowiadające różnym przedziałom pulsacji sumują się jako liczby

rzeczywiste, podczas gdy opis widmowy za pomocą transformaty Fouriera sygnału polega na sumowaniu amplitud zespolonych,
opisujących wkłady poszczególnych małych przedziałów pulsacji; amplitudy sumują się jako liczby zespolone. Opis sygnału w funkcji
autokorelacji (widma energii) powoduję utratę informacji zawartej w fazowych charakterystykach sygnału. Na podstawie znajomości funkcji
autokorelacji nie można odtworzyć czasowej postaci sygnału. Wszystkie sygnały o jednakowym kształcie, różniące się jedynie położeniem
na osi czasu, są w ujęciu energetycznym utożsamione i tym samym nierozróżnialne.

Funkcja korelacji wzajemnej sygnałów:

Funkcja korelacji wzajemnej określa związki pomiędzy dwoma różnymi sygnałami. Dla sygnałów o ograniczonej energii x(t) oraz y(t) funkcja

korelacji wzajemnej między sygnałem x(t) a y(t) określona jest wyrażeniem

Podobnie funkcja korelacji wzajemnej między sygnałem y(t) a x(t)

Analogicznie do funkcji autokorelacji wartośc funkcji korelacji wzajemnej dla tał=0 nazywana jest energią wzajemną:

Własności funkcji korelacji wzajemnej:

Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie są funkcjami parzystymi zmiennej tał oraz nie muszą przybierać wartości

maksymalnych dla tał=0. wartość funkcji korelacji wzajemnej nie przekraczają co do modułu pierwiastka z iloczynu energii obydwu
sygnałów. Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są całkowalne w kwadracie, a więc F-transformowalne.

Widma energii wzajemnej sygnałów:

Wielkość

nazywana jest widmem energii wzajemnej między sygnałem x(t) a y(t).

W przeciwieństwie do widma energii widma energii wzajemnej posiadają częściową informację o fazach sygnałów.

8

7.

Analiza korelacyjna sygnałów o ograniczonej mocy.

(pojęcie sygnału o ograniczonej mocy, funkcja autokorelacji i jej właściwości, jej związek z widmem mocy, funkcja korelacji wzajemnej i jej
właściwości, związek z widmem mocy wzajemnej)

Sygnały analogowe o ograniczonej mocy średniej:
Dla sygnałów o ograniczonej mocy średniej całka definiująca autokorelacji jest rozbieżna i definicja funkcji autokorelacji dla tej klasy sygnałów

jest inna.

Funkcją autokorelacji ψ

x

(τ) sygnału x(t) o ograniczonej mocy średniej nazywamy wielkość graniczną:

Dla sygnałów okresowych:

Gdzie t

0

wartość dowolna.

Własności funkcji autokorelacji:
- wartość autokorelacji ψ

x

(τ) przy tał = 0 jest rzeczywista i równa mocy sygnału

- funkcja autokorelacji sygnału jest funkcją hermitowską

- dla każdej wartości przsunięcia tał moduł funkcji autokorelacji ψ

x

(τ) nie przekracza co do modułu wartości mocy sygnału

Jeśli dla pewnego przesunięcia tał0 funkcja autokorelacji ψ

x

(τ)=0 to sygnały x(t) i x(t-tał0) są ortogonalne

Funkcja autokorelacji ψ

x

(τ)jest niezmiennicza względem przesunięcia, tzn funkcja autokorelacji sygnału x(t) równa jest funkcji autokorelacji

sygnału x(t-t

0

) dla dowolnej wartości przesunięcia t

0

- funkcja autokorelacji ψ

x

(τ) sygnału o ograniczonejmocy średniej jest F-transformowalna w sensie granicznym

- funkcja autokorelacji ψ

x

(τ) sygnału okresowego o okresie T

0

jest również funkcją okresową T

0

Związek funkcji autokorelacji z widmem mocy sygnału:

Własności energetyczne sygnałów o ograniczonej energii opisuje dziedzinie pulsacji widmo energii. Właściwości energetyczne sygnałów o

ograniczonej mocy średniej opisuje w dziedzinie pulsacji widmo mocy.

- widmem mocy sygnału o ograniczonej mocy średniej x(t) nazywamy granicę:

- widmo mocy również nie zawiera informacji o strukturze sygnału

- jeśli x(t) jest rzeczywiste, to widmo moy jest funkcją rzeczywistą i parzysta i prawdziwa jest zależność

Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów x(t) i y(t) o ograniczonej mocy średniej

- dla sygnałów okresowych

Własności funkcji korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy średniej są analogiczne do własności funkcji korelacji wzajemnej sygnałów

o ograniczonej energii.

Widma mocy wzajemnej sygnałów:

Funkcje korelacji wzajemnej i wima mocy wzajemnej sygnałów x(t) i y(t) o ograniczonej mocy średniej stanowią odpowiednio pary transformat

Fouriera (w sensie granicznym).

9

8.

Sygnał wąskopasmowy.

(definicja, modele matematyczne)

Sygnały, których widma są różne od zera jedynie w pewnym przedziale o skończonej długości nazywamy sygnałami o ograniczonym paśmie.
Sygnał wąskopasmowy jest szczególną klasą sygnałów o ograniczonym paśmie, jest to sygnał o widmie skupionym w przedziale pulsacji o
szerokości B w otoczeniu wartości środkowych

,

Matematyczne modele sygnałów wąskopasmowych:

Model (III)

Model (IV)

Sygnał wąskopasmowy jest złożonym drganiem powstałym przez jednoczesną modulację amplitudy i kąta harmonicznej fali nośnej. Pulsacja
chwilowa sygnału wąskopasmowego:

A jego obwiednia rzeczywista:

10

9.

Sygnał analityczny, widmo sygnału analitycznego.

Funkcję:

nazywamy sygnałem analitycznym stowarzyszonym z sygnałem rzeczywistym x(t), X(w)-widmo

sygnału

Część urojona sygnału analitycznego:

nazywa się sygnałem skojarzonym z x(t)

Sygnał analityczny

można przedstawić jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, rzut tego wektora na oś

rzeczywistą jest wartość sygnału x(t) w danej chwili czasu

Jeśli sygnał analityczny posiada widmo, to:

i

Z liniowości przekształcenia Fouriera wynika, że widmo sygnału analitycznego:

10. Przekształcenie Hilberta.

(definicja, związek z definicją sygnału analitycznego, filtr kwadraturowy)

Wyrażenia:

i

stanowią proste i odwrotne przekształcenie Hilberta.

Sygnał analityczny można zapisać:

Filtr kwadraturowy realizuje przesunięcie wszystkich składowych o -90

o

w zakresie dodatnich pulsacji i 90

o

dla ujemnych bez zmiany ich

amplitud, nazywany jest filtrem Hilberta. Własności przekształcenia Hilberta to liniowość oraz transformata od stałej równa jest 0.

Sygnały

11

11. Układy liniowe ciągłe.

(pojęcie układu, klasyfikacja, opis układu w dziedzinie czasu i częstotliwości)

Matematycznym modelem układu jest przekształcenie sygnału wejściowego na sygnał wyjściowy, układ możę być wielowejściowy i
wielowyjściowy. Jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są sygnałami ciągłymi w czasie to układ nazywamy analogowym.
Klasyfikacja układów:
- stacjonarny, jeśli jest opisany operatorem stacjonarnym, czyli jeśli dla każdych x(t) i t

0

zachodzi zależność: Jeśli nie jest ona spełniona to układ

jest niestacjonarny.

Operatory stacjonarne to:różniczkowanie, całkowanie,opóźnienie w czasie, podnoszenie do kwadratu, pierwiastkowanie i logarytmowanie do

niestacjonarnych należy np.

-układ liniowy, jesli spełnia zasadę superpozycji, czyli odpowiedź układu na sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie odpowiedzi na każdy
z sygnałów, w przeciwnm wypadku układ jest nieliniowy
-układ nazywamy przyczynowym, jeśli wartość sygnału na wyjściu w dowolnej chwili t zależy od bieżącej i poprzednich wartości sygnału
wejściowegoi nie zależy od wartości przyszłych sygnału wejściowego, w przeciwnym wypadku układ jest nieprzyczynowy. Dla układu
przyczynowego odpowiedź nie może wyprzedzać wymuszenia.
Opisując układ w dziedzinie czasu posługujemy się:
-odpowiedzią impulsową h(t) – odpowiedzią układu na impuls Diracka
-odpowiedzią jednostkową r(t) – będącą reakcją na skok jednostkowy
Znajomość jednej z tych odpowiedzi pozwala znaleść odpowiedź układu na dowolne wymuszenie. W związku z tym, że nie można
wygenerować impulsu Diracka to odpowieź impulsowa stanowi opis teoretyczny układu, natomiast skok jednostkowy można w sposób
przybliżony wytworzyć, więc odpowiedź r(t) stanowi narzędzie do badania układów fizycznych

Jeśli T jest operatorem przekształcenia, to

wynika z tego związek między odpowiedziami

czasowymi układu:

, oraz

Znając charakterystyki czasowe układu związek pomiędzy wymuszeniem i odpowiedzią można wyznaczyć wykorzystując operacje splotu:

oraz ze względu na przemienność splotu:

Stacjonarne ukłay liniowe w dziedzinie częstotliwości opisywane są charakterystykami amplitudowo-fazowymi:

,

zależność charakterystyki od

wynika ze związku z transformatą Laplace’a

Związek pomiędzy widmami sygnałów na wejściu i wyjściu określa równanie transmisyjne układu:

12. Konwersja analogowo-cyfrowa.

(wprowadzenie-etapy, rozwijanie sygnałów w szereg Kotielnikowa-Shannona)

Operacja próbkowania dostarcza informacji o wartości chwilowej sygnału w momentch próbkowania, jednak znajomość próbek nie wystarcza do

odtworzenia postaci analogowej. Próbkowaniu bez strat mogą być poddawane jedynie sygnały należące do klasy sygnałów o
ograniczonym paśmie.

Dowolny sygnał x(t) można rozwinąć w szereg Fouriera. Można wykazać, że zbiór funkcji próbkujących Sa :

tworzy w przestrzeni sygnałów o ograniczonej energii i ograniczonym paśmie układ

ortogonalny w przedziale

Dowolny sygnał można rozwinąć w przedziale

w szereg względem funkcji próbkujących Sa (szereg Kotielnikowa-Shannona) o

postaci:

, którego współczynniki wyznacza się ze wzorów:

, można wykazać, że współczynniki rozwinięcia ai równe są wartościom

sygnału x(t) w chwilach i Ts, zatem:

12

13. Twierdzenie o próbkowaniu.

(twierdzenie, filozofia dowodu, ilustracja-z komentarzem-na przebiegach w dziedzinie czasu i częstotliwości, zjawisko „aliasingu”)

Jeżeli sygnał x(t) jest sygnałem o widmie skończonym w paśmie podstawowym w przedziale

gdzie stała

jest

najwyższą niezerową składową częstotliwościową sygnału x(t) wówczas sygnał ten jest równoważny zbiorwi swoich próbek odległych od siebie

o stały przedział (okres):

Sygnał wyjściowy można odtworzyć z ciągu próbek stosując idealny filtr dolnoprzepustowy o paśmie

i wzmocnieniu 1. operacja filtracji

pojedynczego okresu widma sygnału spróbkowanego:

, ponieważ

, to wykorzystując transformatę Fouriera otrzymamy:

, więc

Wykonując odwrotne przekształcenie Fouriera otrzymamy:

,

następnie wykorzystanie właściwości okresowego próbkowania dystrybucji sza oraz podstawiając

otrzymamy zależność:

, co dowodzi twierdzenie o próbkowaniu.

Gdy przedział próbkowania odbiega od jego wartości granicznej

wówczas w zależności relacji

widmo

sygnału przyjmie postać jak na rysunku:

gdy

powoduje nakładanie się sąsiednich kopii widma

nazywamy aliasingiem

13

14. Próbkowanie idealne, naturalne i z pamięcią.

(dla każdego z nich: idea na schemacie funkcjonalnym, analityczna postać widma sygnału wyjściowego, przebiegi w dziedzinie czasu i
częstotliwości sygnału po operacji próbkowania, komentarz)

Próbkowanie idealne przebiega w układzie modulatora iloczynowego:

widmo sygnału próbkującego:

wykorzystując okresowe powielanie dystrybucji sza otrzymamy:

Operacja próbkowania idealnego wymaga wygenerowania ciągu impulsów Diracka, jest zatem nierealizowalna w praktyce, sygnał ten można

przybliżyć za pomocą ciągu impulsów prostokątnych o skończonym czasie trwania i okresie

. Taki sygnał można otrzymać jako odpowiedź

filtru o odpowiedzi ipulsowej w postaci impulsu prostokątnego o parametrach impulsów próbkujących na wymuszenie w postaci dystrybucji sza.
Próbkowanie naturalne można zrealizować w układzie modulatora iloczynowego:

widmo sygnału na wyjściu:

ostatecznie:

Przebiegi sygnałów i ich widma:

Próbkowanie chwilowe (z pamięcią) można zrealizować w idealnym modulatorze iloczynowym, którego próbki wyjściowe zostają splecione w
filtrze z jego odpowiedzią impulswą w postaci jednostkowego impulsu prostokątnego. W tym próbkowaniu na impulsy prostokątne próbkujące
nakładają się jedynie chwilowe wartości sygnału próbkowanego, ale przy spełnionym kryterium Nyquista zawiera to pełną informację o sygnale
próbkowanym.

Widmo sygnału na wyjściu:

Ostatecznie:

14

15. Konwersja cyfrowo-analogowa.

(wprowadzenie, schodkowa metoda odtwarzania sygnału z próbek, wyjściowy filtr korekcyjny)

Teoretycznie odtwarzanie sygnału analogowego z ciągu próbek z okresemTs

Określa szereg Kotielnikowa-Shannona

:

, znajomość funkcji Sa pozwala wyznaczyć wartość sygnału w dowolnej

chwili t, nieksończona liczba sumowań wyklucza zastosowanie praktyczne, w praktyce stosuje się przetwornik C/A plus filtr dolnoprzepustowy,
najprostsza jest metoda schodkowa:

, błąd tej metody powoduje zniekształcenia widma. Sygnał schodkowy stanowi sumę przesuniętych

impulsów prostokątnych:

Zatem sygnał schodkowy:

Sygnał schodkowy możemy wyrazić jako splot:

A widmo sygnału schodkowego:

Z wyrażenia tego wynika, że widmo tego sygnału jest zniekształcone obwiednią funkcji Sa, zniekształcenia te zmniejsza się stosując większą
częstotliwość próbkowania lub stosując dolnoprzepustowy filtr korekcyjny

15

16. Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych.

(proste i odwrotne przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, właściwości przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych)

Transformata Fouriera w zwykłym sensie:

Ponieważ:

To wyrażenie na prostą transformatę Fouriera przyjmie postać:

sygnałowi dyskretnemu

zostaje przyporządkowana zespolona funkcja o zmiennej

rzeczywistej

Ponieważ funkcja

jest funkcją okresową można ją rozwinąć w wykładniczy szereg Fouriera

Poszukiwanie sygnału w dziedzinie dyskretnej czasu opiera się na zależności:

Para transformat Fouriera dla nienormowanych zmiennych niezależnych:

, a dla zmiennych normowanych niezależnych:

Właściwośći przekształcenia Fouriera dla sygnałów dyskretnych:

-liniowość:

-przesunięcie w dziedzinie czasu:

-przesunięcie w dziedzinie częstotliwości:

-splot w dziedzinie czasu:

-splot w dziedzinie częstotliwości:

-uogólnione twierdzenie Rayleigha:

, iloczyn skalarny sygnałów jest proporcjonalny do iloczynu

skalarnego ich widm

-twierdzenie o energii Parsevala:

16

17. Dyskretne przekształcenie Fouriera.

(wprowadzenie, definicje prostego i odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera, dyskretne widmo amplitudowe i fazowe,
właściwości dyskretnego przekształcenia Fouriera)

Ze względu na złożoność sygnałów współczesna analiza dokonuwana jest metodami numerycznymi.

Sygnał podlega obserwacji w skończonej dziedzinie czasu i ma skończoną liczbę próbek N=T/Ts.

Sygnał dyskretny posiada widmo określone wyrażeniem:

Metody numeryczne polegają na wyznaczeniu wartości widma w skończonej liczbie równoodległych punktów. Najmniejsza liczba punktów

wynosi N, gdyż wtedy otrzymujemy N równań z N niewiadomymi. Dyskretna transformata Fouriera (DTF) określona jest zależnością:

, sygnałowi zostaje przyporządkowana funkcja zmiennej k o okresie N. W skrócie oznaczamy ją X[k] i

nazywamy N-punktową DTF. Funkcje:

Wprowadzana jest wielkość:

, wykorzystując ją DTF przyjmuje postać:

Odwrotna dyskretna transformata Fouriera (ODTF) określona jest wyrażeniem:

Własmości DTF:

-liniowość

-wartość w k=0,

-właściwość symetrii: dla sygnału x[n] rzeczywistego i parzystego próbki widma symetryczne względem N/2 są parami sprzężone

-twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu

-twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości:

-twierdzenie Parsevala:

17

18. Analiza korelacyjna dyskretnych sygnałów o ograniczonej energii.

(pojęcie dyskretnego sygnału o ograniczonej energii, funkcja autokorelacji i jej właściwości, jej związek z widmem energii, funkcja korelacji
wzajemnej, związek z widmem energii wzajemnej)

Sygnały dyskretne o ograniczonej energii:

Definicja funkcji autokorelacji:

jako iloczyn skalarny

Funkcją autokorelacji sygnału dyskretnego o ograniczonej energii nazywamy zależność iloczynu skalarnego od przesunięcia m:

własności funkcji autokorelacji:

-jest funkcją hermitowską:

-wartość przy m=0 jest rzeczywista i równa energii sygnału:

-dla każdej wartości m moduł funkcji nie przekracza energii sygnału:

-jest niezmiennicza względem przesunięcia to znaczy, że x(n)=x(n-n

0

-funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej energii jest funkcją o ograniczonej energii
Związek z widmem energii: w oparciu o tw. Rayleigha funkcja autokorelacji sygnału i jego widmo energii stanowią parę transformat Fouriera:

, podstawiając w odwrotnej transformacie m=0 uzyskamy:

jest to pole pod krzywą widma energii uśrednione za okres

Funkcja korelacji wzajemnej określa związki pomiędzy dwoma różnymi sygnałami dyskretnymi. Dla sygnałów x(n) i y(n) o ograniczonej energi

funkcja korelacji między x a y określa się:

a między y a x:

Wartość funkcji korelacji dla m=0 nazywana jest energią wzajemną:

Właściwości:
-symetria przesunięcia dla sygnałów rzeczywistych
-wartości funkcji nie przekraczają co do modułu pierwiastka z iloczynu energii obu sygnałów

-jeśli wartość

jest 0 to sygnały x(n) oraz y(n-m) są ortogonalne

Widmo energii wzajemnej sygnałów dyskretnych x(n) i y(n) określone jest wyrażeniem:

, a między y(n) a x(n):

i wieldkośći te tworzą pary transformat Fouriera:

18

19. Analiza korelacyjna dyskretnych sygnałów o ograniczonej mocy.

(pojęcie dyskretnego sygnału o ograniczonej mocy, funkcja autokorelacji i jej właściwości, sygnały N-okresowe, związek z widmem mocy,
funkcja korelacji wzajemnej)

- sygnały N –okresowe
próbkowanie analogowego sygnału okresowego nie zawsze daje w wyniku sygnał okresowy; jeśli analogowy sygnał okresowy xt o okresie T
jest próbkowany z okresem T

s

takim, że NT

s

= T, to otrzymany sygnał dyskretny jest okresowy z okresem N (dla unormowanego czasu)

nazywany inaczej sygnałem N –

okresowym

- związek funkcji autokorelacji z widmem mocy sygnału
Właściwości energetyczne sygnałów o ograniczonej energii opisuje w dziedzinie pulsacji widmo energii właściwości energetyczne sygnałów o
ograniczonej mocy średniej opisuje w dziedzinie pulsacji widmo mocy.

19

20. Splot dyskretny.

(definicja splotu liniowego i kołowego, właściwości splotu, wyznaczanie splotu przy pomocy DFT)

Splot dyskretny w systemach liniowych jest podstawowym narzędziem do opisu wzajemnej zależności pomiędzy trzema sygnałami – sygnałem
wejściowym, odpowiedzią impulsowa i sygnałem wyjściowym. W systemach cyfrowych stanowi matematyczną podstawę ich opisu.

1.

Splot liniowy

Splotem liniowym dwustronnym y[n] dwóch sygnałów czasu dyskretnego x

1

[n] i x

2

[n] nazywamy sumę:

2.

Splot kołowy (splot cykliczny, splot okresowy (dla ciągów o długości N

1

= N

2

= N )

W splocie kołowym (cyklicznym) zamiast odwrócenia i przesunięcia sygnałów stosujemy odpowiednio obrót cykliczny i opóźnienie cykliczne
splatanych sygnałów. Dla dwóch ciągów x[n] i h[n] o identycznej długości N splot kołowy definiujemy jako:

3.

Właściwości splotu dyskretnego.

- właściwość przemienności

- właściwości łączności

- właściwość rozdzielności względem dodawania

4. wyznaczanie splotu przy pomocy DFT

20

21.

Przekształcenie Z.

(proste i odwrotne przekształcenie Z, obszar zbieżności, właściwości, związek z przekształceniem Fouriera sygnału dyskretnego)

1.

Przekształcenie Z jest efektywnym narzędziem do analizy i syntezy sygnałów i układów

czasu dyskretnego i jest odpowiednikiem przekształcenia Laplace’a dla układów czasu
ciągłego.
Transformata Z ciągu (funkcji argumentu całkowitego) {x(n)} jest funkcja zespolona
zmiennej zespolonej z zdefiniowana równaniem:

Jest to transformata dwustronna. Transformata Z jednostronna określona jest wyrażeniem:

gdzie operacja całkowania odbywa sie po konturze zamkniętym, obejmującym początek płaszczyzny zespolonej, leżącym całkowicie wewnątrz
obszaru zbieżności funkcji X (z) ze względu na trudności w całkowaniu zazwyczaj korzysta sie z twierdzenia Cauchy’ego o residuach.

Obszar zbieżności:

określenie obszaru zbieżności jest bardzo istotne; istnieją funkcje posiadające identyczne
transformaty Z , różniące sie jedynie obszarem zbieżności; zatem transformata Z jest
wzajemnie jednoznaczna po uwzględnieniu obszaru zbieżności

Właściwości przekształcenia Z:
- obszar zbieżności wymiernej transformaty Z nie może zawierać żadnych biegunów, jest on zatem ograniczony przez bieguny, przez zero, lub
nieskończoność (transformata Z nie jest zbieżna w biegunie)
- twierdzenia graniczne: suma wszystkich próbek sygnału równa jest transformacie Z tego sygnału dla z = 1

21

22

22.

Wstęp do dyskretnych układów liniowych.

(pojęcie układu dyskretnego, klasyfikacja, opis układu w dziedzinie czasu: odpowiedź impulsowa, równanie różnicowe, schemat
strukturalny)

UKŁADY DYSKRETNE2
Pojecie układu
• matematyczna definicja (modelem) układu jest jednoznaczne przekształcenie
(operator) odwzorujące sygnał wejściowy x w sygnał wyjściowy y
jest to tzw. ujecie transmisyjne

• w ogólnym przypadku układ może być wielowejściowy i wielowyjściowy
• powyższa definicja układu ma charakter uniwersalny i może odnosić Sie do różnych
klas sygnałów
• jeśli dziedzina X i przeciwdziedzina Y operatora T są zbiorami sygnałów
dyskretnych w czasie, układ nazywamy dyskretnym

Klasyfikacja układów
• układ stacjonarny (niezmienny względem przesunięcia, inwariantny w czasie)
- operator przesunięcia w czasie sygnałów dyskretnych

- operator T określony w dziedzinie sygnałów dyskretnych nazywamy stacjonarnym,
Jeśli dla każdych x(n) i 0 n zachodzi przemienność

układ opisany operatorem stacjonarnym nazywamy układem stacjonarnym;
układ opisany operatorem nie spełniającym warunku stacjonarności nazywamy układem niestacjonarnym

- dla stacjonarnych układów dyskretnych spełniona jest zależność

- operatory: mnożenia skalarnego y(n) = ax(n) oraz opóznienia y(n) = x(n −1)
w dziedzinie sygnałów dyskretnych sa operatorami stacjonarnymi
- operator typu y(n) = n x(n) w dziedzinie sygnałów dyskretnych jest operatorem niestacjonarnymi
• układ liniowy
-

układ dyskretny nazywamy liniowym jeśli spełnia zasadę superpozycji, tzn.

odpowiedz układu na ważoną sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie
ważonych odpowiednio odpowiedzi oddzielnie na każdy z sygnałów, w przeciwnym przypadku układ nazywamy nieliniowym

• układ przyczynowy
jeżeli układ opisany operatorem T odwzorowuje zbiór sygnałów X w zbiór
sygnałów Y i jeżeli y

1

= T[x

1

] oraz y

2

= T[x

2

] wówczas operator T określony

w zbiorze sygnałów dyskretnych X nazywa się operatorem przyczynowym jeśli dla każdych x

1

(n),x

2

(n)єX, i każdego n

0

z równości x

1

(n)=x

2

(n) , n

< n

0

wynika równość y

1

(n)=y

2

(n), n < n

układ opisany operatorem przyczynowym nazywamy układem przyczynowym; w przeciwnym wypadku układ nazywamy układem
nieprzyczynowym

z powyższych definicji wynika, że dla układu przyczynowego z równości

0

)

(



n

x

dla n<n

0

, wynika równość

0

)

(



n

y

n < n - zatem

odpowiedz układu przyczynowego nie może poprzedzać wymuszenia

inaczej układ dyskretny nazywamy przyczynowym jeśli wartość sygnału na jego wyjściu y(n) w dowolnym momencie czasu n zależy jedynie od
bieżącej
i poprzednich wartości sygnały wejściowego i nie zależy od przyszłych wartości sygnału wejściowego w przeciwnym przypadku układ
nazywamy nieprzyczynowym.

* odpowiedz układu na pobudzenie testowe (przy zało*eniu zerowych warunków
poczatkowych) jest jego charakterystyka opisujaca w dziedzinie czasu relacje
„wejscie -wyjscie”



• odpowiedz impulsowa h(n) układu nazywamy jego reakcje (sygnał wyjściowy) na
pobudzenie w postaci impulsu Kroneckera (n) przy zerowych warunkach
początkowych

23

znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala wyznaczyć reakcje układu na dowolne pobudzenie

Do opisu przyczynowych układów liniowych, niezmiennych względem przesunięcia wykorzystuje się równania różnicowe, wiążące z sobą
pobudzenie układu x(n) z jego odpowiedzią y(n); są t równania różnicowe M-tego rzędu o stałych współczynnikach postaci

24

23. Układy liniowe dyskretne.

(równanie różnicowe, transmitancja układu, charakterystyka częstotliwościowa, klasyfikacja układów dyskretnych)

• do opisu przyczynowych układów liniowych, niezmiennych względem przesunięcia ,wykorzystuje się równania różnicowe, wiążące z sobą
pobudzenie układu x(n) z jego
odpowiedzią y(n) ; są to równania różnicowe M -tego rzędu o stałych
współczynnikach postaci

gdzie {a

k

} oraz {b

k

} stałe współczynniki opisujące właściwości układu, niezależne od x(n) oraz y(n).

Równania różnicowe są dyskretnym odpowiednikiem równań różniczkowych,
opisujących układy analogowe

• funkcje

nazywamy transmitancją (inaczej funkcją przenoszenia, przy założeniu zerowych warunków początkowych) dyskretnego, przyczynowego
układu liniowego, niezmiennego względem przesunięcia; transmitancja układu H(z) jest transformatą Z jego odpowiedzi impulsowej h(n)
• wyznaczając transformatę Z równania różnicowego określamy transmitancję układu

- charakterystyka częstotliwościowa układu dyskretnego

25

24. Elementy filtrów cyfrowych.

(rodzaje struktur filtrów FIR oraz IIR, porównanie właściwości filtrów FIR oraz IIR )

• stacjonarny układ (filtr) liniowy dyskretny opisuje jest równanie różnicowe
( a

0

= 0 )

(współczynniki a

k

i b

k

decydują o właściwościach układu, max(M,N) - rząd filtru)

Klasyfikacja:

• struktura filtru IIR opisana powyższym równaniem przedstawiona jest na schemacie (1 forma bezpośrednia niekanoniczna)

• 2 forma bezpośrednia niekanoniczna oraz 2 forma bezpośrednia kanoniczna

• odwrócona bezpośrednia forma kanoniczna filtrów FIR

• jeśli h(n) układu FIR spełnia warunek symetrii









N

n

dla

n

N

h

n

h

,

0

)

(

)

(

to układ posiada liniową charakterystykę fazową

• uproszczona struktura filtru FIR o liniowej charakterystyce fazowej dla parzystej liczby ogniw filtru ( N nieparzyste)

26

• uproszczona struktura filtru FIR o liniowej charakterystyce fazowej

)

(

)

(

n

N

h

n

h





dla nieparzystej liczby ogniw filtru ( N parzyste)

• przedstawione realizacje nie mają znaczenia praktycznego, zwłaszcza gdy rząd filtru przekracza wartość 3-5; dla realizacji filtrów wyższych
rzędów, dla zmniejszenia ich wrażliwości na zmiany wartości współczynników stosuje się kaskadowe lub równoległe połączenia sekcji drugiego
rzędu, tzw. sekcji bikwadratowych o transmitancji postaci