Rys. 8.1. Azymuty: boku wyjściowego

A

AB

i boku odwrotnego A

BA

A

AB

180 A

BA

A

AB

A

B

Rozdział 8:

Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

8.1. Orientacja pomiarów geodezyjnych

W rozdziale 1 przedstawiliśmy krótką charakterystykę układów współrzędnych

stosowanych w geodezji, w tym wykorzystywane najczęściej płaskie układy prawoskrętne:
prostokątny i biegunowy. Orientację boku osnowy lub kierunku względem osi układu
określa się za pomocą azymutu lub kąta kierunkowego, które tym różnią się od siebie, że
stałym ramieniem azymutu jest kierunek północy, zaś w przypadku kąta kierunkowego
ramieniem tym jest dodatni kierunek osi x układu, która nie musi być zorientowana według
północy. W rachunku współrzędnych wielkościami wyjściowymi lub szukanymi mogą być
zarówno elementy liniowe, do których zalicza się: współrzędne punktów X, Y, przyrosty
współrzędnych odcinków

x, y, długości zredukowane (poziome) d, jak i elementy

kątowe: azymuty, kąty kierunkowe, kąty wierzchołkowe w sieciach osnów poziomych
i figurach geometrycznych .

Azymutem A

AB

boku AB nazywamy kąt

poziomy, zawarty w przedziale od 0 do 360

,

pomiędzy kierunkiem północy wychodzącym
z punktu A a danym bokiem AB, liczony od
kierunku północy w prawo, czyli zgodnie
z ruchem wskazówek zegara (rys. 8.1).

Jeśli punktem początkowym boku, dla

którego określamy azymut jest punkt B, wtedy po
wyprowadzeniu z niego kierunku północy
i zakreśleniu kąta w prawo pomiędzy północą
a bokiem

BA

otrzymamy

azymut boku

odwrotnego, oznaczony symbolem: A

BA

. Zgodnie

z rys. 8.1 azymut ten różni się od azymutu boku
AB o wartość kąta półpełnego:

A

BA

= A

AB

 180

(8.1)

W powyższym wzorze znak plus odnosi się do azymutów wyjściowych

mniejszych od 180

 (lub 200

g

), zaś znak minus dotyczy azymutów wyjściowych

przekraczających 180

.

Kierunek północy występujący w definicji azymutu może być określany w różny

sposób, w związku z czym wyróżnia się kierunki północy: geograficznej, topograficznej
i magnetycznej (rys. 8.2).

Kierunek północy geograficznej (astronomicznej) wychodzący z danego punktu

ziemskiego jest kierunkiem północnej części południka geograficznego, łączącego ten
punkt z geograficznym biegunem północnym Ziemi. Wyznaczenie kierunku północy
geograficznej i azymutu przedmiotu ziemskiego stanowią jedno z ważniejszych zadań
astronomii geodezyjnej. Dość dokładnie kierunek ten wskazuje Gwiazda Polarna
(



-Ursae Minoris) w gwiazdozbiorze Małej Niedźwiedzicy. Kierunek północy

183

magnetycznej jest wskazywany przez igłę magnetyczną busoli, umieszczonej w punkcie
początkowym A.

Bieguny magnetyczne Ziemi odznaczają się

zmiennością położenia i z reguły nie pokrywają się
z biegunami geograficznymi, toteż kierunki
południków: geograficznego i magnetycznego są od
siebie odchylone o zmieniający się w czasie
i przestrzeni kąt

 zwany deklinacją magnetyczną.

Azymut geograficzny A

g

obliczymy na podstawie

azymutu magnetycznego A

m

i deklinacji po dodaniu

tych kątów do siebie.

Kierunek

północy

topograficznej

(kartograficznej) jest ściśle związany z przyjętym
odwzorowaniem kartograficznym oraz z zależnym od
niego układem współrzędnych prostokątnych. Dodatni
kierunek osi x układu pokrywa się przeważnie
z kierunkiem północy geograficznej (południka
geograficznego), lecz dla punktów znajdujących się
poza osią x, kierunek północy topograficznej stanowi prostą równoległą do półosi +x,
natomiast południki wyznaczające północ geograficzną w różnych punktach terenowych nie
są równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N – biegunie północnym Ziemi, toteż odchylenie
kierunku północy topograficznej danego punktu A od północy geograficznej tego punktu
jest równe kątowi

, zwanemu zbieżnością południków (rys. 8.2). Dodając kąt  do azymutu

topograficznego A

t

, otrzymamy azymut geograficzny.

Dla ułatwienia obliczania azymutu, przyjmującego wartości w przedziale od 0 do

360

, wygodne jest posługiwanie się kątem ostrym  noszącym nazwę czwartaka, który

jako kąt nie przekraczający 90° występuje tylko w pierwszej ćwiartce kąta pełnego (stąd
nazwa – czwartak). Wszystkie funkcje trygonometryczne czwartaka są więc dodatnie, zaś
wyznaczenie wartości kąta na podstawie wartości tych funkcji ma charakter jednoznaczny.
Czwartak



AB

jest definiowany jako kąt ostry zawarty pomiędzy linią osi x, czyli jej

dodatnim lub ujemnym kierunkiem, a danym bokiem AB. W ćwiartkach: I i IV ramieniem
wyjściowym czwartaków jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III
ramię to stanowi prosta skierowana na południe.

Na podstawie rysunku 8.3 można określić zestawione w tabeli 8.1 zależności

pomiędzy azymutem a czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
prostokątnych. Zależności te pozwalają na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli
obliczenie jego azymutu na podstawie wartości czwartaka φ i znajomości numeru lub
oznaczenia ćwiartki (NE, SE, SW, NW).

184

⋆

A

B





A

g

A

t

A

m

Rys. 8.2. Azymuty: geograficzny,

topograficzny, magnetyczny

Rys. 8.3. Zależności pomiędzy azymutem A i czwartakiem

 w

poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

I ćw.

A=





A

+x

+y

N

S

W

E

O

A

II ćw. A=180°-





A

+x

+y

N

S

W

E

O

B

III ćw. A=180°

+





A

+x

+y

N

S

W

E

O

C

IV ćw. A=360°-





A

+x

+y

N

S

W

E

O

D

Tabela 8.1. Azymut A i czwartak φ

Nr i oznaczenie

ćwiartki

Zakres azymutu

Związek między

azymutem

a czwartakiem

I (NE)

0

 − 90

A =



II (SE)

90

 − 180

A = 180

 – 

III (SW)

180

 − 270

A = 180

 + 

IV (NW)

270

 − 360

A = 360

 – 

W geodezji niższej na ogół nie uwzględnia się krzywizny Ziemi, a więc wyniki

pomiarów wykonywanych na małych obszarach, odnoszone są do płaszczyzny. Z tego
względu linie południków traktowane są jako proste równoległe do osi x, zaś równoleżniki
jako proste prostopadłe do południków. Linie te naniesione w stałych odstępach
wynoszących 10 cm, tworzą na arkuszach mapy siatkę kwadratów, zorientowaną względem
stron świata. Opis współrzędnych X, Y linii siatki umożliwia graficzne określenie położenia
dowolnego punktu na mapie względem układu współrzędnych prostokątnych.

8.2. Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych

Dla uproszczenia dalszych rozważań

załóżmy, że rozpatrywany bok AB znajduje
się w I ćwiartce układu współrzędnych
prostokątnych, płaskich, zaś jego azymut A

AB

jest kątem ostrym (rys. 8.4). Po zrzutowaniu
punktów A,B na osie układu możemy
odczytać ich współrzędne: X

A

, Y

A

, X

B

, Y

B

,

natomiast rzuty prostokątne boku AB na obie
osie stanowią graficzną ilustrację tzw.
przyrostów współrzędnych:

x

AB

,

y

AB

,

będących

różnicami

pomiędzy

współrzędnymi punktów: A, B, a więc:

A

B

AB

A

B

AB

Y

Y

y

X

X

x

Δ

Δ









(8.2)

185

+x

B

A

y

AB

Y

A

Y

B

+y



x

AB

A

AB

d

AB

K

y

AB

X

B

X

A

O

Rys. 8.4. Związki pomiędzy azymutem,

długością i przyrostami boku AB

O

Na podstawie wzorów (8.2) można ustalić ogólną zasadę obliczania przyrostów

x, y danego boku. Jest nią odejmowanie

od odpowiednich współrzędnych punktu

końcowego boku, współrzędnych jego punktu początkowego. W zapisie symbolu przyrostu


...

AB

zawarty jest zwrot boku, lecz podczas odejmowania współrzędnych w celu obliczenia

przyrostu kolejność wprowadzania współrzędnych jako odjemnej i odjemnika jest
odwrotna: tzn. przyrost równa się: współrzędna punktu B minus współrzędna punktu A.

Z wzorów (8.2) i zależności geometrycznych w trójkącie ABK (rys. 8.4) można

określić następujące podstawowe wzory rachunku współrzędnych:

AB

A

B

AB

A

B

y

Y

Y

x

X

X

Δ

Δ









(8.3)

tg A

y
x

AB

AB

AB

 



(8.4)

d

x

y

AB

AB

AB









2

2

(8.5)

AB

AB

AB

AB

AB

AB

A

d

y

A

d

x

sin

Δ

cos

Δ









(8.6) oraz

AB

AB

AB

AB

AB

AB

d

y

A

d

x

A

Δ

sin

Δ

cos





(8.6a)

8.3. Obliczenie azymutu i długości boku ze współrzędnych

Zadanie obliczenia azymutu i długości boku AB na podstawie danych

współrzędnych jego punktów końcowych występuje w obliczeniach geodezyjnych bardzo
często i opiera się na podanych wyżej wzorach: (8.4) i (8.5). Korzystając z wzoru (8.4)
otrzymujemy jednak tangens azymutu, a więc na podstawie wartości tej funkcji nie
możemy określić jednoznacznie wartości kąta A

AB

. Z tego powodu podczas obliczania

wartości liczbowej azymutu korzystamy ze związku pomiędzy azymutem boku a jego
czwartakiem

 wyrażonym poprzez jeden z wzorów zawartych w tabeli 8.1. Wybór

odpowiedniego przeliczenia wymaga znajomości przedziału kątowego (ćwiartki), w którym
występuje poszukiwany azymut. Ćwiartkę tę ustalamy na podstawie znaków przyrostów
x, y, które zgodnie z wzorami (8.6) są takie same jak znaki funkcji trygonometrycznych
azymutu: sin

A, cos

A. Określonej ćwiartce azymutu odpowiada więc tylko jedna

kombinacja pary znaków (tabela 8.2).

Tabela 8.2. Znaki przyrostów w zależności od ćwiartki azymutu

Numer

ćwiartki

azymutu

Znaki przyrostów

x

(cos A)

y

(sin A)

Zależność między

azymutem A

i czwartakiem



I

+

+

A =



II

–

+

A = 200

g

–



III

–

–

A = 200

g

+



IV

+

–

A = 400

g ––



186

O

Przebieg obliczenia azymutu A

AB

i długości d

AB

boku AB na podstawie

współrzędnych punktów A, B: X

A

, Y

A

; X

B

, Y

B

obejmuje następujące etapy:

1. Obliczenie przyrostów

x

AB

,

y

AB

zgodnie z wzorami (8.2).

2. Obliczenie tangensa czwartaka

 z zależności:

tg



AB

AB

AB

y
x






(8.7)

3. Obliczenie wartości czwartaka

 na podstawie jego funkcji tangens.

4. Ustalenie numeru ćwiartki według znaków przyrostów (tabela 8.2).
5. Obliczenie azymutu A z zależności między azymutem a czwartakiem

,

wybranej zgodnie z ustalonym numerem ćwiartki azymutu (tabela 8.2).

6. Obliczenie długości boku d

AB

w oparciu o wzór (8.5).

7. Wykonanie obliczeń kontrolnych azymutu i długości.

Obliczenia kontrolne azymutu i długości polegają na ich ponownym obliczeniu

w oparciu o wzory kontrolne. Kontrola obliczenia azymutu opiera się na uzyskaniu
azymutu A powiększonego o kąt 45

 (50

g

).

Na podstawie wzoru na tangens sumy kątów i wzoru (8.4) możemy napisać:





tg

tg

tg

tg tg

A

A

A



 











45

45

1

45

x

y

x

y

Δ

Δ

1

1

Δ

Δ







,

stąd:





tg A

x

y

x

y

AB

AB

AB

AB

AB

  




45









(8.8)

Kontrola obliczenia azymutu w oparciu o wzór (8.8) polega na podzieleniu sumy

przyrostów przez różnicę przyrostów, a następnie po odrzuceniu znaku otrzymanego
ilorazu, uzyskamy wartość tg

, gdzie  jest czwartakiem kąta (A+45°) tj. azymutu

powiększonego o 45

.

AB

AB

AB

AB

y

x

y

x

















tg

Jego obliczenie odbywa się na tej samej zasadzie co obliczenie azymutu A, tzn.

znaki sumy:

x+y oraz różnicy: x–y, traktujemy tak samo jak podczas obliczenia

wynikowego znaki przyrostów potrzebne do określania ćwiartki azymutu. Należy
zauważyć, że ćwiartka kąta (A+45

) albo pozostaje bez zmian w stosunku do ćwiartki

azymutu A albo zmienia się na następną.

Po kontrolnym obliczeniu kąta (A+45

), sprawdzamy, czy otrzymaliśmy tą samą

wartość, co po bezpośrednim dodaniu kąta 45

do wartości azymutu z obliczenia

wyjściowego. Dokładna zgodność obydwu wyników świadczy o poprawności rachunku.

W ramach kontroli obliczenia długości

d

AB

można określić długość boku AB na

podstawie przekształconych wzorów (8.6), czyli:

d

x

A

y

A

AB

AB

AB

AB

AB









cos

sin

(8.9)

187

Odpowiednikami wzorów (8.9) są podobne wzory z udziałem czwartaka

 zamiast

azymutu A:





sin

Δ

cos

Δ

AB

AB

AB

y

x

d





(8.10)

Uwaga: Wykorzystanie wzorów (8.4) i (8.7) podczas programowania

komputerowego stwarza niebezpieczeństwo zatrzymania programu, gdy

x=0 (błąd

dzielenia przez zero). Z tego względu należy wtedy korzystać z wzorów: (8.5) i (8.6a),
obliczając ze współrzędnych długość boku, a następnie azymut na podstawie funkcji sin A
lub cos A.

W tabeli 8.3 zostały zamieszczone dwa przykłady na obliczenie ze współrzędnych

azymutów (w stopniach i gradach) oraz długości boków.

Tabela 8.3. – Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych

L.p

.

Oznaczeni

a

punktów:

końcowy-

B

początkowy

-

A

X

B

Y

B

tg

 =




y
x

cos



Kontrola

x+y



X

A

Y

A

Czwartak



sin



x–y

A+45

 (50

g

)



Oznaczeni

e

boku:
A

B

x

AB

=

X

B

– X

A

y

AB

=

Y

B

– Y

A

Azymut

A

AB

Odległość

d

x

y









2

2

tg

 












x

y

x

y

d

x

y









cos

sin





1

2

3

4

5

6

7

8

1

B

2

708,63

4 541,15

0,364 483

9

0,939 537 4

-980,29

27

g

74

c

89,1

cc

A

4

251,14

3 978,93

22

g

25

c

10,

9

cc

0,342 446 2

-2 104,73

227

g

74

c

89

cc

A - B

-1

542,51

+562,22 177

g

74

c

89

cc

1 641,776

0,465 7557

1 641,776

2

D

3

978,93

12

561,78

0,804 230

1

0,779 258 4

+144,21

6

1133,8

C

+562,2

2

13

154,20

38

4826,

2



0,626 702 8

+1 329,05

6

1133,8

C - D

+736,6

3

-592,42 3211133

,8



945,296

0,108 506 1

945,296

Korzystanie ze wzoru (8.8) do kontroli obliczenia azymutu, opiera się na

wcześniej wyliczonych przyrostach, a więc nie daje możliwości wykrycia błędu ich
obliczenia. Z tego powodu można zalecić wykonywanie obliczeń kontrolnych azymutu
według podanego niżej wzoru (8.11), stanowiącego łatwą do wyprowadzenia modyfikację
wzoru (8.8):



 

 





 



tg A

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

AB

B

B

A

A

B

B

A

A

  













45

(8.11)

Ze wzoru (8.11) wynika, że różnicę sum współrzędnych tych samych punktów

należy podzielić przez różnicę różnic tych współrzędnych.

Dość często w prostych zadaniach zawierających obliczanie azymutów ze

współrzędnych występują okrągłe wartości kątów np.: 0

, 90, 180, 270. jako azymutów

boków równoległych do osi układu współrzędnych. Wskazują na to wartości przyrostów, z

188

których jeden jest równy zero. Rysunek 8.5
przedstawia kwadrat, którego pary boków są
równoległe do osi x lub y układu. Boki 1-2
oraz 3-4 są równoległe do osi y, toteż ich
przyrosty:

x

1-2

i

x

3-4

są równe zero.

Podczas obliczania funkcji tg A dzielnik jest
zerowy, przez co iloraz stanowi symbol
nieokreślony. Mimo, że wartość funkcji tg A
nie daje się wyznaczyć, to kąt A ma ustaloną
wartość, zależną od znaku drugiego
przyrostu

y.

Dla

y>0, A=90, zaś gdy y<0,

A=270

. Dla kwadratu przedstawionego na

rys. 8.5 azymuty boków równoległych do osi
y wynoszą: A

1-2

= 90

, A

3-4

= 270

. Boki

równoległe do osi x (na rys. 8.5 są to boki: 2-3, 4-1) posiadają przyrosty

y = 0, a więc

tangensy azymutów tych boków są też zerowe, natomiast same azymuty mogą przyjmować
wartości: 0

 (A

4-1

) i 180

 (A

2-3

). Azymut boku jest równy zero, gdy

y=0, zaś x>0,

natomiast wynosi 180

, kiedy y=0, zaś przyrost x jest ujemny.

Dla boku 1-3, przekątnej kwadratu bezwzględne wartości przyrostów są równe,

lecz

x ma znak minus, zaś y znak plus, a więc azymut, zgodnie z tabelą 8.2 znajduje się

w II ćwiartce. Otrzymamy zatem:

tg

 =1;  = 45; A

1-3

= 180

 – 45 = 135.

Z kolei dla przekątnej 2-4, wartości obu przyrostów są równe, lecz ujemne, a więc

azymut, zgodnie z tabelą 8.2 znajduje się w III ćwiartce. Otrzymamy zatem:

tg

 =1;  = 45; A

2-4

= 180

 + 45 = 225.

8.4. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych

8.4.1. Obliczenie współrzędnych punktu na prostej

Zadanie obliczenia współrzędnych punktu pośredniego (posiłkowego) P,

położonego na prostej AB, polega na wyznaczeniu jego współrzędnych X

P

,Y

P

na podstawie

znanych współrzędnych punktów skrajnych odcinka AB: X

A

,Y

A

; X

B

,Y

B

i

pomierzonej odległości punktu P od jednego z tych punktów (l

AP

lub l

BP

). Z

zadaniem tym mamy do czynienia bardzo często podczas
zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej, szczególnie

zaś wtedy, gdy do zdjęcia szczegółów sytuacyjnych
wykorzystuje się metodę ortogonalną. Z punktów
posiłkowych na bokach osnowy mogą następnie wychodzić
boki linii pomiarowych i ciągów sytuacyjnych niższych
rzędów. Zagadnienie to zostanie przedstawione szerzej
podczas omawiania osnowy pomiarów sytuacyjnych (ust.

11.2).

189

+x

X

1

=X

2

O

1

2

+y

X

3

=X

4

Y

1

=Y

4

Y

2

=Y

3

4

3

Rys. 8.5. Azymuty boków i przekątnych

+x

+y

X

B

X

P

X

A

Y

P

Y

B

Y

A

K

y

AB



x

A

B

y

AP



x

A

P

A

AB

l

AP

B

A

P

K′

y

AP

Rys. 8.6. Współrzędne punktu na prostej

O

(8.12

)

Z rys. 8.6 i wzorów (8.3) wynikają zależności:

X

P

= X

A

+

x

AP

; Y

P

= Y

A

+

y

AP

.

Przyrosty:

x

AP

,

y

AP

, zgodnie z wzorami (8.6), wynoszą:

x

AP

=

l

AP

cos A

AP

;

y

AP

= l

AP

sin A

AP

Azymuty boków AP i AB są jednakowe, ponieważ oba odcinki znajdują się na tej samej
prostej i mają ten sam zwrot, toteż można zapisać:

cos

cos

cos

A

A

A

x

d

AB

AP

AB

AB









oraz

sin

sin

sin

A

A

A

y

d

AB

AP

AB

AB









Funkcje trygonometryczne azymutu boku AB: sin A, cos A obliczone wg wzorów

(8.6

a) noszą nazwę współczynników kierunkowych boku AB.

Ostateczne wzory na obliczenie współrzędnych punktu posiłkowego P na prostej

AB przyjmą postać:

X

P

= X

A

+ l

AP

 cos A

Y

P

= Y

A

+ l

AP

 sin A

Odległość l

AP

, stanowi tzw. miarę bieżącą punktu P. Po jej zmierzeniu należy

kontynuować wyznaczanie innych miar bieżących do dalszych punktów posiłkowych
i zakończyć pomiar odległości na punkcie B, w wyniku czego otrzymujemy miarę
końcową, czyli długość boku AB - d

AB

„pomierzoną”. Miara ta powinna być zgodna z

długością d

AB

„obliczoną”, uzyskaną ze współrzędnych wzorem (8.5). Zgodnie z instrukcją

techniczną G-4

*

różnica pomiędzy długością pomierzoną i obliczoną, czyli odchyłka f

d

, nie

może przekraczać odchyłki dopuszczalnej obliczonej ze wzoru:

2

2

max

c

d

u

f

d







(8.13)

gdzie:

u – współczynnik błędów przypadkowych pomiarów liniowych
(według instrukcji G-4: u = 0,0059),

d – długość mierzonego boku wyrażona w metrach,
c – wpływ błędów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4:

c

=

0,10 m).

Jeśli otrzymana odchyłka f

d

mieści się w odchyłce dopuszczalnej, wtedy

poprawiamy wszystkie miary bieżące znajdujące się na danym boku o poprawkę v
obliczoną przy założeniu, że błąd określenia miary bieżącej wzrasta wprost
proporcjonalnie do jej długości. Poprawka v

i

i-tej miary bieżącej l

i

wyniesie więc:

v

f

d

l

i

d

AB

i

 



(8.14)

*

Instrukcja techniczna o symbolu G-4 nosi tytuł „Pomiary sytuacyjne i wysokościowe”.

190

Pomierzona długość końcowa, będąca miarą bieżącą punktu B, otrzyma zatem

poprawkę równą całej odchyłce f

d

ze znakiem minus, przez co zostanie doprowadzona do

długości d

AB

obliczonej ze współrzędnych.

Kontrolę obliczenia współrzędnych punktu P może stanowić rachunek oparty na

założeniu, że punktem wyjściowym do obliczenia współrzędnych punktu pośredniego P
jest teraz punkt B. Do obliczenia wykorzystamy zmodyfikowane wzory (8.12) w postaci:

X

P

= X

B

+ l

BP

 cos A

BA

Y

P

= Y

B

+ l

BP

 sin A

BA

We wzorach tych występuje azymut boku odwrotnego A

BA

, którego funkcje: cos,

sin różnią się od tych samych funkcji azymutu wyjściowego A

AB

tylko przeciwnymi

znakami, wynikającymi ze zmiany znaków przyrostów

x

BA

,

y

BA

w stosunku do

przyrostów boku wyjściowego AB. Potrzebną do obliczeń długość l

BP

otrzymamy jako

różnicę:

l

BP

= d

AB

– l

AP

Dla większej ilości punktów posiłkowych położonych na danym boku AB

stosowanie powyższej metody kontroli rachunku może okazać się zbyt pracochłonne, toteż
wygodniej jest korzystać ze sposobu sprawdzania obliczeń przedstawionego w tabeli 8.6.

Obliczenia związane z wyznaczeniem współrzędnych punktu pośredniego na

prostej zostały przedstawione na przykładzie zamieszczonym w tabeli 8.4.

Tabela 8.4. Obliczenie współrzędnych punktu na prostej

Oznaczenia

punktów

danych

A

B

szukanych

Odcięte

l

Miara

końcowa



d

AB pomierzone

Rzędne h

Bok osnowy

Przyrosty punktów na

prostej i domiarach

prostokątnych

Współrzędne

punktów

w

prawo

+

w

lewo

–

x

AB

y

AB

d

AB

obliczone

Odchyłki:

f

d

,

f

d max

Współczynniki

kierunkowe:

cos A=

x

d

AB

AB

sin A=

y

d

AB

AB

x = l cos A

– h sin A

y = l sin A
+ h cos A

X

Y

Oznaczeni

a

punktów

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

p-45

0,00

-40,95

+133,02

-0,294

223

3

+0,955

749

8

-

-

1

542,15

1

891,90

p-45

Ps28

+1

54,2

139,18

- 15,97 + 51,87

1

526,18

1

943,77

Ps28

p-46

+3

139,15

-0,03



0,12

-

-

1

501,20

2

024,92

p-46

8.4.2. Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym

Podczas zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej można wykorzystać sposób

utworzenia dodatkowego punktu posiłkowego P (rys. 8.7), znajdującego się na
prostopadłej (domiarze prostokątnym), wytyczonej węgielnicą z punktu pośredniego P

 na

linii pomiarowej AB utworzonej przez punkty A, B o znanych współrzędnych:
X

A

, Y

A

; X

B

, Y

B

. Do określenia współrzędnych punktu P należy wyznaczyć domiary

prostokątne tego punktu tj.: odciętą l równą długości odcinka AP

 i rzędną h, której

191

wartość bezwzględna

*

jest równa długości odcinka P

P. Punkt posiłkowy znajdujący się na

domiarze prostokątnym może zastąpić często stosowaną w praktyce konstrukcję ciągu

wiszącego z pojedynczym bokiem,
nazywanego popularnie „bagnetem”.
W przeciwieństwie do wyznaczenia punktu
na domiarze prostokątnym, do czego
wystarcza węgielnica, założenie takiego
„bagnetu” wymaga użycia teodolitu,
którym musimy zmierzyć kąt nawiązania
ciągu wiszącego.

Z trójkąta prostokątnego KP

P

(rys. 8.8) wynikają następujące zależności:

KP

 = – x

P

P

= h

 sin A ; KP = + y

P

P

= h

 cos A

Współrzędne punktu P wynoszą:

X

P

= X

A

+

x

AP



+

x

P

P

Y

P

= Y

A

+

y

AP



+

y

P

P

a ostatecznie:

X

P

=

X

A

+

l



cos A

–

h



sin A

(8.15)

Y

P

=

Y

A

+

l



sin A

+

h



cos A

Dwa pierwsze składniki wzorów (8.15) zwierają podane wcześniej obliczenie

współrzędnych punktu P

 na prostej. Kolejny człon wzorów stanowi wyznaczenie wzdłuż

odcinka P′P przyrostów współrzędnych:

x

P’P

,

y

P′P

.

Podstawiając do wzorów wartość rzędnej h, należy uwzględnić jej znak. Rzędna

w

prawo otrzymuje znak plus, natomiast rzędna w lewo

–

znak minus

.

Z rys 8.7 widać, że w stosunku do położenia punktu P′ domiar prostokątny

skierowany w prawo od linii AB powoduje zmniejszenie współrzędnej X, zaś zwiększenie
współrzędnej Y. Wynika to również stąd, że linia pomiarowa AB jest osią odciętych
prawoskrętnego układu prostokątnego z początkiem w punkcie wyjściowym A, natomiast
dodatni kierunek osi rzędnych tego układu skierowany jest w prawo. Domiary prostokątne:
l – odcięta punktu P oraz rzędna – h są współrzędnymi prostokątnymi punktu P w tym
układzie (rys. 8.8).

*

W zależności od położenia względem boku AB rzędna h jest także opatrzona znakiem + lub

.

192

X

P´

A

AB

K



x

P

P

A

AB

l

Rys. 8.7. Punkt na domiarze prostokątnym

X

B

X

A

Y

A

Y

B

h(+)

Y

P



A

B

P

P



y

P

P

Y

P

X

P

O

y

AP



+x

+y

Rys. 8.8 Szkic do zadania z obliczania współrzędnych punktów na domiarze prostokątnym

+

54

55

54A 22,4

7

2

65

,3

2

12

1,

1

4

0,

00

16,
3

9

X=1205,

93

Y=2359,

X=1111,

95

Y=2607,

+l

Podobnie jak podczas obliczania współrzędnych punktu na prostej kontrolę

rachunku może stanowić powtórne obliczenie współrzędnych punktu P po zmianie
kierunku obliczenia na odwrotny.

Tabela 8.5. Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym

Oznaczenia

punktów

danyc

h

A

B

szukan
ych

Odcięt

e l

Miara

końcowa



d

AB

pomierzone

Rzędne h

Bok osnowy

Przyrosty

odcinków

Współrzędne

punktów

w

prawo

+

w

lewo

–

x

AB

y

AB

d

AB

obliczone

Odchyłki:

f

d

,

f

d max

Współczynniki

kierunkowe:

cos A=

x

d

AB

AB

sin A=

y

d

AB

AB

x = l cos
A -h sin A

y = l sin A

+ h cos A

X

Y

Ozn

acze

nia

punk

tow

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

54

0,00

-93,9

8

+248,

16

-0,354 160

4

+0,935

182 4

-42,91

+15,33

+113,31

+5,80

1205,93

2359,20

54

54A

+2

121,1

4

-16,39

265,

36

1178,35

2478,31

54A

55

+

4

265,32

-0,04



0,14

1111,95

2607,36

55

55

0,00

KONTROLA

+93,

98

-248,1

6

+0,354

160 4

-0,935 182

4

+51,07

+15,33

-134,85

+5,80

1111,95

2607,36

55

54A

144,20

+16,3
9

265,

36

1178,35

2478,31

54A

54

265,36

1205,93

2359,20

54

Obliczenia wynikowe i kontrolne zostały wykonane w tabeli 8.5 na przykładzie,

którego dane wyjściowe zapisano na szkicu (rys. 8.9).

Przy dużej ilości punktów posiłkowych, związanych poprzez domiary z danym

bokiem osnowy, podany wyżej sposób obliczania ich współrzędnych i kontroli rachunku
jest zanadto pracochłonny. Podobnie jak ma to miejsce podczas obliczania ciągu
poligonowego, występujące we wzorach: (8.12) i (8.15) przyrosty liczone względem
punktu wyjściowego A, można w obu rodzajach zadań zastąpić przyrostami obliczanymi
między sąsiednimi punktami. Ich obliczenie dotyczy zarówno domiarów prostokątnych l, h
, jak i współrzędnych X, Y i wykonywane jest na zasadzie: współrzędna punktu następnego
N minus współrzędna punktu poprzedniego P. Wzory (8.15) przyjmą wtedy postać:

x

P-N

=

l

P-N

 cos A – h

P-N

 sin A

(8.16)

y

P-N

=

l

P-N

 sin A + h

P-N

 cos A

Na rys. 8.9 i w tabeli 8.6 przedstawiono dane i przykład obliczenia współrzędnych

punktów posiłkowych w oparciu o wzory (8.16).

193

Tabela 8.6. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych

O
z
n
a
c
z
e
n

i

a

p
u
n
k

t

o
w

Domiary

prostokątne

Przyrosty domiarów

Bok osnowy

Przyrosty

współrzędnych

Współrzędne

punktów

Odcięta

l

Rzędna

h



odciętej

l



rzędnej

h



x

AB

y

AB

d

AB obl

.

f

d

, f

d max

Współczynnik

i kierunkowe

cos A

sin A

x=

lcos A

–

hsin A



y=

lsin A

+

hcos

A



X

Y

Oz

na

cz

en

ia

pu
nk

to

w

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

5
4
1

0,00

0,0

0

4950,1

2

7251,

84

541

1

-

1

34,7

5

0,0

0

4952,7

7

7217,

20

1

2

-2

47,9

3

–

15,

68

4938,1

4

7202,

87

2

3

-

2

47,9

3

–

22,

47

4931,3

7

7202,

35

3

4

-

3

78,1

2

+

23,

94

4979,9

6

7175,

80

4

5

-4

124,

56

+

12,

40

4972,0

0

7128,

62

5

5
4
2

-6

187,

50

0,0

0

SUM

Y:

187,

44

0,0

0

+

14,3

2

–

186,

89

4964,4

4

7064,

95

542

194

5

1

541

542

4

3

2 15,6

22,47

18
7,5

0

124
,5

6

78,
1

2

12,4

0

4

7,9

3

0,

00

3

4,7

5

Rys. 8.9. Szkic do zadania z obliczania współrzędnych grupy punktów

posiłkowych

23,9

4

Nietrudno udowodnić, że tak obliczane przyrosty domiarów prostokątnych l, h

i współrzędnych X, Y muszą spełniać niżej zestawione warunki, które można wykorzystać
do kontroli obliczeń

*

: [

l] = d

AB

; [

h] = 0 ; [x] = x

AB

; [

y] = y

AB

.

Warto zwrócić uwagę, że zadanie obliczania współrzędnych punktów na

domiarach prostokątnych jest tożsame z najprostszym przypadkiem transformacji
współrzędnych przy dwóch punktach dostosowania, czyli przeliczania współrzędnych z
jednego układu, zwanego układem pierwotnym, na inny układ, zwany wtórnym. Rolę
układu pierwotnego pełni układ współrzędnych l, h linii pomiarowej, natomiast układem
wtórnym jest układ OXY. Punkty A, B spełniają rolę punktów dostosowania, których
współrzędne są znane w obydwu układach, zaś azymut A

AB

jest odpowiednikiem kąta

skręcenia układu pierwotnego w stosunku do układu wtórnego. Współrzędne punktu A: X

A

,

Y

A

są współrzędnymi początku układu pierwotnego w układzie wtórnym.

8.5. Obliczenie współrzędnych punktu zdjętego metodą biegunową

Wyznaczenie metodą biegunową położenia sytuacyjnego punktu P względem boku

AB osnowy pomiarowej polega na wyznaczeniu domiarów biegunowych: kąta poziomego
BAP

=

 i odległości poziomej AP = d

AP

. Kąt

 jest liczony w prawo od boku osnowy AB

do linii celowania AP (rys. 8.10).

Etapami rozwiązania tego zadania są:

1) obliczenie azymutu boku AB ze współrzędnych,
2) określenie azymutu boku AP: A

AP

= A

AB

+

 lub A

AP

= A

BA

+

 – 200

g

3) obliczenie przyrostów boku AP:

x

AP

= d

AP

 cos A

AP

;

y

AP

= d

AP

 sin A

AP

4) obliczenie współrzędnych punktu P: X

P

= X

A

+

x

AP

; Y

P

= Y

A

+

y

AP

Przykład:

Obliczyć współrzędne punktu P dla następujących danych:

X

A

=

Y

A

=

1000,00 m; X

B

=

501,11 m, Y

B

= 645,12 m

;

 = 302

g

54

c

69

cc

; d

AP

=

135,78 m.

Rozwiązanie:
tg A

AB

=(

354,88)

:

(

498,89) = + 0,711

339

2 ;



AB

=

A

BA

=

39

g

36

c

19

cc

; A

AB

=

239

g

36

c

19

cc

.

Dalsze etapy obliczenia (od 2 do 4) zamieszczono w tabeli 8.7.

*

Nawias kwadratowy [ ] otaczający symbol oznacza w geodezji znak sumy i jest odpowiednikiem znaku

.

195

A

AB

A

B

P



Rys. 8.10. Domiary biegunowe:

,d

określające położenie punktu P

N

Rys. 8.11. Kąt jako różnica

azymutów ramion

A

CP

A

CL



C

L

P

Tabela 8.7. Obliczenie współrzędnych punktu zdjętego metodą biegunową

Pu

nkt

Kąt

poziomy

g c cc

Azymut

g c cc

Długość

boku

d

Przyrosty

Współrzędne

x

y

X

Y

Pun

kt

B

501,11

645,12

B

A

302 54 69

1 000,00 1 000,00 A

P

916,93

1107,41 P

8.6. Obliczenie kąta ze współrzędnych

Zadanie obliczenia wartości kąta

 na podstawie współrzędnych trzech punktów:

C – wierzchołka kąta, L – punktu na lewym ramieniu, P – punktu na prawym ramieniu,
sprowadza się do obliczenia azymutów obu ramion kąta, czyli odcinków CL i CP
(rys. 8.11) oraz wyznaczeniu ich różnicy:

 = A

CP

– A

CL

(8.17)

Jeśli obliczona w ten sposób różnica jest ujemna,

wówczas, to należy do niej dodać wartość kąta pełnego
(360

 lub 400

g

). Zaletą powyższego sposobu obliczenia jest

przejrzystość rachunku i mniejsze prawdopodobieństwo
pomyłek niż przy korzystaniu ze sposobu wyrażonego
wzorem (8.18), natomiast wadą sposobu jest konieczność
dwukrotnego wykonania obliczeń azymutów ze
współrzędnych (wraz z kontrolą).

Drugi sposób obliczenia kąta

 ze współrzędnych

punktów: C, L, P polega na wykorzystaniu niżej
wyprowadzonego wzoru (8.18).

Zgodnie z zależnością (8.17) tangens kąta

 wyniesie:





tg

tg

1

tg

tg

tg

tg

CL

CP

CL

CP

CL

CP

A

A

A

A

A

A















przy czym:

CP

CP

CP

CP

CL

CL

x

y

A

x

y

A













tg

;

tg

Po podstawieniu powyższych wzorów na tg A

CL

i tg A

CP

do wzoru na tg

 otrzymamy:

tg

 





























































y
x

y
x

y
x

y
x

x

y

y

x

x

x

x

x

y

y

x

x

CP

CP

CL

CL

CP

CP

CL

CL

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

1

Po dokonaniu przekształceń tg

 zostanie wyrażony wzorem:

196

tg

 





























x

y

x

y

x

x

y

y

CL

CP

CP

CL

CL

CP

CL

CP

(8.18)

Znaczne uproszczenie zapisu wzoru (8.18) na obliczenie kąta ze współrzędnych

uzyskamy, stosując omówione w ust. 8.10 symbole rachunkowe S. Hausbrandta.

Zaletą tego sposobu jest obliczenie funkcji tg

, a następnie kąta  bezpośrednio

z przyrostów współrzędnych, bez potrzeby określania wartości azymutów obu ramion,
natomiast wadą jest konieczność ustalenia ćwiartki kąta w celu prawidłowego obliczenia
wartości kąta, która może mieścić się w przedziale od 0 do 360°.

Podobnie jak podczas obliczania azymutu ze współrzędnych można przy tym

korzystać z pośrednictwa czwartaka

, traktując znaki licznika i mianownika ułamka we

wzorze (8.18) tak samo jak poprzednio znaki przyrostów współrzędnych.
Przykład:

Obliczyć w mierze stopniowej kąt

 ze współrzędnych punktów: 21, 22, Ps 13.

x

CL

= +250,00 m ;

y

CL

= –500,00 m ;

x

CP

= –450,00 m;

y

CP

= – 600 m.

I sposób:
A

CL

= arc

tg (-2)= 296

3354,2 ; A

CP

= arctg

4

3

= 233

0748,4

Kontrola obliczenia azymutów:

tg (A

CL

+ 45

) =





 

250

750

1
3

, A

CL

+ 45

=3413354,2 ;

tg (A

CP

+ 45

) =





 

1050

150

7 A

CP

+ 45

=2780748,4

.

 = 2330748,4 – 2963354,2

+

360

 = 296

 33

 54,2



II sposób:

tg

 



 



 



 

 

 







 

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

250

600

450

500

250

450

500

600

375000

187500

2 (kąt w IV ćw.)

 = arctg 2 = 632605,8 ;  = 360

–

 = 296

 33

 54,2



8.7. Obliczenie współrzędnych punktów przecięcia się boku osnowy z ramką

sekcyjną arkusza mapy

Mapa zasadnicza, będąca podstawowym opracowaniem kartograficznym, oraz

większość map topograficznych do celów gospodarczych jest sporządzana w podziale
sekcyjnym, prostokątnym. Pojedynczy arkusz mapy zasadniczej formatu A1 (594

841

mm), zwany sekcją mapy, zawiera w sobie prostokąt ramki sekcyjnej o wymiarach
500

800 mm, ograniczającej rysunek treści danego arkusza mapy. Rysunek mapy zawarty

wewnątrz ramki sekcji bieżącej jest kontynuowany na sekcjach przyległych, bez powtórzeń
przedstawianych obiektów oraz luk między nimi. Pionowe ramki sekcyjne są równoległe
do osi x układu współrzędnych prostokątnych, natomiast ramki poziome zachowują
równoległość do osi y układu.

Podczas sporządzania mapy należy w pierwszej kolejności nanieść osnowę

geodezyjną, a następnie sytuację i rzeźbę terenu. Nanoszenie tych elementów na arkusz
nazywa się kartowaniem pierworysu mapy. Pierworys mapy (oryginał mapy) jest to
pierwszy jej rysunek wykonany na podstawie wyników bezpośrednich pomiarów w terenie.

Oprócz ramki sekcyjnej kolejnym elementem układu współrzędnych na mapie

zasadniczej jest siatka kwadratów znajdująca się wewnątrz ramki. Jeden kwadrat siatki ma

197

21

22

Ps

13



Szkic kąta



Punkt X Y

21(L)

1000,0010 00,00

22(C)

750 ,001 500,00

Ps

13(P) 300,009 00,00

wymiary 100

100 mm, a więc ramka zawiera w sobie 40 (58) kwadratów. Wartości

współrzędnych poszczególnych punktów przecięć linii siatki można określić na podstawie
skali mapy, oznaczenia (godła) każdej sekcji oraz opisu na każdym arkuszu jednego
punktu, którym jest zwykle lewy, dolny narożnik ramki sekcyjnej. Poszczególne punkty
osnowy poziomej są nanoszone na arkusze ze współrzędnych, zaś po połączeniu na mapie
liniami prostymi sąsiednich punktów osnowy uzyskujemy położenie boków osnowy,
z których w następnym etapie wykonania pierworysu jest prowadzone kartowanie
szczegółów sytuacyjnych.

Często zdarza się, że bok osnowy przecina jedną lub nawet dwie ramki sekcyjne

(rys. 8.12), toteż aby możliwe było wykreślenie na arkuszu mapy linii tego boku, należy
obliczyć współrzędne punktu jego przecięcia z ramką, a następnie nanieść jego położenie
na ramce. Z podobieństwa trójkątów ABB′, ANN′, AMM′, widocznych na rys. 8.12,
wynikają związki:

tg A

y
x

y
x

y
x

AB

AB

AB

AM

AM

AN

AN
















(8.19)

Punkty przecięcia M lub N z racji położenia na ramce posiadają zawsze jedną

współrzędną znaną, równą stałej odległości danej ramki od jednej z osi układu. Dla
wszystkich punktów leżących na ramce poziomej, równoległej do osi y, jest to wartość X

R

,

natomiast dla punktów ramki pionowej, równoległej do osi x, stałą i znaną współrzędną jest
Y

R

. Można więc zapisać: X

M

=X

R

oraz Y

N

=Y

R

. Po wprowadzeniu tych oznaczeń do wzoru

(8.19) i prostych przekształceniach otrzymamy:

y

AM

= tg A

AB

(X

R

– X

A

) oraz

x

AN

=





1

tg A

Y

Y

AB

R

A





Ostateczny wzór dla przecięcia z ramką poziomą przybierze postać:

Y

M

= Y

A

+ (X

R

– X

A

)

 tg A

AB

(8.20)

Szukana współrzędna X

N

dla punktu przecięcia boku AB z ramką pionową wyniesie:

X

N

= X

A

+ (Y

R

– Y

A

)

 ctg A

AB

(8.21)

198

+y

+x

prostokąt ramki sekcyjnej

M

A

B

N

x

AM

y

AM

y

AB

X

R

=X

M

Y

R

=Y

N



x

A

B



x

A

N

Y

M

Y

A

X

N

X

A

Y

B

X

B

Rys. 8.12. Punkty przecięcia z ramką sekcyjną



y

AN

B′

M′

N′

A

D

C

B

P

Rys. 8.13. Przecięcie prostych

Występujące we wzorach (8.20) i (8.21) funkcje: tg A

AB

oraz ctg A

AB

obliczymy

z przyrostów boku AB:

AB

AB

AB

x

y

A







tg

;

AB

AB

AB

y

x

A







ctg

Kontrola naniesienia punktu przecięcia boku osnowy z ramką sekcyjną polega na

graficznym sprawdzeniu odległości odcinków AM lub AN wyliczonych uprzednio ze
współrzędnych.

Przykład: Obliczyć współrzędne punktów M, N przecięcia boku 14 – 15 z obiema

ramkami sekcyjnymi.

x

14-15

= +210,00 ;

y

14-15

=+110,00 ; tg A = 0,523

809

5 ;ctg A = 1,909

090

9

Y

M

= 4900 + (4000 – 3800)

 0,5238095 = 5 004,76 m

X

N

= 3800 + (5000 – 4900)

 1,9090909 = 3 990,91 m

8.8. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwu prostych

Zagadnienie wymienione w powyższym nagłówku występuje często przy

geodezyjnym opracowaniu inwestycji lub planów zagospodarowania przestrzennego.
Prostymi, dla których poszukiwane są punkty przecięcia, bywają: osie dróg, ulic, budowli,
linie obrysów budynków, granice działek itp. Proste te są najczęściej zadane przez dwa
punkty o znanych współrzędnych.

Na rys. 8.13 widoczne są dwie proste: AB i CD,

przecinające się w punkcie P, wspólnym dla obydwu
prostych. Punkty: A, B, C, D mają znane współrzędne: X,
Y.
I sposób:

Na podstawie wzoru (8.4) możemy zapisać

równania prostych:

Dla prostej 1 (AB):

tg A

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

AB

B

A

B

A

P

A

P

A

B

P

B

P

 
















(8.22)

Dla prostej 2 (CD):

tg A

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

CD

D

C

D

C

P

C

P

C

D

P

D

P

 
















(8.22 a)

Funkcje tg A

AB

=

 oraz tg A

CD

=

 nazywamy współczynnikami kierunkowymi

prostych. Z przekształceń równań (8.22) i (8.22 a) można uzyskać cztery związki na
określenie współrzędnej Y

P

, wyrażone w oparciu o wielkości znane i niewiadomą X

P

:

199

Punkt X Y

143800, 00

4900,00

154010, 005010, 00

N

M

X

R

=4000,00

Y

R

=

5000,00

14

15

Y

P

= Y

A

+

(X

P

– X

A

) ; Y

P

= Y

C

+

(X

P

– X

C

)

(8.23)

oraz

Y

P

= Y

B

+

(X

P

– X

B

) ; Y

P

= Y

D

+

(X

P

– X

D

)

(8.23

a)

Po zrównaniu stronami pierwszej pary równań i wyliczeniu X

P

otrzymamy:

X

Y

Y

X

X

P

C

A

A

C





 

 







 

(8.24)

Analogiczne czynności wykonane na drugiej parze równań (8.23

a) dostarczają

wzoru:

X

Y

Y

X

X

P

D

B

B

D





 

 







 

(8.24

a)

Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych w oparciu

o powyższe zależności rozpoczynamy od obliczenia współczynników kierunkowych
prostych AB, CD:

, , po czym obliczamy współrzędną X

P

za pomocą wzoru (8.24) i

kontrolujemy poprawność obliczenia korzystając z drugiego wzoru (8.24 a).

Współrzędną Y

P

obliczamy i kontrolujemy za pomocą jednej z par wzorów (8.23)

lub (8.23

a), wstawiając do nich wyliczoną wcześniej wartość X

P

.

II sposób:

Wychodząc ze wzorów: (8.22) i (8.22 a) możemy także zapisać związki:

Y

P

 λ·X

P

= Y

A

 λ·X

A

Y

P

 μ·X

P

= Y

C

 μ·X

C

Wyrażenia występujące po prawych stronach powyższych równań zawierają znane

wielkości, toteż przyjmiemy dla nich oznaczenia:

Y

A

 λ·X

A

= c

1

(8.25)

Y

C

 μ·X

C

= c

2

Po wprowadzeniu tych oznaczeń zapisany uprzednio układ dwóch równań (8.25)

o niewiadomych X

P

, Y

P

przyjmie więc postać:

Y

P

 λ·X

P

= c

1

Y

P

 μ·X

P

= c

2

Po odjęciu powyższych równań stronami dostaniemy zależność na współrzędną

X

P

, zaś po jej podstawieniu do pierwszego równania

 współrzędną Y

P

.



 





1

2

c

c

X

P

(8.26)



















1

2

c

c

Y

P

III sposób:

Podczas obliczania większej ilości przecięć wygodniej jest posługiwać się

znanymi z geometrii analitycznej, ogólnymi równaniami prostych w postaci:

200

dla prostej 1 (AB):

a

1

X + b

1

Y + c

1

= 0

(8.27)

dla prostej 2 (CD):

a

2

X + b

2

Y + c

2

= 0

(8.27

a)

Równania prostych (8.22) i (8.22

a) przechodzących przez dwa znane punkty

można zapisać w postaci wyznacznikowej:

0







AB

AB

A

P

A

P

x

y

X

X

Y

Y





(8.28)

0







CD

CD

C

P

C

P

x

y

X

X

Y

Y





(8.28

a)

Przejście do ogólnych równań prostych 1, 2 uzyskamy po częściowym

rozwinięciu powyższych wyznaczników:

Y

x

X

y

Y

X

y

x

Y

x

X

y

Y

X

y

x

P

AB

P

AB

A

A

AB

AB

P

CD

P

CD

C

C

CD

CD













































0

0

oraz

Wynikają stąd wzory na współczynniki ogólnych równań (8.27), (8.27

a) obu prostych:

a

1

= –

y

AB

; b

1

= +

x

AB

; c

1







Y

X

y

x

A

A

AB

AB





(8.29)

a

2

= –

y

CD

; b

2

= +

x

CD

; c

2

=





Y

X

y

x

C

C

CD

CD





(8.29

a)

Współrzędne punktu P

obliczymy po rozwiązaniu układu równań (8.27), (8.27

a)

np. metodą przeciwnych współczynników. Wzory na niewiadome: X

P

, Y

P

w postaci

algebraicznej i wyznacznikowej przyjmą postać:

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

;

(8.30)

b

a

b

a

c

a

c

a

b

a

b

a

c

a

c

a

Y

b

a

b

a

c

b

c

b

b

a

b

a

c

b

c

b

X

P

P





































(8.30

a)

Kontrola obliczenia współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych polega

na podstawieniu obliczonych wartości: X

P

, Y

P

do równań (8.27), (8.27

a) lub (8.28),

(8.28

a) i sprawdzeniu ich spełnienia, czyli zerowania się pary równań algebraicznych lub

obu wyznaczników. Rozbieżności od zera dla poprawnych wyników są związane z
dokładnością obliczenia współrzędnych punktu P. Jeśli wynik zaokrąglono do 0,01 m,
wtedy rozbieżności zerowania równań są rzędu

1 m

2

, zaś przy zaokrągleniach do 0,001 m

odchyłki od zera nie przekraczają na ogół

0,1 m

2

.

Zaletą opisanego wyżej sposobu obliczenia jest uzyskiwanie obydwu

niewiadomych X

P

, Y

P

niezależnie od siebie, a nie jak w sposobie I niewiadomej Y

P

za

pośrednictwem niewiadomej X

P

, obarczonej błędem zaokrąglenia wyniku.

201

IV sposób:

Zadanie obliczenia współrzędnych punktu

przecięcia się dwu prostych można rozwiązać w wyniku
zastosowania konstrukcji kątowego wcięcia w przód
(rys. 8.14). W tym celu ze współrzędnych punktów: A,
B, C, D należy obliczyć przynajmniej jedną parę kątów:
1,

2; 3,

4; 5,

6 lub 7,

8. Każda z nich umożliwia

wykonanie obliczenia zadania pojedynczego wcięcia w
przód, którego rozwiązanie (patrz ust. 8.11.1) dostarcza
współrzędnych punktu P. Dla kontroli rachunku wskazane jest obliczenie dwóch wcięć,
których wyniki końcowe powinny być jednakowe.

Przykład:

Obliczyć współrzędne punktu 32 powstałego na przecięciu się prostych 121-122 i 45-46.

I sposób:
1. Obliczenie przyrostów:

x

45-46

= +50,00 ;

y

45-46

= +959,60 ;

x

121-122

= -200,00 ;

y

121-122

= +859,60

2. Obliczenie współczynników kierunkowych:

, :

=







959 60

50 00

19 192

,

,

,

000 ;  

 





859 60
200 00

4 298

,
,

,

000

3. Obliczenie X

32

i kontrola obliczenia:

X

32

59 60 19 192 3000 4 298 3100

23 49















,

,

,

,

3015,76

0

; X

32

159 60 19 192 3050 4 298 2900

23 49















,

,

,

,

3015,76

0

4.

Obliczenie Y

32

i kontrola obliczenia:

Y

32

= 3000 + 19,192

(3015,76 – 3000) = 3302,46

6

;

Y

32

= 2940,40 – 4,298

(3015,76 – 3100) = 3302,46

4

II sposób:
1

2. Jak w poprzednim sposobie obliczenia.

3. Obliczenie współczynników c

1

, c

2

na podstawie wzorów (8.25):

c

1

=Y

A

 λ·X

A

= 3000,00

 19,192·3000,00 = 54576,00

c

2

=Y

C

 μ·X

C

= 2940,40 + 4,298·3100,00 = +16264,20

4. Obliczenie współrzędnych punktu 32 w oparciu o wzory (8.26):



 





1

2

32

c

c

X

=

49

,

23

2

,

70840

= 3015,76

0

;



















1

2

32

c

c

Y

=

49

,

23

8784

,

77574

= 3302,46

4

III sposób:
1. Obliczenie współczynników równań prostych:

202

Punkt X Y

45

(A)

3000,003 000,00

46

(B)3 050,00395 9,60
121

(C)3100, 00

2940,40

122

(D)

2900,003 800,00

12

1

12

2

45

46

32

Rys. 8.14. Kąty wcięć w przód

A

D

C

B

P

1

2

4

3

6

5

7

8

a

1

= -959,60 ; b

1

= +50,00 ;

50

60

,

959

3000

3000

1











c

= 2

728

800

a

2

= -859,60 ; b

2

= -200,00 ; c

2

=









2940 40

3100

859 60

200

,

,

= 3

252

840

2. Obliczenie niewiadomych:

X

32

=

708 402 000

234 900

= 3015,76

0

m ; Y

32

=

775 748 784

234 900

= 3302,46

4

m

3. Kontrola:









302 464

15 760

959 60

50

,

,

,

= -0,096 m

2

 0 ;









362 064

84 240

859 60

200

,

,

,

= -0,096 m

2

 0

8.9. Obliczanie ciągów sytuacyjnych

8.9.1. Poligonizacja jako metoda zakładania osnów poziomych

Ciąg poligonowy jest wielobokiem otwartym lub zamkniętym, w którym zostały

pomierzone kąty wierzchołkowe i długości boków. Mogą one występować pojedynczo lub
tworzyć sieci poligonowe. Ciągi poligonowe pod względem kształtu wieloboków dzielą się
na ciągi zamknięte i otwarte.

Sieć poligonowa stanowi zespół powiązanych z sobą ciągów poligonowych

łączących się w tzw. punktach węzłowych, czyli punktach wspólnych dla kilku ciągów,
w których schodzą się co najmniej trzy równorzędne ciągi poligonowe.

Ciągi sytuacyjne są ciągami poligonowymi spełniającymi wymagania

dokładnościowe przewidziane dla poziomej osnowy pomiarowej.

Poligonizacja stanowi metodę i technologię zakładania osnowy poziomej, której

punkty zwane punktami poligonowymi, są wierzchołkami wieloboków zamkniętych lub
otwartych, w których mierzy się kąty i długości boków. Wyniki tych pomiarów oraz znane
współrzędne punktów nawiązania ciągów lub sieci poligonowych umożliwiają określenie
współrzędnych X, Y punktów poligonowych.

Dawniej w zależności od długości boków i ciągów oraz dokładności pomiaru

rozróżniano: poligonizację techniczną i precyzyjną. Obecnie po wprowadzeniu jednolitej
klasyfikacji osnowy poziomej tego podziału już się nie używa. Poligonizacja precyzyjna,
zastępująca niegdyś triangulację niższych rzędów, była głównie wykorzystywana do
realizowania dokładniejszych sieci osnów szczegółowych. Od poligonizacji technicznej
różniła się wysoką dokładnością pomiaru kątów i długości, wydłużonymi bokami
poligonowymi oraz obliczeniem współrzędnych punktów poligonowych na drodze
wyrównania ścisłego.

Poligonizacja techniczna jest stosowana dla niższej klasy osnowy szczegółowej

i osnowy pomiarowej. Do obliczania współrzędnych punktów ciągów sytuacyjnych można
wykorzystywać omówione dalej metody przybliżone.

203

8.9.2. Obliczenie ciągów otwartych, wiszących

W ciągu poligonowym, otwartym

wyznaczane punkty poligonowe są jednostronnie
lub obustronnie połączone z punktami nawiązania
za pośrednictwem elementów nawiązujących:
boków i kątów nawiązania.

Bok nawiązania (rys. 8.15) jest

odcinkiem zawartym pomiędzy punktem
nawiązania danego ciągu a najbliższym punktem
poligonowym, zaś kąt nawiązania (rys. 8.15) jest
kątem mierzonym na bliższym punkcie
nawiązania. Jego jedno ramię stanowi bok
nawiązania, zaś drugie ramię – tzw. bok
kierunkowy (orientacyjny) utworzony przez punkt nawiązania (wierzchołek tego kąta)
i sąsiedni punkt osnowy wyższej klasy lub rzędu w stosunku do danego ciągu
poligonowego.

Nawiązanie ciągu poligonowego zawierające obydwa elementy nawiązujące nosi

nazwę nawiązania pełnego. Jako obowiązującą regułę należy dla ciągów otwartych przyjąć
pełne nawiązanie obustronne, tzn. wymienione pary elementów nawiązujących powinny
znajdować się po obu stronach ciągu. W trudnych warunkach terenowych dopuszcza się
jednak w ramach osnowy pomiarowej zakładanie ciągów otwartych, nawiązanych
jednostronnie (jednopunktowo), zwanych także ciągami wiszącymi (rys. 8.15). Ciąg
wiszący nie zapewnia kontroli pomiaru ani obliczeń, ponieważ nie zawiera obserwacji
nadliczbowych. Z tego powodu ilość punktów i boków tego ciągu (łącznie z bokiem
nawiązania) nie może być większa od dwóch.

W zależności od położenia kątów wierzchołkowych po określonej stronie ciągu

i przyjętego kierunku obliczenia, wyróżniamy w ciągach poligonowych kąty
wierzchołkowe: lewe

 i prawe . Zakładając, że dla ciągu przedstawionego na rys. 8.15

będziemy prowadzić obliczenie w kierunku zgodnym z następstwem punktów: B, 1, 2,
wtedy zaznaczone kąty występują po lewej stronie ciągu, a więc są kątami lewymi.

Obliczenie ciągu wiszącego ma przebieg podobny do obliczania współrzędnych

punktu zdjętego metodą biegunową. Kolejność czynności rachunkowych jest następująca:
1. Obliczenie azymutu boku AB ze współrzędnych (z kontrolą).
2. Obliczenie azymutów boków: B-1, 1-2.

Z rysunku 8.16 wynika, że:
A

n

= A

p

–

 oraz  = 180–  ,

stąd dla kątów lewych azymuty boków oblicza
się według formuły:

A

n

= A

p

+

 – 180

(8.31)

Jest to wzór na obliczenie azymutu boku
następnego A

n

na podstawie azymutu boku

poprzedniego A

p

i kąta lewego

 zawartego

między tymi bokami. Kąt prawy

 jest

dopełnieniem kąta lewego do 360

, czyli:  = 360

–

, toteż po podstawieniu tej

204

B

180

1

A

p

A

n

A

p

=

A

p

-A

n





Rys. 8.16. Określenie azymutu A

n

A

A

B

d

B-1

bok

nawiązania

kąt
nawiązania
(lewy)



B

kierunek obliczenia

Rys. 8.15. Ciąg poligonowy, wiszący

bok

kierunkowy

AB

1

2



1

bok
poligonowy

punkt nawiązania ciągu

punkt

kąt
wierzchołkowy

punkt

kierunkowy

zależności za

, otrzymamy wzór na obliczenie azymutów na podstawie kątów

prawych:

A

n

= A

p

+ 180

 – 

(8.32)

3. Obliczyć przyrosty boków B-1 i B-2 na podstawie wzorów (8.6):

x = d  cos A ; y

= d

 sin A

4. Przeprowadzić kontrolę obliczenia przyrostów.
Obliczone przyrosty

x ,y należy sprawdzić za pomocą jednego z wielu możliwych do

zastosowania sposobów. Jednym z nich jest ponowne obliczenie przyrostów w oparciu
o wzory kontrolne:

x = S + C

(8.33)

y= S – C

przy czym:

S =





d

A

2

45







sin

oraz

C =





d

A

2

45



 

cos

(8.34)

Uzasadnienie powyższych wzorów jest następujące:

sin (A + 45

) =

2

2

 sin A +

2

2

 cos A oraz cos (A + 45) =

2

2

 cos A –

2

2

 sin A

Po dodaniu i odjęciu tych równań stronami otrzymamy:

sin (A

+

45

)

+

cos (A

+

45

) = 2  cos A oraz sin (A

+

45

)

–

cos (A

+

45

)

= 2  sin A ,

Po obustronnym pomnożeniu obydwu powyższych równań przez

2

d

uzyskamy wzory

na przyrosty:

d

2

sin (A + 45) +

d

2

cos (A + 45) = dcos A = x

oraz

d

2

sin (A + 45) –

d

2

cos (A + 45) = dsin A = y,

Po wprowadzeniu do powyższych związków wielkości S, C wyrażonych wzorami
(8.34), dostaniemy wzory (8.33).

5. Obliczyć współrzędne X

N

, Y

N

punktów następnych na podstawie współrzędnych

X

P

, Y

P

punktów poprzednich i przyrostów między tymi punktami wg wzorów

(8.3):

X

N

= X

P

+

x

P-N

; Y

N

= Y

P

+

y

P-N

Przykładowe obliczenie ciągu wiszącego, przedstawionego rys. 8.15

zamieszczono w tabeli 8.8.

Przykład: Obliczyć współrzędne punktów 1, 2 ciągu wiszącego, nawiązanego do

punktu B, na podstawie następujących danych:

X

A

= Y

A

= 1000,00 m ; X

B

= 850,30 m, Y

B

= 1250,40 m;

205

d

B-1

d

1-2

d

2

-

3

d

3-C

kierunek
obliczenia

1

3

2

A

D

B

C



B



1



2



3



C

Rys. 8.17. Ciąg poligonowy otwarty, obustronnie nawiązany



B

= 149,2857

g

,



1

= 230,1420

g

; d

B-1

= 121,50 m , d

1-2

= 204,12 m.

Tabela 8.8. Obliczenie ciągu sytuacyjnego wiszącego

Ozna
czeni

a

punkt

ow

Kąty

poziome

 - lewe,  - prawe

g c cc

Azymuty

A

g c
cc

Długości

boków

d

Przyrosty

Kontrola przyrostów

Współrzędne

x

y

d

2

A+50

g

S

C

x=S+C

y=S–C

X

Y

Ozna
czeni

a

punkt

ow

Uwagi

szkice

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A

1000,00

1000,0

0

A

B 149

2
8

5
7

850,30

1250,4

0

B

1 230

1
4

2
0

881,28

1367,8

9

1

2

837,60

1567,2

8

2

Obliczenie azymutu A

AB

ze współrzędnych:

tg A =
(+250,40):
( -149,70)
II ćw.



=65,6969

g

A=134,3031

g

Kontrola:

tg(A+50

g

)=




100 70

400 10

,

,

II ćw.



=15,6969

g

A+50

g

=184,3031

g

8.9.3. Obliczenie ciągów otwartych, obustronnie nawiązanych

Obliczenie ciągu wiszącego jest zadaniem jednoznacznie rozwiązywalnym

ponieważ ilość spostrzeżeń n, czyli łączna liczba pomierzonych boków i kątów w tym
ciągu, jest równa ilości niewiadomych u, którymi są szukane współrzędne X, Y punktów
poligonowych. W przeciwieństwie do ciągu wiszącego, zadanie obliczenia ciągu
obustronnie nawiązanego (z nawiązaniem pełnym) odznacza się trzema spostrzeżeniami
nadliczbowymi. Ciąg pokazany na rys. 8.17 zawiera łącznie 9 elementów pomierzonych (5
kątów i 4 długości), zaś 3 punkty poligonowe dostarczają sześciu niewiadomych (X, Y).
Ilość spostrzeżeń nadliczbowych n

–

u jest więc równa 3 i dotyczy to każdego ciągu

z pełnym nawiązaniem kątowym i liniowym, niezależnie od liczby boków. Trzy obserwacje
nadliczbowe dostarczają trzech warunków, a te z kolei trzech odchyłek pomiędzy
wartościami pomierzonymi i teoretycznymi. Podczas przybliżonego wyrównania tego ciągu
odchyłki te dotyczą sumy kątów oraz sum obydwu przyrostów.

Ciąg poligonowy otwarty, z pełnym nawiązaniem obustronnym posiada z każdej

strony po dwa elementy nawiązania (kąt i bok), którymi jest geometrycznie połączony
z punktami osnowy wyższej klasy lub rzędu. Ciąg pokazany na rys. 8.17 ma zaznaczone
pełne nawiązanie do punktów: B, C za pomocą elementów



B

, d

B-1

i



C

, d

3-C

. Możliwe jest

również obliczenie ciągu poligonowego z obustronnym nawiązaniem niepełnym, w którym
brak jednego lub nawet dwóch kątów nawiązania. W tym ostatnim przypadku obserwacje
ciągu zawierają i tak jedno spostrzeżenie nadliczbowe, zapewniające kontrolę wyników
pomiaru i obliczeń.

206

Podany dalej sposób obliczenia ciągu otwartego, nawiązanego obustronnie

stanowi wyrównanie przybliżone, dopuszczalne do stosowania tylko dla osnowy
pomiarowej. Dla sieci osnów szczegółowych wymagane jest wyrównanie ścisłe, którego
zasady zostaną podane na zajęciach z rachunku wyrównawczego.

Czynności związane z wyznaczeniem współrzędnych punktów ciągu otwartego,

obustronnie nawiązanego zawierają omówione wcześniej elementy postępowania
związanego z obliczaniem ciągu wiszącego, lecz ze względu na trzy warunki wynikające z
tej samej ilości obserwacji nadliczbowych, obejmują także obliczenie odchyłki kątowej f

kt

i dwóch odchyłek przyrostów f

x

, f

y

oraz rozrzucenie tych odchyłek na wspomniane

elementy, zapewniając po drodze wielostopniową kontrolę rachunkową większości etapów
obliczeń. Wartości odchyłek umożliwiają również weryfikację wyników pomiaru na
podstawie porównania odchyłek otrzymanych z dopuszczalnymi (maksymalnymi),
podanymi w odpowiednich instrukcjach technicznych.

W celu obliczenia współrzędnych punktów poligonowych ciągu otwartego,

obustronnie nawiązanego metodą przybliżoną trzeba wykonać następujące czynności:

1. Na podstawie dzienników pomiarowych, szkicu osnowy i wykazów współrzędnych

wpisać do formularza obliczeniowego (tabela 8.9) dane wyjściowe: oznaczenia
punktów, średnie wartości kątów wierzchołkowych, zredukowane długości boków
i współrzędne punktów nawiązania ciągu. W formularzu należy też zaznaczyć
jednostki, w których wyrażone są kąty (stopnie lub grady) i rodzaj kątów
przyjętych do obliczenia (kąty prawe albo lewe). W kol. 13 „Uwagi” można też
wykonać szkic ciągu.

2. Obliczyć (wraz z kontrolą) azymuty boków kierunkowych: azymut początkowy – A

P

(A

AB

) i azymut końcowy – A

K

(A

CD

), a następnie wpisać je w odpowiednich

pozycjach w kol. 3 formularza. Obliczenie azymutów kierunkowych można
zamieścić w kol. 13 „Uwagi, szkice”.

3. Obliczyć sumę praktyczną kątów poziomych: lewych [



]

p

lub prawych [



]

p

i wpisać ją w kol.2 pod wartościami kątów.

4. Obliczyć sumę teoretyczną kątów [



]

t

lub [



]

t

na podstawie odpowiedniego

wzoru:



dla kątów lewych:

[

 ]

t

= A

K

– A

P

+ n

180

(8.35)



dla kątów prawych:

[

 ]

t

= A

P

– A

K

+ n

180

(8.36)

gdzie: n – liczba pomierzonych kątów.

Wyprowadzenie tych wzorów podamy w oparciu o oznaczenia z rys. 8.17.

Zgodnie ze wzorem (8.29) azymuty kolejnych boków ciągu wyniosą:

A

B-1

= A

AB

+



B

– 180



A

1-2

= A

B-1

+



1

– 180



A

2-3

= A

1-2

+



2

– 180



A

3-C

= A

2-3

+



3

– 180



A

CD

= A

3-C

+



C

– 180



Suma: A

CD

= A

AB

+[



]

–

n

180

207

Po podsumowaniu powyższych równań stronami i uporządkowaniu zapisu

uzyskamy redukcję większości azymutów z wyjątkiem azymutów nawiązujących.
Po wprowadzeniu oznaczeń: A

AB



A

P

oraz A

CD



A

K

,. otrzymamy wzór:

A

K

= A

P

+ [

 ]

t

– n

180,

z którego po niewielkim przekształceniu wynika wzór (8.35).
Dla kątów prawych zapiszemy zależność:

[



] = [

360

–  ] = n360– [ ],

a stąd związek:

A

K

= A

P

+ n

360– [ ] – n180,

który po przekształceniu daje wzór (8.36) na sumę teoretyczną kątów prawych.

5. Obliczenie odchyłki kątowej f

kt

otrzymanej jako różnica sumy praktycznej i sumy

teoretycznej kątów ciągu.

f

kt

= [

 ]

p

– [

 ]

t

(8.37)

f

kt

= [

 ]

p

– [

 ]

t

(8.37

a)

6. Obliczenie odchyłki kątowej dopuszczalnej (maksymalnej) f

kt max.

zgodnie z

wymaganiami instrukcji G-4 i porównanie z nią odchyłki otrzymanej f

kt

. Odchyłka

otrzymana nie może przekraczać odchyłki dopuszczalnej, czyli:

f

kt

f

kt max

(8.38)

Przekroczenie odchyłki maksymalnej świadczy o nadmiernych błędach

pomiaru, który w tym wypadku należy powtórzyć. Przy zakładaniu osnowy
pomiarowej na większym obszarze dla ok. 30% ciągów sytuacyjnych można
zwiększyć tolerancję i uwzględnić odchyłki dochodzące do wartości 2

f

kt max

.

Według instrukcji G-4 dopuszczalna odchyłka kątowa dla ciągów

sytuacyjnych jest obliczana na podstawie wzoru:

f

kt max

=

 m

0

 n

(8.39)

gdzie: m

0

–

średni błąd pomiaru kąta, który przyjmuje się jako:



m

0

=

60 (180

cc

) dla ciągów o długości do 1,2 km,



m

0

=

30 (90

cc

) dla ciągów o długości ponad 1,2 km.

Długość ciągu L jest sumą długości wszystkich pomierzonych boków tego ciągu
(łącznie z bokami nawiązania).
Wartość dopuszczalnej odchyłki kątowej można również określić z tabeli
znajdującej się w załącznikach na końcu instrukcji G-4.

7. Rozrzucić równomiernie otrzymaną odchyłkę kątową na poszczególne kąty. Każdy

pomierzony kąt poziomy uzyska poprawkę v

kt

wyrażoną w sekundach lub

decymiligradach, wynoszącą:

v

f

n

kt

kt

 

(8.40)

Jeśli dzielenie (-f

kt

):n powoduje powstanie reszty, czyli obliczone poprawki

zawierają część całkowitą i ułamek dziesiętny, to zaokrąglamy poprawki raz w górę
a drugi raz w dół do pełnych sekund (lub

cc

), lecz przy tym należy doprowadzić

208

sumę poprawek dokładnie do wartości –

f

kt

(patrz przykład w tab. 8.9). Poprawki

wpisujemy kolorem czerwonym nad wartościami kątów w kol. 2.

8. Obliczenie według wzoru (8.29) lub (8.30) azymutów boków na podstawie

wartości azymutu początkowego A

P

i poprawionych kątów. Kontrolą obliczenia

azymutów jest uzyskanie na końcu rachunku niezmienionego azymutu końcowego
A

K

.

9. Obliczenie przyrostów współrzędnych

x, y poszczególnych boków na podstawie

wzorów (8.6)

10. Kontrola obliczenia przyrostów w oparciu o wzory (8.33) i (8.34).
11. Obliczenie sum przyrostów: praktycznych: [

x]

p

,

[

y]

p

i teoretycznych: [

x]

t

,

[

y]

t

.

Sumy teoretyczne przyrostów są równe różnicy współrzędnych punktów nawiązania
(punkty B, C na rys. 8.17) końcowego K i początkowego P.

[

x]

t

= X

K

– X

P

(8.41)

[

y]

t

= Y

K

– Y

P

12. Obliczenie odchyłek przyrostów: f

x

, f

y

oraz odchyłki liniowej f

L

. Odchyłki

przyrostów są różnicami pomiędzy sumami praktycznymi i teoretycznymi
odpowiednich przyrostów współrzędnych:

f

x

= [

x]

p

– [

x]

t

(8.42)

f

y

= [

y]

p

– [

y]

t

Odchyłka liniowa otrzymana w danym ciągu jest równa pierwiastkowi z sumy
kwadratów odchyłek przyrostów:

f

L

= f

f

x

y

2

2



(8.43)

13. Obliczenie odchyłki liniowej dopuszczalnej f

L max.

i porównanie z nią odchyłki f

L

otrzymanej. Odchyłka ta nie może przekroczyć odchyłki dopuszczalnej, czyli:

f

L

f

L max

(8.44)

Zgodnie z instrukcją G-4 odchyłkę dopuszczalną f

L max

należy obliczyć na

podstawie wzoru:

f

L max

=







2

2

2

0

2

12

2

1

c

L

n

n

n

m

L

u

b

b

b





























(8.45)

gdzie:
L – długość ciągu wyrażona w metrach,
u – współczynnik błędów przypadkowych pomiarów liniowych (wg G-4 u = 0,0059),
n

b

– ilość boków ciągu,

c – wpływ błędów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4 c = 0,10 m).

Dla ok. 30% ciągów można dopuścić odchyłki dochodzące do wartości 2 f

L max

.

Wartości odchyłek liniowych maksymalnych są zestawione w tabeli znajdującej się
w załącznikach do instrukcji G-4.

14. Rozrzucenie odchyłek przyrostów proporcjonalnie do długości boków. Poprawki

przyrostów wyniosą:

209

a)

(8.46

oraz

(8.46)

i

y

y

i

i

x

x

i

d

L

f

v

d

L

f

v













gdzie: L – długość ciągu w metrach,

d

i

– długość i – tego boku, dla którego obliczana jest poprawka przyrostu.

Poprawki należy zaokrąglić do pełnych centymetrów, zaś ich suma musi być
dokładnie równa odchyłce przyrostów ze znakiem przeciwnym. Wartości poprawek
wpisuje się kolorem czerwonym nad przyrostami. Wartości poprawek przyrostów
można też obliczać proporcjonalnie do bezwzględnej wartości przyrostów

15. Obliczenie współrzędnych punktów poligonowych: X

N

, Y

N

na podstawie

współrzędnych punktów poprzednich: X

P

, Y

P

i przyrostów poprawionych:

x

P-N

,

y

P-N

:

X

N

= X

P

+

x

P-N

Y

N

= Y

P

+

y

P-N

Przykład:
Obliczyć współrzędne punktów: 1, 2, 3 w ciągu sytuacyjnym otwartym, nawiązanym
obustronnie do punktów: B, C (rys. 8.17).

Tabela 8.9. Obliczenie ciągu sytuacyjnego otwartego, nawiązanego obustronnie

Oz
n.
pun
ktu

Kąty

 – lewe

 – prawe

g c cc

Azymuty

A

g c cc

Boki

d

Przyrosty

Kontrola przyrostów

Współrzędne

x

y

2

d

A+50

g

S

C

x=S+C

y=S -C

X

Y

Ozn
.
pun
ktu

Uwagi,

obliczenia

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A

2000,0

0

3000,0

0

A

B 245

5
7

+2

5

2
0

2010,0

0

3300,0

0

B

1 154

3
3

+2

4

2
0

1915,4

0

3416,4

1

1

2 254

8
0

+2

5

5
0

1922,3

8

3616,3

2

2

3 170

2
0

+2

4

0
0

1793,3

5

3735,2

9

3

C 230

8
0

+2

5

9
0

1719,5

0

3932,7

5

C

D

1421,1

0

4199,1

0

D

[

]

p

[

]

t

105

5

105

5

71

73

80

03

Obliczenie azymutu
A

AB

ze

współrzędnych:
tg A = (+300,00):
( +10,00)

I ćw.

 =97-87-87

A

AB

=97,8787

g

Kontrola:

tg

(A+50

g

)

=





310 00

290 00

,

,

 =52,1213

g

A+50

g

= 147,8787

g

tgA

CD

=(+266,35):

(-298,40)

II ćw.

 =46,3910

g

A

CD

=153,60

90

g

Kontrola:

tg

(A+50

g

)

=





32 05

564 75

,

,



=3,6090

g

A+50

g

=

203,6090

g

210

A

1-2



1



2



4



3



5

1

5

4

3

2

d

3-4

d

4-5

d

5-1

d

2-3

kierunek
obliczen
ia ciągu

N

Rys. 8.18. Ciąg poligonowy

zamknięty

8.9.4. Obliczenie ciągów poligonowych zamkniętych

Ciąg poligonowy zamknięty jest wielobokiem

zamkniętym, w którym zostały pomierzone kąty
wierzchołkowe i długości boków. Przeważnie stanowi on
osnowę niezależną, czyli nie nawiązaną do osnowy
wyższej klasy lub rzędu, zakładaną dla pomiaru
sytuacyjnego małego obszaru np. działki, kompleksu
budynków itp., Jest też osnową bardzo często
wykorzystywaną do celów dydaktycznych. Danymi
wyjściowymi do obliczenia ciągu zamkniętego oprócz
pomierzonych w terenie kątów i długości są współrzędne
jednego wierzchołka i azymut dowolnego boku. W ciągu
zamkniętym pokazanym na rys. 8.18 i przykładzie
obliczonym w tabeli 8.10 dane są współrzędne punktu 1
i azymut boku 1-2.

Przebieg obliczeń ciągu zamkniętego jest podobny do obliczenia ciągu otwartego,

nawiązanego obustronnie. Różnice występują tylko na etapie określania sum teoretycznych
kątów i przyrostów. W ciągu zamkniętym oprócz dotyczącego wszystkich rodzajów ciągów
poligonowych podziału kątów na lewe i prawe można też wyróżnić kąty wewnętrzne
i zewnętrzne. Sumy teoretyczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych wieloboku
zamkniętego wynoszą odpowiednio:

Suma kątów wewnętrznych = (n

–

2)

180

(8.47)

Suma kątów zewnętrznych = (n

+

2)

180

(8.47

a)

211

Tabela 8.10. Obliczenie ciągu sytuacyjnego, zamkniętego

Ozna
czeni

a

punk

tow

Kąty

poziome

 - lewe,

 - prawe

  

Azymuty

A

  

Długości

boków

d

Przyrosty

Kontrola przyrostów

Współrzędne

x

y

d

2

A+45



S

C

x=S+C

y=S–C

X

Y

Ozna
czeni

a

punkt

ow

Uwagi

szkice

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5

5

1

52

1
1

-5

5
5

5000,00 5000,00 1

2

163

0
8

-5

1
0

4801,17 5030,11 2

3

102

4
8

-5

0
0

4601,96 5001,21 3

4

96

1
6

-5

3
0

4589,96 4850,19 4

5

125

3
5

-5

5
0

4800,39 4809,98 5

1

1

[

]

p

[

]

t

540

540

00

00

2

5

0

0

f

kt

f

kt max

+

0



2

2

5

1

4

Jeśli kierunek obliczenia jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, wtedy kąty

wewnętrzne ciągu zamkniętego są jednocześnie kątami prawymi (rys. 8.18). Po zmianie
tego kierunku kąty wewnętrzne staną się kątami lewymi.

Obliczanie przyrostów boków rozpoczyna się i kończy w tym samym punkcie,

toteż sumy teoretyczne obydwu rodzajów przyrostów są w ciągu zamkniętym równe zero,
toteż ich sumy praktyczne stanowią jednocześnie odchyłki przyrostów:

[

x ]

t

= 0 ; [

y ]

t

= 0 oraz [

x ]

p

= f

x

; [

y ]

p

= f

y

(8.48)

Kontrolą obliczenia azymutów boków ciągu zamkniętego jest otrzymanie azymutu

końcowego identycznego z danym azymutu boku wyjściowego po wcześniejszym
wyznaczeniu wszystkich szukanych azymutów i dojściu z obliczeniem do boku
początkowego. Podobnie przebiega sprawdzenie obliczenia współrzędnych punktów
poligonowych, ponieważ po dokonaniu procesu obliczeniowego dla wszystkich punktów
szukanych dochodzimy z obliczeniem do punktu wyjścia o
znanych współrzędnych, które na tym etapie powinniśmy
uzyskać w postaci niezmienionej. Wykrycie przy tej kontroli
niewielkiej rozbieżności jest najczęściej spowodowane
nieuwzględnieniem poprawki kąta lub przyrostu.

Ciąg zamknięty może być osnową niezależną lub

stanowić konstrukcję geometryczną

nawiązaną

jednopunktowo z orientacją. W drugim przypadku do

212

Rys. 8.19. Nawiązanie

wieloboku zamkniętego włącza się punkt nawiązania, oraz mierzy kąt nawiązania zawarty
pomiędzy bokiem ciągu a bokiem kierunkowym (rys. 8.19). Obliczenie takiego ciągu
można przeprowadzić na zasadzie obliczenia ciągu obustronnie nawiązanego do tego
samego punktu nawiązania i boku kierunkowego.

8.10. Symbole rachunkowe Stefana Hausbrandta

Wiele zadań z rachunku współrzędnych wykazuje pewne powtarzające się

działania, możliwe do ujednolicenia i usprawnienia w wyniku zastosowania symboli
rachunkowych wprowadzonych w tym celu przez Stefana Hausbrandta. Symbole te
znacznie ułatwiają i systematyzują obliczenia wykonywane za pomocą kalkulatora.

Podstawowym pojęciem w symbolice Hausbrandta jest forma rachunkowa prosta,

stanowiąca czteroelementowy zespół liczb, ujętych w prostokątną tabelę:

d

c

b

a

f



(8.49)

Forma rachunkowa jest tylko sposobem zapisu liczb i nie określa żadnych działań

matematycznych prowadzących do wyznaczenia konkretnej liczby. Są one możliwe jedynie
po ustaleniu określonej funkcji formy rachunkowej.

Forma rachunkowa złożona składa się z dwóch lub większej ilości form

rachunkowych prostych zapisanych obok siebie np.

F

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

n

n

n

n



1

1

1

1

2

2

2

2

.....

(8.50)

W rachunkach geodezyjnych stosowane są następujące funkcje obliczane z form

rachunkowych:

1) Funkcja pierwsza (iloczyn wyznacznikowy) jest to suma wyznaczników

drugiego stopnia obliczonych z poszczególnych form rachunkowych
prostych:

F

1

= a

1

d

1

– b

1

c

1

+a

2

d

2

– b

2

c

2

+...+a

n

d

n

– b

n

c

n

=

(a

i

d

i

- b

i

c

i

)

(8.51)

2) Funkcja druga (iloczyn kolumnowy) jest to suma iloczynów par elementów

znajdujących się w poszczególnych kolumnach formy rachunkowej:

F

2

= a

1

c

1

+b

1

d

1

+a

2

c

2

+b

2

d

2

+...+a

n

c

n

+b

n

d

n

=

(a

i

c

i

+b

i

d

i

)

(8.52)

3) Funkcja zerowa (iloraz główny) jest to stosunek funkcji pierwszej do drugiej:

F

F

F

0

1

2



(8.53)

4) Funkcje względne proste stanowią ilorazy funkcji pierwszej lub drugiej przez sumę

elementów dolnego lub górnego wiersza formy rachunkowej. W zależności od tego
który wiersz podlega sumowaniu, symbol funkcji: (1) lub (2) umieszcza się u dołu lub
u góry symbolu formy:

)

(

;

)

(

;

)

(

;

)

(

2

(2)

1

)

1

(

2

)

2

(

1

)

1

(

i

i

i

i

i

i

i

i

b

a

F

F

b

a

F

F

d

c

F

F

d

c

F

F

























(8.54)

213

5) Funkcje względne kwadratowe są ilorazami funkcji pierwszej lub drugiej przez

sumę kwadratów elementów dolnego lub górnego wiersza formy. Podobnie jak
poprzednio w zależności od tego, czy sumujemy kwadraty elementów dolnego,
czy górnego wiersza, odpowiedni symbol funkcji – jedynkę lub dwójkę
w nawiasie kwadratowym lub małym kwadracie – umieszczamy u dołu lub u
góry symbolu formy:

)

(

;

)

(

;

)

(

;

)

(

2

2

2

[2]

2

2

1

]

1

[

2

2

2

]

2

[

2

2

1

]

1

[

i

i

i

i

i

i

i

i

b

a

F

F

b

a

F

F

d

c

F

F

d

c

F

F

























(8.55)

Należy pamiętać, że oznaczenie formy rachunkowej np. f, g, F,

,  itp.

oznacza pewien zapis zespołu liczb lub symboli algebraicznych, zaś działania
matematyczne wykonuje się na nich dopiero po wpisaniu symbolu odpowiedniej
funkcji, który można podawać zarówno przy oznaczeniu formy, jak również
poza jej tabelą. Za pomocą zdefiniowanych symboli możemy więc zapisać
wzory dla wcześniej omówionych dwóch zadań z rachunku we współrzędnych:

a) Wzory (8.15) na obliczenie przyrostów współrzędnych punktu na domiarze

prostokątnym:









x

y

l

h

A

A

AP

AP

;

sin

cos

,



1 2

(8.56)

Zapis obok siebie dwóch symboli funkcji oddzielonych przecinkiem

oznacza, że pierwsza z nich odnosi się do

x

AP

, zaś następna do

y

AP

.

b) Wzór (8.18) na obliczenie kąta ze współrzędnych:

tg

 









x

y

x

y

CL

CL

CP

CP 0

(8.57)

8.11. Obliczanie wcięć pojedynczych

Wcięcia pojedyncze są prostymi, jednoznacznie wyznaczalnymi zadaniami

geodezyjnymi, mającymi na celu określenie współrzędnych X, Y najczęściej jednego lub
znacznie rzadziej dwóch punktów (w zadaniach Hansena i Mareka). Wynika stąd, że przy
obliczaniu wcięć pojedynczych nie występują spostrzeżenia nadliczbowe, a tym samym
problem wyrównania. Zawierają one tyle spostrzeżeń n, ile jest to konieczne do
jednoznacznego określenia u niewiadomych (n

=

u), którymi są współrzędne punktu

wcinanego. Ilość obserwacji przekraczająca ilość niewiadomych występuje natomiast
w konstrukcjach wcięć wielokrotnych.

Główne zadania wcięć to zagęszczanie poziomej osnowy geodezyjnej, wyznaczenie

położenia punktów dostępnych i niedostępnych w pracach inwentaryzacyjnych i podczas
pomiarów odkształceń i przemieszczeń.

8.11.1. Kątowe wcięcie w przód

Kątowe wcięcie w przód polega na określeniu współrzędnych punktu wcinanego

P na podstawie pomiaru kątów poziomych:

,  w trójkącie ABP (rys. 8.20) ze stanowisk

A,B o znanych współrzędnych. Odcinek AB nazywa się bazą wcięcia, zaś celowe łączące
punkty znane z punktem szukanym, noszą nazwę celowych w przód, od której wywodzi się
nazwa tego wcięcia. Rozwiązanie zadania ma charakter jednoznaczny, ponieważ w

214

trójkącie ABP znane są tylko trzy elementy: długość
bazy d

AB

określona przez współrzędne punktów A, B

oraz dwie obserwacje kątowe:

, . Kolejność

czynności prowadzących do obliczenia współrzędnych
punktu wcinanego jest następująca:
1. Obliczyć azymut i długość boku AB ze

współrzędnych.

2. Obliczyć azymuty boków wcinających AP,

BP. Zgodnie z rys. 8.20 azymuty te wynoszą:
A

AP

= A

AB

+

 oraz A

BP

= A

BA

–

 .

3. Obliczyć długości boków AP, BP na podstawie

twierdzenia sinusów:

sin

)

(

sin

=

;

sin

)

(

sin























AB

BP

AB

AP

d

d

d

d

4. Obliczyć przyrosty boków wcinających:

x

AP

= d

AP

 cos A

AP

,

y

AP

= d

AP

 sin A

AP

y

AP

= d

BP

 cos A

BP

,

y

BP

= d

BP

 cos A

BP

.

5. Dwukrotnie obliczyć współrzędne punktu P na podstawie:

a) współrzędnych punktu A i przyrostów boku AP:

X

P

= X

A

+

x

AP

; Y

P

= Y

A

+

y

AP

,

b) współrzędnych punktu B i przyrostów boku BP:

X

P

= X

B

+

x

BP

; Y

P

= Y

A

+

y

BP

.

Zgodność obydwu par wyników stanowi kontrolę rachunkową.

5. Dokonać kontroli współrzędnych punktu P polegającej na dwukrotnym

określeniu trzeciego kąta trójkąta

:

a) jako dopełnienie kątów pomierzonych do 180°



pom.

= 180

– (+

)

b) na podstawie współrzędnych punktów: A, B, P.
Oba wyniki powinny być z sobą zgodne.

Ten stosunkowo przejrzysty przebieg obliczeń, polegający na rozwiązaniu trójkąta

ABP jest jednak wieloetapowy i dość pracochłonny. Zadanie obliczenia wcięcia w przód
można rozwiązać szybciej stosując wzór oparty na pomocniczych symbolach
rachunkowych Hausbrandta:

(

,

)

(

)

X Y

X

Y

X

Y

P

P

A

A

B

B







1

1

1,2

ctg

ctg





(8.58)

Zaletą obliczeń za pomocą wzoru (8.58) jest otrzymywanie wyników po

podstawieniu danych wyjściowych do formy rachunkowej i wykonaniu jednego ciągu
obliczeń, bez potrzeby notowania rezultatów etapów pośrednich. Po przekształceniu
symboli rachunkowych Hausbrandta na postać algebraiczną otrzymamy:

215

Rys. 8.20. Kątowe wcięcie w przód

A

BP

A

BA

N

A

AP

N

A

B

P







d

AB

A

AB

X

X

Y

X

Y

P

A

A

B

B















ctg

ctg

ctg

ctg









(8.59)

Y

X

Y

X

Y

P

A

A

B

B

















ctg

ctg

ctg

ctg









Zestawiając formę rachunkową podaną we wzorze (8.58) należy przypisać

punktom znanym i pomierzonym kątom

, , prawidłową konfigurację zgodną z rys. 8.20,

według której punkt A i kąt

 muszą znajdować się po prawej stronie bazy wcięcia. Zmiana

konfiguracji (punkt A z lewej strony) powoduje otrzymanie błędnego wyniku obliczeń.

Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak jak w poprzednim sposobie tj. poprzez

dwukrotne obliczenie kąta

 :

a) z dopełnienia kątów

,  

pom.

= 180

– (+

),

b) ze współrzędnych punktów A, B, P po dostosowaniu wzoru (8.57):

0

.

Δ

Δ

Δ

Δ

tg

PB

PB

PA

PA

obl

y

x

y

x





Trójkąt ABP powinien być tak zbudowany, aby kąt

 zawierał się w przedziale od

30

 do 150. Wynik wcięcia w przód jest najdokładniejszy, gdy boki wcinające AP, BP

przecinają się pod kątem prostym, a więc gdy:

 =90.

Zaletą kątowego wcięcia w przód jest możliwość określania współrzędnych

punktów niedostępnych. Z uwagi na to, że omawiane zadanie jest jednoznacznie
wyznaczalne, a więc nie zapewnia kontroli obserwacji, zaleca się pomiar elementu
kontrolnego np. dodatkowego kąta, boku, wysokości trójkąta. Jeśli wcina się jednocześnie
kilka punktów, wtedy elementami sprawdzającymi mogą być zmierzone w terenie
i obliczone ze współrzędnych odległości między punktami wyznaczanymi.

8.11.2. Wcięcie liniowe

Wcięcie liniowe jest konstrukcją jednoznacznie wyznaczalną, polegającą na

określeniu współrzędnych punktu wcinanego P, na podstawie dwu odległości
pomierzonych pomiędzy punktem P a dwoma punktami znanymi A, B. Konstrukcję wcięcia
liniowego stanowi trójkąt ABP (rys. 8.21), którego podstawą jest baza wcięcia utworzona
przez punkty A, B o znanych współrzędnych, wierzchołkiem

 punkt wyznaczany P, zaś

ramionami są boki wcinające o pomierzonych długościach : d

AP

= b oraz d

BP

= a (rys.

8.21). Wcięcie liniowe jest wykorzystywane do zagęszczania osnowy pomiarowej
i zdejmowania szczegółów sytuacyjnych poprzez same pomiary liniowe, bez potrzeby
użycia węgielnicy i teodolitu.

Obliczenie wcięcia liniowego można zrealizować poprzez jego zamianę na wcięcie

kątowe w przód. Po obliczeniu długości odcinka AB (c=AB) ze współrzędnych,
wyznaczymy kąty

,  (oraz kąt  - dla kontroli) z twierdzenia Carnota (cosinusów) na

podstawie znanych długości boków trójkąta ABP:

216

cos

cos

cos





































a

b

c

bc

C

bc

a

b

c

ac

C

ac

a

b

c

ab

C

ab

a

b

c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(8.60)

Kontrola:



+



+

 =

180°

Wyrażenia C

a

, C

b

, C

c

noszą nazwę karnotianów, zaś ich suma jest równa sumie

kwadratów boków trójkąta, co można wykorzystać do kontroli ich obliczenia:

C

a

+C

b

+C

c

= a

2

+b

2

+c

2

(8.61)

Nieco łatwiej można wyznaczyć wartości kątów trójkąta

, , 

, stosując

twierdzenie Carnota tylko dla określenia jednego z nich, zaś dla pozostałych dwóch –
twierdzenie sinusowe.

Wygodnym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego w przód jest zastosowanie

pomocniczych symboli rachunkowych Hausbrandta i obliczenie współrzędnych punktu P
w oparciu o wzór:

(

,

)

(

)

X Y

X

Y

P C

X

Y

P C

P

P

A

A

b

B

B

a







4

4

1,2

(8.62)

Po doprowadzeniu wzoru (8.61) do postaci algebraicznej otrzymamy:

X

X

C

Y

P X

C

Y

P

C

C

P

A

b

A

B

a

B

a

b



















4

4

Y

X

P Y C

X

P Y C

C

C

P

A

A

b

B

B

a

a

b





















4

4

Wyraz 4P jest poczwórnym polem trójkąta ABP, które obliczymy na podstawie

karnotianów ze wzoru:

4P

C C

C C

C C

a

b

a

c

b

c













(8.63)

Dokładność określenia współrzędnych punktu za pomocą wcięcia liniowego

w przód zależy od dokładności pomiaru boków i kształtu trójkąta ABP. Najkorzystniejsze
wcięcie ma miejsce wtedy, gdy boki AP, BP przecinają się pod kątem prostym.

8.12. Obliczenie domiarów prostokątnych ze współrzędnych

Główne elementy planów realizacyjnych przed wyznaczeniem w terenie muszą

być opracowane geodezyjnie poprzez jednoznaczne określenie ich położenia za pomocą
współrzędnych. Ze współrzędnych oblicza się następnie miary potrzebne do wyniesienia
projektu w teren i wprowadza je do szkiców dokumentacyjnych, wykorzystywanych
podczas tyczenia obiektów. Jeśli metodą tyczenia będzie metoda ortogonalna, to należy
przeliczyć współrzędne lokalizujące obiekty na mapie projektu na domiary prostokątne.

217

B

A

P





Rys. 8.21. Wcięcie

liniowe

h

P

 q

b

a



p

c=p+q

Zadanie to jest odwrotnością zadania, polegającego na obliczeniu współrzędnych

punktów na domiarach prostokątnych, omówionego w ust. 8.4. Do wytyczenia metodą
rzędnych i odciętych punktu P o znanych współrzędnych, należy określić domiary
prostokątne l, h względem boku osnowy realizacyjnej, wyznaczonego przez dwa punkty A,
B o znanych współrzędnych. Zgodnie z wzorami (8.15) i (8.55) przyrosty współrzędnych
na odcinku AP wyniosą:

x

AP

= l

 cos A – h  sin A

y

AP

= l

 sin A + h  cos A

Pomnóżmy obustronnie powyższe równania najpierw przez cos A, a następnie

przez (– sin A)

. Otrzymamy wtedy dwie pary równań, które dodamy stronami:

x

AP

 cos A= l  cos

2

A – h

 sin A cos A

–

x

AP

 sin A = – l sin A cos A + h sin

2

A

y

AP

 sin A= l  sin

2

A + h

 sin A cos A

+

y

AP

 cos A = +l sin A cos A + h cos

2

A

x

AP

 cos A + y

AP

 sin A = l

–

x

AP

sin A +

y

AP

cos A = h

Po uporządkowaniu równań sumowych wzory na domiary prostokątne obliczone

ze współrzędnych punktów: A, B, P przyjmą postać:

l =

y

AP

 sin A + x

AP

 cos A

(8.64)

h =

y

AP

 cos A – x

AP

 sin A

Wzory (8.64) można zapisać za pomocą symboli rachunkowych S. Hausbrandta:

( , )

sin

cos

h l

y

x

A

A

AP

AP







1,2

(8.65)

Oznaczenia przyrostów występujących we wzorach (8.64), (8.65) wskazują na ich

obliczanie względem punktu wyjściowego A. Przyrosty

x

AP

,

y

AP

można zastąpić

przyrostami:

x

P-N

,

y

P-N

pomiędzy sąsiednimi punktami rzutowanymi na daną prostą AB,

przy czym symbole P,N oznaczają: P – punkt poprzedni , N – punkt następny. W ten sposób
zamiast domiarów l, h otrzymamy w wyniku obliczeń ich przyrosty:

h

P-N

,

l

P-N

, czyli:

2

,

1

cos

sin

Δ

Δ

)

Δ

,

Δ

(

A

A

x

y

l

h

N

P

N

P

N

P

N

P











(8.66)

Zaletą takiego sposobu rachunku są kontrole obliczanych przyrostów oparte na

następujących poznanych w ust. 8.4.2 zależnościach:


[

l] = d

AB

, czyli suma przyrostów miar bieżących jest równa długości odcinka prostej

AB, na którą rzutujemy punkty, leżące poza prostą,



[

h] = 0

, czyli suma przyrostów rzędnych jest równa zero (rzędna w prawo + , rzędna

w lewo –),



[

x] = X

B

– X

A

oraz [

y] = Y

B

– Y

A

, czyli suma przyrostów współrzędnych dla

poszczególnych, bliskich punktów rzutowanych na prostą AB, podobnie jak w ciągu
obustronnie nawiązanym, jest równa różnicom współrzędnych (przyrostom)
obliczonym dla punktów końcowych prostej.

218

8.13. Zastosowanie programu WinKalk do obliczeń geodezyjnych

8.13.1. Informacje ogólne o programie

Spośród popularnych programów komputerowych wykorzystywanych do obliczeń

geodezyjnych można wymienić: Geo89, C-Geo, Geonet, WinKalk. Ich wspólną cechą jest
realizacja typowych geodezyjnych zadań, głównie z rachunku współrzędnych, w tym
wszystkich obliczeń podanych w niniejszym podręczniku.

Program WinKalk, rozpowszechniany przez firmę informatyczną Coder,

z siedzibą w Komorowie k. Warszawy, jest programem służącym do przeprowadzania
podstawowych obliczeń geodezyjnych. Po dokonaniu zakupu programu firma dostarcza
dyskietki instalacyjne, za pomocą których instaluje się program w systemie Windows.

Zaletami tego programu są: łatwa i prosta obsługa, praca w środowisku Windows

(3.1, 95/98, NT), duże możliwości prezentacji graficznej na ekranie monitora i drukarce
w postaci szkiców wykonywanych w skali zadeklarowanej przez użytkownika. Program
składa się z wersji bazowej dla obliczeń typowych i modułów do zadań specjalnych takich
jak: tyczenie tras, współpraca z rejestratorami polowymi, wyrównanie sieci płaskich
i niwelacyjnych, obliczanie objętości mas ziemnych. Zasada działania opiera się na użyciu
wielu formularzy (okienek) z których każdy realizuje inną funkcje obliczeniową (domiary,
tachimetria itd.). Każda funkcja umożliwia sporządzenie raportu z obliczeń i szkicu
obliczanej konstrukcji geodezyjnej.

Oprócz wersji bazowej użytkownik może za dopłatą zamówić kilka modułów

specjalnych:



Moduł „Trasy”

 wspomagający tyczenie łuków i krzywych przejściowych.



Moduł „Rejestrator” – zawierający pakiet funkcji do współpracy z
rejestratorami polowymi.



Moduł „Wyrównanie” – pozwalający na przeprowadzenie wyrównania ścisłego
niewielkich sieci płaskich i niwelacyjnych.

a)

b)

Rys. 8.22. Zadania geodezyjne programu WinKalk zawarte w menu: „Pomiary” i „Obliczenia”

Wersja bazowa programu WinKalk zawiera obliczenie następujących

geodezyjnych zadań zawartych w menu „Pomiary”(rys. 8.22 a) i „Obliczenia (rys. 8.22 b):



współrzędnych punktów na prostej i domiarach prostokątnych,



współrzędnych prostokątnych punktów na domiarach biegunowych,

219



przecięcia prostych,



przecięcia z ramką sekcyjną,



ciągów sytuacyjnych i busolowych,



wcięć pojedynczych (kątowego, liniowego, przestrzennego, wstecz,
kombinowanego, w bok i stanowiska swobodnego),



dzienników niwelacji technicznej, precyzyjnej i trygonometrycznej,



objętości mas ziemnych,



danych do wyniesienia punktów o znanych współrzędnych metodą ortogonalną,



danych do analogicznego wyniesienia metodą biegunową,



azymutów i długości ze współrzędnych,



kątów ze współrzędnych,



pól ze współrzędnych,



transformacji współrzędnych.



projektowania działek na zadaną powierzchnię i wymiary,



tworzenia bazy działek danego obiektu pomiarowego.

a)

b)

Rys. 8.23. Okno „Wybór obiektu” w programie WinKalk

Po instalacji programu, której przebieg opisany jest szczegółowo w

instrukcji obsługi, można rozpocząć użytkowanie programu, uruchamiając go
kliknięciem myszką w ikonę programu na pulpicie lub w folderze „Geodezja”
założonym podczas instalacji. Wszystkie dane, wyniki pomiarów i obliczeń oraz szkice są
grupowane w ramach obiektu pomiarowego o nazwie wybranej przez użytkownika. Po
pierwszym uruchomieniu programu lista obiektów jest pusta (rys. 8.23

a), a więc pierwszą

czynnością jest utworzenie nowego obiektu. Po naciśnięciu przycisku

pojawia się

pole dialogowe (rys. 8.24), w którym wpisujemy nazwę obiektu np. „Kraków” i naciskamy
na klawiaturze komputera klawisz [Enter]. Obiekt zostaje utworzony i następuje
wyświetlenie głównego okna programu z wybraną nazwą obiektu na pasku tytułowym oraz
pozycjami menu (rys. 8.25).

Rys. 8.25. Główne menu programu WinKalk

Z reguły prace wykonywane za pomocą programu

rozpoczynamy od wpisania do bazy danych numerów
i współrzędnych punktów znanych np. należących do
osnowy wykorzystywanej do nawiązania pomiarów.
Chcąc wprowadzić nowe punkty do bazy danych obiektu
wybieramy z menu „Punkty” opcję „Wpis” (rys. 8.26).
Następuje wówczas wyświetlenie tabeli „Nowy punkt”

220

Rys. 8.24. Wprowadzenie nazwy

obiektu

(rys. 8.27), w komórkach której wpisuje
się numer punktu, współrzędne
i ewentualny kod. Przeglądanie danych
dotyczących punktów w oknie „Punkty”
może nastąpić po uruchomieniu
polecenia: „Punkty/Edycja” (rys. 8.28).
W oknie tym znajduje się szereg przycisków, przy użyciu których można dokonać
następujących operacji:



„Raport”

 edycja punktów w postaci stabelaryzowanego pliku RTF lub

drukowanie wykazu współrzędnych punktów,



szkic położenia punktów w wybranej skali,



wstawianie, usuwanie i odświeżanie danych,



kasowanie wszystkich punktów,



zamykanie okna,



filtrowanie punktów na podstawie ich numerów, kodów lub typów,



wyświetlanie punktów bliskich, mieszczących się w kole o zadanym promieniu,



poszukiwanie punktu o wybranym numerze,



zmiana atrybutów: numeru, kodu lub typu punktu,



statystyka punktów (ilość i zakresy współrzędnych),



przegląd punktów w dodatkowej bazie danych (po jej podłączeniu).

8.13.2. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych

Spośród licznych zadań z rachunku

współrzędnych, do rozwiązania których możemy
wykorzystać program WinKalk, ograniczymy się do
przykładu obliczenia współrzędnych grupy punktów
posiłkowych podanego w ust. 8.4.

221

Rys. 8.26. Opcja „Wpis

punktów”

Rys. 8.27. Okienko wpisu nowego

punktu do bazy danych

Rys. 8.28. Edycja punktów wpisanych do bazy danych

obiektu

Dane:

Punkt

X

Y

541

4950,

12

7251,

84

542

4964,

44

7064,

95

Rys. 8.29. Okno „Domiary” do

wpisu danych i obliczenia

współrzędnych punktów

posiłkowych

Po utworzeniu obiektu i

zapisaniu

współrzędnych

punktów nawiązania 541, 542 w
bazie danych, w menu „Pomiary”
otwieramy zadanie „Domiary”,
po czym w tabeli pokazanej na
rys. 8.29 wpisujemy oznaczenia
punktów: początkowego i
końcowego wyznaczających linię
pomiarową.

Każdorazowe

wprowadzenie numeru punktu i naciśnięcie klawisza [Enter] powoduje automatyczne
ukazanie się w żółtych polach się jego współrzędnych pobranych z bazy. Jeśli nie ma
innego punktu zaczepienia (z miarą bieżącą 0,00), to zostaje nim domyślnie punkt
początkowy. Po wpisaniu symbolu punktu końcowego i naciśnięciu klawisza [Enter]
zostanie obliczona długość boku 541-542 ze współrzędnych. Należy także wpisać obok
pomierzoną długość boku 541-542 ( w przykładzie: 187,50 m).

Po wprowadzeniu w komórkach tabeli dla każdego punktu posiłkowego numeru

punktu, miary bieżącej i domiaru z odpowiednim znakiem (w prawo +, w lewo – ),
następuje obliczenie współrzędnych danego punktu. Dla punktów na prostej nie musimy
przy tym wpisywać rzędnej 0,00. Ostateczne obliczenie zadania nastąpi po naciśnięciu
przycisku

 „Oblicz wszystko”, zaś po uruchomieniu przycisku „Raport” zostanie

wyświetlone zestawienie rozwiązań zadania w postaci pliku RTF (załącznik 1). Wśród
wyników obliczeń podawana jest także odchyłka pomiędzy odległością pomierzoną i
obliczoną ze współrzędnych i odchyłka dopuszczalna. W razie przekroczenia odchyłki
maksymalnej na ekranie pojawia się odpowiednie ostrzeżenie.

222

5

1

541

542

4

3

2

15,6

22,4

7

1

87

,5

0

12

4,5

6

7

8

,1

2

12

,4

0

47

,9

3

0

,0

0

3

4

,7

5

2

3,9

4

Załącznik 1: Raport zadania „Domiary” w postaci pliku RTF

Data: 15-06-2002

Obiekt C:\WINKALK\Kraków

Strefa układu 65: 1

OBLICZENIE PUNKTÓW POMIERZONYCH METODĄ DOMIARÓW

Punkt początkowy:

541

X=4950,12

Y=7251,84

Punkt końcowy:

542

X=4964,44

Y=7064,95

Punkt zaczepienia:

541

X=4950,12

Y=7251,84

Długość linii pomiarowej 187,50

Odchyłka rzeczywista fl=-0,06 Odchyłka dopuszczalna fmax=0,13

Nr

Bieżąca

Domiar

X

Y

1

34,75

4952,77

7217,20

2

47,93

-15,68

4938,15

7202,87

3

47,93

-22,47

4931,38

7202,35

4

78,12

23,94

4979,95

7175,80

5

124,56

12,40

4971,99

7128,63

8.13.3. Obliczanie ciągów poligonowych

Dla przykładu obliczmy ciąg

sytuacyjny, obustronnie nawiązany (do
tego samego boku kierunkowego)
pokazany na rys. 8.30. Ciąg został
pomierzony na obiekcie o nazwie
„Zerwana”. W menu „System”
wybieramy polecenie „Zmiana obiektu”,
przez co pojawi się znane okienko
„Wybór obiektu”. Na liście alfabetycznej
wybieramy obiekt (rys. 8.23

b)

i kursorem myszki naciskamy przycisk
[OK.], przechodząc do głównego okna
programu. Po wprowadzeniu w menu
„Punkty/Wpis”

numerów

i

współrzędnych punktów nawiązania

ciągu (1055, 1056) wchodzimy do menu „Pomiary”, po czym uruchamiamy polecenie
„Poligon” (rys. 8.22 a). W tabeli, która się wówczas pojawi (rys. 8.32), wybieramy opcję
„Nawiązanie 2-stronne” oraz rodzaj kątów „Lewe”. Nad tabelą jako nawiązanie
początkowe (punkt nawiązania kierunkowego) podajemy numer punktu 1056, zaś pod nią
symbol 1055 jako punkt kierunkowego nawiązania końcowego ciągu. Naciśnięcie klawisza
[Enter] po wprowadzeniu oznaczenia punktu powoduje każdorazowo automatyczny wpis
jego współrzędnych z bazy danych. Obecnie przystępujemy do wpisania danych w tabeli,
rozpoczynając zapis od punktu wierzchołkowego (1056) pierwszego kąta (98,4672

g

), który

zapisujemy obok w tym samym wierszu oraz długość boku (1056-p 1)

 104,28 m.

Podobnie zapisy dla pozostałych danych wprowadzamy do kolejnych wierszy tabeli.
Ostatnim zapisanym punktem jest punkt 1055 z wpisanym kątem 104,2100

g

, lecz bez wpisu

boku. Po wprowadzeniu powyższych danych kursorem myszki naciskamy znajdujący się
nad tabelą przycisk „Oblicz wszystko”

(z wizerunkiem kalkulatora), otrzymując

odchyłki i pytanie czy należy je rozrzucić.

223

pp

1056

pp

1055

p

1

p

2

p

4

p

3

p

5

98-46-

72

187-

37-50

190-82-

30

65-34-

40

194-14-

45

159-

62-40

104-

21-00

Rys. 8.30. Szkic ciągu

Rys. 8.31. Określenie odchyłki kątowej i liniowej ciągu oraz potwierdzenie jej rozrzucenia

Po dwukrotnym potwierdzeniu uzyskamy wyrównane współrzędne punktów

poligonowych. Zadanie można także wydrukować w postaci stabelaryzowanego pliku RTF
(patrz załącznik 2), który łatwo można skopiować do edytora tekstu Word, zaś za pomocą

klawisza

wyświetlić szkic ciągu w wybranej skali (rys. 8.33). Szkic jest kartometryczny

i istnieje możliwość wprowadzania na jego rysunek innych punktów ze współrzędnych oraz
rysowania dodatkowych elementów sytuacyjnych. Służą do tego celu przyciski
narzędziowe pojawiające się po naciśnięciu klawisza

. Zmiany wprowadzone na

standardowym szkicu trzeba zapisać na dysku, dobierając dla nowego szkicu odpowiednią
nazwę. Ponowny dostęp do zmodyfikowanego szkicu uzyskujemy po uruchomieniu ciągu
poleceń: „System/Szkic/Szkic/Otwórz”

.

Rys. 8.32. Okno wprowadzania danych i obliczenia ciągu poligonowego

Oprócz ciągów obustronnie nawiązanych program może również obliczać ciągi

wiszące oraz ciągi bez nawiązania kierunkowego (bez kątów nawiązania na końcach
ciągu), przy zastosowaniu metody wliczeniowej. Zmiany opcji nawiązania dokonuje się

w polu „Typ nawiązania” okna pokazanego na rys. 8.32.

224

Załącznik 2: Raport zadania „Poligon” w postaci pliku RTF

Data: 28-05-2002

Obiekt C:\WINKALK\Zerwana

Strefa układu 65: 1

OBLICZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTÓW POLIGONU

Nawiązanie początku ciągu:

1055

X=5418295,27 Y=4559276,48

Nawiązanie końca ciągu

: 1056

X=5418114,91 Y=4559118,76

Kąty: Lewe

Odchyłka kątowa: fk = 0,0123

Odchyłki liniowe: fx = -0,01 fy= -0,08 fl=0,08

Liczba kątów = 7 Suma boków = 965,85

Dopuszczalna odchyłka kątowa: fk max = 0,0490

Dopuszczalna odchyłka liniowa: fl max = 0,24

Nr

Kąt

Bok

X

Y

1056

98,4672

104,28

5418114,91

4559118,76

p1

187,3750

143,31

5418048,18

4559198,87

p2

190,8230

221,01

5417979,96

4559324,86

p3

65,3440

153,11

5417903,75

4559532,26

p4

194,1445

91,50

5418054,02

4559503,00

p5

159,6240

252,78

5418141,83

4559477,34

1055

104,2100

5418295,27

4559276,48

Rys. 8.33. Szkic obliczonego ciągu poligonowego (skala 1:5000)

8.13.4. Obliczanie współrzędnych punktów pomierzonych metodą biegunową

(tachimetria)

Po wybraniu menu „Pomiary/Tachimetria” program oblicza współrzędne

prostokątne i wysokości punktów (pikiet) pomierzonych metodą biegunową (np.
tachimetrami elektronicznymi) na podstawie np. kąta poziomego Hz, odległości poziomej

225

lub skośnej i kąta pionowego V. Pole wyboru odpowiedniej opcji znajduje się u góry okna
(rys. 8.35).

Rys. 8.34. Pole wyboru wprowadzania danych dla pomiarów sytuacyjno-wysokościowych

Należy również podać wysokość instrumentu i dla danego stanowiska oraz

wysokość celu s („H celu”) dla poszczególnych pikiet. Ich numery, współrzędne
i wysokości zostają po obliczeniu wpisane do bazy punktów, skąd mogą być pobrane do
wykonania mapy sporządzanej za pomocą innego programu np. MikroMap. Jeśli w terenie
wykonano tylko pomiar sytuacyjny, wtedy zaznaczamy za pomocą myszki opcję „

bez H

”,

co powoduje zniknięcie z tabeli kolumn związanych z pomiarem wysokościowym.

Rys. 8.35. Okno „Tachimetria”

Rozpoczynając obliczenie pikiet w ramach określonego obiektu z pomiaru

biegunowego, wybieramy menu „Pomiary”, a w nim polecenie „Tachimetria”, po czym
wprowadzamy dane definiujące elementy nawiązania osnowy pomiarowej tj. stanowisko
i jeden lub dwa punkty sąsiednie, na które wykonano orientację stanowiska. Wpisane
zostają: oznaczenia tych punktów, ich współrzędne X, Y oraz wartości kierunków
nawiązań. W przypadku dwóch takich kierunków program podaje odchyłkę pomiędzy
kątem otrzymanym z kierunków orientacyjnych a kątem obliczonym ze współrzędnych
punktów osnowy pomiarowej. Następnie zapisujemy w tabeli numery kolejnych pikiet i ich
domiary biegunowe: kierunek Hz i odległość zredukowaną, co powoduje sukcesywne
obliczanie współrzędnych prostokątnych zdejmowanych punktów.

226

Rys. 8.36. Szkic pikiet

227

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

5

m 2

4

1

5

3

2

5

5

6

5

5

5

8