background image

 

MODELOWANIE MATEMATYCZNE 

 

 
Model matematyczny 
 

:  



    ∪  

∨ 

 ,  

 – zbiór nazw cech i związków 

 – opis cech, 

 – opis związków 

 

 
Opis cech 

 

 = 





, … , 





 

 – liczba cech 





 – symbol zmiennej(cechy)  



 – zbiór możliwych wartości zmiennej (cechy)  

 

Opis związków 

 

 = 



, 



, 



, … , 



, 



, 



 

 - liczba związków 



 

 - symbol związku(cechy)  



 

= 



!

"

, 



#

"

, … , 



$"

"

  – zbiór (lista) cech 

występujących w l-tym związku  


 

⊆ 

&'

(

"



)"

 – zbiór wartości cech spełniających l – 

ty związek 

 

Konstruowanie zadania optymalizacyjnego 

 

 = 

*+,-

∪ 

*-.

∪ 

/01

 

*+,-

= 2 – lista danych 

 

*-.

=  – lista zmiennych decyzyjnych 

/01

= 3 – lista wskaźników 

 

  

 

pozwala określić  

 

, Ω425

+∈7

, 842, 5

9∈Ω4+5

+∈7      

, :

+



+∈7

 

 ≠ ∅ – zbiór możliwych zestawów danych 

425 – zbiór dopuszczalnych zestawów wartości 

zmiennych decyzyjnych 

842, 5 – zbiór przewidywanych wartości wskaźników 
dla zestawów: danych 

2 i zmiennych decyzyjnych   

:

+

: 8425 → 0,1 - funkcja oceny osiągnięcia celu 

8425 = 3 ∈ 842, 5:  ∈

4

2

5  

 

Sformułowanie zadania optymalizacyjnego 

 

Dla danych 

2 ∈  

wyznaczyć takie 



∈ Ω425 

aby 

∀3 ∈ 842, 

5: :

+

435 = 1 

 



 - rozwiązanie optymalne 

Dla danych 

2 ∈  

wyznaczyć takie 



∈ Ω425 

aby 

42, 

5 = BCD

 ∈ Ω425 42, 5 

gdzie: 

42, 5 - tzw. funkcja celu

 

 
 
 
 

background image

1.

 

Podstawy modelowania matematycznego

 
 

 
 

 

 

Opis

problemu

•Określenie obiektu 

zainteresowań

Model

matematyczny

•Opis cech
•Opis związków

Zadanie 

optymalizacyjne

•Podział zmiennych 

(cech) D,ZD,W

•Konstruowanie zadania 

optymalizacyjnego

Podstawy modelowania matematycznego 

Słowne sformułowanie problemu (zadania)

Wybór istotnych cech z punktu widzenia celu 
modelowania 
 - liczba cech, 



 - symbol zmiennej  



E  FGHóD IJżKH3LMN 32DCJ

J

 O 





P, … , O 





Opis związków 

K E KHMFG2 F3H

 QLIGJK F3HąFRS   H  1, K

TTTT  

Jakie cechy w i-tym związku? 



Jakie wartości cech spełniają i-



U

V

U

W  1





)

 CFX. O B



, . . , B

Z

J



 O W



, 



, 



P, … , O W

 

, 

Model matematyczny 

: 

J







J



 - zbiór nazw cech i związków

 
 

Określenie obiektu 

zainteresowań

Opis cech
Opis związków

Podział zmiennych 

(cech) D,ZD,W

Konstruowanie zadania 

optymalizacyjnego

Słowne sformułowanie problemu (zadania)

 

Wybór istotnych cech z punktu widzenia celu 

symbol zmiennej  

I  1, 

TTTTTT   

32DCJśMH FIHBXXB[  

P  

F3HąFRó3, 

U

E

T



U

O 



!

\

, … , 



]\

\

-ty związek? 

P6 

U

 



 

, 

 

P  

 4

J

J



5 lub O

J

,

J



zków 

 

 

background image

Optymalizacja wielokryterialna 

^ - wektor liczbowy 
^  R



, R

_

, … , R

`

 N – liczba wskaźników (kryteriów) 

R

,

= 

,

42, 5 = 

,

45, abFHB: 

,

: Ω425 →   

8425 = 



45,

_

45,… , 

`

45c

`

: cΩ425 = d Ω425 = d4Ω5  

d = 



, 

_

,… , 

`

  

Funkcja oceny osiągnięcia celu określona jest na zbiorze 

d4Ω5 zwanym 

przestrzenią kryterialną (przestrzenią ocen) 
Przykład: 

HXHI2KHF2M[2: VDFL JaD2XHMFBXH2Mℎ

F



= E



= 2

_

F

_

= 3



+ 2

_

2



+ 6

_

≤ 27

8



+ 6

_

≤ 45

3



+ 

_

≤ 15





, 

_

≥ 0

 

 

 

 

 

Metoda Pareto 

Niech 

^

, ^

′′

cd4Ω5  

Definicja 1.  Dominacja w sensie Pareto 
Mówimy, że 

^ dominuje ^′′ i oznaczamy symbolem opo′′,  

jeśli 

o

≠ o

′′

∧ ∀r = s, t

TTTTT:u

r

≥ u

r

′′ 

Definicja 2.  Element dominujący 
Element 

o′ ∈ v4w5 nazywamy dominującym, jeśli ∀o ≠ o

: opo 

Uwaga: jeśli element dominujący istniej, to zbiór 

d



4^

5 ⊆ Ω jest 

zbiorem rozwiązań optymalnych 
Definicja 3.  Element niezdominowany 
Element 

o′ ∈ v4w5 nazywamy niezdominowanym, jeśli ∄o ∈

v4w5: opo 
Definicja 4.
  Zbiór Pareto - optymalny 
Zbiór wszystkich elementów niezdominowanych zbioru 

d4Ω5 nazywamy 

zbiorem optymalnym w sensie Pareto (Pareto – optymalnym) 
Przykład: 

 

 
Niech 

 ⊆ d4Ω5 będzie zbiorem Pareto - optymalnym 

Definicja 5.  Zbiór rozwiązań sprawnych 
zbiór 

d



4^

5 ⊆ Ω jest zbiorem rozwiązań sprawnych 

:

+

4

5 = y1 abL 

c 

0 3 W. W

 

Metoda porządku leksykograficznego 

Przyjmuje się, ze wskaźniki uporządkowane są według ważności od 

R



 do 

R

`

. Rozpatrujemy ciąg zadań wyznaczania zbiorów: 

,

= ycΩ:

,

45 = I2

,

4L5

LcΩ

,

{ X = 1, |

TTTTT ; Ω

}

= Ω 

Zadanie rozwiązujemy dla kolejnych n rozpoczynając od 1, aż: 
- dojdziemy do N 
- Ω

,

 będzie zbiorem jednoelementowym (wtedy Ω

,

= Ω

,~

= Ω

`

:

+

4^

5 = 

1 abL  ∀ X = 1, |

TTTTT  R

,

= max

9ƒΩ

„…!



,

45

0 3 W. W

 

Metoda kompromisu (ważonej sumy) 

(jedna z metod przejścia do pojedynczego wskaźnika) 

Wektor 

R



, … , R

`

 zastępuje się liczbą  

 = † ‡

,

∙ R

,

`

,'

 

Gdzie: 

‡

,

- waga subiektywnie przyporządkowana wskaźnikowi n 

Przyjmuje się, że wagi i wskaźniki są znormalizowane. Sprawdza się 
dodatkowo warunek dodatniości wskaźników. 

:

+

4^

5 = ‰1 abL  † ‡

,

∙ R

,

`

,'

= max

9ƒΩ

† ‡

,

∙ 

,

45

`

,'

0 3 W. W

 

Metoda punktu idealnego 

Niech 

^

+9

= R



+9

, … , R

`

+9

 oznacza tzw. punkt idealny oraz  

niech   będzie normą  
dla wektora 

^

+9

E ^ = R



+9

E R



,… , R

`

+9

E R

`

  

:

+

4^

5 = 

1 abL Š^

+9

E ^

Š = min

ƒŽ4Ω5

Š^

+9

E ^Š

0 3 W. W

Najczęściej stosowane normy: 
- norma z parametrem p 

Š^Š = †|R

,

|

`

,'

&

‘



&

 

- norma euklidesowa p=2 
- norma maksimum 

Š^Š = max

,',`

TTTTT

|R

,

|  

- norma uliczna 

Š^Š = †|R

,

|

`

,'

 

 

Metoda punktu nadir 

Niech 

^

U,

= R



U,

, … , R

`

U,

 oznacza tzw. nadir gdzie  

R

,

U,

= min

9∈Ω



,

45 

:

+

4^

5 = 

1 abL ’^

E ^

U,

’ = max

ƒŽ4Ω5

’^ E ^

U,

’

0 3 W. W

 

Rozwiązania satysfakcjonujące 

Dla każdego wskaźnika 

R

,

 ustala się minimalny próg 

R

,

}

 satysfakcjonujący 

decydenta i wyznacza zbiór elementów satysfakcjonujących 

“ = ^cd4Ω5:∀X = 1, |

TTTTT R

,

≥ R

,

}

:

+

4^

5 = y1 abL ^

∈ “

0 3 W. W

 

Wybór wskaźnika nadrzędnego 

Niech 

R



będzie wskaźnikiem najważniejszym. Dla każdego z pozostałych 

wskaźników określa się minimalny próg satysfakcjonujący decydenta. 
Następnie wyznacza się zbiór Ω

= ”cΩ: ∀X = 2, | 

,

45 ≥ R

,

}

• i 

rozwiązuje zadanie maksymalizacji funkcji 





45 na zbiorze Ω 

:

+

4^

5 = 

1 abL R 



= max

9ƒΩ





45

0 3 W. W

 

Programowanie celowe 

Chodzi decydentowi o to, aby wskaźniki przyjęły (były jak najbliżej) 
ustalonych wartości 

M

,

. Wektor 

– = M



,… , M

`

  nazywa się celem. Normę 

dla 

^cd4Ω5 i – określa się jako 

Š^ E –Š = † 3

,

,

R

,

E M

,

|

`

,'

 

Gdzie 

‡

,

- waga kryterium, 

3

,

- waga odległości od celu 

:

+

4^

5 = 

1 abLŠ^

E –Š = min

ƒŽ4Ω5

Š^ E –Š

0 3 W. W

Jeśli 

d4Ω5 jest zbiorem wielościennym wypukłym, to zadanie sprowadza 

się do zadania LPM. Przyjmuje się  

L

,

= max0, ‡

,

R

,

E M

,

, 

,

= max0, M

,

E ‡

,

R

,

,  

L

,

+ 

,

= |‡

,

R

,

E M

,

| oraz L

,

E 

,

= ‡

,

R

,

E M

,

 

Czyli 

‡

,

R

,

E L

,

+ 

,

= M

,

 X = 1, | 

Otrzymujemy więc zadanie LPM wyznaczenia takiego wektora 

= R



, R

_

,… , R

`

, L



, L

_

, … , L

`

, 



,

_

, … , 

`

 dla którego 

† 3

,

4L

,

+ 

,

5 = min

9∈Ž

† 3

,

4L

,

+ 

,

5

`

,'

`

,'

 

Przy ograniczeniach 

R



,… , R

`

 ∈ d4Ω5, ‡

,

R

,

E L

,

+ 

,

= M

,

L

,

, 

,

≥ 0  

background image