Modelowanie matematyczne - PROBLEM 7

Werbalny opis problemu

Kierownik dużego projektu informatycznego ma do dyspozycji zespół pracowników podzielonych na mniejsze podzespoły. Aby zrealizować projekt trzeba wykonać określone moduły składające się na cały projekt. Do wykonania każdego z modułów potrzebne są określone kwalifikacje i dlatego ze względu na specjalizacje poszczególnych pracowników niektóre podzespoły nie będą mogły wykonać niektórych modułów. Z uwagi na ograniczony czas określony w umowie oraz przydzielony budżet kierownik musi tak zorganizować pracę podzespołów aby projekt został wykonany jak najszybciej i jak najtaniej. Z uwagi na tajność projektu wszystkim pracownikom, podzespołom, modułom i specjalizacjom przydzielono identyfikatory w postaci kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie:

Cechy: Lp,  Lm,  Ls, Lz – liczba pracowników, modułów, specjalizacji i podzespołów Zp,  Zm,  Zs, Zz – zbiór identyfikatorów pracowników, modułów, specjalizacji i podzespołów Zj - zbiór identyfikatorów pracowników należących do podzespołu i SPi - zbiór identyfikatorów specjalności pracownika i SMi - zbiór identyfikatorów specjalności potrzebnych do wykonania modułu i Kij – przewidywany koszt wykonania modułu i przez podzespół j Tij - przewidywany czas wykonania modułu i przez zespół j T, K - czas i koszt wykonania projektu Tmax, B - horyzont czasowy i budżet projektu Xj - zbiór identyfikatorów modułów przypisanych do wykonania podzespołowi j

Związki: (z1):każdy pracownik występuje tylko w jednym podzespole $\ Y_{1} = \left\langle \begin{matrix} L_{z},Z_{p},\left\{ Z_{j} \right\}_{j = 1}^{L_{z}} \\ \ \\ \end{matrix} \right\rangle$ $R_{1} = \left\{ \left\langle \begin{matrix} l_{z},z_{z},\left\{ z_{j} \right\}_{j = 1}^{l_{z}} \\ \ \\ \end{matrix} \right\rangle \in N \times \left( 2^{N} \right)^{l_{z} + 1}:\ \begin{matrix} \forall \\ i,j \in z_{z},i \neq j \\ \end{matrix}z_{i} \cap z_{j} = \varnothing \right\}$ (z2): czas wykonania projektu $\ Y_{2} = \left\langle \begin{matrix} L_{z},L_{m},Z_{z},\left\{ \left\{ T_{\text{ij}} \right\}_{i = 1}^{L_{m}} \right\}_{j = 1}^{L_{z}},T,Z_{m},\left\{ X_{j} \right\}_{j = 1}^{L_{z}} \\ \ \\ \end{matrix} \right\rangle$ $R_{2} = \left\{ \left\langle \begin{matrix} l_{z},l_{m},z_{z},\left\{ \left\{ t_{\text{ij}} \right\}_{i = 1}^{l_{m}} \right\}_{j = 1}^{l_{z}},t,z_{m},\left\{ x \right\}_{j = 1}^{l_{z}} \\ \ \\ \end{matrix} \right\rangle \in N^{2} \times \left( R_{+} \right)^{l_{z}l_{m}} \times \times \left( 2^{N} \right)^{l_{z} + 2}:t = \operatorname{}{\sum_{i \in x_{j}}^{}t_{\text{ij}}} \right\}$ (z3): czas wykonania projektu $\ Y_{3} = \left\langle \begin{matrix} L_{z},L_{m},Z_{z},\left\{ \left\{ K_{\text{ij}} \right\}_{i = 1}^{L_{m}} \right\}_{j = 1}^{L_{z}},K,Z_{m},\left\{ X_{j} \right\}_{j = 1}^{L_{z}} \\ \ \\ \end{matrix} \right\rangle$ $R_{3} = \left\{ \left\langle \begin{matrix} l_{z},l_{m},z_{z},\left\{ \left\{ k_{\text{ij}} \right\}_{i = 1}^{l_{m}} \right\}_{j = 1}^{l_{z}},k,z_{m},\left\{ x \right\}_{j = 1}^{l_{z}} \\ \ \\ \end{matrix} \right\rangle \in N^{2} \times \left( R_{+} \right)^{l_{z}l_{m}} \times \times \left( 2^{N} \right)^{l_{z} + 2}:t = \sum_{j \in z_{z}}^{}{\sum_{i \in x_{j}}^{}k_{\text{ij}}} \right\}$

Opis cech: $$\ \dot{X} = \{\left\langle L_{p},N \right\rangle,\ldots,\left\langle Z_{p},2^{N} \right\rangle,\ldots,\left\{ \left\langle X_{j},2^{N} \right\rangle \right\}_{j = 1}^{L_{z}}\}$$

Opis związków: $$\ \dot{R} = \{\left\langle z_{1},Y_{1},R_{1} \right\rangle,\ldots,\left\langle z_{5},Y_{5},R_{5} \right\rangle\}$$

Model matematyczny: $\left\langle \dot{X},\dot{R} \right\rangle$

a = ⟨m_A,m_B,M,t_A,t_B,T,p_A,p_B,c_A,c_B,k_A,k_B⟩, A = {⟨m_A,m_B,M,t_A,t_B,T,p_A,p_B,c_A,c_B,k_A,k_B⟩ ∈ N⁸ × R⁴}

x = ⟨x_A,x_B⟩ , Ω(a) = {⟨x_A,x_B⟩ ∈ N² :   m_Ax_A + m_Bx_B ≤ M, t_Ax_A + t_Bx_B ≤ T, x_A ≤ p_A, x_B ≥ p_B}

w = z, W(a,x) = {z ∈ R : z = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)}, W(a) = {z ∈ W(a,x) : x ∈ Ω(a)}

$$E_{a}\left( Z\left( x^{*} \right) \right) = \left\{ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} \text{gdy} & Z\left( x^{*} \right) = \max{W\left( a \right) = \operatorname{}{Z(x)}} \\ \text{w\ p.p} & \ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Z(x) = f(a,x) = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)

Zadanie optymalizacyjne:

Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Ea(Z(x^*)) = 1	Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Z(x^*) = Z(x)