Janusz KOWAL

Janusz KOWAL

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza

Hutnicza

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

Wykład 2

Modelowanie matematyczne 

układów dynamicznych

Wykład 2

Wykład 2

Modelowanie matematyczne 

Modelowanie matematyczne 

układów dynamicznych

układów dynamicznych

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

2

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Wprowadzenie

9

Modele układów mechanicznych

9

Transmitancja operatorowa

9

Modele w przestrzeni stanów

9

Linearyzacja

9

Modele układów elektrycznych

9

Modele układów elektromechanicznych

9

Modele układów cieplnych i przepływowych

Plan wykładu:

Plan wykładu:

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

3

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

9

Modelowanie

Modelowanie

jest matematycznym opisem zachowania 

się elementów automatyki i obiektów regulacji, 
niezbędnym do przeprowadzenia analizy i syntezy ich 
działania

9

Tworząc model wykorzystujemy 

prawa fizyczne

prawa fizyczne

rządzące 

konkretnym układem (np. prawa Newtona, prawa 
Kirchhoffa, równanie bilansu masy, zasadę zachowania 
energii, itp.)

Model matematyczny obiektu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

4

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Do opisu modelu najczęściej wykorzystuje się 

równania 

równania 

różniczkowe

różniczkowe

9

Jeden układ może mieć 

wiele

wiele

różnych modeli 

matematycznych, w zależności od potrzeb badającego
i konkretnego zastosowania

9

Ważne jest zachowanie kompromisu pomiędzy prostotą 
modelu a dokładnością wyników jego analizy

Model matematyczny obiektu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

5

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Sprężyna poddana działaniu siły F

s

y

k

F

S

⋅

=

S

F

k

y

1

=

Modelowanie układów mechanicznych

czyli

F

S

y

k

1

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

6

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Tłumik hydrauliczny

wprowadzając operator różniczkowania D

dt

dy

c

F

d

=

cDy

F

d

=

d

F

cD

1

y

=

,...

2

,

1

   

,

=

=

n

dt

d

D

n

n

n

Modelowanie układów mechanicznych

otrzymamy

czyli

F

d

y

cD

1

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

7

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

ky

dt

dy

c

dt

y

d

m

F

+

+

=

2

2

(

)

y

k

cD

mD

F

+

+

=

2

F

k

cD

mD

y

+

+

=

2

1

Modelowanie układów mechanicznych

9

Zespół masa-tłumik-sprężyna

F

y

k

cD

mD

+

+

2

1

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

8

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

(

)

0

2

2

=

−

+













−

+

u

y

k

dt

du

dt

dy

c

dt

y

d

m

ku

cDu

ky

cDy

y

mD

+

=

+

+

2

u

k

cD

mD

k

cD

y

+

+

+

=

2

Modelowanie układów mechanicznych

9

Model zamocowania jednego koła pojazdu

u

y

k

cD

mD

k

cD

+

+

+

2

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

9

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Rozważmy liniowy, stacjonarny układ zdefiniowany przez 
następujące równanie różniczkowe

)

(

...

...

)

(

0

1

0

1

s

X

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

Y

n

n

m

m

+

+

+

+

+

+

=

x

b

dt

x

d

b

dt

x

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

,...,

,...,

+

+

+

=

+

+

+

−

−

−

−

−

−

Transmitancja operatorowa

Dokonując przekształceń Laplace’a otrzymamy

gdzie n 

≥

m

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

10

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Symbol graficzny elementu automatyki

)

(

)

(

...

...

)

(

0

1

1

1

0

1

1

1

s

X

s

Y

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

−

−

−

−

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa G(s)

Transmitancja operatorowa G(s)

jest zdefiniowana jako 

stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego Y(s) 
do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego X(s), przy 
założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe

G(s)

G(s)

G(s)

X(t)

Y(t)

)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G

=

)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G

=

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

11

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Elementy wielowymiarowe określa macierz transmitancji, na 
przykład

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

























⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

nm

n

m

m

1

2

1

12

11

- przy  założeniu,  że wszystkie 

pozostałe wartości wejściowe i 
warunki początkowe są równe 
zero

( )

( )

( )

s

X

s

Y

s

G

k

i

ik

=

Transmitancja operatorowa

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

12

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Transmitancja układu automatyki jest jego modelem 

matematycznym

9

Transmitancja jest własnością samego układu, niezależną 

od wielkości i natury sygnału wejściowego

9

Transmitancja przedstawia związki pomiędzy sygnałami 

wyjściowym i wejściowym, nie dostarcza natomiast żadnej 

informacji dotyczącej fizycznej struktury układu

9

Transmitancje wielu fizycznie różnych układów mogą być 

identyczne

Własności transmitancji

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

13

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Jeśli transmitancja układu jest znana, to możemy określić 
sygnał wyjściowy dla różnych sygnałów wejściowych

9

Raz określona transmitancja daje pełny opis charakterystyk 
dynamicznych układu, w odróżnieniu od jego opisu 
fizycznego

9

Postać transmitancji operatorowej stanowi kryterium 
klasyfikacji elementów automatyki

Właściwości transmitancji

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

14

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie w przestrzeni stanów

9

9

Stan uk

Stan uk

ł

ł

adu dynamicznego

adu dynamicznego

to najmniejszy zbiór 

zmiennych

zmiennych

stanu

stanu

takich,  że ich znajomość w chwili t = t

0

, 

wraz ze znajomością sygnału wejściowego  u(t) dla  t

≥

t

0

w pełni określa zachowanie układu w każdej chwili t

≥

t

0 

,

9

9

Wektor stanu

Wektor stanu

określa jednoznacznie stan x(t) układu 

w każdej chwili t

≥

t

0

, gdy tylko stan przy t=t

0

jest dany 

i określony jest sygnał wejściowy u(t) dla t

≥

t

0 ,

9

9

Przestrze

Przestrze

ń

ń

stan

stan

ó

ó

w

w

to  n-wymiarowa przestrzeń, w której 

każdy stan może być przedstawiony przez punkt w tej 
przestrzeni.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

15

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Dynamika układu

Stan  x(t)

Dynamika układu

Dynamika układu

Stan  

x(t)

Wejście

u(t)

Wyjście

y(t)

Warunki
początkowe

x(0)

Dynamika układu

W układach fizycznych zmiennymi stanu 

x(t)

są takie wielkości 

fizyczne jak: napięcie, prąd, prędkość, pozycja, temperatura, 
ciśnienie, itp.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

16

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

9

Liczba zmiennych stanu, które w pełni określają  własności 
dynamiczne układu jest równa liczbie elementów, które są 
zdolne magazynować energię w układzie (np. sprężyna, 
tłumik, pojemność, indukcyjność) lub rzędowi równania 
różniczkowego opisującego wspomniany układ,

9

Stosując metodę zmiennych stanu można przedstawić 
równanie różniczkowe n-tego rzędu (opisujące model 
układu) jako n równań różniczkowych pierwszego rzędu

Własności metody zmiennych stanu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

17

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Równania przestrzeni stanów

układ dynamiczny może być opisany równaniami 
różniczkowymi

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

t

u

u

u

x

x

x

f

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

t

x

r

n

n

n

r

n

r

n

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

K

K

&

K

K

&

K

K

&

=

⋅

⋅

⋅

=

=

Zakładając, że

u

1

(t),u

2

(t),...,u

r

(t) – sygnały wejściowe

y

1

(t),y

2

(t),...,y

m

(t) – sygnały wyjściowe

x

1

(t),x

2

(t),...,x

n

(t) – zmienne stanu 

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

18

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Sygnały wyjściowe

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)









































⋅

⋅

⋅

=









































⋅

⋅

⋅

=

t

u

u

u

x

x

x

f

t

u

u

u

x

x

x

f

t

u

u

u

x

x

x

f

t

,

t

x

t

x

t

x

t

r

n

n

r

n

r

n

n

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

K

K

K

K

K

K

u

x

f

x

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

t

;

u

,

,

u

,

u

;

x

,

,

x

,

x

g

t

y

t

;

u

,

,

u

,

u

;

x

,

,

x

,

x

g

t

y

t

;

u

,

,

u

,

u

;

x

,

,

x

,

x

g

t

y

r

n

m

m

r

n

r

n

K

K

K

K

K

K

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

=

⋅

⋅

⋅

=

=

Równania przestrzeni stanów

Definiując

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

19

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )









































⋅

⋅

⋅

=









































⋅

⋅

⋅

=









































⋅

⋅

⋅

=

t

u

t

u

t

u

t

t

u

u

u

x

x

x

g

t

u

u

u

x

x

x

g

t

u

u

u

x

x

x

g

t

t

y

t

y

t

y

t

r

r

n

m

r

n

r

n

m

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

,

,

,

u

u

x

g

y

K

K

K

K

K

K

równania przybierają postać

oraz

–

r

r

ó

ó

wnanie stan

wnanie stan

ó

ó

w

w

–

r

r

ó

ó

wnanie wyj

wnanie wyj

ść

ść

( )

(

)

t

t

,

, u

x

f

x

=

&

( )

(

)

t

t

,

, u

x

g

y

=

Równania przestrzeni stanów

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

20

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Po linearyzacji wokół wybranego punktu pracy, równania te 
można zapisać w postaci

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )













































+

















































=





































































+

















































=

























t

u

t

u

t

u

d

d

d

d

t

x

t

x

t

x

c

c

c

c

c

c

c

c

c

t

y

t

y

t

y

t

u

t

u

t

u

b

b

b

b

t

x

t

x

t

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

t

x

t

x

t

x

r

mr

m

r

n

mn

n

m

m

m

m

r

nr

n

r

n

nn

n

n

n

n

n

M

L

M

M

L

M

L

M

M

L

L

M

M

L

M

M

L

M

L

M

M

L

L

&

M

&

&

2

1

1

1

11

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

2

1

1

1

11

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

 

 

 

 

Równania przestrzeni stanów

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

21

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Dla układu niestacjonarnego

Dla układu niestacjonarnego

Zlinearyzowana postać równania stanów i równania wyjść w 

postaci wektorowo-macierzowej jest następująca

( )

( )

( )

( )

( )

( )







+

=

+

=

t

t

t

t

t

t

Du

Cx

y

Bu

Ax

x&

Równania przestrzeni stanów

Schemat blokowy liniowego układu sterowania w przestrzeni 

stanów

u

u

(

(

t

t

)

)

x

x

(

(

t

t

)

)

+

+

+

+

.

D(t)

D(t)

D(t)

B(t)

B(t)

B(t)

A(t)

A(t)

A(t)

C(t)

C(t)

C(t)

∫

dt

∫

∫

dt

dt

y(t)

x(t)

u(t)

x(t)

.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

22

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Dla uk

Dla uk

ł

ł

adu stacjonarnego

adu stacjonarnego

( )

( )

( )

( )

( )

( )







+

=

+

=

t

t

t

t

t

t

Du

Cx

y

Bu

Ax

x&

Równania przestrzeni stanów

gdzie:

A

–

macierz stanu  n×n

B

–

macierz wejścia (sterowania) n×r

C

–

macierz wyjścia (odpowiedzi) m×n

D

–

bezpośrednia macierz transmisji m×r

n – ilość stanów, r – ilość wejść, m – ilość wyjść
x(t)

–

wektor stanu, u(t)

–

wektor wejść, y(t)

–

wektor wyjść

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

23

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przykład 1. Układ wibroizolacji

F(t) – wejście (siła zewnętrzna)
h(t) – wyjście (przemieszczenie masy)

( )

( )

( )

( )

t

F

t

kh

t

h

c

t

h

m

=

+

+ &

&&

( )

( )







=

=

=

     

1

2

1

x

t

h

x

t

h

x

&

&

– zmienne stanu

F(t)

u =

– zmienna wejściowa

Zamiana zmiennych

– zmienna wyjściowa

h(t)

y

=

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

24

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych









+

−

−

=

=

u

m

x

m

c

x

m

k

x

x

x

1

2

1

2

2

1

&

&

Równanie wyjść ma 
postać

1

x

y

=

( )

( )

h(t)

m

k

(t)

h

m

c

t

F

m

1

t

h

−

−

=

&

&&

Zastępujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu układem 
dwóch równań pierwszego rzędu

u

m

x

x

m

c

m

k

x

x















+



























−

−

=













1

0

1

0

2

1

2

1

&

&

[

]













=

2

1

0

1

x

x

y

W postaci wektorowo-macierzowej równania stanów i wyjść 
mogą być zapisane jako 

Przykład 1. Układ wibroizolacji

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

25

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Schemat blokowy układu wibroizolacji















−

−

=

m

c

m

k

A

1

0

[

]

0

1

=

C















=

m

B

1

0

Przykład 1. Układ wibroizolacji

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

26

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Zależność pomiędzy równaniami stanu i wyjścia 
a transmitancją operatorową, dla układu z jednym wejściem 
i jednym wyjściem

[

]

BU(s)

A

sI

X(s)

1

−

−

=







+

=

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

DU

s

CX

s

Y

s

BU

s

AX

s

sX

[

]

DU(s)

BU(s)

A

sI

C

Y(s)

+

−

=

−1

Przekształcając

Równania stanu 

⇔

Transmitancja

( )

[

]

D

B

A

sI

C

U(s)

Y(s)

s

G

+

−

=

=

−1

( )

[

]

D

B

A

sI

C

U(s)

Y(s)

s

G

+

−

=

=

−1

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

27

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Linearyzacja

9

Model matematyczny układu jest zawsze przybliżeniem 

rzeczywistego charakteru zjawisk fizycznych w nim 

zachodzących,

9

Równania otrzymane w modelu najczęściej są równaniami 

nieliniowymi,

9

Ze względu na łatwość analizy dąży się do zastąpienia 

równań nieliniowych równaniami liniowymi, 

9

9

Linearyzacja

Linearyzacja

jest procesem tworzenia modelu liniowego, 

który aproksymuje model nieliniowy.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

28

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Charakterystyki statyczne elementów nieliniowych

wy

we

wy

we

wy

Strefa nieczułości

Nasycenie

Nieliniowość kwadratowa

we

Linearyzacja

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

29

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Linearyzacja statyczna polega na:

9

przeniesieniu układu współrzędnych do punktu pracy,

9

zastąpieniu sygnałów w opisie matematycznym 
odchyleniami tych wartości w punkcie pracy, 

9

zastąpieniu krzywej, reprezentującej zależności y od x, 
styczną do niej w punkcie pracy. 

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

30

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Niech y = f (x) 

0

0

y

y

y

x

x

x

−

=

−

=

∆

∆

( )

( )

x

dx

x

df

y

dx

x

df

k

x

k

y

x

x

x

x

∆

=

∆

=

∆

=

∆

=

=

0

0

Linearyzacja statyczna

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

31

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przykład 2. Linearyzacja funkcji y = x

2

y

Y

y

Y

Y

i

i

+

≈

+

+

=

ε

x

X

Y

Y

i

i

2

+

≈

( )

x

X

x

X

dX

d

x

dX

dY

y

i

i

y

i

x

i

y

i

x

2

)

,

(

)

,

(

2

=

=

=

)

(

, i

i

y

x

dX

dY

x

y =

- nachylenie w 

punkcie (X

i

, Y

i

),

Wybieramy punkt pracy (X

i

, Y

i

) i rysujemy styczną do krzywej 

w tym punkcie.

Y

X

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

32

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Linearyzacja dynamiczna

Linearyzacja dynamiczna polega na rozwinięciu nieliniowych 
funkcji w 

szereg 

szereg 

Taylora

Taylora

w otoczeniu punktu pracy.

( )

( )

0

=

)

u

,

,

u

,

u

,

y

,

,

y

,

y

(

F

m

n

K

&

K

&

(

)

( )

(

)

( )

0

0

0

0

0

 ,

 ,

=

+

∆

∂

∂

+

+

∆

∂

∂

+

n

m

u

y

m

u

y

R

u

u

F

u

u

F

K

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

=

n

u

 ,

y

n

u

 ,

y

u

 ,

y

0

0

m

n

∆y

y

F

y

∆

y

F

∆y

y

F

u

,

y

F

u

,

u,

,

y

,

y,

F

0

0

0

0

0

0

K

&

&

K

K

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

33

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Można przyjąć R

n

= 0 dla niewielkich przyrostów

( )

( )

( )

u

b

u

b

u

b

y

a

y

a

y

a

y

a

m

m

n

n

n

n

∆

+

∆

+

+

∆

=

∆

+

∆

+

+

∆

+

∆

−

−

0

1

0

1

1

1

&

K

&

K

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

0

∆u

u

F

∆u

u

F

∆y

y

F

y

∆

y

F

∆y

y

F

m

u

 ,

y

m

u

 ,

y

n

u

 ,

y

n

u

 ,

y

u

 ,

y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

∂

∂

+

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

∂

∂

K

K

&

&

Linearyzacja dynamiczna

Dla układu stacjonarnego w punkcie pracy odpowiadającym 
stanowi równowagi, pochodne cząstkowe występujące w 
równaniu są stałe

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

34

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przykład 3. Wahadło proste

M

Θ

mgl

Θ

I

=

+

sin

&&

2

sin

ml

M

Θ

l

g

Θ

=

+

&&

2

ml

M

Θ

l

g

Θ

=

+

&&

Zakładając, że dla małych kątów

sin

Θ≈Θ

l

g

=

ω

-

częstości drgań własnych

2

ml

I

=

-

moment bezwładności

względem osi obrotu

M -

przyłożony moment

zewnętrzny

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

35

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przykład 4. Obwód elektryczny: rezystor + cewka z rdzeniem

( )

const

k

i

k

i

Ψ

=

⋅

=

     

, 

( )

t

u

t

i

R

R

dt

t

dΨ

d

=

+

+

)

(

)

(

)

(

( )

( ) (

) ( ) ( )

t

u

t

i

R

R

dt

t

di

t

i

k

d

=

+

+

2

( ) ( ) ( )

0

,

,

=









t

u

dt

t

di

t

i

F

Powyższe równanie nieliniowe zapisujemy w postaci ogólnej

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

36

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przyjmujemy punkt pracy ustalonej przy napięciu u

0

i prądzie i

0

(

)

d

i

u

R

R

i

F

+

=













∂

∂

0

0

 ,

(

)

0

 ,

2

0

0

i

k

dt

di

F

i

u

=

























∂

∂

(

)

1

0

0

 ,

−

=













∂

∂

i

u

u

F

(

)

(

)

(

)

0

0

0

0

0

0

0

 ,

 ,

 ,

=

∆













∂

∂

+

∆

























∂

∂

+

∆













∂

∂

u

u

F

dt

di

dt

di

F

i

i

F

i

u

i

u

i

u

(

)

u

dt

di

i

k

i

R

R

d

∆

=

∆

+

∆

+

0

2

Przyjmując

oraz

otrzymujemy liniowe równanie 

różniczkowe

i

i

=

∆

u

u

=

∆

(

)

u

i

R

R

dt

di

i

k

d

=

+

+

⋅

0

2

Po podstawieniu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

37

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modele układów elektrycznych

Modele układów elektrycznych budujemy przede wszystkim w 
oparciu o prawo Ohma i prawa Kirchhoffa.

dt

du

C

i

=

9

Rezystor

i

R

u

⋅

=

dt

di

L

u

=

9

Pojemność

9

Indukcyjność

L

i

C

i

R

i

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

38

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

2

1

u

dt

di

L

Ri

u

+

+

=

dt

du

C

i

2

=

2

2

2

dt

u

d

C

dt

di =

2

2

2

2

2

1

u

dt

u

d

LC

dt

du

RC

u

+

+

=

2

2

1

2

1

1

u

LC

u

L

R

u

LC

u

−

−

=

&

&&

Stosujemy II prawo Kirchhoffa

Przykład 5. Obwód elektryczny RLC

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

39

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych







=

=

=

1

2

2

2

1

x

u

x

u

x

&

&









−

−

=

=

1

2

2

2

1

1

1

x

LC

x

L

R

u

LC

x

x

x

&

&

u

LC

x

x

L

R

LC

x

x















+



























−

−

=













1

0

1

1

0

2

1

2

1

&

&

[

]













=

2

1

0

1

x

x

y

2

0

0

2

2

0

2

)

(

ω

ξω

ω

+

+

=

s

s

k

s

G

Równanie stanu i równanie wyjścia

Transmitancja operatorowa

L

C

R

LC

k

2

1

     

, 

1

0

=

=

=

ξ

ω

Przykład 5. Obwód elektryczny RLC

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

40

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modele układów elektromechanicznych

Przykład 6. Silnik prądu stałego sterowany od strony wirnika

V - napięcie zasilające (we)

θ

- położenie kątowe wału silnika (wy)

J - moment bezwładności
b – współczynnik tarcia lepkiego

















=

=

=

+

−

=

+

i

k

T

k

e

T

b

J

e

V

Ri

dt

di

L

1

2

θ

θ

θ

&

&

&&

- równanie dynamiki wału silnika

- równanie spadków napięć w obwodzie wirnika

- siła elektromotoryczna

- moment mechaniczny silnika

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

41

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

transmitancja 

Js)

sL)(b

(R

k

k

k

V(s)

(s)

G(s)

1

2

1

+

+

+

=

Ω

=









=

+

−

=

+

i

k

b

J

k

V

Ri

dt

di

L

1

2

θ

θ

θ

&

&&

&

- model silnika prądu stałego

Dla           ,               gdzie 

ω

- prędkość kątowa wału silnika

θ

ω

&

=

u

L

x

x

L

R

L

k

J

k

J

b

x

x

 

1

0

2

1

2

1

2

1

















+

































−

−

−

=













&

&

[

]













=

2

1

0

1

x

x

y

Równanie stanu i wyjścia dla zmiennych stanu 

i

x

x

=

=

2

1

  

,

  

ω

Przykład 6. Silnik prądu stałego sterowany od strony wirnika

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

42

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie układów cieplnych i  przepływowych

Przepływ ciepła

)

T

T

(

R

q

2

1

1

−

=

9

Energia cieplna przepływająca przez ciało jest wprost 
proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia, 
zgodnie ze wzorem

q - przepływ energii cieplnej [J/s]
R - opór cieplny [

°

C/J

⋅

s]

T - temperatura [

°

C]

9

Dopływ energii cieplnej do ciała wpływa na jego 
temperaturę, zgodnie z relacją

q

C

dt

dT

⋅

=

1

C - pojemność cieplna [J/

°

C]

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

43

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przykład 7. Dynamiczny model zjawisk cieplnych w pokoju

Ci - pojemność cieplna powietrza wewnątrz pokoju
To - temperatura otoczenia,
Ti - temperatura w pokoju
R1 - opór cieplny ścian pokoju
R2 – łączny opór cieplny sufitu i podłogi pokoju 

(

)

i

o

i

i

T

T

R

R

C

dt

dT

−

⋅







+







⋅

=

2

1

1

1

1

Ciepło właściwe  c

v

przy stałej objętości jest przeliczane na 

pojemność cieplną C

V

c

m

C

⋅

=

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

44

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przewodność cieplna k, która jest związana z oporem 
cieplnym R, określona jest zależnością 

l

A

k

R

⋅

=

1

)

(

o

i

v

T

T

c

dt

dm

q

−

⋅

⋅

=

A - pole przekroju poprzecznego 

l - długość drogi przepływu ciepła

dt

dm

- szybkość przepływającej masy 

powietrza o temperaturze T

i

wypływającej na zewnątrz 
pokoju o temperaturze T

o

.

Przykład 7. Dynamiczny model zjawisk cieplnych w pokoju

Sumaryczny  przepływ energii opisuje wymianę ciepła, która 
może zachodzić pomiędzy masą ciepłą a zimną. W takim 
przypadku:

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

45

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przepływ cieczy nieściśliwych

Równanie  bilansu natężenia przepływu płynu wynika z 
zasady zachowania masy 

wy

we

q

q

dt

dm

−

=

 

gdzie:

m – masa cieczy wewnątrz opisywanego układu
q

we

– masowe natężenie przepływu na wejściu układu

q

wy

– masowe natężenie przepływu na wyjściu układu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

46

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Przykład 8. Zbiornik z wodą

h

q

we

q

wy

ciśnienie p

1

(

)

wy

we

q

q

A

dt

dh

−

=

ρ

1

gdzie:

A – powierzchnia zbiornika 

ρ

– gęstość wody

h = m/A

ρ

- wysokość słupa wody

m – masa wody w zbiorniku

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

47

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

P

R

F

Q

h

P

1

Przykład 9. Napełnianie zbiornika cieczą

Objętościowe natężenie przepływu cieczy Q przez opór 

hydrauliczny R

F

)

p

p

(

R

Q

F

−

=

1

1

dt

dh

A

Q =

p

1

- ciśnienie zasilania

p - ciśnienie w zbiorniku

R

F

- opór hydrauliczny

Jest ono równe zmianie objętości cieczy w zbiorniku

A - powierzchnia przekroju zbiornika 

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

48

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

dt

dp

g

A

dt

dh

A

p

p

R

F

⋅

=

=

−

ρ

)

(

1

1

F

C

g

A =

⋅

ρ

- pojemność

hydrauliczna

1

p

p

dt

dp

R

C

F

F

=

+

Ciśnienie hydrostatyczne cieczy można wyrazić jako

h

g

p

⋅

⋅

= ρ

Równanie opisujące proces napełniania zbiornika 

Przykład 9. Napełnianie zbiornika cieczą

ρ

- gęstość cieczy

g - przyspieszenie ziemskie

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

49

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

gaz

P

P

1

R

F

Q

m

V

T

Przykład 10. Napełnianie zbiornika gazem

Równanie stanu gazu

(

)

p

p

R

Q

F

m

−

=

1

1

GRT

pV

=

dt

dp

RT

V

dt

dG

Q

m

=

=

G – masa gazu
T – temperatura gazu
V – objętość gazu
R

F

– stała gazowa

RT

V

C

F

=

1

p

p

dt

dp

R

C

F

F

=

+

Masowe natężenie przepływu 

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

50

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Postacie matematycznych modeli liniowych 

systemów dynamicznych

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t

u

b

dt

t

u

d

b

dt

t

u

d

b

t

y

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

,...,

,...,

+

+

+

=

=

+

+

+

−

−

−

−

−

−

( )

( )

( )

( )

( )

( )







+

=

+

=

t

Du

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x&

Równanie różniczkowe

Równania stanu i wyjścia

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...

)

(

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

−

−

−

−

Transmitancja operatorowa

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie 

Hutnicza w Krakowie 

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

51

Temat wykładu:  Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Temat wykładu:  

Temat wykładu:  

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Związki pomiędzy poszczególnymi 

postaciami modeli

Równanie

różniczkowe

Równanie

różniczkowe

Transmitancja

operatorowa

Transmitancja

operatorowa

Równania

stanu i wyjścia

Równania

stanu i wyjścia