Kup książkę

Kup książkę

Kup książkę

Agnieszka Rossa, Andrzej Szymański – Uniwersytet Łódzki

Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Zakład Demografii i Gerontologii Społecznej

90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1095 r. nr 41/43

Lesław Socha – Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego

Wydział Matematyczno-Przyrodniczy – Szkoła Nauk Ścisłych, Instytut Informatyki

01-938 Warszawa, ul. Wóycickiego 1/3

RECENZENT

Grażyna Trzpiot

REDAKTOR INICJUJĄCY

Iwona Gos

REDAKTOR WYDAWNICTWA UŁ

Bogusław Pielat

SKŁAD I ŁAMANIE

Agnieszka Rossa

KOREKTA TECHNICZNA

Leonora Wojciechowska

PROJEKT OKŁADKI

Stämpfli Polska Sp. z o.o.

Zdjęcie wykorzystane na okładce: © Shutterstock.com

Wydrukowano z gotowych materiałów dostarczonych do Wydawnictwa UŁ

© Copyright by Authors, Łódź 2015

© Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2015

Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

Wydanie I. W.07151.15.0.K

Ark. wyd. 11,8; ark. druk. 14,75

ISBN 978-83-8088-041-2

e-ISBN 978-83-8088-042-9

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

90-131 Łódź, ul. Lindleya 8

www.wydawnictwo.uni.lodz.pl

e-mail: [e-mail]

tel. [phone]

Kup książkę

Spis tre´

sci

Wst

,

ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Rozdzia l 1. Modele umieralno´

sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.

Podstawowe tablicowe mierniki umieralno´

sci . . . . . . . . . . . . 11

1.3.

Zwi

,

azek kohortowych wsp´

o lczynnik´

ow zgon´

ow i prawdopodo-

bie´

nstw zgon´

ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.

Modele interpolacyjne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1.

Model interpolacji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2.

Model interpolacji wyk ladniczej . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.

Inne tablicowe mierniki umieralno´

sci

. . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.

Zwi

,

azek kohortowych wsp´

o lczynnik´

ow zgon´

ow i nat

,

e˙zenia zgon´

ow 18

1.7.

Prawa umieralno´

sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.

Wybrane modele umieralno´

sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1.

Model Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.2.

Modyfikacje i uog´

olnienia modelu Lee–Cartera

. . . . . . 31

1.8.3.

Model rozmyty Koissi–Shapiro

. . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.4.

Wybrane dynamiczne modele umieralno´

sci – model

Vasiˇ

cka i Coxa–Ingersolla–Rossa

. . . . . . . . . . . . . . 37

1.8.5.

Dynamiczny model umieralno´

sci Lee–Cartera . . . . . . . 38

1.8.6.

Model Milevskiego–Promislowa i model Giacometti . . . . 41

1.8.7.

Uog´

olniony model Milevskiego–Promislowa z wektoro-

wym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.9.

Uwagi ko´

ncowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Rozdzia l 2. Statyczne i dynamiczne modele hybrydowe . . . . . . 45

2.1.

Statyczne modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.

Dynamiczne modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.

Momentowe modele hybrydowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.

Uwagi ko´

ncowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Rozdzia l 3. Dynamiczne, hybrydowe modele umieralno´

sci . . . . 61

3.1.

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.

Skalarny, hybrydowy model Vasiˇ

cka . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Kup książkę

4

3.3.

Skalarny, hybrydowy model Coxa–Ingersolla–Rossa . . . . . . . . 62

3.4.

Skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.

Uog´

olniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . . . . . 64

3.6.

Uog´

olnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa

. . . . . 66

3.6.1.

Model ze skalarnym, liniowym filtrem

. . . . . . . . . . . 66

3.6.2.

Model z wektorowym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . 69

3.6.3.

Model z liniowymi, skalarnymi filtrami . . . . . . . . . . . 77

3.6.4.

Model z niezale˙znymi, liniowymi, skalarnymi filtrami . . . 79

3.7.

Dyskretno-czasowe reprezentacje modeli hybrydowych . . . . . . . 82
3.7.1.

Uog´

olniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . 82

3.7.2.

Uog´

olnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa . 82

3.7.3.

Dyskretno-czasowa reprezentacja uk ladu r´

owna´

n

moment´

ow dla uog´

olnionych, hybrydowych modeli

Milevskiego–Promislowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.8.

Estymacja parametr´

ow hybrydowych modeli umieralno´

sci

. . . . 87

3.8.1.

Estymacja parametr´

ow hybrydowego modelu Lee–Cartera

87

3.8.2.

Estymacja parametr´

ow uog´

olnionego, hybrydowego

modelu Milevskiego–Promislowa

. . . . . . . . . . . . . . 88

3.9.

Uwagi ko´

ncowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Rozdzia l 4. Model Koissi–Shapiro oparty

na skierowanych liczbach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.

Algebra skierowanych liczb rozmytych OFN . . . . . . . . . . . . 92

4.3.

Model umieralno´

sci typu Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4.

Prze l

,

acznikowa fazyfikacja macierzy obserwacji

. . . . . . . . . . 105

4.4.1.

Metoda fazyfikacji obserwacji . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.2.

Wykrywanie punkt´

ow prze l

,

aczenia . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.3.

Podstawy teoretyczne testu JL . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4.4.

Poszukiwanie punktu prze l

,

aczenia funkcji trendu . . . . . 113

4.5.

Estymacja parametr´

ow modelu Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . 122

4.6.

Uwagi ko´

ncowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Rozdzia l 5. Modele umieralno´

sci oparte na zmodyfikowanych

liczbach rozmytych i funkcjach zespolonych . . . . . . . . . . . . 125

5.1.

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2.

Model umieralno´

sci oparty na algebrze zmodyfikowanych liczb

rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.1.

Estymacja parametr´

ow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3.

Model umieralno´

sci oparty na funkcjach zespolonych . . . . . . . 131

5.3.1.

Estymacja parametr´

ow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.4.

Kwaternionowy model umieralno´

sci . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4.1.

Estymacja parametr´

ow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5.

Uwagi ko´

ncowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Kup książkę

5

Rozdzia l 6. Estymacja i ewaluacja modeli umieralno´

sci . . . . . . 145

6.1.

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2.

Wyniki estymacji dynamicznego, hybrydowego modelu
Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3.

Wyniki estymacji hybrydowego modelu Milevskiego–Promislowa . 152

6.4.

Wyniki estymacji modelu umieralno´

sci opartego na

zmodyfikowanych liczbach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5.

Wyniki estymacji modelu kwaternionowego . . . . . . . . . . . . . 167

6.6.

Uwagi ko´

ncowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Dodatek A. Elementy analizy proces´

ow stochastycznych

i r´

ownania stochastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.1. Podstawowe definicje proces´

ow stochastycznych . . . . . . . . . . 175

A.1.1. Procesy drugiego rz

,

edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A.1.2. Procesy stacjonarne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.1.3. Procesy gaussowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A.1.4. Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
A.1.5. Procesy o przyrostach niezale˙znych . . . . . . . . . . . . . 182
A.1.6. Bia ly szum

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.2. Rachunek r´

o˙zniczkowy i ca lkowy proces´

ow stochastycznych . . . . 186

A.2.1. Ca lkowanie oraz r´

o˙zniczkowanie w sensie ´

srednio-

kwadratowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A.2.2. Ca lki stochastyczne wzgl

,

edem proces´

ow dyfuzyjnych . . . 187

A.2.3. Formu la Itˆ

o dla proces´

ow dyfuzyjnych . . . . . . . . . . . 190

A.2.4. Stochastyczne r´

ownania r´

o˙zniczkowe Itˆ

o i Stratonowicza

dla proces´

ow dyfuzyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

A.3. R´

ownania moment´

ow w liniowych, stochastycznych uk ladach

dynamicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
A.3.1. Uk lady liniowe z addytywnymi wymuszeniami . . . . . . . 196
A.3.2. Uk lady liniowe z addytywnymi i parametrycznymi

wymuszeniami

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

A.4. Metody dyskretyzacji stochastycznych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

. . 201

Dodatek B. Elementy algebry zmodyfikowanych liczb

rozmytych i zespolonych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

B.1. Zmodyfikowane liczby rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
B.2. Liczby i funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

B.2.1. Algebra Banacha C

∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

B.2.2. Algebra Banacha C(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
B.2.3. Przestrze´

n kwaternion´

ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Kup książkę

Wst

,

ep

Umieralno´s´

c i prawid lowo´sci z ni

,

a zwi

,

azane s

,

a przedmiotem docieka´

n

od wielu stuleci. Ju˙z z pocz

,

atku III wieku pochodzi tzw. tablica Ulpiana,

opracowana dla cel´

ow fiskalnych przez rzymskiego prawnika Dominatiusa

Ulpianusa. Tablica przedstawia warto´sci dalszego trwania ˙zycia obywa-
teli Imperium Rzymskiego. Przekazy historyczne nie zawieraj

,

a wzmianki

o zastosowanej metodzie oblicze´

n i materia lach ´

zr´

od lowych, dlatego ta-

blica Ulpiana ma g l´

ownie warto´s´

c historyczn

,

a (por. [93], s. 102–103).

Za ojca metodologii tablic wymieralno´sci uznaje si

,

e J. Graunta, kt´

ory

w roku 1662 opublikowa l prac

,

e Natural and Political Observations Made

upon the Bills of Mortality. Przedstawi l w niej porz

,

adek wymierania ge-

neracji mieszka´

nc´

ow Londynu w formie liczb os´

ob do˙zywaj

,

acych wieku

6, 16, 26, . . . , 86 lat. Graunt opar l swoje analizy na rejestrach londy´

nskich

parafii, nie precyzuj

,

ac jednak, jakiego okresu dotyczy ly.

Kontynuatorem bada´

n Graunta by l angielski astronom E. Halley, kt´

ory

w artykule z roku 1693 An Estimate of the Degrees of the Mortality of
Mankind Draws from Curious Tables of the Births and Funerals at the City
of Breslaw przedstawi l tablice wymieralno´sci dla populacji mieszka´

nc´

ow

Wroc lawia. Inne, wczesne prace na temat modeli umieralno´sci pochodz

,

a

z wieku XIX (np. [40], [106]).

Autorem wsp´

o lczesnej metodologii budowy tablic wymieralno´sci jest

C. L. Chiang [25]. Obecnie tablice tego rodzaju okre´sla si

,

e tak˙ze mianem

tablic trwania ˙zycia (life tables). W Polsce wspomnianego terminu zacz

,

eto

u˙zywa´

c w latach siedemdziesi

,

atych ubieg lego wieku.

Gwa ltowny rozw´

oj teorii i zastosowa´

n modeli umieralno´sci obserwu-

jemy szczeg´

olnie w ostatnich czterech dekadach, o czym ´swiadcz

,

a liczne

opracowania monograficzne poruszaj

,

ace t

,

e tematyk

,

e (np. [36], [38], [48],

[57], [77], [91], [93], [105], [107]).

Opisywane w literaturze matematyczne modele umieralno´sci mo˙zna

podzieli´

c na dwie grupy [14], tj. na modele statyczne lub stacjonarne

oraz modele dynamiczne. Pierwsz

,

a, najliczniejsz

,

a grup

,

e stanowi

,

a mo-

dele, w kt´

orych prawdopodobie´

nstwa zgon´

ow lub cz

,

astkowe wsp´

o lczynniki

Kup książkę

8

zgon´

ow s

,

a przedstawiane za pomoc

,

a funkcji zmiennej rzeczywistej lub

zmiennej rozmytej z pewnymi, estymowanymi parametrami ([20], [21],
[23], [24], [31], [41], [42], [43], [47], [59], [65], [88], [89], [90]). Drug

,

a

grup

,

e tworz

,

a modele dynamiczne, w kt´

orych prawdopodobie´

nstwa lub

wsp´

o lczynniki zgon´

ow wyra˙zane s

,

a m.in. w postaci rozwi

,

aza´

n stocha-

stycznych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych ([2], [9], [11], [13], [16], [17], [26], [27],

[30], [37], [44], [45], [54], [69], [82], [92], [94], [96], [104], [112]). Popu-
larny obecnie model Lee–Cartera [65], podobnie jak jego rozmyta wersja
Koissi–Shapiro [59], nale˙z

,

a do pierwszej grupy. Jednak niekt´

ore uog´

olnie-

nia modelu Lee–Cartera mo˙zna zaliczy´

c r´

ownie˙z do grupy drugiej. Przyk la-

dem jest dynamiczny, hybrydowy model typu Lee–Cartera, zapropono-
wany w pracy A. Rossy i L. Sochy [92].

Modele dynamiczne opisane stochastycznymi r´

ownaniami r´

o˙zniczko-

wymi okaza ly si

,

e niewystarczaj

,

ace do opisu proces´

ow demograficznych.

Nie nadawa ly si

,

e one zw laszcza do opisu zjawisk zmiennych w czasie

ci

,

ag lym, z uwagi na odmienne zachowanie w r´

o˙znych przedzia lach czaso-

wych. To sk loni lo naukowc´

ow do zaproponowania nowego rodzaju modeli,

zwanych hybrydowymi, w kt´

orych wyst

,

epuje wzajemna interakcja mi

,

edzy

ci

,

ag l

,

a i dyskretn

,

a dynamik

,

a.

Wprowadzone modele hybrydowe lub prze l

,

aczaj

,

ace [15] by ly uog´

ol-

nieniem modeli z przeka´

znikami, wyst

,

epuj

,

acych w automatyce oraz modeli

o zmiennej strukturze [56] opisuj

,

acych zjawiska w mechanice, ekonomii lub

w naukach empirycznych. Pojawi ly si

,

e r´

ownie˙z prace, w kt´

orych autorzy

wprowadzili z lo˙zone modele, kt´

ore mo˙zna uzna´

c za modele hybrydowe (np.

[12], [13], [44], [92]).

W dalszych rozwa˙zaniach przez uk lad hybrydowy b

,

edziemy rozumieli

pewn

,

a rodzin

,

e modeli statycznych lub dynamicznych, kt´

ore b

,

ed

,

a prze l

,

a-

czane wed lug jakiego´s prawa prze l

,

acze´

n. Dynamiczne modele b

,

ed

,

a opi-

sane stochastycznymi r´

ownaniami r´

o˙zniczkowymi. Z uwagi na to, ˙ze tylko

dla niewielkiej klasy r´

owna´

n mo˙zna znale´

z´

c ich rozwi

,

azania analityczne

i maj

,

a one dosy´

c z lo˙zon

,

a budow

,

e, zaproponujemy now

,

a grup

,

e modeli

hybrydowych, zwanych momentowymi uk ladami hybrydowymi. Idea tych
modeli polega na zast

,

apieniu r´

owna´

n stochastycznych odpowiadaj

,

acymi

im r´

ownaniami r´

o˙zniczkowymi dla moment´

ow.

G l´

own

,

a trudno´sci

,

a zwi

,

azan

,

a z zastosowaniem popularnego obecnie

stochastycznego modelu Lee–Cartera jest za lo˙zenie o jednorodno´sci sk lad-
nika losowego, kt´

orego zwykle nie potwierdzaj

,

a wyniki analiz empirycz-

nych. Trudno´s´

c ta sk lania do poszukiwania rozwi

,

aza´

n, uchylaj

,

acych wspo-

mniane za lo˙zenie. Jedn

,

a z mo˙zliwo´sci jest przeniesienie rozwa˙za´

n na grunt

teorii liczb rozmytych.

Kup książkę

9

Pr´

ob

,

e tak

,

a podj

,

eli M. C. Koissi i A. F. Shapiro [59], proponuj

,

ac

tzw. rozmyty model Lee–Cartera. W ich modelu zar´

owno obserwacje em-

piryczne, jak i parametry modelu traktowane s

,

a w kategoriach liczb roz-

mytych, opisanych tr´

ojk

,

atnymi, symetrycznymi funkcjami przynale˙zno´sci.

Model Koissi–Shapiro niesie jednak ze sob

,

a trudno´sci zwi

,

azane z esty-

macj

,

a parametr´

ow, kt´

ore wynikaj

,

a z konieczno´sci poszukiwania minimum

funkcji zawieraj

,

acej operator typu maksimum. Tego rodzaju zadania nie

mo˙zna rozwi

,

aza´

c za pomoc

,

a standardowych algorytm´

ow optymalizacyj-

nych. Problem ten mo˙zna jednak upro´sci´

c, wykorzystuj

,

ac algebr

,

e skiero-

wanych liczb rozmytych, opracowan

,

a i opublikowan

,

a przez W. Kosi´

nskiego

z zespo lem [61], [62]. Efekty jej zastosowania w odniesieniu do modelu
Koissi–Shapiro opublikowane zosta ly w monografii zbiorowej pod redakcj

,

a

A. Rossy [91], a tak˙ze w artykule A. Szyma´

nskiego i A. Rossy [104].

Dalej id

,

aca modyfikacja umo˙zliwia zast

,

apienie algebry Banacha skie-

rowanych liczb rozmytych przez algebr

,

e Banacha C

∗

. Jej wykorzystanie

pozwala odwo la´

c si

,

e do twierdzenia Gelfanda–Mazura, wskazuj

,

acego na

izomorfizm izometryczny pomi

,

edzy algebr

,

a C

∗

a algebr

,

a Banacha funkcji

zespolonych. W ten spos´

ob problem optymalizacyjny mo˙ze by´

c przenie-

siony na teren analizy zespolonej. Jest to wed lug naszej najlepszej wiedzy
nowatorskim podej´sciem do zagadnienia modelowania umieralno´sci.

Struktura ksi

,

a˙zki jest nast

,

epuj

,

aca. W rozdziale 1 zosta ly om´

owione

podstawowe poj

,

ecia i modele umieralno´sci, zaczerpni

,

ete z literatury. Roz-

dzia l 2 stanowi wprowadzenie w tematyk

,

e hybrydowych modeli dynamicz-

nych. W rozdziale 3 przedstawione zosta ly dynamiczne, hybrydowe modele
umieralno´sci, w szczeg´

olno´sci hybrydowy model Lee–Cartera oraz uog´

ol-

niony model Milevskiego–Promislowa oraz ich wersje dyskretno-czasowe,
s lu˙z

,

ace do estymacji parametr´

ow. W rozdziale 4 prezentowane s

,

a teore-

tyczne podstawy rozmytych modeli umieralno´sci na gruncie algebry skie-
rowanych liczb rozmytych, natomiast rozdzia l 5 zawiera kilka propozycji
modeli umieralno´sci b

,

ed

,

acych uog´

olnieniem modelu rozmytego. Oparte

s

,

a one na algebrze zmodyfikowanych liczb rozmytych oraz funkcji zespolo-

nych. W ostatnim rozdziale zawarte zosta ly rezultaty estymacji i ewaluacji
zaproponowanych modeli.

Autorzy dzi

,

ekuj

,

a prof. Gra˙zynie Trzpiot za cenne uwagi i sugestie za-

warte w recenzji wydawniczej niniejszej monografii. Ksi

,

a˙zka skierowana

jest do student´

ow, doktorant´

ow i specjalist´

ow z zakresu demografii, sta-

tystyki i ekonomii.

Publikacja zosta la sfinansowana ze ´srodk´

ow Narodowego Centrum Na-

uki przyznanych na podstawie decyzji nr DEC-2011/01/B/HS4/02882.

Kup książkę

Rozdzia l 1

Modele umieralno´

sci

1.1. Wprowadzenie

Uznaje si

,

e, ˙ze umieralno´s´

c jest relatywnie latwa do modelowania i pro-

gnozowania. Jednak w d lugim horyzoncie prognozy, pod wp lywem r´

o˙z-

norodnych zaburze´

n, mog

,

a zachodzi´

c nieregularne zmiany w przebiegu

tego procesu. Przyk ladem mo˙ze by´

c kryzys zdrowotny w Polsce w latach

siedemdziesi

,

atych i osiemdziesi

,

atych ubieg lego stulecia ([78]). Kluczow

,

a

rol

,

e odgrywa w´

owczas dob´

or adekwatnego modelu. Przedmiotem modelo-

wania s

,

a zazwyczaj tablicowe mierniki umieralno´sci, do kt´

orych nale˙z

,

a

g l´

ownie cz

,

astkowe wsp´

o lczynniki zgon´

ow lub warunkowe prawdopodo-

bie´

nstwa zgon´

ow. Na ich podstawie dokonuje si

,

e prognozowania innych

wielko´sci, np. ´sredniego czasu dalszego trwania ˙zycia.

1.2. Podstawowe tablicowe mierniki umieralno´

sci

Definicja cz

,

astkowych (grupowych) wsp´

o lczynnik´

ow zgon´

ow odwo luje

si

,

e do og´

olnej definicji wsp´

o lczynnika demograficznego, rozumianego jako

iloraz liczby zdarze´

n demograficznych okre´slonego rodzaju do l

,

acznego

czasu ekspozycji na ryzyko wyst

,

apienia zdarzenia w rzeczywistej lub hipo-

tetycznej kohorcie ([85], s. 5–32). Dalej przedstawiona zostanie definicja
cz

,

astkowych, kohortowych wsp´

o lczynnik´

ow demograficznych, wyznacza-

nych dla ustalonej kohorty (generacji) os´

ob. Definicje kohortowo-przekro-

jowych lub przekrojowych wsp´

o lczynnik´

ow demograficznych znale´

z´

c mo˙z-

na w monografii [91], s. 229–231.

Za l´

o˙zmy, ˙ze rozwa˙zamy pewn

,

a podzbiorowo´s´

c jednostek, wyodr

,

ebnio-

nych w danej kohorcie s. Oznaczmy t

,

e podzbiorowo´s´

c symbolem x. Zwy-

kle indeks x wskazuje na podpopulacj

,

e jednostek (os´

ob) wyodr

,

ebnionych

ze wzgl

,

edu na wiek, a dok ladniej – b

,

ed

,

acych w wieku x uko´

nczonych lat.

W takim przypadku x przybiera warto´sci ze zbioru {0, 1, . . . , X}, gdzie
X jest g´

orn

,

a granic

,

a wieku.

Kup książkę

12

Kohortowy, cz

,

astkowy wsp´

o lczynnik demograficzny dla os´

ob w wieku

x w kohorcie s mo˙zna oznaczy´

c symbolem W

(s)

x

. W og´

olnym przypadku,

tj. dla grupy wieku [x, x + n) (n > 1, n ∈ N), bardziej adekwatnym jest

oznaczenie

n

W

(s)

x

.

Definicja 1.1. Cz

,

astkowym, kohortowym wsp´

o lczynnikiem demograficz-

nym nazywamy iloraz liczby zdarze´

n demograficznych Z

(s)

x

w x-tej pod-

zbiorowo´sci w kohorcie s, do l

,

acznego czasu ekspozycji K

(s)

x

na ryzyko

wyst

,

apienia danego zdarzenia w tej podzbiorowo´sci, czyli

W

(s)

x

=

Z

(s)

x

K

(s)

x

C,

(1.2.1)

gdzie C oznacza zadan

,

a sta l

,

a (np. C = 10 000).

Gdy analizowanymi zdarzeniami demograficznymi s

,

a zgony, w´

owczas

lew

,

a stron

,

e (1.2.1) zwyk lo si

,

e oznacza´

c symbolem m

(s)
x

, gdy n = 1 lub

symbolem

n

m

(s)
x

, gdy n > 1.

Wa˙znymi miernikami w analizie demograficznej, poza wsp´

o lczynnikami

cz

,

astkowymi, s

,

a prawdopodobie´

nstwa warunkowe.

Definicja 1.2. Warunkowe, kohortowe prawdopodobie´

nstwo zdarze´

n de-

mograficznych jest ilorazem liczby zdarze´

n Z

(s)

x

zaobserwowanych w s-tej

kohorcie os´

ob b

,

ed

,

acych w wieku x uko´

nczonych lat, do liczby L

(s)
x

os´

ob

do˙zywaj

,

acych wieku x, czyli

q

(s)

x

=

Z

(s)

x

L

(s)
x

.

(1.2.2)

W przypadku, gdy rozwa˙zamy przedzia l wieku [x, x + n), dla n > 1,

w´

owczas warunkowe, kohortowe przwdopodobie´

nstwo zdarze´

n demogra-

ficznych oznaczamy symbolem

n

q

(s)

x

. Dalej, dla uproszczenia notacji, po-

mini

,

ety zostanie symbol (s), oznaczaj

,

acy kohort

,

e.

1.3. Zwi

,

azek kohortowych wsp´

o lczynnik´

ow zgon´

ow

i prawdopodobie´

nstw zgon´

ow

Niech

n

Z

x

oraz

n

K

x

oznaczaj

,

a odpowiednio liczb

,

e zgon´

ow i czas eks-

pozycji na ryzyko zgonu w danej kohorcie os´

ob, b

,

ed

,

acych w grupie wieku

[x, x + n) lat.

Kup książkę