Analiza Matematyczna 2 (studia zaoczne)

Kolokwium nr 1

1. Wyznaczy´c (naszkicowa´c) dziedzin ¾

e funkcji f (x; y) = ln(9

x

2

y

2

) +

p

y

2

1.

Czy jest to zbiór ograniczony, otwarty, domkni ¾

ety, spójny? Uzasadni´c jedn ¾

a z odpowiedzi.

2. Wyznaczy´c pochodne cz ¾

astkowe funkcji f (x; y; z) = sin(y

x

2

) + zx oraz obliczy´c rf(0; 1; 1):

3. Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i ekstrema lokalne funkcji f (x; y) = x

3

+ y

3

3xy + 1:

4. Wyznaczy´c ekstrema lokalne i pochodn ¾

a funkcji y = f (x) uwik÷

anej równaniem x

2

+ y

3

+ 2xy

2y = 0:

Kolokwium z nr 2

1. Obliczy´c ca÷

ki podwójne (w jednej ca÷

ce wykorzysta´c wspó÷

rz ¾

edne biegunowe):

(a)

ZZ

D

(x

yx)dxdy,

gdzie D jest oszarem ograniczonym krzywymi o równaniach: y =

1

x

; y =

1
x

; y = 1; y = 2;

(b)

ZZ

D

xydxdy,

gdzie D = f(x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

4 ^ y

xg.

2. Opisa´c obszar D = f(x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

4y ^ x

0g wykorzystuj ¾

ac wspó÷

rz ¾

edne biegunowe

tzn. naszkicowa´c obszar D i uzupe÷

ni´c

= f(r; ') : :::::::::::::::::::::::::::::::::::g

3. Naszkicowa´c bry÷¾

e V ograniczon ¾

a powierzchniami z =

1 i z = 1

p

x

2

+ y

2

:

Uzupe÷

ni´c: jV j =

ZZ

D

:::::::::::::::::::::::::::::::::::dxdy; gdzie D = f(x; y) 2 R

2

: :::::::::::::::::::::::::::::::::: g:

Kolokwium nr 3

Rozwi ¾

aza´c zagadnienie Cauchye’go:

1. y

0

=

x

2

+ y

2

2xy

;

y(1) = 1 :

Rozwi ¾

aza´c równania ró·

zniczkowe:

2. y

0

+

y
x

= 2 ln x.

3. y

00

+ 4y = 0:

2012

EKD