GAL I  zadania

Aleksander Zabªocki

17 stycznia 2009

Zadania to te, które byªy na ¢wiczeniach (z grubsza).

Zadania domowe s¡ domowe :) i nieobowi¡zkowe (niektóre z nich omawiamy na nast¦pnych

¢wiczeniach). Chciaªbym, »eby ka»dy umiaª je zrobi¢. W razie jakichkolwiek kªopotów zach¦cam

do szukania wyja±nie« u mnie lub u kolegów.

Zadania z gwiazdk¡ s¡ troch¦ ogólniejsze/na boku/trudniejsze itp. Maj¡ ró»n¡ trudno±¢ i mog¡

by¢ odmian¡ dla tych, których znudziªy rachunki. Zadaj¦ je na kartki, bo troch¦ brakuje nam

czasu na szczegóªowe omawianie ich przy tablicy. Polecam :)

Linki:

Ukªady równa« (3 X)

Ukªady równa«  parametry (6 X)

Liczby zespolone (10 X)

Liczby zespolone  rysowanie (13 X)

Liczby zespolone  rysowanie cd., pierwiastki (17 X)

Liczby zespolone  powtórka z rysowania, okr¦gi (20 X)

Ciaªa (24 X)

Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie (27 X)

Podprzestrzenie (31 X)

Kombinacje liniowe (3 XI)

Liniowa niezale»no±¢, bazy (7 XI)

Bazy + wspóªrz¦dne 1 (14 XI)

Bazy + wspóªrz¦dne 2 (17 XI)

Bazy + wspóªrz¦dne 3 (21 XI)

Rz¡d macierzy itp. (24 XI)

Ró»ne (w tym tw. K.-C.) (28 XI)

Powtórka (1 XII)

Sumy i przekroje (5 XII)

Sumy i przekroje (8 XII)

Przeksztaªcenia liniowe (12 XII)

ZNALEZIONE: Przeksztaªcenia liniowe (15 XII)

Przeksztaªcenia liniowe (19 XII)

Przeksztaªcenia, macierze (5 I)

Mno»enie macierzy (9 I)

Mno»enie macierzy (12 I)

Macierze odwracalne (16 I)

1

Ukªady równa« (3 X)

Zadanie 1. Znajd¹ rozwi¡zanie ogólne ukªadu równa«







3x

1

+2x

2

+4x

3

+2x

4

= 1

7x

1

+5x

2

+9x

3

+4x

4

= 3

5x

1

−3x

2

+7x

3

+4x

4

= 1

Zadanie 2. Dla jakich warto±ci t ∈ R ci¡g (t

2

, −1, 1, −t

2

, 1)

jest rozwi¡zaniem poni»szego ukªadu

równa«?







7x

1

−5x

2

−3x

3

+5x

4

−5x

5

= −1

9x

1

+8x

2

−9x

3

+2x

4

+11x

5

=

1

−4x

1

+6x

2

+2x

3

−x

4

+9x

5

=

2

Zadanie 3. Znajd¹ rozwi¡zania ogólne ukªadu równa« o nast¦puj¡cej postaci macierzowej:







3 9 −2 17 −13 16
2 7

0

7

−2

11

2 5 −2 13 −13 11
1 3 −1

5

−4

5







Zadanie 4. Czy nast¦puj¡ce ukªady równa« (zmiennych x

1

, x

2

, x

3

) s¡ równowa»ne (i dlaczego

s¡/nie s¡)?

 x

1

+x

2

= 3

0 = 2

,

 x

1

+x

3

= −2

0 =

4

Zadanie 5. Znajd¹ wszystkie wielomiany f stopnia co najwy»ej 2, speªniaj¡ce warunki

f (−1) = 2,

f (1) = 8,

f (2) = 14.

Zad. dom. 1. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania ukªadów równa« o nast¦puj¡cej postaci macierzo-

wej:





1 2 3 1
4 5 6 1
7 8 9 1





,

(a)







3 2 −5

7

3 4 −9

9

5 2 −8

8

8 1 −7 12







,

(b)





3

5

−4 2 0

2

4

−6 3 0

11 17 −8 5 1





(c)

Zad. dom. (*) 2. Niech x, y, z, X, Y, Z b¦d¡ dowolne rzeczywiste, byle by x, y, z byªy ró»ne

mi¦dzy sob¡.

Udowodnij, »e istnieje dokªadnie jeden wielomian f stopnia nie wi¦kszego ni» 2, speªniaj¡cy

warunki

f (x) = X,

f (y) = Y,

f (z) = Z.

Zad. dom. (*) 3. Do zrobienia (oczywi±cie przez ch¦tnych) pisemnie, poniewa» w tym zadaniu

chodzi gªównie o ªadny opis.

Niech U b¦dzie ukªadem równa« liniowych o wszystkich wspóªczynnikach caªkowitych.

Zaªó»my, »e U ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie (x

1

, . . . , x

n

)

(w liczbach rzeczywistych).

Udowodnij, »e wszystkie x

i

s¡ wymierne.

2

Ukªady równa«  parametry (6 X)

Zadanie 6. Znajd¹, w zale»no±ci od warto±ci parametru t, zbiór rozwi¡za« ukªadu równa«

o postaci macierzowej





1

1

1

1

2

1

t

2

−1 1 −3 1





Zadanie 7. Znajd¹, w zale»no±ci od warto±ci parametrów a, b, zbiór rozwi¡za« dla ukªadów

równa« o nast¦puj¡cej postaci macierzowej:





1

2

−1 3

2 −1 −2 1
1 −3

a

b





,

(a)





1 2 1 2b
1 a 1 2b
a 1 1

b





(b)

Zad. dom. 4. Znajd¹, w zale»no±ci od warto±ci parametrów a, b, zbiór rozwi¡za« ukªadu

równa« o postaci macierzowej





1

2

−1 3

2 −1

2

1

1 −3

a

b





Zad. dom. 5. Znajd¹, w zale»no±ci od warto±ci parametru p, zbiór rozwi¡za« ukªadu równa«

o postaci macierzowej





p 1 −2 1 1
1 p −1 0 p
2 2

2

0 1





Zad. dom. 6. (z pewno±ci¡ omówimy je w pi¡tek) Ukªad równa« U ma r równa« i n niewia-

domych. Co wiadomo o ilo±ci rozwi¡za« ukªadu U (czy mo»e wynosi¢ 0, 1, ∞?) w przypadku,

gdy wiadomo, »e:

i)

r < n

;

ii)

r = n

;

iii)

r > n

?

Zad. dom. (*) 7. Udowodnij, »e je±li z macierzy A mo»na uzyska¢ (poprzez operacje elemen-

tarne) macierze w postaci schodkowej zredukowanej A

0

, A

00

, to A

0

= A

00

.

Równowa»nie: je±li z macierzy schodkowej zredukowanej B mo»na uzyska¢ (poprzez op. el.)

macierz schodkow¡ zredukowan¡ B

0

, to B = B

0

.

Zad. dom. (*) 8. Niech

U :



















a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= a

1,(n+1)

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= a

2,(n+1)

...

a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

= a

m,(n+1)

b¦dzie ukªadem równa« liniowych z jednym parametrem t, w którym ka»dy wspóªczynnik a

ij

ma posta¢ A

ij

t + B

ij

, gdzie A

ij

, B

ij

s¡ liczbami (by¢ mo»e równymi zero).

Udowodnij, »e istnieje sko«czony zbiór D = {d

1

, . . . , d

k

}

taki, »e dla ka»dej warto±ci t spoza

zbioru D ukªad U ma tyle samo rozwi¡za«.

3

Zad. dom. (*) 9. Rozwa»amy ukªady równa« z dwoma parametrami t, u, w których ka»dy

wspóªczynnik a

ij

ma posta¢ A

ij

t + B

ij

u + C

ij

dla pewnych A

ij

, B

ij

, C

ij

.

Znajd¹ przykªad ukªadu równa« tego typu, który posiada rozwi¡zania dla dowolnego u ≥ 0, ale

nie ma rozwi¡za« dla u < 0.

Dokªadniej: dla u ≥ 0 istnieje takie t, »e ukªad jest niesprzeczny; natomiast je±li u < 0, to ukªad

jest sprzeczny dla ka»dego t.

4

Liczby zespolone (10 X)

Zadanie 8. Znajd¹ rozwi¡zanie ogólne ukªadu równa« (o wspóªczynnikach zespolonych) o na-

st¦puj¡cej postaci macierzowej:

 1 + i 1 − i 1

1 − i

2i

0



Zadanie 9. Znajd¹ wszystkie rzeczywiste rozwi¡zania równania

1

x+1

+

1

x−1

= 1.

Zadanie 10. (rozwi¡zali±my nie korzystaj¡c z postaci trygonometrycznej)

Znajd¹ wszystkie liczby zespolone, których kwadrat wynosi 1 − i.
Zadanie 11. Znajd¹ wszystkie zespolone rozwi¡zania równania

1

z+i

+

1

z−i

=

√

2

2

(1 + i).

Zadanie 12. Oblicz (1 − i)

100

.

Zad. dom. 10. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania ukªadów równa« o nast¦puj¡cej postaci macie-

rzowej:

 1 − i

−3

−i

2

−(3 + 3i) 3 − i



,

(a)





i − 2

−(2 + i) 1

−i

4 − 2i

5

1 −1 − 2i

0

2 + 3i

1

i + 2





,

(b)





1 − i

i

2

i

1 + i

1 + i

1

2i

1 + 2i 1 − i

i

0 −1 + i

i

0





(c)

Zad. dom. 11. Przy pomocy wzorów de Moivre'a znajd¹ wszystkie zespolone pierwiastki

czwartego stopnia z liczb

−9,

−1 −

√

3i.

Zad. dom. 12. Rozwi¡zuj¡c ukªad równa« kwadratowych (tak, jak rozwi¡zali±my zad. 10),

znajd¹ wszystkie zespolone pierwiastki kwadratowe z liczb

1 + 2i,

3 − 4i.

Zad. dom. 13. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania zespolone równa«:

z =

1+i

2+i−z

,

3

10

−

2
5

i

z

2

+



−1 +

√

3i



z −

6
5

−

8
5

i = 0.

Zad. dom. 14. Udowodnij, np. wykorzystuj¡c wzór na mno»enie postaci trygonometrycznych,

równo±ci:





z

1

z

2





=

|z

1

|

|z

2

|

,

je±li z

2

6= 0,

arg

z

1

z

2

= arg z

1

− arg z

2

,

je±li z

1

, z

2

6= 0.

5

Zad. dom. 15. Wykorzystuj¡c liczby zespolone, oblicz cosinus i sinus k¡ta

π

12

.

Zad. dom. 16. Wykorzystuj¡c liczby zespolone, podaj ogólny wzór na cosinus k¡ta 3α.

Zad. dom. 17. Oblicz:



i+

√

3

i+1



55

,

(

√

3+

√

3i)

40

(

√

3+i)

20

.

Zad. dom. (*) 18. Oblicz:

cos α + cos(2α) + cos(3α) + . . . + cos(nα),

(a)

cos α + 2 cos(2α) + 3 cos(3α) + . . . + n cos(nα),

(b)

cos α + n cos(2α) +

n

2



cos(3α) + . . . +

n

n



cos((n + 1)α),

(c)

6

Liczby zespolone  rysowanie (13 X)

Zadanie 13. Znajd¹ wszystkie zespolone pierwiastki pi¡tego stopnia z 1 + i.

Zadanie 14. Rozwi¡» równanie

¯

zz

3

=

|z|

8i

.

Zadanie 15. Znajd¹ i naszkicuj na pªaszczy¹nie zespolonej nast¦puj¡ce podzbiory C:

z ∈ C : Re (1 + i)z
≥ 0 ,

(a)

z ∈ C : Re(iz

5

) ≥ 0

,

(b)

z ∈ C : Re (1 + i)z

3

+ 2i

≥ 0

(c)

Zad. dom. 19. Rozwi¡» poni»sze równania i naszkicuj na pªaszczy¹nie zespolonej zbiory

rozwi¡za«:

z

7

= 1 − i,

(a)

z

10

¯

z =

i|z|

3

16

,

(b)

1

(z

7

−(1−i))

2

=

1
2

i

(c)

Zad. dom. 20. Dla jakich z ∈ C istnieje t ∈ C takie, »e

z =

|t|¯

t

t

2

Zad. dom. 21. Znajd¹ i naszkicuj na pªaszczy¹nie zespolonej nast¦puj¡ce podzbiory C:

A = {z ∈ C : Im(iz) < 0} ,

B =

z ∈ C : Im(z

2

) < 0

,

C =

z ∈ C : Im(iz

4

+ 2) ≥ 0

,

D =

n

z ∈ C : Im z

2

>

√

3 Re z

2

o

,

E = {z ∈ C : |Re z + Im z| < 1} .

Spróbuj sformuªowa¢ warunki na posta¢ trygonometryczn¡ (lub posta¢ a + bi) liczby z. Na

przykªad

B =

(

r(cos α + i sin α) : r ∈ R

+

, α ∈

[

k∈Z



(2k+1)π

2

, kπ



)

.

Zad. dom. (*) 22. Przy pomocy liczb zespolonych udowodnij twierdzenie Ptolemeusza:

Je±li na czworok¡cie ABCD mo»na opisa¢ okr¡g, to zachodzi

|AB| · |CD| + |BC| · |AD| = |AC| · |BD|.

(w razie w¡tpliwo±ci: punkty A, B, C, D le»¡ na okr¦gu wªa±nie w tej kolejno±ci)

7

Liczby zespolone  rysowanie, pierwiastki (17 X)

Zadanie 16. Znajd¹ nast¦puj¡ce podzbiory C:

A = {z ∈ C : Im((1 + i)z) > 0} ,

B =

n

z ∈ C : Re z

2

>

√

3 Im z

2

o

.

Zadanie 17. Oblicz sum¦ wszystkich pierwiastków stopnia n z jedynki.

Zad. dom. 23. Oblicz iloczyn wszystkich pierwiastków stopnia n z jedynki.

Przypomnienie. Liczb¦ z nazywamy pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedynki, je±li z

n

= 1

oraz z

k

6= 1

dla k < n.

Zad. dom. (*) 24. Oblicz sum¦ wszystkich pierwiastków pierwotnych stopnia n z jedynki.

Zad. dom. (*) 25. Niech

P (z) = z

8

− iz

5

+ 4z

2

− 8(i + 1).

Znajd¹:

a) sum¦ wszystkich pierwiastków wielomianu P ;

b) sum¦ kwadratów wszystkich pierwiastków wielomianu P .

8

Liczby zespolone  powtórka z rysowania, okr¦gi (20 X)

Zadanie 18. Znajd¹ i naszkicuj na pªaszczy¹nie zespolonej nast¦puj¡ce podzbiory C:

A =

n

z ∈ C : Re (1 +

√

3i)(z − 1)

3

> 0

o

,

B =

n

z ∈ C : Re (1 +

√

3)(z − 1)

3

> 0

o

,

:)

C =

z ∈ C : Im

1

z+1

< 1

,

D =

n

z ∈ C : z

6

=

1−i

√

3+i

o

,

E =

n

z ∈ C : Im

z

2

z+1

≥ 0

o

,

F =

z ∈ C : 0 ≤ Re

1
z

≤ 1

,

G = {z ∈ C : |z − 1| ≤ 1, |z + 1| = 1} ,

H =

z ∈ C : 1 ≤




1
z




≤ 2

.

Zad. dom. 26. Znajd¹ i naszkicuj na pªaszczy¹nie zespolonej nast¦puj¡ce podzbiory C:

A =

z ∈ C : z

9

= (1 + i)¯

z

,

B = {z ∈ C : z|z| = ¯

z} ,

C =

z ∈ C : z

2

|z|

4

= ¯

z

6

,

D =

n

z ∈ C : Re (

√

3 + i)

(z+i)

5

¯

z−i

≥ 0

o

,

E =

z ∈ C : Re (i − 1)(z − 1)

5

≤ 0 ,

F =

n

z ∈ C :

2z

2

z+4

=

z

z−2i

o

,

G =

n

z ∈ C :





1

z

2

+

1

2

− 1





< 1

o

.

9

Ciaªa (24 X)

Zadanie 19. Udowodnij, »e je±li K jest ciaªem, to zachodz¡ nast¦puj¡ce fakty:

- je±li a + c = b + c, to a = b (dla ka»dych a, b, c ∈ K);

- je±li ac = bc, to a = c (dla ka»dych a, b ∈ K, c ∈ K \ {0});

- (−a)

2

= a

2

(dla a ∈ K).

Zadanie 20. Udowodnij, »e z aksjomatów ciaªa wynika:

- jedyno±¢ elementu przeciwnego do a;

- jedyno±¢ elementu odwrotnego do a, je±li a 6= 0.
Zadanie 21. Udowodnij, »e zbiór

Q(

√

2) = {a + b

√

2 : a, b ∈ Q}

wraz ze zwykªym dziaªaniami na liczbach rzeczywistych jest ciaªem. Podaj wzór na element

odwrotny do a + b

√

2

, je±li a, b nie s¡ równocze±nie zerem.

Zadanie 22. Znajd¹ rozwi¡zania w ciele Z

5

ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 2 3 0
2 3 4 1
3 1 2 1





Zadanie 23. Znajd¹ pierwiastki wielomianów:

2x

2

+ 3 = 0

w Z

5

,

x

2

+ 1 = 0

w Z

3

.

Zadanie 24. Udowodnij, »e zbiór

Z

n

= {0, 1, . . . , n − 1}

wraz z dziaªaniami dodawania i mno»enia modulo n, zwykªym zerem i zwykª¡ jedynk¡, jest

ciaªem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczb¡ pierwsz¡.
Uwaga. Wielomiany o wspóªczynnikach w ustalonym ciele K mo»na dzieli¢ z reszt¡ tak samo,

jak nad R.

Twierdzenie Bézout. Niech P (x) b¦dzie wielomianem o wspóªczynnikach w ciele K. Je±li

element a ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu P , to P (x) dzieli si¦ przez x − a, tzn. istnieje taki

wielomian Q, »e

P (x) = (x − a)Q(x).

Wniosek. Wielomian n-tego stopnia o wspóªczynnikach w ciele K ma w tym ciele co najwy»ej
n

pierwiastków.

Zadanie 25. Rozwi¡» (nie rozpatruj¡c siedemnastu przypadków) równanie

x

2

= 2

w Z

17

.

Zadanie 26. Niech ciaªo K zawiera podciaªo L. Udowodnij, »e:

- je±li K = R, to Q ⊆ L;

- je±li K = R oraz

√

2 ∈ L

, to Q(

√

2) ⊆ L

;

- je±li K = Z

p

lub K = Q, to L = K.

10

Charakterystyk¡ ciaªa K (ozn. char K) nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ n tak¡, »e suma
n

jedynek w K jest zerem. Je±li nie istnieje takie n, przyjmujemy char K = 0.

Zadanie 27. Udowodnij, »e je±li charakterystyka ciaªa jest niezerowa, to jest liczb¡ pierwsz¡.

Uwaga. Niech K b¦dzie ciaªem. Mo»na pokaza¢, »e:

- je±li char K = 0, to K zawiera Q jako podciaªo;

- je±li char K = p, to K zawiera Z

p

jako podciaªo.

Zdanie K zawiera L jako podciaªo ma nast¦puj¡cy sens: istnieje funkcja ró»nowarto±ciowa
F : L → K

, która zachowuje struktur¦ ciaªa, tzn.

F (0) = 0,

F (1) = 1,

F (a + b) = F (a) + F (b),

F (a · b) = F (a) · F (b)

dla a, b ∈ L.

Zad. dom. 27. Rozwi¡» nast¦puj¡ce równania w podanych ciaªach:

4x + 3 = 0

w Z

5

,

5x − 3 =

1
2

w Z

7

, Z

11

,

3x + 1 = 0

w Z

103

,

x

2

= 2

w Z

5

, Z

7

, Q(

√

2), Q(i),

x

2

− 3x +

1
4

= 0

w Z

5

, Z

7

, Z

41

, Q(

√

2),

x

2

+ x + 1 = 0

w Z

2

, Z

3

,

x

3

+ 2 = 0

w Z

3

, Z

7

, Q(i),

1

x+1

= 1 +

2
x

w Z

5

, R, Q(i).

Zad. dom. 28. Udowodnij, »e w dowolnym ciele K dla dowolnych elementów a, b ∈ K zachodzi

(a + b)(a − b) = a

2

− b

2

,

(a + b)

2

= a

2

+ (1 + 1)ab + b

2

.

Zapis a

2

oznacza tu oczywi±cie a · a.

Zad. dom. 29. Znajd¹ ilo±¢ rozwi¡za« ukªadów równa« o poni»szej postaci macierzowej

w ciaªach Z

3

oraz Z

5

:





1

2

0 1

2 −1 0 1
1

2

2 0





,

(a)





1 −1 2 0
2 −1 0 1
2

1

1 1





.

(b)

Zad. dom. (*) 30. Udowodnij, »e ciaªo sko«czone nie mo»e by¢ algebraicznie domkni¦te.

(Ciaªo K nazywamy algebraicznie domkni¦tym, je±li ka»dy wielomian o wspóªczynnikach w K

ma pierwiastek w K).

11

Zad. dom. (*) 31. Znajd¹ ciaªo: (poprawka: nie tyle znajd¹, co udowodnij, »e istnieje)

a) maj¡ce 9 elementów;

b) maj¡ce 25 elementów;

c) maj¡ce p

2

elementów, gdzie p jest dowoln¡ liczb¡ pierwsz¡.

Zad. dom. (*) 32. Udowodnij, »e zbiór

{a

0

+ a

1

k

√

2 + a

2

k

√

4 + . . . + a

n−1

k

√

2

n−1

: a

0

, . . . , a

n−1

∈ Q}

jest podciaªem R:

a) dla k = 4;

b) dla k = 3.

12

Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie (27 X)

Zadanie 28. Niech X b¦dzie zbiorem. Okre±lamy dziaªanie dodawania w±ród podzbiorów X

wzorem

A + B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Sprawd¹ przemienno±¢ i ª¡czno±¢ tego dziaªania. Znajd¹ element neutralny i odwrotny.

Wyka», »e zbiór P (X) = {A : A ⊆ X} z dziaªaniem + i mno»eniem przez skalary:

0 · A =

element neutralny dodawania,

1 · A = A

jest przestrzeni¡ liniow¡ nad Z

2

.

Zadanie 29. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich

funkcji z R do R?

A = {f : f

jest ci¡gªe},

B = {f : f (0) = 0},

C = {f : f (0) = 1}

Zadanie 30. Czy zbiór

{(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) : max

i>1

x

i

= 2x

1

}

jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R

n

?

Zadanie 31. Niech U b¦dzie ukªadem równa« o postaci macierzowej








a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

a

21

a

22

. . .

a

2n

b

2

...

...

a

m1

a

m2

. . . a

mn

b

m








.

Dla jakich warto±ci wspóªczynników a

ij

, b

i

zbiór rozwi¡za« ukªadu U jest podprzestrzeni¡ li-

niow¡ R

n

?

Zad. dom. 33. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R

4

?

A = {(a, b, c, d) : a + 2b − 3c = 0

oraz 2c − 4d = 0},

B = {(a, b, c, d) : a + 2b − 3c = 0

oraz 2c − 4d = 1},

C = {(a, b, c, d) : a = 0},

D = {(a, b, c, d) : a ≥ 0},

E = {(a, b, c, d) : a + b = c},

F = {(a, b, c, d) : a

2

= b

2

},

G = {(a, b, c, d) : |a + bi| = |c + di|},

H = {(a, b, c, d) : a

2

+ b

2

= −2ab}.

13

Zad. dom. 34. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi R

2n

?

A = {(x

1

, . . . , x

2n

) : x

1

= 2x

2

},

B = {(x

1

, . . . , x

2n

) : x

k

= k

dla k ≤ n},

C = {(x

1

, . . . , x

2n

) : x

k

= kx

k+n

dla k ≤ n},

D = {(x

1

, . . . , x

2n

) : x

2
k

= kx

k+n

dla k ≤ n},

E = {(x

1

, . . . , x

2n

) : x

k

2

= kx

k+n

dla k ≤ n},

F = {(x

1

, . . . , x

2n

) : x

k

= k

2

x

k+n

dla k ≤ n}

Zad. dom. (*) 35. Niech K b¦dzie ciaªem charakterystyki p, a V sko«czon¡ przestrzeni¡

liniow¡ nad K. Udowodnij, »e liczba elementów V ma posta¢ p

n

.

(w szczególno±ci ka»de ciaªo sko«czone ma p

n

elementów dla pewnych p, n, gdzie p jest pierwsze)

14

Podprzestrzenie (31 X)

Zadanie 32. Dla jakich warto±ci parametru t ∈ R zbiór rozwi¡za« nast¦puj¡cych ukªadów

równa« jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R

n

?

{2x

1

+ tx

4

(1 − x

2

) + 4x

3

= x

2

x

4

− 3x

4

(n = 4)

(a)







x

1

+2x

2

−3x

3

+x

4

=

t

2

+ 2t

2x

1

+5x

2

+(4 − t

2

)x

6
3

−x

4

=

0

4x

1

+9x

2

−6x

3

+2x

4

= 2t(t + 2)

(n = 4)

(b)

 3x

1

+(1 − t

2

)x

3
2

−x

3

=

0

x

1

−5x

2

+(2t + 2)|x

3

| = t

3

− t

(n = 3)

(c)

Zadanie 33. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R

∞

?

{(a

n

) : a

n

= 0

dla prawie wszystkich n},

{(a

n

) : a

n

6= 0

dla prawie wszystkich n},

{(a

n

) : a

n

6= 1

dla prawie wszystkich n}

Zadanie 34. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R[x] (prze-

strzeni wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych)?

{P : st P = n} ∪ {0},

{P : st P ≤ n},

{P : st P ≥ n}

Zad. dom. 36. Dla jakich warto±ci parametru t ∈ R zbiór rozwi¡za« nast¦puj¡cych ukªadów

równa« jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R

4

?

{x

1

+ tx

2

(1 + x

3

) − 3x

3

= x

2

x

3

− 2x

4

(a)







x

1

+3x

2

−2x

3

+2x

4

=

t

2

+ t

2x

1

+7x

2

+(1 − t

2

)x

6
3

−2x

4

=

0

x

1

+4x

2

+2x

3

−5x

4

= −t(t + 1)

(b)

Zad. dom. 37. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R[x]

(przestrzeni wielomianów)?

1. Wielomiany, dla których a jest pierwiastkiem (dla pewnego ustalonego a ∈ R);

2. Wielomiany, dla których a jest pierwiastkiem (dla pewnego ustalonego a ∈ C);

3. Wielomiany posiadaj¡ce pierwiastki.
Zad. dom. 38. Które z poni»szych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni K

4

(gdzie K jest dowolnym ciaªem)?

{(t, t + 1, 0, 0) : t ∈ K},

{(t, u, t + u, t − u) : t, u ∈ K},

{(tu, t, u, 0) : t, u ∈ K},

{(t, u, t, u) : t, u ∈ K, t + u = 0},

{t(1, 0, 1, 0) + u(1, 0, 0, 0) : t, u ∈ K}

15

Zad. dom. (*) 39. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K oraz niech W

1

, W

2

, . . . , W

k

b¦d¡ jej podprzestrzeniami liniowymi takimi, »e V = W

1

∪ W

2

∪ . . . ∪ W

k

.

1. Udowodnij, »e je±li k = 2, to W

1

= V

lub W

2

= V

.

2. Udowodnij, »e je±li K jest niesko«czone, to istnieje takie i, »e W

i

= V

.

3. Znajd¹ takie k, K, V oraz W

i

speªniaj¡ce zaªo»enia zadania, »e »adne W

i

nie jest równe V .

16

Kombinacje liniowe (3 XI)

Zadanie 35. Dla jakich warto±ci r ∈ R wektor (r, 8, 6) jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów

(3, 4, 5),

(1, 4, 4),

(7, 4, 7)

w R

3

?

Zadanie 36. Interesuje nas, czy wektory

w

1

= (2, −2, 0, 3),

w

2

= (1, 1, 1, 1),

w

3

= (−1, 3, 1, 10)

s¡ kombinacjami liniowymi wektorów

(3, 2, 1, 1),

(2, 7, 2, 1),

(8, −1, 1, 3)

w R

4

.

Udziel odpowiedzi dla wektora w

1

. Jak nale»y rozwi¡zywa¢ ten problem, aby nast¦pnie ªatwo

byªo znale¹¢ odpowied¹ dla w

2

i w

3

?

Zadanie 37. Niech A, B b¦d¡ sko«czonymi zbiorami wektorów nale»¡cych do przestrzeni linio-

wej V (nad ciaªem K). Udowodnij, »e

lin(A) = lin(B)

⇔

A ⊆ lin(B) ∧ B ⊆ lin(A).

Zadanie 38. Czy ka»dy element (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

podprzestrzeni

lin



(i, 1, −i, −1), (i, −i, 1, −1), (1, 0, 0, −1)



przestrzeni liniowej C

4

speªnia warunek

x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 0,

(a)

x

4

= −1?

(b)

Zad. dom. 40. Rozwi¡» zadanie 36 dla wektorów w

2

i w

3

.

Zad. dom. 41. Czy wektory

w

1

= (3, 4, 5, 6),

w

2

= (1, 2, 3, 5)

s¡ kombinacjami liniowymi wektorów

v

1

= (1, 2, 3, 4),

v

2

= (5, 6, 7, 8)?

Zad. dom. 42. Czy wektory

w

1

= (1, 1, 1),

w

2

= (1, 4, 3)

s¡ kombinacjami liniowymi wektorów

v

1

= (0, 1, 1),

v

2

= (1, 2, 1),

v

3

= (3, 7, 4)?

17

Zad. dom. 43. Znajd¹ przykªad wektora w R

4

nienale»¡cego do

lin



(1, 3, 1, 3), (3, 8, 2, 9), (0, 3, 2, 3)



.

Zad. dom. 44. Niech A, B b¦d¡ sko«czonymi zbiorami wektorów nale»¡cych do przestrzeni

liniowej V (nad ciaªem K). Wyka», »e:

a) je±li A ⊆ B, to lin(A) ⊆ lin(B),

b) je±li A ⊆ B oraz A 6= B, to nie musi zachodzi¢ lin(A) 6= lin(B).

Zad. dom. 45. Niech A b¦dzie sko«czonym zbiorem wektorów nale»¡cych do przestrzeni

liniowej V (nad ciaªem K). Sprawd¹ równowa»no±¢

v ∈ lin(A)

⇔

lin(A) = lin(A ∪ {v}).

Zad. dom. 46. Niech R[x]

2

oznacza przestrze« liniow¡ wielomianów o wspóªczynnikach rze-

czywistych stopnia co najwy»ej 2. Udowodnij, »e

{P ∈ R[x]

2

: P (1) = P (2) = 0} = lin(x

2

− 3x + 2).

Denicja. Niech A b¦dzie dowolnym zbiorem wektorów nale»¡cych do przestrzeni liniowej V

(nad ciaªem K). Okre±lamy lin(A) jako zbiór tych wektorów, które s¡ kombinacjami liniowymi

pewnej sko«czonej ilo±ci elementów A:

lin(A) =

[

B⊆A, |B|<∞

lin(B).

Zad. dom. 47. Rozwa»my przestrze« R

∞

wszystkich ci¡gów o wyrazach rzeczywistych. Niech

e

i

= (0, 0, . . . , 0

|

{z

}

i−1

, 1, 0, 0, . . .) ∈ R

∞

.

Opisz lin({e

i

: i ∈ N}).

Zad. dom. 48. Sprawd¹, »e lin(A) jest najmniejsz¡ podprzestrzeni¡ V , zawieraj¡c¡ A.

(w szczególno±ci sprawd¹, »e jest to podprzestrze« V )

Zad. dom. 49. Rozwi¡» zadania domowe 44 i 45 w przypadku niesko«czonych zbiorów A, B.

18

Liniowa niezale»no±¢, bazy (7 XI)

Wektory v

1

, v

2

, . . . , v

n

∈ V

s¡

- zale»ne, je±li który± z nich jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych,

- niezale»ne, je±li »aden z nich nie jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych.

Zadanie 39. Znajd¹ przykªady ±wiadcz¡ce o tym, »e w powy»szej denicji wyró»nionego sªowa

który± nie mo»na zast¡pi¢ sªowem »aden, i na odwrót.

Zadanie 40. Sprawd¹, »e nast¦puj¡ce ukªady s¡ zale»ne:

(1, 1, 0),

(0, 1, 1),

(1, 0, −1)

∈ R

3

(a)

(1, 2, 3, 4),

(1, 1, 1, 1),

(0, 0, 0, 1),

(0, 1, 2, 2)

∈ R

4

(b)

Zadanie 41. Czy nast¦puj¡ce ukªady wektorów w dowolnej przestrzeni liniowej V s¡ niezale»ne?

(a)

∅

(b)

{0}

Zadanie 42. Niech A b¦dzie macierz¡ rozmiaru m × n, z której za pomoc¡ operacji elementar-

nych na wierszach mo»na otrzyma¢ macierz A

0

.

Udowodnij, »e je±li wiersze macierzy A tworz¡ ukªad niezale»ny w R

n

, to t¦ sam¡ wªasno±¢ ma

macierz A

0

.

Zadanie 43. Udowodnij, »e wiersze macierzy schodkowej tworz¡ ukªad niezale»ny wtedy i tylko

wtedy, gdy macierz ta nie zawiera wiersza zerowego.

Zadanie 44. Dla jakich warto±ci parametrów s, t ∈ R wektory

(5, 7, s, 2),

(1, 3, 2, 1),

(2, 2, 4, t)

s¡ niezale»ne?

Zadanie 45. Czy nast¦puj¡ce ukªady s¡ niezale»ne w przestrzeni funkcji ci¡gªych z R do R?

x − 1,

x − 2,

x − 3

(a)

|x − 1|,

|x − 2|,

|x − 3|

(b)

Zadanie 46.

1. Niech A b¦dzie niezale»nym ukªadem w przestrzeni V . Udowodnij, »e dla dowolnego v ∈ V

A ∪ {v}

jest niezale»ny

⇔

v /

∈ lin(A).

2. Czy równowa»no±¢ z punktu 1 pozostanie prawdziwa, je±li nie zaªo»ymy, »e A jest niezale»ny?

Denicja. Baz¡ przestrzeni liniowej V nazywamy ukªad A, który j¡ rozpina (tzn. lin(A) = V )

i jest liniowo niezale»ny w V .

19

Zadanie 47. Niech A b¦dzie sko«czonym ukªadem wektorów z V . Udowodnij równowa»no±¢

nast¦puj¡cych warunków:

a) A jest baz¡ V

b) A jest maksymalnym niezale»nym ukªadem w V

(to znaczy: A jest niezale»ny, ale A ∪ {v} jest zale»ny dla ka»dego v ∈ V )

c) A jest minimalnym ukªadem rozpinaj¡cym V

(to znaczy: lin(A) = V , ale lin(A \ {v}) 6= V dla ka»dego v ∈ A)
Wnioski. (z tw. Steinitza oraz zada« 46 i 47)

Zaªó»my, »e przestrze« V ma sko«czon¡ baz¦ B. Niech n b¦dzie ilo±ci¡ ilementów B. Wówczas:

a) Ka»dy ukªad niezale»ny w V ma ≤ n elementów;

b) Ka»dy ukªad rozpinaj¡cy V ma ≥ n elementów;

c) Je±li ukªad A ma n elementów, to

A

jest baz¡

⇔

A

jest niezale»ny

⇔

A

rozpina V ;

d) Dla ka»dego k istniej¡ k-elementowe ukªady wektorów, które nie s¡ niezale»ne i nie rozpi-

naj¡ V .
Zadanie 48. Znajd¹ baz¦ przestrzeni rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 0 0 4 7 0
0 1 0 3 6 0
0 0 1 2 5 0





Zad. dom. 50. Sprawd¹, »e ka»de trzy wektory w±ród podanych w punkcie (b) zadania 40 s¡

niezale»ne.
Zad. dom. 51. Czy nast¦puj¡ce ukªady s¡ liniowo niezale»ne?

(3, −2, 1),

(−1, 0, 2),

(4, 2, 2)

(2, 6, −6, −3),

(5, 9, −3, 3),

(1, 1, 1, 2)

(1, 2, 3, −1),

(2, 1, 2, 1),

(−1, 4, 5, −5)

Zad. dom. 52. Udowodnij, »e sko«czony ukªad niezerowych wielomianów o wspóªczynnikach

w R, maj¡cych parami ró»ne stopnie, jest niezale»ny w przestrzeni wielomianów.
Uwaga. Nad ciaªem sko«czonym ka»dy ukªad tego typu b¦dzie niezale»ny w przestrzeni napisów

(wielomianów), ale niekoniecznie w przestrzeni funkcji (funkcji wielomianowych). Mo»e si¦ nawet

zdarzy¢, »e pewnym wielomianom ró»nych stopni odpowiada ta sama funkcja wielomianowa.
Zad. dom. 53. Dla jakich warto±ci parametru a ∈ R poni»szy ukªad jest niezale»ny?

(a, 1, 0),

(1, a, 3),

(a, 1, 1)

Zad. dom. 54. Dla jakich warto±ci parametru t ∈ R poni»szy ukªad rozpina R

3

?

(1, 2, −1),

(1, 1, 1),

(1, t, −3)

Zad. dom. 55. Zmniejsz (poprzez wyrzucenie niektórych wektorów) podane ukªady do nieza-

le»nych:

(2, 1, 4),

(3, 5, −1),

(3, −2, 13),

(7, 7, 7),

(−4, −9, 6)

(3, 2, 1, 1),

(5, 0, 2, 3),

(4, 1, 4, 5),

(4, 1, −1, −1)

20

Zad. dom. 56. Znajd¹ (jakie±) bazy podprzestrzeni liniowych:

A = lin



(1, 2, 0), (1, 0, 2)



,

B = lin



(1, 1, −2, −5), (1, 2, −3, −8), (3, 4, −7, −18)



,

C = lin



(2, 4, 1, 5), (2, 4, 1, 5), (0, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 3)



,

D = lin



(1, 0, 0, 2), (2, 1, 1, 1), (1, t(t − 1), t, 2)



Zad. dom. 57. Znajd¹ (jakie±) bazy podprzestrzeni rozwi¡za« ukªadów równa« o postaci

macierzowej:

 1 0

0

−2 0

0 1 −1

0

0



,





2 7 −18

11

0

1 1

1

−2 0

0 2

−3

1

0





Zad. dom. 58. Twierdzenie Steinitza w praktyce: dopeªnij ukªady niezale»ne

(0, 5, −7, 5),

(0, 2, 1, 8), (1, 4, 1, 7), (0, 0, s, 1 − s)

do bazy R

4

u»ywaj¡c wektorów z ukªadu rozpinaj¡cego

(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).

Zad. dom. 59. Przypomnijmy rozwi¡zanie zadania 48 : znale¹li±my standardow¡ metod¡ zbiór

rozwi¡za«:

{(−4x

4

− 7x

5

, −3x

4

− 6x

5

, −2x

4

− 5x

5

, x

4

, x

5

) : x

4

, x

5

∈ R},

czyli

lin



(−4, −3, −2, 1, 0), (−7, −6, −5, 0, 1)



.

Nast¦pnie stwierdzili±my, »e otrzymane przez nas wektory rozpinaj¡ce s¡ niezale»ne, i w ogól-

no±ci te» tak b¦dzie.

Dlaczego? I jak wªa±ciwie b¦dzie? :)

Zad. dom. (*) 60. (raczej ªatwe) Niech f

1

, . . . , f

n

b¦d¡ liniowo niezale»nymi funkcjami z R

do R. Udowodnij, »e istniej¡ punkty x

1

, . . . , x

n

∈ R takie, »e wektory

f

1

(x

1

), f

1

(x

2

), . . . f

1

(x

n

)

, f

2

(x

1

), f

2

(x

2

), . . . f

2

(x

n

)

, . . . , f

n

(x

1

), f

n

(x

2

), . . . f

n

(x

n

)

s¡ niezale»ne w R

n

.

Denicja. Powiemy, »e niesko«czony ukªad wektorów A jest baz¡ przestrzeni V , je±li rozpina V

(tzn. lin(A) = V , patrz denicja), oraz jest niezale»ny, czyli ka»dy jego sko«czony podukªad jest

niezale»ny.

Fakty z teorii mnogo±ci. Mo»na ich u»y¢ bez dowodu w poni»szym zadaniu. Zdaje si¦, »e

nie wszystkie s¡ potrzebne.

1a. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest sko«czony lub przeliczalny.

21

1b. Obraz (zbiór warto±ci) funkcji okre±lonej na zbiorze przeliczalnym jest sko«czony lub prze-

liczalny.

2. Zbiór Q jest przeliczalny, a zbiór R nie jest.

3. Zbiór wszystkich podzbiorów N jest nieprzeliczalny.

4. Produkt kartezja«ski dwóch (a wi¦c te» sko«czonej ilo±ci) zbiorów przeliczalnych jest przeli-

czalny.

5. Suma przeliczalnej ilo±ci zbiorów sko«czonych lub przeliczalnych jest przeliczalna.

Dodane pó¹niej (mo»e mo»na si¦ obej±¢ bez tego):

6. Dla dowolnej przestrzeni liniowej V w dowolnym podzbiorze A ⊆ V istnieje maksymalny

podzbiór niezale»ny B.

(to znaczy, »e B jest niezale»ny, ale B ∪ {a} jest zale»ny dla ka»dego a z A \ B).

Zad. dom. (*) 61. Udowodnij, »e:

1. R nie ma sko«czonej bazy nad Q.

2. R, Q

∞

nie maj¡ przeliczalnej bazy nad Q.

3. R

∞

nie ma przeliczalnej bazy nad R.

22

Bazy + wspóªrz¦dne 1 (14 XI)

Zadanie 49. Rozwa»my ukªad wektorów

(1, 2, −1),

(1, 1, 1),

(1, t, −3).

Dla jakich t ∈ R jest to baza R

3

? Dla ka»dego takiego t znajd¹ wspóªrz¦dne wektora (1, 2, 1)

w tej bazie.

Zadanie 50. Dla ka»dego z wektorów

w

1

= (0, 2, 1),

w

2

= (1, 1, 2),

w

3

= (1, 0, 0)

chcemy znale¹¢ jego wspóªrz¦dne w bazie

v

1

= (3, 2, 1),

v

2

= (7, 3, 1),

v

3

= (4, 2, 1).

Zrób to dla v

1

w taki sposób, »eby nie trzeba byªo powtarza¢ niepotrzebnie rachunków rozwa»a-

j¡c w

2

i w

3

.

Zad. dom. 62. Znajd¹ baz¦ i wymiar przestrzeni rozwi¡za« ukªadów równa« o postaci macie-

rzowej:





9 12

2

0

5

6

4

0

2

3

−1 0





,





7 3 5

2

8 0

3 1 1 −1 6 0
2 1 2

3

1 0





Zad. dom. 63. Znajd¹:

a) baz¦ przestrzeni

lin



(4, −1, 5, 2),

(1, 1, −1, −1),

(1, 0, 0, −1),

(2, 1, 3, −6)



zawieraj¡c¡ wektor (1, −1, 0, 0);

b) baz¦ przestrzeni

lin



(3, 2, 1, 1),

(5, 0, 2, 3),

(4, 1, 4, 5),

(4, 1, −1, −1)



zawieraj¡c¡ wektory (−1, 1, 2, 2) oraz (1, −1, 3, 4).

Zad. dom. 64. Dopeªnij ukªad wektorów

(1, 2, 3, −2, −4),

(6, 4, −5, −4, −1)

do bazy przestrzeni rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej

 1

1

1

1

1 0

1 −1 1 −1 1 0



.

23

Zad. dom. 65. Znajd¹ baz¦ przestrzeni rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej

U :





1 2

3

4 0

1 3

5

7 0

4 2 −1 1 0





i dopeªnij j¡ do bazy przestrzeni

W = lin



(1, −4, 0, 2),

(2, −2, 1, −1),

(2, −3, 2, 0)



.

A w mi¦dzyczasie sprawd¹, czy aby na pewno przestrze« rozwi¡za« U zawiera si¦ w W .

Zad. dom. 66. (poprawione) Znajd¹, w zale»no±ci od warto±ci a ∈ R, baz¦ i wymiar przestrzeni

rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 1 2 1 0
2 3 4 3 0
3 1 6 a 0





Zad. dom. 67. Znajd¹, w zale»no±ci od warto±ci b ∈ R, baz¦ i wymiar przestrzeni

lin



(1, 2, 1, 3),

(3, 5, 2, 4),

(1, 3, b, 8)



.

Zad. dom. 68. Znajd¹ czwart¡ wspóªrz¦dn¡ wektora (1, 0, 0, 0) w bazie

(1, 2, 3, 4),

(2, 3, 4, 4),

(0, −1, 1, 2),

(3, 2, −1, −6).

Zad. dom. 69. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ opisan¡ ukªadem równa« o postaci macierzowej





1 3 2 1 0
3 8 7 3 0
1 4 1 1 0





,

za± W podprzestrzeni¡ rozpi¦t¡ przez wektory

(a, 1, 1, −a − 5),

(4, 2, 2, b),

(−6, −3, −3, 21).

Dla jakich warto±ci a, b ∈ R zachodzi V = W ?

Zad. dom. 70. Niech

V = lin



(1, 1, 3, 2),

(4, 5, 2, 5),

(2, 3, −4, 1),

(1, 2, −5, 5)



oraz β = (1, 1, 3, 3). Dla jakich r ∈ R istnieje baza v

1

, v

2

, v

3

, v

4

przestrzeni R

4

taka, »e v

1

, v

2

nale»¡ do V , a przy tym β ma w tej bazie wspóªrz¦dne (0, 1, r, 0)?

Zad. dom. 71. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wymiaru co najmniej n−1. Udowodnij, »e istniej¡

wektory v

1

, v

2

, . . . , v

n

∈ V

, które s¡ zale»ne, ale ka»de n − 1 z nich jest niezale»ne.

Zad. dom. 72.

1. Ile elementów ma przestrze« Z

n
p

?

2. Ile jest baz tej przestrzeni? (przyjmijmy, »e rozró»niamy bazy ró»ni¡ce si¦ kolejno±ci¡ wekto-

rów)

24

Bazy + wspóªrz¦dne 2 (17 XI)

Zadanie 51. Czy istnieje taka baza przestrzeni R

3

, w której wektory

(0, 2, 1),

(1, 1, 2)

maj¡ wspóªrz¦dne odpowiednio 1, 2, −1 oraz 0, 0, 1?

Zad. dom. 73. Rozwa»my nast¦puj¡ce ukªady wektorów w przestrzeni R

3

:

B

1

:

(1, 0, t),

(3, 1, 1),

(1, −1, 2),

B

2

:

(1, 0, 1),

(2, 1, 1),

(1, 1, 3).

1. Dla jakich t ukªad B

1

jest baz¡?

2. Dla ka»dego takiego t znajd¹ wspóªrz¦dne w bazie B

2

wektora, który ma w bazie B

1

wspóª-

rz¦dne 1, −1, 1.

Zad. dom. 74. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





2

1

3 11 0

3

4

2

9

0

1 −1 3 10 0





Dopeªnij baz¦ V do bazy R

4

. (a co to dokªadnie znaczy? Patrz zad. dom. 80)

Zad. dom. 75. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej

 1 −3 1 −1 0

3 −9 4

2

0



Dla jakich r ∈ R wektory

(1, 0, 0, −2),

(−2, 0, 0, r)

mo»na dopeªni¢ do bazy R

4

za pomoc¡ wektorów z V ? Dla ka»dego takiego r podaj przykªad

takiej bazy :).

Zad. dom. 76. Niech

V = lin



(1, 1, 0, 2),

(0, 1, 1, −1),

(0, 0, 2, t − 3),

(1, 0, t, 3)



.

W zale»no±ci od warto±ci t dopeªnij baz¦ V do bazy R

4

.

Zad. dom. 77. Znajd¹ baz¦:

- przestrzeni wielomianów rzeczywistych P stopnia ≤ 5 takich, »e P (3) = 0;

- przestrzeni wielomianów rzeczywistych P stopnia ≤ 150 takich, »e P (

√

2) = 0

.

Denicja. Niech W

1

, W

2

b¦d¡ podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Okre±lamy

W

1

+ W

2

= {v + w : v ∈ W

1

, w ∈ W

2

}.

Jak ªatwo sprawdzi¢, W

1

+ W

2

jest podprzestrzeni¡ V . Korzystaj¡c z ogólnej denicji lin() (dla

by¢ mo»e niesko«czonego ukªadu wektorów), mogliby±my zapisa¢

W

1

+ W

2

= lin(W

1

∪ W

2

).

25

Zad. dom. 78. Niech

V = lin



(1, 2, −3, 0),

(2, 0, 1, −3)



i niech W , Z b¦d¡ odpowiednio przestrzeniami rozwi¡za« ukªadów równa« o postaciach macie-

rzowych

 1 0 1 0 0

0 1 0 1 0



,

 1 1 1 1 0  .

Udowodnij, »e

V + W = Z.

Zad. dom. 79. Niech A, B b¦d¡ sko«czonymi niezale»nymi ukªadami wektorów w prze-

strzeni liniowej V . Udowodnij, »e A i B tworz¡ razem ukªad niezale»ny wtedy i tylko wtedy,

gdy

lin(A) ∩ lin(B) = {0}.

Zad. dom. 80. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡, a W jej podprzestrzeni¡. Niech w

1

, . . . , w

n

oraz w

0

1

, . . . , w

0

n

b¦d¡ dwiema bazami W i niech v

1

, . . . , v

k

b¦d¡ pewnymi wektorami z V .

Wyka», »e

w

1

, . . . , w

n

, v

1

, . . . , v

k

jest baz¡ V

⇔

w

0

1

, . . . , w

0

n

, v

1

, . . . , v

k

jest baz¡ V.

Innymi sªowy, bycie dopeªnieniem bazy W do bazy V nie zale»y od wyboru bazy W .

Zad. dom. (*) 81. (maªy cukierek :) Niech v

1

, . . . , v

n

b¦dzie baz¡ przestrzeni liniowej V nad

ciaªem L. Niech K b¦dzie podciaªem L. Wówczas (jak wiemy z wykªadu) L jest przestrzeniow¡

liniow¡ nad K. Zaªó»my, »e ta przestrze« ma sko«czony wymiar; niech l

1

, . . . , l

k

b¦dzie jej baz¡.

Udowodnij, »e w tej sytuacji V jest przestrzeni¡ nad K, a ukªad {l

j

v

i

}

i≤n, j≤k

, czyli

l

1

v

1

, l

2

v

1

, . . . , l

k

v

1

, l

1

v

2

, l

2

v

2

, . . . , l

k

v

2

, . . . , l

1

v

n

, l

2

v

n

, . . . , l

k

v

n

jest baz¡ V traktowanej jako przestrze« nad K.

Zad. dom. (*) 82.

1. Niech K b¦dzie ciaªem zawieraj¡cym C. Wówczas K jest przestrzeni¡ liniow¡ nad C. Za-

ªó»my, »e jej wymiar jest sko«czony. Udowodnij, »e wówczas K = C.

2. Analogicznie, niech K b¦dzie ciaªem zawieraj¡cym R, b¦d¡cym sko«czenie wymiarow¡ prze-

strzeni¡ liniow¡ nad R. Udowodnij, »e w takim wypadku wymiar K nad R wynosi 1 lub 2.

26

Bazy + wspóªrz¦dne 3 (21 XI)

Zad. dom. 83. Niech

V = lin (1, 3, 2, 5),

(3, 5, 1, 7),

(1, 3, t, 8)

,

za± W b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 1 2 1 0
3 2 6 2 0
2 1 4 s 0





Dla jakich s, t rzeczywistych zachodzi

R

4

= V + W ?

Zad. dom. 84. Niech

W

1

=

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) : x

1

− 2x

4

= 0, x

2

− x

3

= 0

,

W

2

= lin (1, 0, 0, 2),

(2, 1, 1, 1),

(1, t(t − 1), t, 2)

.

1. Dopeªnij baz¦ W

1

do bazy R

4

.

2. W zale»no±ci od warto±ci t oblicz wymiar przestrzeni W

1

+ W

2

.

Zad. dom. 85. Znajd¹ ukªady równa« opisuj¡ce przestrzenie:

V

1

= lin (3, 1, 2, −1),

(4, 2, 1, 5),

(5, 5, 4, 3)

,

V

2

= lin (4, 1, 2, −3),

(2, 3, 1, −9),

(2, −1, 1, 3),

(6, 4, 3, −12)

,

V

3

= lin (5, 1, 9, 0, 2),

(5, 2, −2, 5, −1),

(4, 1, 5, 1, 1)

Zad. dom. 86. Znajd¹ rz¡d nast¦puj¡cych macierzy:







1

−1

1

0

2

−1

0

5

9

−1

8

7







,







1 −1 0

3

2 −3 2

1

1

2

1

3

0

4

0 −2







Zad. dom. 87. Niech A, B b¦d¡ macierzami o wspóªczynnikach w ciele K, maj¡cymi tyle samo

wierszy. Niech

C =

A




B



b¦dzie macierz¡ otrzyman¡ przez dopisanie B z prawej strony do A. Wyka», »e

r(C) ≤ r(A) + r(B).

(gdzie r(A) oznacza rz¡d macierzy A)

Zad. dom. (*) 88. (Waszego pomysªu :)

Niech A b¦dzie macierz¡ o wspóªczynnikach w ciele K, w której jeden wspóªczynnik zale»y od

parametru r ∈ K (a dokªadniej, ma posta¢ A + Br, gdzie A, B s¡ elementami K).

Udowodnij, »e zachodzi jedna z trzech mo»liwo±ci:

27

(a) Wiersze macierzy A s¡ niezale»ne dla ka»dego r;

(b) Wiersze macierzy A s¡ zale»ne dla ka»dego r;

(c) Wiersze macierzy A s¡ zale»ne dla dokªadnie jednej warto±ci r, a niezale»ne dla ka»dej innej

warto±ci.

Podaj przykªady ka»dej z trzech powy»szych sytuacji. Podaj przykªad macierzy zawieraj¡cej dwa

wspóªczynniki zale»¡ce od r (w sensie j. w.), dla której nie zachodzi »adna z mo»liwo±ci (a-c).

Zad. dom. (*) 89. (Waszego pomysªu - nie umiem zrobi¢ :)

Podaj przykªad niesko«czonego ukªadu elementów R niezale»nych nad Q.

28

Rz¡d macierzy itp. (24 XI)

Zadanie 52. Udowodnij, »e je±li dla dowolnych macierzy A, B ∈ M

m×n

(K)

zachodzi

r(A + B) ≤ r(A) + r(B).

Zadanie 53. Znajd¹ baz¦ przestrzeni wielomianów P o wspóªczynnikach rzeczywistych stop-

nia ≤ 100 takich, »e P (2 − 3i) = 0.

Zad. dom. 90. Dla jakich warto±ci u ∈ R podprzestrze«

W = lin



(7, 9, 6, 8),

(11, u, 12, u + 1),

(2, 1, 3, 2),

(3, −4, 9, 2)



mo»na opisa¢ jednym równaniem liniowym jednorodnym?

Zad. dom. 91. Znajd¹ rz¡d macierzy w zale»no±ci od warto±ci s ∈ C:







3 4

2

1

2

2 3

1

4

6

1 2 s

2

− 2s

7

10

4 5

3

−s −2







Zad. dom. 92. Opisz ukªadem równa« podprzestrze«

lin



(1, 1, −2, −5),

(1, 2, −3, −8),

(3, 4, −7, −18)



Zad. dom. 93. Niech

V = lin



(2, 0, −1, −2),

(1, 3, −2, 2),

(3, 3, −3, 0)



i niech W b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej

 2

2

0 −1 0

1 −1 4

2

0



Znajd¹ baz¦ przestrzeni V + W . Opisz t¦ przestrze« ukªadem równa«.

Zad. dom. (*) 94. Niech A = [a

ij

]

b¦dzie macierz¡ rz¦du r > 0. Udowodnij, »e istniej¡

indeksy wierszy i

1

, i

2

, . . . , i

r

oraz kolumn j

1

, j

2

, . . . , j

r

takie, »e poni»sza macierz (rozmiaru r ×r)

ma rz¡d r:








a

i

1

j

1

a

i

1

j

2

. . . a

i

1

j

r

a

i

2

j

1

a

i

2

j

2

a

i

2

j

r

...

... ...

a

i

r

j

1

a

i

r

j

2

. . . a

i

r

j

r








29

Ró»ne (w tym tw. K.-C.) (28 XI)

Zadanie 54. Zbadaj przy pomocy twierdzenia Kroneckera-Capellego ilo±¢ rozwi¡za« ukªadu

równa« o podanej postaci macierzowej w zale»no±ci od warto±ci s, t ∈ R:







3

1

3

2

4

4

7

t

5

s

11

0

2 −2 −1 3







Zadanie 55. Dla jakich s ∈ R wektory

(1, −1, 3, 2),

(0, 3, 1, s)

mo»na dopeªni¢ do bazy R

4

wektorami z przestrzeni

lin



(1, −4, 2, −1),

(1, 2, 3, 1),

(2, 4, 7, 4)



?

30

Powtórka (1 XII)

(niektóre z poni»szych zada« pojawiªy si¦ ju» wcze±niej)

Zadanie 56. Rozwi¡» równanie w liczbach zespolonych:

2z

2

z+4

=

z

z−2i

Zadanie 57. Oblicz

(i−

√

3)

30

(i+1)

20

Zadanie 58.

1. Znajd¹ wszystkie pierwiastki zespolone siódmego stopnia z liczby i.

2. Znajd¹ i naszkicuj zbiór liczb zespolonych

z ∈ C : Re(−i(z − i)

7

) < 0

Zadanie 59. Znajd¹ i naszkicuj zbiory:

A =

n

z ∈ C : Im

1

z−(2+i)

= 1

o

,

B =

n

z ∈ C :

1

|z−1+i|

=

1

|z+1−i|

o

Zadanie 60.

1. Rozwi¡», w zale»no±ci od warto±ci parametrów a, b ∈ R, ukªad równa« o postaci macierzowej





1 −1 3 −2
1

2

0

1

2

0

a

b





2. W którym momencie przerwaª(a)by± rachunki, gdyby w zadaniu trzeba byªo jedynie znale¹¢

ilo±¢ rozwi¡za« ukªadu?

Zadanie 61. Podaj baz¦ przestrzeni rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 3 0 4 0 0
0 0 1 5 0 0
0 0 0 0 1 0





Zadanie 62. Dla jakich t, u wektor (3, 5, t, u) nale»y do

lin



(1, 2, 2, 1),

(1, 1, −1, −1),

(3, 4, 0, 3)



?

Zadanie 63.

1. Uzupeªnij wektory

(−1, 1, 2, 2), (1, 1, 3, 4)

do bazy R

4

, u»ywaj¡c niektórych spo±ród wektorów

(2, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 2), (0, 5, −1, −3), (1, 2, 1, 1).

2. Jak mo»na pro±ciej rozwi¡za¢ zadanie o tre±ci: sposród podanych powy»ej sze±ciu wektorów

wybierz baz¦ R

4

?

31

Sumy i przekroje (5 XII)

Zadanie 64. Niech

V = lin



(1, 2, 2, 5),

(1, 1, −1, −1),

(3, 4, 0, 3)



,

za± W b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 1 3 −1 0
2 3 4

1

0

1 2 1

2

0





.

1. Znajd¹ baz¦ przestrzeni V ∩ W .

2. Gdyby trzeba byªo jedynie poda¢ wymiar V ∩ W , jak mo»na by go ªatwo znale¹¢?

Zadanie 65. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





2 7 −18 −11 0
1 1

1

−2

0

1 2

−3

1

0





.

Podaj przykªad takiej podprzestrzeni W ⊆ R

4

, »e R

4

= V ⊕ W

.

Zad. dom. 95. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej

 0 2

1

−1 0 0

1 0 −1

0

1 0



oraz

W = lin



(2, 1, 1, 1, 0),

(0, 1, 1, 2, 4),

(0, 1, 1, 0, 0)



.

Opisz ukªadem równa« przestrzenie V + W oraz V ∩ W .

Zad. dom. 96. Niech

V

1

= lin



(1, 1, 0, 1),

(1, 0, −2, t),

(1, 2, 2, 1)



,

V

2

= lin



(0, 1, 2, 0),

(1, 0, t, 1)



.

Dla ka»dego t ∈ R znajd¹ wymiar przestrzeni V

1

∩ V

2

oraz Z = V

1

+ V

2

, a tak»e przykªad

przestrzeni W ⊆ R

4

takiej, »e R

4

= W ⊕ Z

.

Zad. dom. 97. Niech

V

t

= lin



(1, 2, 1, 3),

(3, 5, 2, 4),

(1, 3, t, 8)



,

za± W

s

b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 1 2 1 0
2 3 4 3 0
3 1 6 s 0





.

1. Znajd¹ wymiary przestrzeni V

t

, W

s

w zale»no±ci od s, t.

2. Dla jakich s, t zachodzi R

4

= V

t

⊕ W

s

?

3. Dla jakich s, t zachodzi R

4

= V

t

+ W

s

?

32

Zad. dom. 98. Niech

V = lin



(1, 1, −2, −5),

(1, 2, −3, −8),

(3, 4, −7, −18)



,

za± W b¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu równa« o postaci macierzowej





1 2 1 2 0
3 4 1

t

0

4 6 2 s 0





.

Dla jakich warto±ci s, t ∈ R zachodzi R

4

= V ⊕ W

?

Zad. dom. 99. Dla jakich warto±ci t ∈ R zachodzi

R

4

= lin



(1, −1, −1, −1),

(−3, 4, 0, 1),

(−5, 6, 2, 3)



⊕ lin



(1, t, 2, 1),

(2, 2t, t, 2)



?

Zad. dom. 100. Niech F (R, R) oznacza przestrze« funkcji (dowolnych) z R do R. Dla ka»dej

z poni»szych przestrzeni V

i

podaj przykªad podprzestrzeni W

i

⊆ F (R, R) takiej, »e F (R, R) =

V

i

⊕ W

i

:

V

1

=

n

f : R → R : f (0) = 0

o

,

V

2

=

n

f : R → R : f (1) = f (2) = 2f (3)

o

,

V

3

=

n

ax

2

+ bx + c : a, b, c, ∈ R

o

Zad. dom. 101. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K (dowolnego wymiaru).

Niech {W

i

}

i∈I

b¦dzie rodzin¡ podprzestrzeni V , a dla ka»dego i ∈ I niech A

i

b¦dzie pewn¡

baz¡ W

i

.

Wyka», »e suma P

i∈I

W

i

jest sum¡ prost¡ L

i∈I

W

i

wtedy i tylko wtedy, gdy suma S

i∈I

A

i

jest

ukªadem niezale»nym.

Gwiazdka: A je±li K nie jest ciaªem...

Denicja (*). 1. Pier±cieniem (przemiennym, z jedynk¡) nazywamy zbiór z dziaªaniami +, ·

oraz elementami 0, 1, speªniaj¡cymi wszystkie aksjomaty ciaªa oprócz istnienia elementu odwrot-

nego.

2. Moduª nad pier±cieniem R deniujemy tak samo, jak przestrze« liniow¡ nad ciaªem K. To

znaczy: X jest moduªem nad R, je±li dane s¡ dziaªania + : X × X → X, · : R × X → X oraz

element 0 ∈ X, speªniaj¡ce dokªadnie takie aksjomaty, jak dla przestrzeni linowych.

3. Kombinacj¦ liniow¡ elementów moduªu deniujemy tak samo jak w przypadku przestrzeni

liniowych. To pozwala mówi¢ o niezale»no±ci, rozpinaniu, bazach moduªu.

Przykªady. 1. Z jest pier±cieniem. Z

n

jest pier±cieniem dla ka»dego n (niekoniecznie pierw-

szego). Wielomiany o wspóªczynnikach w dowolnym ustalonym ciele (albo nawet pier±cieniu)

tworz¡ pier±cie«.

2. Dla dowolnego pier±cienia R zbiór R

n

= R × . . . × R

z dziaªaniami po wspóªrz¦dnych jest

moduªem nad R (podobnie jak K

n

jest przestrzeni¡ liniow¡ nad dowolnym ciaªem K).

3. Ukªad {(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)}

n
i=1

(jedynka na i-tym miejscu) jest baz¡ Z

n

.

33

Zad. dom. (*) 102.

1. Podaj przykªad maksymalnego ukªadu niezale»nego w Z

n

, który nie jest baz¡.

2. Udowodnij, »e ka»dy podmoduª Z

n

ma baz¦.

3. Podaj przykªad pier±cienia R oraz moduªu X nad R, który nie ma bazy.

4. Podaj przykªad pier±cienia R oraz moduªu X nad R, który ma sko«czone bazy ró»nych

wielko±ci.

34

Sumy i przekroje (8 XII)

Zadanie 66. Znajd¹ baz¦ przekroju przestrzeni

V = lin



(1, 2, −1, −2),

(2, 5, 4, 1),

(1, 3, 5, 3)



,

W = lin



(1, 2, −3, −4),

(1, 3, 1, −1)



nie konstruuj¡c ukªadów równa« opisuj¡cych V i W .

35

Przeksztaªcenia liniowe (12 XII)

Zadanie 67. Udowodnij, »e zªo»enie przeksztaªce« liniowych jest liniowe.

Zadanie 68. Znajd¹ wzór przeksztaªcenia liniowego ϕ : R

2

→ R

3

, zadanego warunkami

ϕ (3, 1)

= (4, 5, −1),

ϕ (7, 2)

= (−3, 0, 5).

Zadanie 69. Znajd¹ i opisz wzorem wszystkie przeksztaªcenia liniowe ϕ : R

3

→ R

2

, speªniaj¡ce

warunki

ϕ (1, 2, 1)

= (5, 0),

ϕ (1, −1, 1)

= (2, 3),

ϕ (1, 2, 0)

= (3, 1),

ϕ (1, −1, 2)

= (4, 2).

Zad. dom. 103. Które z poni»szych przeksztaªce« s¡ liniowe?

ϕ

1

: R

3

→ R

2

,

ϕ

1

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (x

1

+ 3x

2

− 1, 4x

1

+ 2x

2

+ 6),

ϕ

2

: R

3

→ R

2

,

ϕ

2

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (x

1

+ 3x

2

− x

3

, 4|x

1

| + 2|x

2

| + 6|x

3

|),

ϕ

3

: R

3

→ R

2

,

ϕ

3

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (x

2
1

+ 3x

2

− x

3

, 8x

1

x

2

+ 6x

3

),

ϕ

4

: F (R, R) → F (R, R),

ϕ

4

(f ) = 4f (5) − 5f (4),

ϕ

5

: F (R, R) → F (R, R),

ϕ

5

(f ) = |f |,

ϕ

6

: F (R, R) → F (R, R),

ϕ

6

(x) = F,

gdzie F (x) = f(2x),

ϕ

7

: C

1

(R, R) → C

1

(R, R),

ϕ

7

(f ) = f

0

,

ϕ

8

: C(R, R) → C(R, R),

ϕ

8

(f ) = F,

gdzie F (x) =

Z

x

0

f (t) dt,

ϕ

9

: C(R, R) → C(R, R),

ϕ

9

(f ) = F,

gdzie F (x) =

Z

f

(0)

x

f (t) dt

C(R, R) oznacza tu zbiór funkcji ci¡gªych, za± C

1

- ró»niczkowalnych.

Zad. dom. 104. Znajd¹ wzór na przeksztaªcenie liniowe ϕ : R

3

→ R

3

, zadane warunkami

ϕ (1, 0, 1)

= (5, 1, 3),

ϕ (0, 1, 1)

= (2, 3, 4),

ϕ (1, 0, 0)

= (6, 7, 7).

Zad. dom. 105. 1. Znajd¹ wzór na przeksztaªcenie liniowe ϕ : R

3

→ R

2

, zadane warunkami

ϕ (0, 1, 5)

= (−9, 4),

ϕ (0, 0, 1)

= (−2, 1),

ϕ (1, 2, 3)

= (−3, 3).

2. Znajd¹ takie przeksztaªcenie ψ : R

2

→ R

2

, »e

φ ϕ((x

1

, x

2

, x

3

))

= (x

2

, x

3

)

dla (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

36

Zad. dom. 106. Niech V, W b¦d¡ przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciaªem K), za±
f : V → W

przeksztaªceniem liniowym.

1. Udowodnij, »e dla dowolnych podprzestrzeni V

1

, V

2

⊆ V

zachodzi

f (V

1

+ V

2

) = f (V

1

) + f (V

2

).

2. Co trzeba zaªo»y¢ o f, »eby dla dowolnych V

1

, V

2

⊆ V

takich, »e V

1

∩ V

2

= {0}

, zachodziªo

f (V

1

⊕ V

2

) = f (V

1

) ⊕ f (V

2

)?

Zad. dom. 107. Niech

v

1

= (1, 1, 1, 2),

v

2

= (0, 1, 0, 1),

w

1

= (1, 0, 0, 0),

w

2

= (1, 0, 0, 1),

z

1

= (0, 0, 2, 1),

z

2

= (0, 1, 2, t).

1. Podaj wzór przeksztaªcenia liniowego ϕ : R

4

→ R

4

takiego, »e

ϕ(w

1

) = (1, 1, 1, 0),

ϕ(w

2

) = (1, 2, 0, 2),

ker ϕ = lin(v

1

, v

2

).

2. Dla jakich warto±ci t ∈ R istnieje przeksztaªcenie liniowe ϕ : R

4

→ R

4

, speªniaj¡ce warunki:

ϕ lin(v

1

, v

2

)

= lin (1, 1, 1, 1)
,

ϕ lin(z

1

, z

2

)

= lin (2, 2, 0, −1)
,

Im ϕ =

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

: x

1

= x

2

?

Zad. dom. 108. Niech V, W b¦d¡ przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciaªem K), za±
V

0

⊆ V

, W

0

⊆ W

podprzestrzeniami. Oznaczmy przez H

V

0

,W

0

zbiór

{ϕ ∈ L(V, W ) : ∀

v∈V

0

ϕ(v) ∈ W

0

}.

Udowodnij, »e zbiór ten jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej L(V, W ).

(warunek ∀

v∈V

0

ϕ(v) ∈ W

0

mo»na te» zapisa¢ krócej: ϕ(V

0

) ⊆ W

0

)

Zad. dom. (*) 109. W sytuacji z poprzedniego zadania, znajd¹ wymiar przestrzeni H

V

0

,W

0

w zale»no±ci od wymiaru V , W , V

0

, W

0

.

Zad. dom. (*) 110. Niech U, V , W , Z b¦d¡ przestrzeniami liniowymi (wszystkie nad tym sa-

mym K), za± θ : W → Z, η : U → V przeksztaªceniami liniowymi. Rozpatrzmy przeksztaªcenia

θ

∗

: L(V, W ) → L(V, Z),

η

∗

: L(V, W ) → L(U, W )

zadane wzorami

θ

∗

(ϕ) = θ ◦ ϕ,

η

∗

(ϕ) = ϕ ◦ η

dla ka»dego ϕ ∈ L(V, W ) (czyli ϕ : V → W liniowego).

1. Udowodnij, »e θ

∗

, η

∗

s¡ przkesztaªceniami liniowymi.

2. Znajd¹ j¡dra i obrazy przkesztaªce« θ

∗

, η

∗

. To znaczy: przedstaw te j¡dra i obrazy w postaci

H

V

0

, W

0

(patrz zad. 108), przy czym V

0

, W

0

mog¡ zale»e¢ od θ, η (a dokªadniej od j¡der i obrazów

tych dwóch przeksztaªce«).

37

Przeksztaªcenia liniowe (15 XII)

Zadanie 70. Niech ϕ : R

4

→ R

4

b¦dzie symetri¡ wzgl¦dem V

1

wzdªu» V

2

, gdzie

V

1

= lin (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)

,

V

2

= lin (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, −1)

.

Znajd¹ baz¦ podprzestrzeni

ϕ



lin (2, 5, −1, 4), (1, 3, 0, 4)



.

Zadanie 71. Niech przeksztaªcenie liniowe ϕ : R

3

→ R

2

speªnia warunki

ϕ (1, 1, 0)

= (1, 4),

ϕ (0, 1, 1)

= (0, −1),

ϕ (1, 2, 0)

= (2, 4).

Znajd¹ ψ : R

2

→ R

3

takie, »e φ ◦ ψ jest jednokªadno±ci¡ o skali 3.

Zad. dom. 111. Znajd¹ bazy i wymiary j¡dra i obrazu przeksztaªce« liniowych:

ϕ

1

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (2x

1

+ x

2

− 3x

3

, x

1

+ 4x

2

+ 2x

3

),

ϕ

2

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (4x

1

+ 3x

2

+ 5x

3

, x

1

+ 2x

2

+ x

3

, 2x

1

− x

2

+ 3x

3

, 6x

1

+ 7x

2

+ 7x

3

),

ϕ

3

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

= (2x

1

− x

2

− x

3

+ 2x

4

, 2x

1

− x

2

− x

3

+ 2x

4

, 2x

1

+ 2x

2

+ x

3

+ x

4

)

Zad. dom. 112. Niech

V = lin (1, 2, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, −1)

,

W = lin (1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, −1)

.

Czy istniej¡ przeksztaªcenia liniowe ϕ

i

: R

4

→ R

4

takie, »e

ϕ

1

(V ) = W,

ϕ

2

(W ) = V ?

Je±li tak, podaj przykªad.
Zad. dom. 113. Znajd¹ przeksztaªcenie liniowe φ : R

3

→ R

3

takie, »e

ϕ (1, 1, 0)

= (1, 0),

ϕ (0, 1, 1)

= (1, 1),

ϕ (−1, 0, 2)

= (1, −1).

Dla jakich m istnieje ψ : R

2

→ R

3

takie, »e dim ker(ψ ◦ φ) = m?

Zad. dom. 114. Niech

ϕ (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

= (x

1

+ 2x

2

− x

3

+ 3x

4

, 2x

1

+ 5x

2

+ x

3

+ 7x

4

, x

1

+ x

2

− 4x

3

+ 2x

4

).

Opisz j¡dro ϕ. Znajd¹ wymiar podprzestrzeni

Z =

n

ψ ∈ L(R

4

, R

4

) : ϕ ◦ ψ = 0

o

.

Podaj przykªad przeksztaªcenia ψ ∈ Z takiego, »e r(ψ) = 2.
Zad. dom. 115. Dla ka»dego z poni»szych przeksztaªce« ϕ

i

sprawd¹, czy istniej¡ ψ

i

, χ

i

takie,

»e ψ

i

◦ ϕ

i

= id

, ϕ

i

◦ χ

i

= id

:

ϕ

1

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (3x

1

− x

2

+ 2x

3

, −x

1

+ 5x

2

+ 2x

3

),

ϕ

2

(x

1

, x

2

)

= (7x

1

+ x

2

, 2x

1

+ 3x

2

, x

1

− x

2

),

ϕ

3

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (x

1

− 3x

2

+ 2x

3

, −3x

1

+ 9x

2

− 6x

3

)

38

Przeksztaªcenia liniowe (19 XII)

Zad. dom. 116. Niech ϕ, ψ : R

4

→ R

4

b¦d¡ przeksztaªceniami liniowymi rz¦du 3. Jaki mo»e

by¢ rz¡d zªo»enia ϕ ◦ ψ?

Zad. dom. 117. Sprawd¹, czy istnieje (je±li tak, podaj przykªad) przeksztaªcenie liniowe
ϕ : R

4

→ R

3

, speªniaj¡ce warunki:

ker ϕ = {(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) : x

1

− x

2

+ 6x

3

+ 2x

4

= 0},

Im ϕ = lin (2, 3, 1)

,

(a)

ker ϕ = lin (1, 0, 3, 3)

,

Im ϕ = {(x

1

, x

2

, x

3

) : 4x

1

+ 5x

2

− x

3

= 0},

(b)

ker ϕ = lin (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)

,

Im ϕ = lin (1, 1, 1), (1, 1, 0)

,

(c)

Zad. dom. 118. Dla ka»dej z poni»szych macierzy sprawd¹, czy przeksztaªcenie liniowe odpo-

wiadaj¡ce tej macierzy jest mono-/epi-/izomorzmem:





3

−2 1

−1

0

2

4

2

2





,





1 2 4
7 5 9
5 1 1





,





2 6 −6 −3
5 9 −3

0

1 1

1

2





,







2 4 4
3 7 8
1 4 6
2 5 7







Zad. dom. 119. Wiedz¡c, »e przeksztaªcenie liniowe o macierzy





−2 6 −3
−1 3 −1

0

0

1





jest rzutem na pewn¡ podprzestrze« V

1

⊆ R

3

wzdªu» pewnej podprzestrzeni V

2

⊆ R

3

, znajd¹

podprzestrzenie V

1

i V

2

.

(a potem sprawd¹, »e dobrze wyszªo...)

Zad. dom. 120. Czy poni»sze przeksztaªcenia s¡ izomorzmami? Je±li tak, znajd¹ przeksztaª-

cenia odwrotne:

ϕ

1

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (3x

1

+ x

2

, 7x

1

+ x

2

+ 2x

3

, x

1

− x

2

+ 2x

3

),

ϕ

2

(x

1

, x

2

, x

3

)

= (x

1

+ 2x

2

+ 4x

3

, 4x

2

+ 3x

3

, 2x

1

+ x

2

+ 5x

3

)

Zadania na gwiazdk¦

Denicja. 1. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K. Przestrzeni¡ sprz¦»on¡ do V

nazywamy przestrze« V

∗

= L(V, K)

.

2. Dowolnej bazie e

1

, . . . , e

n

przestrzeni V przyporz¡dkowujemy baz¦ sprz¦»on¡ e

∗
1

, . . . , e

∗
n

prze-

strzeni V

∗

, gdzie przeksztaªcenie e

∗
i

: V → K

przyporz¡dkowuje wektorowi v ∈ V jego i-t¡

wspóªrz¦dn¡ w bazie {e

i

}

.

3. Je±li F : V → W jest przeksztaªceniem liniowym, okre±lamy przeksztaªcenie F

∗

: W

∗

→ V

∗

wzorem

F

∗

(ϕ) = ϕ ◦ F

dla φ : V → K.

4. Niech G : V → W b¦dzie przeksztaªceniem liniowym, za± E = {e

i

}

oraz F = {f

j

}

ba-

zami odpowiednio przestrzeni V oraz W . Okre±lamy macierz przeksztaªcenia G w bazach E, F

(ozn. M(G)

F
E

) wzorem

M (G)

F
E

= [a

ij

]

i,j

,

gdzie a

i

j

jest j-t¡ wspóªrz¦dn¡ G(e

i

)

w bazie F .

39

Zad. dom. (*) 121.

1. Udowodnij, »e dla dowolnej bazy E = {e

i

}

przestrzeni V ukªad E

∗

= {e

∗
i

}

jest baz¡ V

∗

.

2. Niech F : V → W b¦dzie liniowe. Udowodnij, »e:

a) F jest monomorzmem ⇔ F

∗

jest epimorzmem;

b) F jest epimorzmem ⇔ F

∗

jest monomorzmem;

c) F jest izomorzmem ⇔ F

∗

jest izomorzmem.

3. Niech G : V → W b¦dzie liniowe i niech E, F b¦d¡ odpowiednio bazami przestrzeni V, W .

Wyka» równo±¢

M (G

∗

)

E

∗

F

∗

= M (G)

F
E

>

.

40

Przeksztaªcenia, macierze (5 I)

Zadanie 72. Niech ϕ b¦dzie przeksztaªceniem liniowym o macierzy A. Niech w, k, r oznaczaj¡

odpowiednio ilo±¢ wierszy, ilo±¢ kolumn oraz rz¡d macierzy A. Znaj¡c w, k, r rozstrzygnij, czy ϕ

jest mono-/epi-/izomorzmem.
Zadanie 73. Niech ϕ : R

2

→ R

3

, ψ : R

3

→ R

2

, χ : R

2

→ R

2

b¦d¡ przeksztaªceniami liniowymi

o macierzach

M (ϕ) =





1 0
2 1
1 1





,

M (ψ) =

 1 1 3

1 0 2



,

M (χ) =

 2 3

2 1



.

Czy istniej¡ A, B takie, »e

A ◦ ϕ = χ,

ψ ◦ B = χ?

Je±li takie A (lub B) istnieje, podaj przykªad.
Zad. dom. 122. Czy istnieje przeksztaªcenie liniowe ϕ, speªniaj¡ce poni»sze warunki?

ϕ lin (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)

= lin (1, 1, 1)
,

ϕ lin (1, 2, 3, 4), (1, 3, 3, 4)

= lin (1, 0, 2), (0, 1, −1)
,

ϕ lin (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)

= lin (1, 0, 0)
,

(a)

ϕ lin (1, 0, 0), (0, 1, 0)

= lin (1, 2, 3), (1, 0, 2)
,

ϕ lin (0, 1, 0), (0, 0, 1)

= lin (1, 1, 1), (2, 0, 1)

(b)

Je±li tak, podaj przykªad.
Zad. dom. 123. Niech ϕ b¦dzie przeksztaªceniem liniowym o macierzy







2 −1 −1 2
2 −1 −1 2
2

2

0

0

1

1

0

0







Znajd¹ wymiar obrazu zªo»enia ϕ ◦ ϕ, nie znajduj¡c wzoru na to zªo»enie.
Zad. dom. 124. Niech ϕ : V → W b¦dzie przeksztaªceniem liniowym.

1. Udowodnij, »e je±li V

0

⊆ V

jest podprzestrzeni¡, to

dim V

0

− dim ker ϕ ≤ dim ϕ(V

0

) ≤ dim V

0

.

2. Niech W

0

⊆ W

b¦dzie przeksztaªceniem. Jak mo»na oszacowa¢ dim ϕ

−1

(W

0

)

w zale»no±ci

od dim W

0

oraz dim ker ϕ?

Zad. dom. 125. Czy w poni»szych przypadkach istnieje A liniowe takie, »e A ◦ ϕ = χ? Je±li

tak, podaj przykªad.

M (ϕ) =





1

1

−1 2
−1 6





,

M (χ) =





1 1
0 1
2 3





,

(a)

M (ϕ) =

 1 1 0

2 1 1



,

M (χ) =

 1 1 1

2 1 2



(b)

41

Zad. dom. 126. Czy w poni»szych przypadkach istnieje B liniowe takie, »e ψ ◦ B = χ? Je±li

tak, podaj przykªad.

M (ψ) =

 1 1 0

2 1 1



,

M (χ) =

 1 1 0 1

0 1 1 3



,

(a)

M (ψ) =





1 1 0
1 0 1
3 1 2





,

M (χ) =





1

1

−1 2
−1 6





(b)

42

Mno»enie macierzy (9 I)

Zadanie 74. Oblicz





1 −1
0

1

2

1





◦



1

2 3

−1 1 0



Zadanie 75. Niech

M (ϕ)

st
st

=







−2 −2 −5

0

1

0

−1 −1 −1

0

1

−1







,

M (ψ)

B
A

=

 0 2 1 1

2 5 0 3



,

gdzie

A :

(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1) ,

B :

(1, −1), (1, 0)}.

Podaj wzór na przeksztaªcenie ψ ◦ ϕ.

Zadanie 76. Niech

M (ψ)

st
st

=





1 1
3 1
2 1





.

Znajd¹ macierz ψ w bazach A, B, gdzie

A :

(3, 5), (1, 2) ,

B :

(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.

Zadanie 77. Niech

M (ϕ)

st
st

=





1 1 0

0

1 2 1 −1
0 1 1 −1





.

Czy istniej¡ takie bazy A

i

, B

i

, »e

M (ϕ)

B

1

A

1

=





0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0





,

M (ϕ)

B

2

A

2

=





1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 2





?

43

Mno»enie macierzy (12 I)

Zadanie 78. Niech

M (ϕ)

B
A

=

 1 0 1

2 1 1



,

gdzie

A :

(1, 2, 1), (1, 1, 1), (3, 2, 2) ,

B :

(1, 1), (2, 1)

Znajd¹ wymiary j¡dra i obrazu zªo»enia ϕ ◦ ψ.

Zadanie 79. Niech

A :

(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)

oraz

A =

 1

2

3

1 −1 1



.

Znajd¹ bazy j¡dra i obrazu przeksztaªce« ϕ, ψ, gdzie

M (ϕ)

A
st

= A,

M (ψ)

st
A

= A.

Zadanie 80. Niech

M (ϕ)

B
A

=





1 2 0
1 3 1
0 1 2





dla pewnych baz A, B. Uzasadnij, »e ϕ jest izomorzmem.

Uogólnij zadanie 72 na przypadek macierzy w dowolnych bazach (a nie tylko w bazach standar-

dowych).

Zadanie 81. Udowodnij, »e je±li macierze A, B tego samego rozmiaru s¡ odwracalne, to AB

jest odwracalna oraz

(AB)

−1

= B

−1

A

−1

.

(Przypominam, »e macierz odwracalna musi by¢ kwadratowa)

Zadanie 82. Znajd¹ macierz przej±cia z bazy B

1

do B

2

, je±li dla pewnych ϕ oraz A zachodzi

M (ϕ)

B

1

A

=





1 2 0
1 3 1
0 1 2





,

M (ϕ)

B

2

A

=





1 1 2
1 2 2
3 4 5





.

Zad. dom. 127. Niech

M (ϕ)

B
st

=

 2 3 1 4

1 2 1 3



,

M (ψ

t

)

st
st

=







2

1

1

2

−1 1

1

t







,

gdzie

B :

(0, 1), (1, −1) .

Dla jakich t zªo»enie ϕ ◦ ψ

t

jest izomorzmem?

44

Zad. dom. 128. Niech

M (ϕ)

st
st

=

 1 −1 2

3

0

1



.

Znajd¹ macierz ϕ w bazach

A :

(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 2, 1) ,

B =

(0, 1), (1, 2) .

Znajd¹ przykªad takich baz C, D, »e

M (ϕ)

D
C

=

 1 0 0

0 1 0



.

Zad. dom. 129. Niech

A =







a a a 3
a a 2 a
a 1 a a
a a a a







,

B =







2 0 0 0
0 1 2 1
0 0 1 0
0 1 2 b







.

Dla jakich warto±ci a, b przeksztaªcenie liniowe ϕ o macierzy A ◦ B (w bazach standardowych)

jest epimorzmem? A monomorzmem?

Zad. dom. 130. Udowodnij, »e je±li macierz A ∈ M

n

(K)

nie jest odwracalna, to istnieje B ∈

M

n

(K)

taka, »e A ◦ B = 0.

Zad. dom. 131. Przedstaw macierz





1

2

3

1 −2 2
1

0

4





jako iloczyn macierzy elementarnych.

45

Macierze odwracalne (16 I)

Zadanie 83. Znajd¹ wzór na przeksztaªcenie ϕ speªniaj¡ce warunki

ϕ (1, 1, 0)

= (1, 1),

ϕ (0, 1, −1)

= (1, 0),

ϕ (0, 2, 1)

= (1, −1)

poprzez wyra»enie tych warunków za pomoc¡ macierzy w odpowiednich bazach i obliczenie

macierzy M(ϕ)

st
st

.

Zadanie 84. Niech ϕ : R

n

→ R

k

oraz ψ : R

k

→ R

n

b¦d¡ liniowe, przy czym ψ ◦ ϕ jest

izomorzmem.

1. Udowodnij, »e je±li n = k, to ϕ, ψ musz¡ by¢ izomorzmami.

2. Czy tak samo b¦dzie w ogólnym przypadku?

Zadanie 85. (by¢ mo»e brzydkie rachunki)

Odwró¢ macierz







1 2 1 3
2 5 3 8
2 6 1 1
2 4 4 7







Zadanie 86. Udowodnij, »e je±li macierz postaci

M =

 A B

0

C



,

gdzie A, B, C ∈ M

n

(K)

, jest odwracalna, to:

- A, C s¡ odwracalne;
- macierz M

−1

ma posta¢

 P Q

0

R



dla pewnych P, Q, R ∈ M

n

(K)

.

Zadanie 87. Niech ϕ : V → V b¦dzie liniowe. Wyka», »e ϕ = ϕ ◦ ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ

jest rzutowaniem na Im ϕ wzdªu» ker ϕ.

Postaram si¦ umie±ci¢ tu jeszcze zadania domowe; tymczasem polecam zadania z poprzednich

¢wicze«, a zwªaszcza szcz¦±liwie odnalezione zadania domowe z 15 XII ;)

46