Niepust

y

zbiór

R

z

dw

oma

dziaªaniami

”+”

i

”·”

nazyw

a

si

pier± ieniem

je±li

sp

eªnione

s¡

nastpuj¡ e

w

arunki:

1.

(R, +)

jest

grup¡

ab

elo

w

¡;

2.

dziaªanie

·

jest

ª¡ zne,

tzn.

∀a, b, c ∈ R (ab)c = a(bc)

;

3.

mno»enie

jest

rozdzielne

wzgldem

do

da

w

ania,

tzn.

• ∀a, b, c ∈ R (a + b)c = ac + bc

;

• ∀a, b, c ∈ R a(b + c) = ab + ac

.

Dziaªania

”+”

i

”·”

nazyw

a

si

o

dp

o

wiednio

do

da

w

aniem

i

mno»eniem

.

Elemen

t

neutraln

y

do

da

w

ania

nazyw

a

si

zerem

pier± ienia

i

ozna za

0

.

Je±li

istnieje

elemen

t

e

∈ R

taki,

»e

ae

= ea = a

dla

k

a»dego

a

∈ R

(nazyw

a

si

go

jedynk

¡

pier± ienia

i

ozna za

1

),

to

pier± ie«

nazyw

a

si

pier± ieniem

z

jedno± i¡

.

O zwi± ie

nie

k

a»dy

pier± ie«

ma

jedynk

.

Jednak

mo»e

si

zdarzy¢,

»e

0 = 1

i

wtedy

R

= {0}

jest

pier± ieniem

zero

wym

.

Mno»enie

w

pier± ieniu

m

usi

b

y¢

ª¡ zne,

ale

nie

m

usi

b

y¢

przemienne.

Je±li

mno»enie

w

pier± ieniu

R

jest

przemienne,

tzn.

je±li

dla

k

a»dy

h

a, b

∈ P ab = ba

,

to

pier± ie«

nazyw

a

si

pier± ieniem

przemienn

ym

.

UW

A

GA.

Istniej¡

inne

deni je

pier± ienia,

np.

pier± ie«

mo»e

ozna za¢

okre±lon

y

p

o

wy»ej

pier± ie«

z

jedno± i¡.

Przykªad

pierwszy

.

Na

jbardziej

naturaln

ym

przykªadem

pier± ienia

jest

pier± ie«

Z

li zb

aªk

o

wi-

t

y

h.

Mo»na

trakto

w

a¢

Z

jak

o

inspira j

do

sform

uªo

w

ania

aksjomató

w

pier± ienia.

Elemen

t

a

pier± ienia

R

z

jedno± i¡

nazyw

a

si

o

dwra aln

ym

,

je±li

istnieje

b

∈ R

,

dla

którego

ab

= 1 = ba

.

Elemen

t

a

∈ R

jest

o

dwra aln

y

,

je±li

w

R

istnieje

o

dwrotno±¢

elemen

tu

a

.

Mo»na

te»

mó

wi¢

o

elemen

ta

h

lew

ostronnie

(pra

w

ostronnie)

o

dwra aln

y

h.

Rozró»nienie

p

omidzy

elemen

tami

lew

ostronnie

i

pra

w

ostronnie

o

dwra aln

ymi

jest

p

otrzebne

w

teorii

pier± ieni

nieprzemienn

y

h.

Šat

w

o

spra

wdzi¢,

»e

zbiór

U

(R)

wszystki

h

elemen

tó

w

o

dwra aln

y

h

pier± ienia

R

t

w

orzy

grup



ze

wzgldu

na

mno»enie

elemen

tó

w.

Nazyw

ana

jest

grup¡

elemen

tó

w

o

dwra aln

y

h

pier± ienia

R

.

Elemen

t

a

∈ R

nazyw

a

si

lew

ostronn

ym

dzielnikiem

zera

,

je±li

istnieje

b

∈ R, b 6= 0

,

taki,

»e

ab

= 0

.

P

o

dobnie,

a

∈ R

jest

pra

w

ostronn

ym

dzielnikiem

zera

,

je±li

istnieje

c

∈ R, c 6= 0

,

taki,

»e

ca

= 0

.

W

k

o« u,

elemen

t

a

∈ R

nazyw

a

si

dzielnikiem

zera

w

R

je±li

a

jest

lew

o-

i

pra

w

ostronn

ym

dzielnikiem

zera.

Przykªady

-

d.

Pier± ie«

li zb

aªk

o

wit

y

h

Z

jest

pier± ieniem

przemienn

ym

z

jedno± i¡.

Elemen-

tami

o

dwra aln

ymi

pier± ienia

s¡

1

i

−1

.

U

(Z) = {±1}

.

Pier± ie«

Z

nie

ma

dzielnik

ó

w

zera;

ilo

zyn

dw

ó

h

li zb

aªk

o

wit

y

h

ró»n

y

h

o

d

0

jest

li zb¡

ró»n¡

o

d

zera.

Zbiór

reszt

Z

n

z

dzielenia

li zb

y

a

przez

n

z

do

da

w

aniem

i

mno»eniem

mo

dulo

n

jest

pier± ieniem

przemienn

ym

z

jedno± i¡.

W

Z

6

za

ho

dzi

2 ·

6

3 = 0

,

zatem

elemen

t

y

2

i

3

s¡

dzielnik

ami

zera.

T

ak»e

4

jest

dzielnikiem

zera

w

Z

6

,

gdy»

4 ·

6

3 = 0

.

1