Agnieszka Płochocka
Izabela Ubowska
Michał Szymczak
RACHUNEK
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Rozwiązania zadań z listy 6
4 stycznia 2007 roku
Zadanie 6.1
9
,
0
%
90
=
=
p
- prawdopodobieństwo przerwania prądu
n
- szukana liczba wyłączników
)
(x
P
- prawdopodobieństwo niezadziałania x wyłączników
)
0
(
P
- prawdopodobieństwo, że żaden wyłącznik nie zadziała
)
0
(
1 P
−
- prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden wyłącznik zadziała
Ponieważ każdy wyłącznik może zadziałać lub nie zadziałać, dlatego stosujemy schemat
Bernoulliego:
n
n
n
n
x
n
x
p
p
p
n
P
p
p
x
n
x
P
)
1
,
0
(
)
9
,
0
1
(
)
1
(
)
1
(
0
)
0
(
)
1
(
)
(
0
0
=
−
=
−
=
−
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
=
−
−
Chcemy, aby prawdopodobieństwo wyłączenia urządzenia było równe lub większe niż
99,99%:
4
)
1
,
0
(
)
1
,
0
(
0001
,
0
)
1
,
0
(
9999
,
0
)
1
,
0
(
1
9999
,
0
)
0
(
1
4
≥
≤
−
≥
−
≥
−
≥
−
n
P
n
n
n
Zadanie 6.2
p = 3% = 0,03 – partia zawiera 3% braków
n = 100 – losujemy 100 sztuk
n
p
λ
⋅
=
- parametr rozkładu Poissona
!
)
(
x
e
x
P
x
λ
λ
−
=
, rozkład Poissona dla
1
,
0
,
50
≤
≥
p
n
224
,
0
6
3
)
3
(
224
,
0
2
3
)
2
(
149
,
0
1
3
)
1
(
049
,
0
1
3
)
0
(
3
3
3
2
3
1
3
0
≈
=
≈
=
≈
=
≈
=
−
−
−
−
e
P
e
P
e
P
e
P
022
,
0
5040
3
)
7
(
050
,
0
720
3
)
6
(
101
,
0
120
3
)
5
(
168
,
0
241
3
)
4
(
3
7
3
6
3
5
3
4
≈
=
≈
=
≈
=
≈
=
−
−
−
−
e
P
e
P
e
P
e
P
000
,
0
39916800
3
)
11
(
001
,
0
3628800
3
)
10
(
003
,
0
362880
3
)
9
(
008
,
0
40320
3
)
8
(
3
11
3
10
3
9
3
8
≈
=
≈
=
≈
=
≈
=
−
−
−
−
e
P
e
P
e
P
e
P
Funkcja prawdopodobieństwa
określona rozkładem Poissona
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Zadanie 6.3
a) p = 95% = 0,95 – prawdopodobieństwo, że pracownik przyjdzie do pracy
q = 100% - p = 5% = 0,05 – pr., że pracownik nie przyjdzie do pracy
n = 56 – ilość pracowników
x
n
x
p
p
x
n
x
P
−
−
⋅
⋅
=
)
1
(
)
(
- prawdopodobieństwo wykonania zadania gdy x
pracowników przyszło do pracy
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wykonania zadania, gdy zatrudnionych
jest 56 pracowników:
)
56
(
)
55
(
)
54
(
)
53
(
)
52
(
)
(
P
P
P
P
P
A
P
+
+
+
+
=
, gdzie
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
0566
,
0
05
,
0
95
,
0
56
56
)
56
(
1667
,
0
05
,
0
95
,
0
55
56
)
55
(
2413
,
0
05
,
0
95
,
0
54
56
)
54
(
2286
,
0
05
,
0
95
,
0
53
56
)
53
(
1594
,
0
05
,
0
95
,
0
52
56
)
52
(
56
56
56
55
56
55
54
56
54
53
56
53
52
56
52
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
−
−
−
−
−
P
P
P
P
P
85,3%
0,8526
≈
=
+
+
+
+
=
0566
,
0
1667
,
0
2413
,
0
2286
,
0
1594
,
0
)
( A
P
I.Statystycznie co
7
80
,
6
147
,
0
1
)
(
1
1
≈
≈
=
−
A
P
dni zdarza się niewykonanie zadania
b) p = 95% = 0,95 – prawdopodobieństwo, że pracownik przyjdzie do pracy
q = 100% - p = 5% = 0,05 – pr., że pracownik nie przyjdzie do pracy
n = 60 – ilość pracowników
x
n
x
p
p
x
n
x
P
−
−
⋅
⋅
=
)
1
(
)
(
- prawdopodobieństwo wykonania zadania gdy x
pracowników przyszło do pracy
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wykonania zadania, gdy zatrudnionych
jest 60 pracowników:
)
60
(
)
59
(
)
58
(
)
57
(
)
56
(
)
55
(
)
54
(
)
53
(
)
52
(
)
(
P
P
P
P
P
P
P
P
P
B
P
+
+
+
+
+
+
+
+
=
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
0461
,
0
05
,
0
95
,
0
60
60
)
60
(
1455
,
0
05
,
0
95
,
0
59
60
)
59
(
2259
,
0
05
,
0
95
,
0
58
60
)
58
(
2298
,
0
05
,
0
95
,
0
57
60
)
57
(
1724
,
0
05
,
0
95
,
0
56
60
)
56
(
1016
,
0
05
,
0
95
,
0
55
60
)
55
(
0490
,
0
05
,
0
95
,
0
54
60
)
54
(
0199
,
0
05
,
0
95
,
0
53
60
)
53
(
0069
,
0
05
,
0
95
,
0
52
60
)
52
(
60
60
60
59
60
59
58
60
58
57
60
57
56
60
56
55
60
55
54
60
54
53
60
53
52
60
52
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
P
P
P
P
P
P
P
P
P
99,7%
0,9971
≈
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
0461
,
0
1455
,
0
2259
,
0
2298
,
0
1724
,
0
1016
,
0
0490
,
0
0199
,
0
0069
,
0
)
(B
P
I.Statystycznie co
333
003
,
0
1
)
(
1
1
≈
=
−
B
P
dni zdarza się niewykonanie zadania
Zadanie 6.4
a) Ponieważ jakaś liczbę elementów losujemy, z całości która zawiera M elementów
jednego typu i N-M elementów drugiego typu, dlatego stosujemy:
Rozkład hipergeometryczny:
−
−
⋅
=
=
n
N
k
n
M
N
k
M
k
K
P
)
(
N = 25 – całkowita liczba wałków
M = 10 – liczba wałków o odchyłce dodatniej
N - M = 15 – liczba wałków o odchyłce ujemnej
n = 3 – liczba wałków do kontroli
0522
,
0
3
25
0
15
3
10
)
3
(
2935
,
0
3
25
1
15
2
10
)
2
(
4565
,
0
3
25
2
15
1
10
)
1
(
1978
,
0
3
25
3
15
0
10
)
0
(
=
⋅
=
=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
=
K
P
K
P
K
P
K
P
b)
)
3
(
1
)
3
(
≤
−
=
>
x
P
x
P
0
1
1
)
3
(
1
0522
,
0
2935
,
0
4565
,
0
1978
,
0
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
3
(
=
−
=
>
=
+
+
+
=
+
+
=
≤
x
P
P
P
P
x
P
Zadanie 6.5
)
(
)!
(
)!
(
)!
(
)!
(
!
!
)
(
)
(
)
1
(
)!
(
)!
1
(
)!
(
)
(
)
(
)!
1
(
)
1
(
!
!
)!
1
(
)!
1
(
)!
(
)!
1
(
)!
1
(
!
)))!
1
(
(
(
))!
1
(
(
)!
(
))!
1
(
(
)!
1
(
!
)
1
(
1
)
1
(
)!
(
)!
(
)!
(
)!
(
!
!
))!
(
(
)!
(
)!
(
)!
(
!
!
)
(
x
P
n
N
x
n
r
N
x
n
r
N
x
r
x
r
n
N
x
n
x
n
x
n
r
N
x
n
r
N
x
n
r
N
x
r
x
r
x
r
x
x
r
n
N
x
n
r
N
x
n
r
N
x
r
x
r
n
N
x
n
r
N
x
n
r
N
x
r
x
r
n
N
x
n
r
N
x
r
x
P
n
N
x
n
r
N
x
n
r
N
x
r
x
r
n
N
x
n
r
N
x
n
r
N
x
r
x
r
n
N
x
n
r
N
x
r
x
P
⋅
+
+
−
−
−
⋅
+
−
=
+
+
−
−
−
⋅
+
−
−
⋅
−
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
−
−
⋅
+
+
−
−
⋅
+
−
−
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
+
⋅
=
+
+
−
−
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
+
=
+
−
−
−
⋅
+
−
−
⋅
+
−
⋅
+
=
+
−
−
+
=
+
+
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
=
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
=
−
−
=
1)
x
n
r
(N
x)
(n
1)
(x
x)
(r
1)
x
n
r
(N
x)
(n
1)
(x
x)
(r
Zadanie 6.6
a) zależność rekurencyjna
)
(
)
1
(
!
)
1
(
)
1
(
!
)!
1
(
1)
P(x
0
i
N
k
gdzie
,
!
)
(
1
0
x
P
x
x
e
x
x
x
e
x
e
x
e
x
P
x
x
x
x
⋅
+
=
⋅
+
=
+
⋅
⋅
⋅
=
+
=
+
>
∈
=
−
−
−
+
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
b)
1
1
1
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
−
<
+
>
>
+
>
⋅
+
>
+
λ
λ
λ
λ
x
x
x
x
P
x
P
x
x
P
x
P
c)
1
1
1
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
−
>
+
<
<
+
<
⋅
+
<
+
λ
λ
λ
λ
x
x
x
x
P
x
P
x
x
P
x
P
d) funkcja charakterystyczna
(wykorzystanie rozwinięcia funkcji
x
e
w szereg Maclaurina)
)
exp(
!
!
)
(
!
)
(
0
0
0
it
e
n
n
x
x
x
it
x
x
itx
itx
e
e
e
e
n
x
e
e
x
e
e
x
e
Ee
t
it
λ
λ
λ
ϕ
λ
λ
λ
λ
λ
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−
−
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
∑
∑
∑
e) wartość oczekiwana
k
k
k
i
EX
)
0
(
)
(
ϕ
=
, dla k = 1:
[
]
λ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
λ
=
=
=
=
−
i
i
i
e
e
e
t
i
EX
it
)
(
'
)
0
(
'
f) wariancja
2
1
2
2
2
m
m
X
D
−
=
=
µ
(
)
[
]
[
]
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
+
=
+
=
+
+
=
=
=
=
=
=
=
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
(
2
)
2
(
2
2
1
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
'
i
i
i
i
i
i
e
i
e
i
e
i
e
e
ie
e
e
i
e
t
i
EX
m
i
EX
m
it
e
it
it
e
it
it
λ
λ
λ
λ
µ
=
−
+
=
=
2
2
2
2
X
D
g) odchylenie standardowe
λ
µ
σ
=
=
=
2
2
X
D
h) współczynnik zmienności
λ
λ
µ
σ
γ
=
=
=
1
2
m
EX
i) współczynnik asymetrii
3
1
2
1
3
3
2
3
m
m
m
m
+
−
=
µ
[
]
[
]
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
λ
+
+
=
+
+
+
+
=
=
=
=
−
2
3
3
2
3
3
2
2
2
)
3
(
3
)
3
(
3
3
3
3
1
3
)
(
)
0
(
i
i
e
e
i
e
e
i
e
t
i
EX
m
it
it
it
e
it
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
=
+
+
−
+
+
=
3
2
2
3
3
2
3
3
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
µ
γ
=
⋅
=
=
=
3
3
2
3
1
j) współczynnik spłaszczenia
(
)
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
λ
λ
λ
+
=
−
+
+
+
+
−
+
+
+
=
−
+
−
=
+
+
+
=
2
4
2
2
2
3
2
3
4
4
1
2
2
1
3
1
4
2
3
4
4
3
3
6
3
4
7
6
3
6
4
4
7
6
m
m
m
m
m
m
m
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
µ
γ
1
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
4
2
=
−
+
=
−
+
=
−
=
Zadanie 6.7
025
,
0
)
(
58
,
0
<
=
x
P
p
Rozkład geometryczny:
1
)
1
(
)
(
−
−
⋅
=
x
p
p
x
P
(
)
5
6244
,
4
1
6244
,
3
1
8675
,
0
1442
,
3
1
8675
,
0
)
5447
,
0
(
6889
,
3
1
)
58
,
0
1
ln(
)
58
,
0
ln(
)
025
,
0
ln(
1
)
1
ln(
)
ln(
)
025
,
0
ln(
)
ln(
)
025
,
0
ln(
)
1
ln(
)
1
(
025
,
0
ln
)
1
(
ln
025
,
0
)
1
(
025
,
0
)
1
(
1
1
1
=
>
+
>
+
−
−
>
+
−
−
−
−
>
+
−
−
>
+
−
−
>
−
<
−
⋅
−
<
−
<
−
<
−
⋅
−
−
−
x
x
x
x
x
x
p
p
x
p
p
x
p
p
p
p
p
p
x
x
x