Lista zadań fizyka 9 rozwiązania, EiT, Elektryczność


0x01 graphic

Rozwiązanie:

a) v(t) = x'(t) = A0[-βe-βtsin(ωt + π/4) + ωe-βtcos(ωt + π/4)], czyli :

v(t) = A0e-βt[ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4)]. Zatem:

v0 = v(0) = A0[ωcos(π/4) - βsin(π/4)]. A stąd, biorąc pod uwagę, że 0x01 graphic
, mamy: 0x01 graphic

b) W położeniach skrajnych prędkość v(t) staje się równa zeru, czyli: v(t) = 0.

Stąd mamy równanie:

A0e-βt[ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4)] = 0, co sprowadza się do:

ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4) = 0.

Przekształcając, otrzymujemy:

tg(ωt + π/4) = ω/β, czyli: ωt + π/4 = arctg(ω/β).

Ostatecznie: 0x01 graphic

.

0x01 graphic

Rozwiązanie:

Amplituda drgania wymuszonego A zadana jest wzorem:

0x01 graphic
,

gdzie: F0 - amplituda siły wymuszającej;

m - masa ciała drgającego;

ω0 - częstość drgań własnych ciała;

Ω - częstość drgań wymuszonych;

β - współczynnik tłumienia.

W zadaniu mamy jednakowe amplitudy drgań wymuszonych przy częstościach: Ω = ω1 oraz Ω = ω2. Obliczając zatem ze wzoru powyżej odpowiednio amplitudy A1 i A2 dla poszczególnych częstości i zgodnie z zadaniem przyrównując obie te amplitudy, a następnie wykonując niezbędne uproszczenia, otrzymujemy równanie:

(ω02 - ω12)2 + 4β2ω12 = (ω02 - ω22)2 + 4β2ω22.

Przekształcamy:

(ω02 - ω12)2 -02 - ω22)2 = 4β2(ω22 - ω12)

(ω02 - ω12 - ω02 + ω22)(ω02 - ω12 + ω02 - ω22) = 2(ω22 - ω12)

(ω22 - ω12)[2ω02 - (ω12 + ω22)] = 2(ω22 - ω12)

2ω02 - (ω12 + ω22) = 4β2

Dzieląc równanie przez 2 i porządkując, otrzymujemy:

ω02 - 2β2 = (ω12 + ω22)/2.

Wzór na częstość rezonansową ωr drgania wymuszonego ma postać:

0x01 graphic

Porównując dwa ostatnie wzory, otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązanie:

Z przedstawionego równania drgania wymuszonego mamy:

A = 5 cm, Ω = 2π oraz Φ = -0,75π,

gdzie: A - amplituda drgań wymuszonych;

Ω - częstość drgań wymuszonych

Φ - początkowa faza drgań wymuszonych.

a) Równanie drgań tłumionych (swobodnych) ma postać:

x = A0e-βtsin(ωt + φ0),

gdzie: A0 - maksymalna amplituda drgań;

β - współczynnik tłumienia;

ω - częstość drgań tłumionych;

φ0 - faza początkowa drgania tłumionego.

Z danych zadania wynika, że: A0 = 7 cm; β = 0,5π s-1; φ0 = 0.

Do wyliczenia pozostaje częstość drgań tłumionych ω.

Wzór na częstość ω ma postać:

0x01 graphic

Aby ją wyliczyć potrzebna jest częstość drgań własnych ω0, którą można wyznaczyć ze wzoru na początkową fazę drgań wymuszonych Φ:

tg Φ = - 2βΩ/(ω02 - Ω2), gdzie wszystkie pozostałe parametry we wzorze są już znane.

b) Wzór na zewnętrzną siłę wymuszającą F ma postać:

F = F0cosΩt

Potrzebną wartość amplitudy siły wymuszającej F0 wyliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

(W zadaniu brakuje wartości masy m drgającego ciała.)

0x01 graphic

Rozwiązanie:

Okres drgań własnych T0 wahadła matematycznego dany jest wzorem: 0x01 graphic

Stąd częstość drgań własnych ω0: 0x01 graphic

Energia całkowita drgania E(t) dana jest wzorem:

E(t) = ½kA2(t),

gdzie A(t) - amplituda drgania, która w przypadku drgania tłumionego ma postać:

A(t) = A0exp(-βt)

(A0 - amplituda maksymalna/początkowa).

Stąd:

E(t) = ½kA02exp(-2βt).

W zadaniu mamy, że E(t)/E(t+τ) = n. Stąd:

0x01 graphic
, czyli: 0x01 graphic
.

Okres drgań tłumionych T ma postać: T = 2π/ω, gdzie: 0x01 graphic
.

Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ zadany jest wzorem: Λ = βT.

Podstawiając wyliczone wyżej wartości, otrzymujemy:

0x01 graphic
.

0x01 graphic

Rozwiązanie:

a) Amplituda drgania tłumionego w chwili τ zadana jest wzorem: A(τ) = A0eτ ,

zaś po czasie t od tamtej chwili - ma postać: A(τ+t) = A0e(τ+t).

Zgodnie z warunkami zadania mamy: A(τ)/A(τ+t) = 100, czyli eβt = 100, stąd: 0x01 graphic

b) Częstość drgań tłumionych ω dana jest wzorem: 0x01 graphic
.

Aby ruch był aperiodyczny musi być: ω02 - β2 < 0, co daje: β2 > ω02 czyli: β > ω0.

Częstość drgań własnych ω0 wyliczamy ze wzoru:

0x01 graphic
, ale ponieważ współczynnik sprężystości k = F/l = mg/l, więc: 0x01 graphic
.

Zatem:

β > ω0, gdzie 0x01 graphic
.

c) Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ zadany jest wzorem: Λ = βT. Stąd β2 = Λ2/T2.

Uwzględniając, że okres drgań tłumionych T dany jest wzorem: T = 2π/ω, gdzie: 0x01 graphic
, otrzymujemy:

β2 = Λ2ω2/(2π)2 = Λ2(ω02 - β2)/(4π2). Stąd: 4π2β2 = Λ2ω02 - Λ2β2, czyli

0x01 graphic
.

Po uwzględnieniu, że 0x01 graphic
, mamy: 0x01 graphic
, czyli:

0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka lista zadan 1 id 176924 Nieznany
IV lista zadan z Fizyki Transport, 1 Studia PWR (Transport 1 Rok 1 Semestr), Fizyka PWR dr.Henryk Ka
Fizyka I Lista zadań numer 2
Fizyka I Lista zadan numer 8 id 176727
Fizyka I Lista zadań numer 7
V lista zadan z Fizyki Transport, 1 Studia PWR (Transport 1 Rok 1 Semestr), Fizyka PWR dr.Henryk Kas
Fizyka I Lista zadań numer 1
Fizyka I Lista zadań numer 4
Fizyka lista zadań 1, Mechanika i Budowa Maszyn PWR MiBM, Semestr I, Fizyka
III lista zadan z Fizyki Transport, 1 Studia PWR (Transport 1 Rok 1 Semestr), Fizyka PWR dr.Henryk K
Układy blokowe, EiT, Elektryczność, Fizyka i Elektryczność
fizyka rozwiązania list zadań
Fizyka I Lista zadań numer 5
VI lista zadan z Fizyki Transport, 1 Studia PWR (Transport 1 Rok 1 Semestr), Fizyka PWR dr.Henryk Ka
Fizyka I Lista zadan numer 9 id 176728
II lista zadan z Fizyki Transport, 1 Studia PWR (Transport 1 Rok 1 Semestr), Fizyka PWR dr.Henryk Ka
Fizyka lista zadan 1 id 176924 Nieznany
IV lista zadan z Fizyki Transport, 1 Studia PWR (Transport 1 Rok 1 Semestr), Fizyka PWR dr.Henryk Ka

więcej podobnych podstron