Rozwiązanie:
a) v(t) = x'(t) = A0[-βe-βtsin(ωt + π/4) + ωe-βtcos(ωt + π/4)], czyli :
v(t) = A0e-βt[ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4)]. Zatem:
v0 = v(0) = A0[ωcos(π/4) - βsin(π/4)]. A stąd, biorąc pod uwagę, że
, mamy:
b) W położeniach skrajnych prędkość v(t) staje się równa zeru, czyli: v(t) = 0.
Stąd mamy równanie:
A0e-βt[ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4)] = 0, co sprowadza się do:
ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4) = 0.
Przekształcając, otrzymujemy:
tg(ωt + π/4) = ω/β, czyli: ωt + π/4 = arctg(ω/β).
Ostatecznie:
.
Rozwiązanie:
Amplituda drgania wymuszonego A zadana jest wzorem:
,
gdzie: F0 - amplituda siły wymuszającej;
m - masa ciała drgającego;
ω0 - częstość drgań własnych ciała;
Ω - częstość drgań wymuszonych;
β - współczynnik tłumienia.
W zadaniu mamy jednakowe amplitudy drgań wymuszonych przy częstościach: Ω = ω1 oraz Ω = ω2. Obliczając zatem ze wzoru powyżej odpowiednio amplitudy A1 i A2 dla poszczególnych częstości i zgodnie z zadaniem przyrównując obie te amplitudy, a następnie wykonując niezbędne uproszczenia, otrzymujemy równanie:
(ω02 - ω12)2 + 4β2ω12 = (ω02 - ω22)2 + 4β2ω22.
Przekształcamy:
(ω02 - ω12)2 - (ω02 - ω22)2 = 4β2(ω22 - ω12)
(ω02 - ω12 - ω02 + ω22)(ω02 - ω12 + ω02 - ω22) = 4β2(ω22 - ω12)
(ω22 - ω12)[2ω02 - (ω12 + ω22)] = 4β2(ω22 - ω12)
2ω02 - (ω12 + ω22) = 4β2
Dzieląc równanie przez 2 i porządkując, otrzymujemy:
ω02 - 2β2 = (ω12 + ω22)/2.
Wzór na częstość rezonansową ωr drgania wymuszonego ma postać:
Porównując dwa ostatnie wzory, otrzymujemy:
Rozwiązanie:
Z przedstawionego równania drgania wymuszonego mamy:
A = 5 cm, Ω = 2π oraz Φ = -0,75π,
gdzie: A - amplituda drgań wymuszonych;
Ω - częstość drgań wymuszonych
Φ - początkowa faza drgań wymuszonych.
a) Równanie drgań tłumionych (swobodnych) ma postać:
x = A0e-βtsin(ωt + φ0),
gdzie: A0 - maksymalna amplituda drgań;
β - współczynnik tłumienia;
ω - częstość drgań tłumionych;
φ0 - faza początkowa drgania tłumionego.
Z danych zadania wynika, że: A0 = 7 cm; β = 0,5π s-1; φ0 = 0.
Do wyliczenia pozostaje częstość drgań tłumionych ω.
Wzór na częstość ω ma postać:
Aby ją wyliczyć potrzebna jest częstość drgań własnych ω0, którą można wyznaczyć ze wzoru na początkową fazę drgań wymuszonych Φ:
tg Φ = - 2βΩ/(ω02 - Ω2), gdzie wszystkie pozostałe parametry we wzorze są już znane.
b) Wzór na zewnętrzną siłę wymuszającą F ma postać:
F = F0cosΩt
Potrzebną wartość amplitudy siły wymuszającej F0 wyliczamy ze wzoru:
(W zadaniu brakuje wartości masy m drgającego ciała.)
Rozwiązanie:
Okres drgań własnych T0 wahadła matematycznego dany jest wzorem:
Stąd częstość drgań własnych ω0:
Energia całkowita drgania E(t) dana jest wzorem:
E(t) = ½kA2(t),
gdzie A(t) - amplituda drgania, która w przypadku drgania tłumionego ma postać:
A(t) = A0exp(-βt)
(A0 - amplituda maksymalna/początkowa).
Stąd:
E(t) = ½kA02exp(-2βt).
W zadaniu mamy, że E(t)/E(t+τ) = n. Stąd:
, czyli:
.
Okres drgań tłumionych T ma postać: T = 2π/ω, gdzie:
.
Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ zadany jest wzorem: Λ = βT.
Podstawiając wyliczone wyżej wartości, otrzymujemy:
.
Rozwiązanie:
a) Amplituda drgania tłumionego w chwili τ zadana jest wzorem: A(τ) = A0e-βτ ,
zaś po czasie t od tamtej chwili - ma postać: A(τ+t) = A0e-β(τ+t).
Zgodnie z warunkami zadania mamy: A(τ)/A(τ+t) = 100, czyli eβt = 100, stąd:
b) Częstość drgań tłumionych ω dana jest wzorem:
.
Aby ruch był aperiodyczny musi być: ω02 - β2 < 0, co daje: β2 > ω02 czyli: β > ω0.
Częstość drgań własnych ω0 wyliczamy ze wzoru:
, ale ponieważ współczynnik sprężystości k = F/l = mg/l, więc:
.
Zatem:
β > ω0, gdzie
.
c) Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ zadany jest wzorem: Λ = βT. Stąd β2 = Λ2/T2.
Uwzględniając, że okres drgań tłumionych T dany jest wzorem: T = 2π/ω, gdzie:
, otrzymujemy:
β2 = Λ2ω2/(2π)2 = Λ2(ω02 - β2)/(4π2). Stąd: 4π2β2 = Λ2ω02 - Λ2β2, czyli
.
Po uwzględnieniu, że
, mamy:
, czyli:
.