Fizyka I Lista zadan numer 9 id 176728

VI. Grawitacja

209. Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało pionowo do góry z prędkością v

. Na jaką wysokość

wzniesie się to ciało? Jaką powinno mieć najmniejszą prędkość początkową, aby nie spadło nigdy
na Ziemię?

Rozwiązanie:

210. Planeta porusza się po elipsie wokół nieruchomego Słońca. Największa odległość planety od
Słońca wynosi R

a najmniejsza R

. Jaki jest potencjał pola grawitacyjnego Słońca w punktach R

i R

Ile wynosi moment pędu planety? Wykonaj rysunek. Masę planety, masę Słońca i stałą grawitacji
przyjąć za dane.

Rozwiązanie:

211. Planeta obiega wokół Słońca po elipsie, której jedno z ognisk pokrywa się z położeniem Słońca.
Dowieść, że moment pędu planety względem Słońca jest wielkością stałą.

Rozwiązanie:

212. Największa odległość komety Halleya od Słońca to h = 35,4 R



odległość pomiędzy

Ziemią

i Słońcem

), a najmniejsza l = 0,59 R

. Prędkość liniowa ruchu komety w punkcie najbardziej

odległym od Słońca (punkcie odsłonecznym) wynosi 910 m/s. Ile wynosi prędkość komety, gdy jest
najbliżej Słońca (w punkcie przysłonecznym)? Wyznaczyć energię mechaniczną komety.

Rozwiązanie:

213. Wiedząc, że masa Księżyca jest około 81 razy mniejszy od masy Ziemi oraz, że odległość Ziemi

od Księżyca d = 384 000 km, znaleźć punkt P na linii łączącej środki obu ciał niebieskich, w którym
równoważy się siła przyciągania grawitacyjnego Księżyca i Ziemi. Jaki jest potencjał ziemskiego pola
grawitacyjnego w tych punktach?

Rozwiązanie:

214. Cztery punktowe identyczne masy M umieszczono w narożach kwadratu o boku a. Wyznaczyć:

a) wektor natężenie i potencjał pola grawitacyjnego w środku kwadratu oraz w środku jednego
z boków, c) energię potencjalną układu. Jaką pracę wykonają siły zewnętrzne, gdy ciała te
przeniesiemy do nieskończoności?

Rozwiązanie:

215. Znaleźć prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity

są kołowe. Przyjąć, że masa Ziemi





, odległość między Ziemią a Księżycem





, stała grawitacji

/kg







, odległość Ziemi od Słońca 150 mld

metrów, masa Słońca 2·10

kg. Ile wynosi energia mechaniczna Ziemi na orbicie okołosłonecznej?

Rozwiązanie:

216. Satelita o masie 50 kg krąży wokół planety. Czas obiegu satelity wokół orbity wynosi 6 h.

Planeta przyciąga satelitę siłą 80 N. Ile wynosi promień orbity a ile masa planety?

Rozwiązanie:

217. Satelita krąży wokół Ziemi na wysokości



, gdzie R



promień Ziemi. Znajdź prędkość

satelity na orbicie mając dane

6370



oraz g = 10 m/s

Rozwiązanie:

218. Sztuczny satelita krąży ze stałą prędkością kątową dookoła Ziemi po orbicie kołowej

o promieniu r. Obliczyć okres obiegu satelity. Obliczenia numeryczne wykonać dla

7938



promień Ziemi

6370



, przyjąć g = 10 m/s

Rozwiązanie:

219. Wyznaczyć odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego



tj. poruszającego się w płaszczyźnie równikowej naszej planety



satelity. Przyjąć stałą grawitacji

/kg







, promień Ziemi R = 6370 km, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s

Rozwiązanie:

220. Znaleźć masę Ziemi, jeżeli wiadomo, że sztuczny satelita obiega Ziemię na wysokości

1000



w czasie

min

106



. Promień Ziemi R = 6370 km, stała grawitacji

/kg







Rozwiązanie:

221. Z jaką prędkością v należy wyrzucić ciało pionowo w górę (przyspieszenie ziemskie wynosi

g = 10 m/s

), aby wzniosło się na wysokość



(promień Ziemi

6370



Rozwiązanie:

222. Gwiazda neutronowa ma masę Słońca (2·10

kg) i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie pola

grawitacyjnego na powierzchni tej gwiazdy, b) ile czasu zajmuje spadek swobodny z wysokości 1 m?

Rozwiązanie:

223. Wyobraź sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce skurczy się do białego karła

o średnicy kuli ziemskiej. Przyjmując niezmienniczość masy Słońca obliczyć jego okres obrotu wokół
własnej osi. Obecny okres obrotu Słońca wynosi 27 dób.

Rozwiązanie:

224. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi 27 dób. Po czasie potrzebnym na spalenie paliwa

jądrowego (5·10

lat) Słońce zacznie początkowo pęcznieć (promień Słońca osiągnie wówczas

wartość równą promieniowi orbity ziemskiej 1,5·10

m), następnie zacznie kurczyć się pod wpływem

grawitacji (zjawisko kolapsu grawitacyjnego). Oszacować promień Słońca, przy którym zacznie się
ono rozpadać. Masa Słońca 2·10

kg, jego obecny promień 7·10

m. Ile wynosić będzie okres obrotu

Słońca, gdy jego promień osiągnie wartość 1,5·10

Rozwiązanie:

225. Soho



stacja kosmiczna obserwująca non-stop Słońce; bardzo ciekawe dane na webstronie Solar

and Heliosferic Observatory Homepage pod adresem http://sohowww.nascom.nasa.gov/



umieszczona jest w punkcie, gdzie równoważą się siły grawitacji Słońca i Ziemi. W jakiej odległości

od Ziemi znajduje się Soho?

Rozwiązanie:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,

Autorka rozwiązań dr K. Żukowska

VI. Grawitacja

RZad209

Korzystamy z zasady zachowania energii. Energia kinetyczna nadana ciału na powierzchni Ziemi
przekształci się w energię potencjalną na wysokości h. Zakładając, że wysokość h<<R

– promień

Ziemi) energię potencjalną na wysokości h można zapisać wzorem : E

=mgh + E

, gdzie E

– energia

potencjalna na powierzchni Ziemi a m masa ciała.

W polu grawitacyjnym, które jest polem zachowawczym energia mechaniczna jest zachowana więc ta
na powierzchni Ziemi musi być równa tej na wysokości h. Zapisując wzorem zasadę zachowania
energii otrzymamy

mgh







skąd

mgh



i ostatecznie



Żeby ciało nie spadło nigdy na Ziemię jego całkowita energia mechaniczna powinna zmaleć do zera.
We wzorze na energię całkowitą na powierzchni Ziemi użyjemy dokładnego wzoru na energię
potencjalną w postaci





Zasada zachowania energii porównująca energię mechaniczną na powierzchni Ziemi i w
nieskończoności (gdzie całkowita energia mechaniczna jest równa zero) ma postać

min





Stąd wynika, że

min



Korzystając z równości ciężaru na powierzchni Ziemi z siłą grawitacyjnego przyciągania tej masy
przez Ziemię



możemy iloczyn GM

zastąpić iloczynem gR

Minimalna wartość prędkości nadanej ciału na powierzchni Ziemi aby nie spadło nigdy na Ziemię

wynosi

min



. Jest to tzw. druga prędkość kosmiczna.

RZad210

Planeta porusza się w polu centralnym, w którego centrum znajduje się Słońce. Torem planety jest
elipsa, Słońce leży w jednym z ognisk elipsy.

Potencjał pola grawitacyjnego Słońca w punktach najbardziej odległym (odsłonecznym) i najbliższym
Słońcu (przysłonecznym) wyznaczymy ze wzorów definicyjnych













gdzie M

– masa Słońca

Moment pędu zdefiniowany jest wzorem







i w polu sił centralnych jest stały. W punktach

przysłonecznym i odsłonecznym wektor prędkości planety jest prostopadły do wektorów R

i R

więc

wartość momentu pędu w odległościach R

i R

spełnia równość

= m

(1)

gdzie m

– masa planety

Nieznane są prędkości planety w odległościach R

i R

wobec tego należy skorzystać z innej

właściwości pola centralnego mianowicie, że w tym polu zachowana jest energia mechaniczna.

Zapiszmy zasadę zachowania energii w punktach przysłonecznym i odsłonecznym







(2)

Z równości (1) wyznaczamy np. v

i wstawiamy ją do równania (2)





















skąd









Podstawiając tę prędkość do wzoru (1) otrzymamy





RZad211

Moment siły przyciągania grawitacyjnego planety przez Słońce względem centrum pola, które stanowi
jedno z ognisk elipsy, w którym znajduje się Słońce jest równy zero. Wynika to z postaci siły
grawitacyjnej, której wektor jest równoległy do wektora położenia planety względem centrum pola.





































Moment siły i moment pędu związane są relacją





Skoro moment siły jest równy zero to moment pędu musi być stały





const





RZad212

Kometa Halleya obiega Słońce po orbicie eliptycznej. Pole grawitacyjne Słońca jest polem
centralnym, w którym obowiązuje zasada stałości momentu pędu.

Wektor momentu pędu







w punktach przysłonecznym i odsłonecznym zgodnie z

oznaczeniami w zadaniu spełnia równość

=lm

przy

skąd v

przy

=hv

Podstawiając dane liczbowe v

przy

=35,4R

910m/s/0,59R

=54600 m/s=54,6 km/s

Energię mechaniczną komety można wyznaczyć (np. podstawiając dane w punkcie odsłonecznym) ze
wzoru





















RZad213

Jeżeli ciało o masie m znajdzie się na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca może napotkać miejsce,
w którym siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi i Księżyca działające na to ciało zrównoważą się,
czyli będą miały te same wartości a przeciwne zwroty. Sprawdźmy, gdzie na tej prostej znajduje się to
miejsce. Początek układu współrzędnych umieśćmy w środku Ziemi.

Porównajmy wartości sił grawitacji Ziemi i Księżyca działające na ciało o masie m





GmM





dalej przekształcając i podstawiając











(1)

Na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca przeciwne zwroty sił grawitacji pochodzących od Ziemi i
Księżyca są możliwe tylko dla x>0 i jednocześnie x<d. Dlatego można pierwiastkować równanie (1)
otrzymując









skąd





Podstawiając n=81 i d=384000km otrzymujemy x=0,9d=345600km

Potencjał grawitacyjny w tym punkcie jest sumą potencjałów grawitacyjnych Ziemi i Księżyca

RZad214

a) W środku kwadratu, w którego narożach umieszczono jednakowe masy M sumują się wektory
natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od tych mas. Ze względu na to, że odległości tych mas
od środka kwadratu są jednakowe, wektory natężenia pola grawitacyjnego mają tę samą wartość





Wektory natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od mas leżących na końcu przekątnych
kwadratu w środku kwadratu mają te same wartości ale przeciwne zwroty wobec tego suma tych
wektorów równa się zero.













384































b)Potencjał pola grawitacyjnego w środku kwadratu jest sumą potencjałów pól pochodzących od mas
umieszczonych w narożach







x- odległość mas od środka kwadratu o boku a,



Potencjał pola grawitacyjnego w środku kwadratu wynosi











c)Obliczając natężenie pola grawitacyjnego w środku jednego z boków kwadratu zauważamy, że
wektory natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od mas umieszczonych na końcach tego boku
mają te same wartości ale przeciwne zwroty więc ich suma jest równa zero. Pozostaje dodać wektory
natężenia pola pochodzące od dwu pozostałych mas (patrz rysunek)























gdzie d – odległość środka boku kwadratu od mas 1 i 4.

Z rysunku wynika, że





cos





;





cos

;



















Ostatecznie







d) Potencjał grawitacyjny w tym samym miejscu jest sumą potencjałów pola pochodzącego od
wszystkich mas. Potencjały pochodzące od mas umieszczonych w narożach 2 i 3 są równe sobie i
mają wartość







taka sama zależność jest między potencjałami w narożach 1 i 4







Sumaryczny potencjał w środku boku kwadratu wynosi



























e) Grawitacyjna energia potencjalna układu dwu mas wyraża się wzorem





r- odległość między masami

Jeżeli układ składa się z większej liczby mas, grawitacyjną energię potencjalną układu tych mas
obliczamy w następujący sposób: obliczamy energię potencjalną każdej pary mas, tak jakby innych
składników układu mas nie było i otrzymane wyniki dodajemy. Np. dla układu czterech mas
umieszczonych w narożach kwadratu energia potencjalna wynosi



















Wszystkie masy są takie same



odległości



Energia potencjalna czterech mas





































Jeżeli chcemy przenieść te masy do nieskończoności siły zewnętrzne muszą wykonać pracę W

równą tej energii potencjalnej





a ponieważ energia potencjalna w nieskończoności jest równa zero to



RZad215

Na orbicie kołowej spełniona jest równość sił grawitacji i
odśrodkowej. Jeżeli za promień orbity ruchu Księżyca
względem Ziemi wziąć wzajemną ich odległość (przyjmując
promienie Ziemi i Księżyca dużo mniejsze od promienia
orbity) równowagę sił można zapisać



skąd



Podstawiając dane liczbowe otrzymamy prędkość Księżyca na orbicie ziemskiej

017

1017









W ten sam sposób można znaleźć prędkość Ziemi na orbicie
okołosłonecznej



skąd



gdzie r

– odległość Ziemi od Słońca

Wstawiając wartości liczbowe













Energia

mechaniczna Ziemi na orbicie okołosłonecznej























































RZad216

Na orbicie kołowej, po której krąży satelita siłę grawitacji równoważy siła odśrodkowa

F=F







skąd





Wartość promienia orbity tego satelity otrzymamy podstawiając dane liczbowe





3600









Masę planety obliczymy wykorzystując wzór na siłę, którą planeta przyciąga satelitę



gdzie m- masa satelity, M

- masa planety



podstawiając

wartości

liczbowe















Masa planety wynosi 8,57 10

kg.

RZad217

Siły działające na satelitę, siła grawitacji i siła odśrodkowa, na orbicie kołowej są sobie równe











skąd można wyznaczyć prędkość satelity





Wyznaczając GM

ze związku siły grawitacyjnej z ciężarem ciała na powierzchni Ziemi



skąd GM

=gR

oraz podstawiając h=2R

otrzymujemy















RZad218

Porównując siłę grawitacji działającą na satelitę z siłą odśrodkową na orbicie kołowej o promieniu r







wyznaczymy okres obiegu satelity dookoła Ziemi





wykorzystując związek GM

=gR

otrzymujemy





Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy

 









6972

6370

7938







Okres obiegu tego satelity dookoła Ziemi wynosi 1,94h.

RZad219

Krążąc po orbicie geostacjonarnej satelita znajduje się stale nad tym samym punktem na powierzchni
Ziemi, co znaczy, że jego okres obiegu dookoła Ziemi jest równy okresowi ruchu dobowego Ziemi
czyli 24 godziny.

86400



prędkość kątowa satelity równa się

86400















Porównując siły grawitacji i odśrodkową na orbicie kołowej można obliczyć odległość od środka
Ziemi tego satelity







skąd





Podstawiając GM

=gR

otrzymamy









42385

423

6370















3094

423













Satelita geostacjonarny krąży z prędkością ok. 3,1km/s po orbicie o promieniu 42385km.

RZad220

Masę Ziemi obliczymy wykorzystując fakt, że na orbicie kołowej siła przyciągania satelity przez
Ziemię równa się sile odśrodkowej działająca na satelitę



























Stąd masa Ziemi











wstawiając dane liczbowe i przedstawiając okres w

sekundach T=106 min=6360s obliczymy masę Ziemi









6360

7370











RZad221

Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej ciała w polu grawitacyjnym Ziemi porównamy
energię mechaniczną ciała na poziomie Ziemi z energią na wysokości h. Na powierzchni Ziemi
energia mechaniczna jest sumą energii kinetycznej nadanej ciału podczas wyrzucania go do góry z
prędkością v i energii potencjalnej na poziomie Ziemi





Na wysokości h ciało wytraca do zera prędkość i jego energia mechaniczna jest równa tylko energii
potencjalnej







Porównując energię mechaniczną ciała na wysokości h z energią na powierzchni Ziemi









oraz podstawiając GM

=gR

i h=R otrzymamy

mgR







skąd

6370











Aby ciało wzniosło się na wysokość równą promieniowi Ziemi należy wyrzucić je z prędkością równą
7,98km/s.

RZad222

Natężenie pola grawitacyjnego wytwarzanego przez masę M określone jest wzorem







m – masa znajdująca się w tym polu grawitacyjnym

Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni tej gwiazdy neutronowej o masie Słońca ma wartość





gdzie R

– promień gwiazdy

Po podstawieniu danych liczbowych

















Natężenie pola grawitacyjnego jest równoznaczne przyspieszeniu spadku swobodnego na tej planecie
(γ=g). Drogę spadku swobodnego wyrazimy wzorem



skąd











Spadek swobodny z wysokości jednego metra na tej gwieździe będzie trwał





RZad223

Siły grawitacji ściskające Słońce do rozmiarów białego karła o promieniu równym promieniowi Ziemi
są dla układu siłami wewnętrznymi nie zmieniającymi momentu pędu Słońca. Przyjmując
niezmienniczość masy Słońca przy tej kontrakcji możemy porównać momenty pędu przed i po
skurczeniu się Słońca

mvr











skąd



Podstawiając dane liczbowe

min

6370

























doby

dób

Obrót dookoła osi Słońca skurczonego do rozmiarów białego karła o średnicy kuli ziemskiej trwałby
3,17 minut.

RZad224

Można przyjąć, że Słońce zaczyna się rozpadać jeżeli pod wpływem sił odśrodkowych wywołanych
obrotem dobowym jego fragmenty znajdujące się na równiku wejdą na orbity kołowe. Zajdzie to w
sytuacji gdy siły odśrodkowe staną się większe lub co najmniej równe sile grawitacji scalającej masę
Słońca





skąd





Z drugiej strony wykorzystując niezmienniczość momentu pędu w polu centralnym

const



skąd



Rozwiązując układ równań





otrzymamy wyrażenie na promień skurczonego Słońca na moment przed rozpadem





Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy

 









13048

86400











Promień Słońca tuż przed rozpadem miałby wartość około 13 km.

Przyjmując niezmienniczość masy Słońca rozdętego do promienia równego promieniowi orbity
ziemskiej (R

=1,5 10

m) i wykorzystując stałość momentu pędu obliczymy okres obrotu Słońca w

tym stanie





skąd

lat

doby

dób

3396























Okres obrotu Słońca o promieniu 1,5 10

m wynosiłby 3396,7 lat.

RZad225

W miejscu gdzie znajduje się SOHO równoważą się siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi i Słońca
działające na tę stację kosmiczną









podstawiając M

=nM









skąd wynika, że









Ponieważ x>0 i jednocześnie x<l





skąd





Wyznaczając









i podstawiając l – odległość Ziemi od Słońca

otrzymujemy











Stacja kosmiczna SOHO znajduje się w odległości 2,58 10

m od Ziemi.