lista zadan 2015 id 270224 Nieznany

background image

Analiza matematyczna 2

Lista zadań

Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas

Lista 1

1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

(a)

Z

1

dx

x

2

+ x

;

(b)

Z

1

x dx

x + 1

;

(c)

Z

π

x sin x dx;

(d)

Z

0

arc ctg x dx;

(e)

Z

−∞

dx

x

2

4x + 13

;

(f)

Z

−∞

xe

−x

dx.

2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

(a)

Z

4

dx

x (

x + 1)

;

(b)

Z

9

dx

x + 3

;

(c)

Z

1

x(x + 1) dx

x

4

+ x + 1

;

(d)

Z

0

(2

x

+ 1) dx

3

x

+ 1

;

(e)

Z

π

(x + sin x) dx

x

3

;

(f)

Z

2

2 + cos x

 dx

x−1

.

3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

(a)

Z

1

(

x + 1) dx

x (x + 1)

;

(b)

Z

5

x

2

dx

x

5

3

;

(c)

Z

2



e

1
x

1



dx;

(d)

Z

1

sin

2

1

x

dx;

(e)

Z

1

x

2

dx

x

3

sin x

.

4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =

1

x

2

+ 4

oraz osią Ox.

(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D =

(x, y) R

2

: x ­ 0, 0 ¬ y ¬ e

−x

.

(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y =

1

x

x

(x ­ 1) wokół osi Ox ma skończoną

wartość.

5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

(a)

1

Z

0

dx

x(x + 1)

;

(b)

e

Z

0

ln x dx

x

;

(c)

0

Z

1

dx

x(x + 1)

;

(d)

π

Z

π

2

dx

sin x

;

(e)

5

Z

3

2

x

dx

2

x

8

.

6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

(a)

4

Z

0

arc tg x dx

x

;

(b)

2

Z

0

e

x

dx

x

3

;

(c)

4

Z

0

dx

x

2

+

x

;

(d*)

2

Z

0

dx

16 − x

4

.

7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

(a)

1

Z

0

x

3

+ 1

 dx

x (x

2

+ 1)

;

(b)

π

Z

0

sin

3

x dx

x

4

;

(c)

1

Z

0

(e

x

1) dx

x

3

;

(d*)

π

Z

π

2

dx

sin x

;

(e*)

2

Z

1

dx

x

2

x

.

8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:

(a)

Z

−∞

x

3

cos x dx

x

2

+ 4

;

(b)

Z

−∞

e

x

dx

e

x

+ 1

;

(c)

Z

−∞

e

−|x+5|

dx;

(d

9

Z

4

dx

p|x|

;

(e)

1

Z

1

sin x

x

2

dx.

1

background image

Lista 2

9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:

(a)

X

n

=0

 5

6



n

;

(b)

X

n

=1

1

n

2

+ 3n + 2

;

(c)

X

n

=2

n − 1

n!

;

(d)

X

n

=1

1

n + 1 +

n

.

10. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

X

n

=1

1

n

2

+ 4

;

(b)

X

n

=2

n + 1

n

2

− n

;

(c)

X

n

=2

ln n

n

2

;

(d)

X

n

=1

1

n

n + 1

;

(e)

X

n

=0

e

n

e

2n

+ 1

.

11. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

X

n

=1

3n + 1
n

3

+ 2

;

(b)

X

n

=1

n

2

+ 1

n

2

+ 2

;

(c)

X

n

=1

sin

π

2

n

;

(d)

X

n

=0

2

n

+ e

n

e

n

+ 4

n

;

(e)

X

n

=1

3

n

+ n

n3

n

+ 2

n

.

12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

X

n

=1

n + 2

2n

6

1

;

(b)

X

n

=1

n

2

+ 1

n

3

+ 1

;

(c)

X

n

=1

e

n

1

3

n

1

;

(d)

X

n

=0

4

n

sin 5

−n

.

13. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

(a)

X

n

=1

2015

n

n!

;

(b)

X

n

=1

e

n

+ 1

n

5

+ 1

;

(c)

X

n

=1

n

2

sin

π

2

n

;

(d)

X

n

=1

n!

n

n

;

(e)

X

n

=1

n

n

π

n

n!

.

14. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

X

n

=1

(n + 1)

2n

(2n

2

+ 1)

n

;

(b)

X

n

=1

2

n

+ 3

n

3

n

+ 4

n

;

(c)

X

n

=1

3

n

n

n

2

(n + 1)

n

2

;

(d)

X

n

=1

arc cos

n

1

n

2

.

15. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów
uzasadnić podane równości:

(a) lim

n

→∞

n

2015

3

n

= 0;

(b) lim

n

→∞

n

n

(n!)

2

= 0;

(c) lim

n

→∞

n

n

n!

= ;

(d*) lim

n

→∞

(3n)!(4n)!
(5n)!(2n)!

= 0.

16. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:

(a)

X

n

=0

(1)

n

p

n

2

+ 1 − n



;

(b)

X

n

=0

(1)

n

2

n

3

n

+ 4

n

;

(c)

X

n

=4

(1)

n

tg

π
n

;

(d)

X

n

=1

(1)

n

+1

3

n

n!

.

17. Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością:

(a)

X

n

=1

(1)

n

+1

n10

n

, 10

6

;

(b)

X

n

=0

(1)

n

(2n + 1)!

, 10

3

.

Lista 3

18. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:

(a)

X

n

=0

(1)

n

3

n

+ 1

;

(b)

X

n

=2

(1)

n

n

n + 1

;

(c)

X

n

=1



2n

3n + 5



n

;

(d)

X

n

=2

(1)

n

n

e − 1

;

(e)

X

n

=0

(2)

n

3

n

+ 1

.

19. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:

(a)

X

n

=1

x

n

ne

n

;

(b)

X

n

=1

(5x − 10)

n

;

(c)

X

n

=1

(x + 3)

n

n!

;

(d)

X

n

=1

(2x + 6)

n

3

n

2

n

;

(e)

X

n

=1

n(x + 1)

n

n + 1

.

20. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:

(a)

5

1 + 2x

;

(b) sin

x

2

;

(c) x

2

e

−x

;

(d)

x

3

16 − x

2

;

(e) sinh x;

(f) cos

2

x.

21. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:

(a) f

(50)

(0), f (x) = x

2

cos x;

(b) f

(2015)

(0), f (x) = xe

−x

;

(c) f

(11)

(0), f (x) =

x

3

1 + x

2

;

(d) f

(10)

(0), f (x) = x sin

2

x

2

.

2

background image

22. Wyznaczyć szeregi potęgowe f

(x) oraz

x

Z

0

f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:

(a) f (x) =

1

1 + x

3

;

(b) f (x) = sin x

2

;

(c*) f (x) = e

x

2

.

23. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:

(a)

X

n

=0

1

(n + 1)3

n

;

(b)

X

n

=2

2n − 1

2

n

;

(c)

X

n

=1

n(n + 1)

5

n

.

24. Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:

(a)

1

Z

0

e

−x

2

dx, 0.001;

1

Z

0

sin x

2

dx, 0.0001.

Lista 4

25. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:

(a) f (x, y) =

y

y − x

2

;

(b) f (x, y) =

r y − 2

x + 1

;

(c) f (x, y) =

x

2

y

p4 − x

2

− y

2

;

(d) f (x, y) = ln

x

2

+ y

2

9

16 − x

2

− y

2

;

(e) g(x, y, z) =

x +

2 − z;

(f) g(x, y, z) = arc cos x

2

+ y

2

+ z

2

2

 .

26. Naszkicować wykresy funkcji:

(a) f (x, y) = 1

px

2

+ y

2

;

(b) f (x, y) =

p3 + 2x − x

2

− y

2

;

(c) f (x, y) = x

2

2x + y

2

+ 2y + 3;

(d) f (x, y) = sin y;

(e) f (x, y) = x

2

1;

(f) f (x, y) = 1 − |x|.

* 27. Obliczyć granice:

(a)

lim

(x,y)(0,0)

sin x

4

− y

4



x

2

+ y

2

; (b)

lim

(x,y)(0,0)

1 cos x

2

+ y

2



(x

2

+ y

2

)

2

; (c)

lim

(x,y)(0,0)

xy

2

x

2

+ y

2

; (d)

lim

(x,y)(0,0)

x

2

+ y

2

 cos

1

xy

.

28. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu f

x

, f

y

funkcji f i pochodne cząstkowe

g

x

, g

y

, g

z

funkcji g we wskazanych punktach:

(a) f (x, y) =

x

2

y

, (0, 1);

(b) f (x, y) =

px

6

+ y

6

, (0, 0);

(c) g(x, y, z) =

x

2

+ z

y

, (0, 1, 2).

29. Obliczyć pochodne cząstkowe f

x

, f

y

funkcji f i pochodne cząstkowe g

x

, g

y

, g

z

funkcji g:

(a) f (x, y) =

x

2

+ y

2

xy

;

(b) f (x, y) = arc tg

1 − xy

x + y

;

(c) f (x, y) = e

cos x

y

;

(d) f (x, y) = y

px

2

+ y

2

;

(e) f (x, y) = ln



x +

px

2

+ y

2



;

(f) g(x, y, z) = x

2

+

xz

y

+ yz

3

;

(g) g(x, y, z) =

x

x

2

+ y

2

+ z

2

;

(h) g(x, y, z) = cos(x sin(y cos z));

(i) g(x, y, z) =

r

x

2

+

q

y

2

+

p

z

2

+ 1.

Lista 5

* 30. Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie:

(a) f (x, y) = ln x

2

+ xy + y

2

,

xf

x

+ yf

y

= 2;

(b) f (x, y) =

x sin

y
x

,

xf

x

+ yf

y

=

f

2

.

31. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu f

xx

, f

xy

, f

yx

, f

yy

funkcji f i pochodne cząstkowe g

xx

, g

xy

, g

xz

,

g

yx

, g

yy

, g

yz

, g

zx

, g

zy

, g

zz

funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe:

(a) f (x, y) = cos x

2

+ y

2

;

(b) f (x, y) = ye

xy

;

(c) f (x, y) = x

2

+

y

3

x

;

(d) f (x, y) = y ln

x
y

;

(e) g(x, y, z) =

y

1 + x

2

+ z

2

;

(f) g(x, y, z) = ln x + y

2

+ z

3

+ 1

.

3

background image

32. Obliczyć pochodne cząstkowe:

(a) h

xyy

,

h(x, y) = sin xy;

(b) h

yyxy

,

h(x, y) =

x + y
x − y

;

(c) h

xyz

,

h(x, y, z) =

x

2

y

3

z

.

33. Sprawdzić, że funkcje:

(a) z = arc tg

y
x

;

(b) z = x +

r

x
y

;

(c) z = x + ln



1 +

y
x



;

(d) z = x +

xy

spełniają równanie

x

2

z

xx

+ 2xyz

xy

+ y

2

z

yy

= 0, (x, y > 0).

34. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:

(a) z = x

2

py + 1, (x

0

, y

0

, z

0

) = (1, 3, z

0

);

(b) z = e

x

+2y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, −1, z

0

);

(c) z =

arc sin x

arc cos y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) =

1
2

,

3

2

, z

0

!

;

(d) z = x

y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, 4, z

0

).

35. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg

x
y

wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do

płaszczyzny x + y − z = 5.
(b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = x

2

+ y

2

, która jest prostopadła do prostej

x = t, y = t, z = 2t, t ∈ R.

Lista 6

36. (a) Wysokość i promień podstawy walca zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz
r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego walca?

(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni
się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.

(c) Oszacować błąd względny δ

V

objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z

dokładnością odpowiednio ∆

x

, ∆

y

, ∆

z

.

* 37. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:

(a) z = f x

2

+ y

2

 ,

yz

x

− xz

y

= 0;

(b) z = xf (sin(x − y)) ,

z

x

+ z

y

=

z

x

;

(c) z = x

n

f



y
x



,

xz

x

+ yz

y

= nz (n ∈ N);

(d*) z =

x
y

g(x) + h



y
x



,

xyz

xy

+ y

2

z

yy

+ xz

x

+ 2yz

y

= 0.

38. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

(a) f (x, y) =

px

2

+ y

2

, (x

0

, y

0

) = (0, 0), v =

3

2

,

1
2

!

;

(b) f (x, y) =

3

xy, (x

0

, y

0

) = (1, 0), v =

2

2

,

2

2

!

;

(c) g(x, y, z) = x

2

+ yz, (x

0

, y

0

, z

0

) = (0, 0, 0), v =

 3

13

,

4

13

,

12
13



.

39. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

(a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, (x

0

, y

0

) = (3, 4), v =

 12

13

,

5

13



;

(b) f (x, y) = x −

y

x

2

+ y, (x

0

, y

0

) = (1, 1), v =

 3

5

, −

4
5



;

(c) g(x, y, z) = e

xyz

, (x

0

, y

0

, z

0

) = (1, 1, −1), v =

1
2

, −

3
4

,

3

4

!

.

40. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x

2

+ 2 ln(xy). w punkcie



1
2

, −1



w kierunku

wersora v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f (x, y) =

e

x

x + y

2



w punkcie (0, 2) ma pochodną

kierunkową równą 0.

4

background image

Lista 7

41. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

(a) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

51x − 24y;

(b) f (x, y) = xe

−y

+

1

x

+ e

y

;

(c) f (x, y) = xy

2

(12 − x − y) (x, y > 0);

(d) f (x, y) = y

x − y

2

− x + 6y;

(e) f (x, y) = x

3

+ y

3

3xy;

(f) f (x, y) =

8

x

+

x

y

+ y (x, y > 0);

(g) f (x, y) = xy + ln y + x

2

;

(h) f (x, y) = 4xy +

1

x

+

1
y

;

(i) f (x, y) = x − y

2



2

+ y − x

2



2

.

42. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:

(a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, 3x + 2y = 6;

(b) f (x, y) = x

2

+ y

2

8x + 10, x − y

2

+ 1 = 0;

(c) f (x, y) = x

2

y − ln x, 8x + 3y = 0;

(d) f (x, y) = 2x + 3y, x

2

+ y

2

= 1.

43. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

(a) f (x, y) = 2x

3

+ 4x

2

+ y

2

2xy, D =

(x, y) R

2

: x

2

¬ y ¬ 4

;

(b) f (x, y) = x

2

+ y

2

6x + 4y, D =

(x, y) R

2

: x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x ­ 0, y ­ 0

;

(c) f (x, y) = x

2

+ y

2

, D =

(x, y ∈ R

2

: |x| + |y| ¬ 2

;

(d) f (x, y) = xy

2

+ 4xy − 4x, D =

(x, y) R

2

: 3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0

;

(e) f (x, y) = x

4

+ y

4

, D =

(x, y) R

2

: x

2

+ y

2

¬ 9

.

44. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = (1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x

0

, y

0

), dla którego

suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?

(c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:

k :

 x + y − 1 = 0,

z + 1

= 0,

l :

 x − y + 3 = 0,

z − 2

= 0.

(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m

3

. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w

cenie 30 zł/m

2

, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m

2

, a sufitu w cenie 20 zł/m

2

. Znaleźć długość a, szerokość b i

wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę. Koszt
wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi

K(x, y) = x

2

− xy + y

2

[zł].

Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?

Lista 8

45. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:

(a)

ZZ

R

x + xy − x

2

2y

 dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]; (b)

ZZ

R

dxdy

(x + y + 1)

3

, R = [0, 2] × [0, 1];

(c)

ZZ

R

(x sin xy) dxdy, R = [0, 1] × [π, 2π];

(d)

ZZ

R

e

2x−y

dxdy, R = [0, 1] × [1, 0].

46. Całkę podwójną

ZZ

D

f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o

równaniach:

(a) y = x

2

, y = x + 2;

(b) x

2

+ y

2

= 4, y = 2x − x

2

, x = 0 (x, y ­ 0);

(c) x

2

4x + y

2

+ 6y − 51 = 0;

(d) x

2

− y

2

= 1, x

2

+ y

2

= 3 (x < 0).

47. Obliczyć całki iterowane:

5

background image

(a)

2

Z

1

dx

x

2

Z

x

y

x

2

dy;

(b)

4

Z

1

dx

2x

Z

x

x

2

y − x dy;

(c)

2

Z

2

dx

4−x

2

Z

0

x

3

+ y

3

 dy;

(d)

3

Z

0

dy

y

Z

0

py

2

+ 16 dx.

Narysować obszary całkowania.

48. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:

(a)

1

Z

1

dx

|x|

Z

0

f (x, y) dy;

(b)

1

Z

1

dx

0

Z

1−x

2

f (x, y) dy;

(c)

4

Z

0

dx

2

x

Z

4x−x

2

f (x, y) dy;

(d)

2

Z

2

dy

y

2

2

Z

y

2

1

f (x, y) dx;

(e)

π

Z

π

2

dx

sin x

Z

cos x

f (x, y) dy;

(f)

e

Z

1

dx

1

Z

ln x

f (x, y) dy.

49. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:

(a)

ZZ

D

xy

2

dxdy, D : y = x, y = 2 − x

2

;

(b)

ZZ

D

x

2

y dxdy, D : y = 2, y =

1

x

, y =

−x;

(c)

ZZ

D

e

x
y

dxdy, D : y =

x, x = 0, y = 1;

(d)

ZZ

D

xy + 4x

2

 dxdy, D : y = x + 3, y = x

2

+ 3x + 3;

(e)

ZZ

D

x

2

e

xy

dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0;

(f)

ZZ

D

(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = 1, y = 3 − x

2

(x ­ 0);

(g)

ZZ

D

e

x

2

dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =

ln 3;

(h)

ZZ

D

(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = 1, x = sin y.

* 50. Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

D

min(x, y) dxdy, D = [0, 1]×[0, 2];

(b)

ZZ

D

⌊x + y⌋ dxdy, D = [0, 2]×[0, 2];

(c)

ZZ

D

|x − y| dxdy, D =

(x, y) R

2

: x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 2x

;

(d)

ZZ

D

sgn x

2

− y

2

+ 2

 dxdy, D = (x, y) R

2

: x

2

+ y

2

¬ 4

.

Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.

51. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

(a) f (x, y) = sin x cos y, D = [0, π] ×

h

0,

π

2

i

;

(b) f (x, y) = x + y, D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.

* 52. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

D

(x + y)

2

(x − y)

3

dxdy, D : x + y = 1, x + y = 1, x − y = 1, x − y = 3;

(b)

ZZ

D

dxdy

y

, D : y = x, y = 2x, y =

1
2

x + 1, y = 2x + 4;

(c)

ZZ

D

xy dxdy, D : xy = 1, xy = 2, y = x

2

, y = 3x

3

;

(d*)

ZZ

D

x

4

− y

4

 dxdy, D : x

2

+ y

2

= 3, x

2

+ y

2

= 5, x

2

− y

2

= 1, x

2

− y

2

= 2 (x ­ 0, y ­ 0).

Lista 9

53. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

6

background image

(a)

ZZ

D

xy dxdy, D : x

2

+ y

2

¬ 1,

x

3

¬ y ¬

3x;

(b)

ZZ

D

xy

2

dxdy, D : x ­ 0, 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2;

(c)

ZZ

D

y

2

e

x

2

+y

2

dxdy, D : x ­ 0, y ­ 0, x

2

+ y

2

¬ 1;

(d)

ZZ

D

x

2

dxdy, D : x

2

+ y

2

¬ 2y;

(e)

ZZ

D

x

2

+ y

2

 dxdy, D : y ­ 0, y ¬ x

2

+ y

2

¬ x;

(f)

ZZ

D

y dxy, D : x

2

+ y

2

¬ 2x (y ¬ 0).

Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.

54. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:

(a) y

2

= 4x, x + y = 3, y = 0 (y ­ 0);

(b) x

2

+ y

2

2y = 0, x

2

+ y

2

4y = 0;

(c) x + y = 4, x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5;

(d) x

2

+ y

2

= 2y, y =

3|x|.

55. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:

(a) y = z, y = 2x, y = 2, z = 0, z = y;

(b) x

2

+ y

2

+ z

2

= 4, z = 1 (z ­ 1);

(c) x

2

+ y

2

2y = 0, z = x

2

+ y

2

, z = 0;

(d) z = 5 − x

2

+ y

2

, x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0;

(e*) (x − 1)

2

+ (y − 1)

2

= 1, z = xy, z = 0;

(f*) 2z = x

2

+ y

2

, y + z = 4.

56. Obliczyć pola płatów:

(a) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

¬ 1; (b) x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, x

2

+ y

2

− Rx ¬ 0, z ­ 0; (c) z =

px

2

+ y

2

, 1 ¬ z ¬ 2.

57. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
(a) D =

(x, y) R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x

, σ(x, y) = x;

(b) D =

(x, y) R

2

: 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 4, y ­ 0

, σ(x, y) = |x|.

58. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D =

(x, y) R

2

: 0 ¬ y ¬ 4 − x

2

;

(b) D =

(x, y) R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin

2

x

;

(c) D =

(x, y) R

2

: 0 ¬ x ¬ 1, |y| ¬ e

x

;

(d) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
(e) D — trójkąt równoboczny o boku 2a, do którego dołączono półkole o promieniu a;
(f) D — kwadrat o boku 1, z którego wycięto półkole o średnicy a.

59. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
(a) D =

(x, y) R

2

: x

2

+ y

2

¬ R

2

, y ­ 0

, Ox, przyjąć σ(x, y) =

px

2

+ y

2

;

(b) D =

(x, y) R

2

: 0 ¬ y ¬ 1 − x

2

, oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x

2

;

(c) D =

(x, y) R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x

, oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x;

(d) D — jednorodny kwadrat o masie M i boku a, przekątna kwadratu;
(e) D — jednorodny trójkąt równoboczny o masie M i boku a, oś symetrii.

Lista 10

60. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:

(a)

ZZ

U

Z

x dxdydz

yz

, U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];

(b)

ZZ

U

Z

(x + y + z) dxdydz, U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];

(c)

ZZ

U

Z

sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, U = [0, π] × [0, π] × [0, π];

(d)

ZZ

U

Z

(x + y)e

x

+z

dxdydz, U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

7

background image

61. Całkę potrójną z funkcji g(x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony po-
wierzchniami o podanych równaniach:

(a) z = 2

px

2

+ y

2

, z = 6;

(b) x

2

+ y

2

+ z

2

= 25, z = 4, (z ­ 4);

(c) z = x

2

+ y

2

, z =

p20 − x

2

− y

2

.

* 62. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:

(a)

1

Z

0

dx

22x

Z

0

dy

33x−

3
2

y

Z

0

f (x, y, z) dz;

(b)

2

Z

2

dx

0

Z

4−x

2

dy

4−x

2

−y

2

Z

4−x

2

−y

2

f (x, y, z) dz;

(c)

3

Z

0

dz

z

Z

z

dx

z

−x

2

Z

z

−x

2

f (x, y, z) dy;

(d)

1

Z

0

dx

1−x

2

Z

0

dy

1

Z

x

2

+y

2

f (x, y, z) dz.

63. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g(x, y, z) = e

x

+y+z

, U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;

(b) g(x, y, z) =

1

(3x+2y +z +1)

4

, U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;

(c) g(x, y, z) = x

2

+ y

2

, U : x

2

+ y

2

¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;

(d) g(x, y, z) = x

2

y

2

, U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.

* 64. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:

(a)

ZZ

U

Z

x(x + y)

2

(x + y + z)

3

dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x + y = 1,

x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3;

(b)

ZZ

U

Z



y
x



2

dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 4, z = y +2,

z = y + 3, x > 0;

(c*)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

 dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła (x − R)

2

+ z

2

¬ r

2

,

y = 0, 0 < r ¬ R.

Lista 11

65. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

+ z

2



2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;

(b)

ZZ

U

Z

xyz dxdydz, U :

px

2

+ y

2

¬ z ¬

p1 − x

2

− y

2

;

(c)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

 dxdydz, U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 2Rz;

(d)

ZZ

U

Z

(x + y + z) dxdydz, U : x

2

+ y

2

¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.

66. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

U

Z

dxdydz

px

2

+ y

2

+ z

2

, U : 4 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9;

(b)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

 dxdydz, U :

px

2

+ y

2

¬ z ¬

p1 − x

2

− y

2

;

(c)

ZZ

U

Z

z

2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

+ (z − R)

2

¬ R

2

(R > 0);

8

background image

(d)

ZZ

U

Z

x

2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4x.

67. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:

(a) x

2

+ y

2

= 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;

(b) x = 1, x = 2, z = 4 − y

2

, z = 2 + y

2

;

(c) z =

1

1 + x

2

+ y

2

, z = 0, x

2

+ y

2

= 1;

(d) x

2

+ y

2

+ z

2

= 2, y = 1 (y ­ 1).

68. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
(b) U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9, γ(x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

69. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;

(c) U : x

2

+ y

2

¬ z ¬

p2 − x

2

− y

2

.

70. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) kula o promieniu R, względem osi symetrii.

Lista

12

71. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:

(a) 2t − 1;

(b) sin 2t;

(c) t

2

;

(d) te

−t

;

(e) e

2t

cos 2t;

(f) sinh t;

(g)

y

t

1

y = f (t)

1

(h)

y

t

1

2

y = g(t)

1

(i)

y

t

1

y = h(t)

1

72. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:

(a)

1

s + 2

;

(b)

s

s

2

+ 4s + 5

;

(c)

1

s

2

4s + 3

;

(d)

s + 2

(s + 1)(s − 2) (s

2

+ 4)

;

(e)

s

2

+ 1

s

2

(s

2

1)

2

;

(f)

s + 9

s

2

+ 6s + 13

;

(g)

2s + 3

s

3

+ 4s

2

+ 5s

;

(h)

3s

2

(s

3

1)

2

;

(i)

e

−s

s + 1

.

73. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współ-
czynnikach:

(a) y

− y = 1, y(0) = 1;

(b) y

2y = sin t, y(0) = 0;

(c) y

′′

+ y

= 0, y(0) = 1, y

(0) = 1;

(d) y

′′

+ 3y

= e

3t

, y(0) = 0, y

(0) = 1;

(e) y

′′

2y

+ 2y = sin t, y(0) = 0, y

(0) = 1;

(f) y

′′

2y

+ y = 1 + t, y(0) = 0, y

(0) = 0;

(g) y

′′

+ 4y

+ 4y = t

2

, y(0) = 0, y

(0) = 0;

(h) y

′′

+ 4y

+ 13y = te

−t

, y(0) = 0, y

(0) = 2.

* 74. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:

(a) sin

4

t;

(b) cos 4t cos 2t;

(c) t

2

cos t;

(d) t sinh 3t;

(e) te

t

cos t;

(f) e

3t

sin

2

t;

(g) 1(t − 2) sin(t − 2);

(h) 1(t − 1)e

t

1

.

9

background image

* 75. Obliczyć sploty par funkcji:

(a) f (t) = e

t

, g(t) = e

2t

;

(b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;

(c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;

(d) f (t) = e

t

, g(t) = t.

* 76. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:

(a)

1

(s + 1)(s + 2)

;

(b)

1

(s − 1)

2

(s + 2)

;

(c)

1

s

2

(s

2

+ 1)

;

(d)

s

(s

2

+ 1)

2

.

Lista 13

77. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:

(a) f (t) =

(

sin t

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

(b) f (t) =

cos t

dla |t| ¬

π

2

,

0

dla |t| >

π

2

;

(c) f (t) =

(

t

dla |x| ¬ 1,

0

dla |x| > 1;

(d) f (t) =

(

t

2

dla

|t| ¬ 1,

0 dla

|t| > 1;

(e) f (t) = e

−|t|

;

(f*) f (t) = e

−at

2

, a 6= 0.

Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość

Z

−∞

e

−at

2

dt =

r π

a

.

78. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji

y

t

c

c −

δ
2

c +

δ
2

h

79. Pokazać, że jeżeli F {f(t)} = ˆ

f (ω), to:

(a) F {f(t) cos αt} =

1
2

h ˆ

f (ω − α) + ˆ

f (ω + α)

i

;

(b) F {f(t) sin αt} =

1

2i

h ˆ

f (ω − α) ˆ

f (ω + α)

i

.

80. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji:

(a) f (t) = e

3|t−1|

;

(b) f (t) = te

−|t|

;

(c) f (t) = e

4t

2

4t−1

;

(d) f (t) =

(

cos

t

2

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

(e) f (t) =

(

2 cos t

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

(f) f (t) = [1(t) 1(t − 4)] · t;

(g) f (t) = 1(t) · e

−t

cos t;

(h) f (t) = e

−|t|

cos

t

2

;

(i) f (t) = e

−|t|

sin 2t.

Uwaga. 1(t) =



0 dla

t < 0,

1 dla

t ­ 0

– funkcja Heaviside’a.

* 81. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:

(a)

y

t

2

2

2

(b)

y

t

2 1

2

1

2

* 82. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).

x(t)

y(t)

R

L

C

+

+

Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).

83. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t

2

f

′′

(t) + 2f

′′′

(t), jeżeli ˆ

f (ω) =

1

1 + ω

2

.

10

background image

84. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:

(a)

1

1 + 2

;

(b)

1

4 + ω

2

;

(c)

e

2

1 +

;

(e)

sin ω cos ω

2ω

;

(f)

1

(1 + ω

2

) (4 + ω

2

)

;

85. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:

(a) f (t) = g(t) = 1(t) 1(t − 1),

(b) f (t) = 1(t) 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) 1(t),

(c) f (t) = 1(t) · e

−t

, g(t) = 1(t) · e

2t

,

(d) f (t) = g(t) = e

−t

2

.

Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów

W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sfor-
mułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia (podać założenia i tezę), napisać zastosowane
wzory ogólne (z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z
pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane.

I kolokwium

Zestaw A

1. Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju

Z

0

3

−x

dx.

2. Zbadać zbieżność szeregu

X

n

=1

n2

n

+ 1

n3

n

+ 1

.

3. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego

X

n

=0

(x + 5)

n

n + 2

.

4. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif (x, y) = arc sin

 1

2

+ x

2

− y



w punkcie jego

przecięcia z osią Oz.

Zestaw B

1. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej

Z

2

x

2

+ 1 dx

x

3

+ 1

.

2. Uzasadnić zbieżność szeregu

X

n

=2

(1)

n

ln(n + 1)

n

.

3. Funkcję f (x) =

x

2

1 + 4x

rozwinąć w szereg Maclaurina. Podać wraz z uzasadnieniem przedział zbieżności.

4. Narysować dziedzinę funkcji f (x, y) =

y − x · ln 9 − x

2

− y

2

 i obliczyć jej pochodne cząstkowe pierwszego

rzędu.

Zestaw C

1. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju

1

Z

0

(x + 1) dx

x (1 +

x)

.

2. Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu

X

n

=1

arc tg 2n

4n

2

+ 1

.

3. Napisać rozwinięcie funkcji f (x) =

e

2x

+ 1

e

3x

w szereg Maclaurina, a następnie obliczyć f

(101)

(0).

4. Napisać równanie płaszczyny stycznej do powierzchni (x + 2)

2

+ (y − 3)

2

+ z

2

= 6 w punkcie (0, 2, −1).

11

background image

Zestaw D

1. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

X

n

=1

(1)

n

n + 1

n

.

2. Funkcję f (x) =

1

4x

2

+ 1

oraz jej pochodną f

(x) rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać promienie ich

zbieżności. Następnie obliczyć sumę szeregu

X

n

=1

(1)

n

n

4

n

.

3. Na powierzchni z = y ln 1 + x + y

2

 znaleźć taki punkt, aby płaszczyzna styczna do tej powierzchni w tym

punkcie była równoległa do płaszczyzny z − y ln 2 = 0.

4. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f (x) =

x

y

w kierunku wersora

2/2,

2/2

 przyjmuje wartość 0.

II kolokwium

Zestaw A

1. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = x

2

− y

 e

2y−x

w punkcie (x

0

, y

0

) = (1, 1) w kierunku

wersora tworzącego kąt α = π/3 z dodatnią częścią osi Ox.

2. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) =

x
y

+

y + 1

x

.

3. Jednorodna figura składa się z kwadratu o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu 1. Wyznaczyć

położenie środka masy tej figury.

4. Obliczyć objętośc bryły U ograniczonej powierzchniami:

x

2

+ y

2

= 1, z = x

2

+ y

2

3, z = 5

px

2

+ y

2

.

Zestaw B

1. Znaleźć wartości najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x

2

− y

2

w trójkącie

T =

(x, y) R

2

: x ­ 1, y ­ 1, x + y ¬ 4

.

2. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bez-

władności płytki względem jej osi symetrii.

3. Obliczyć całkę

ZZ

D

y dxdy

(x

2

+ y

2

)

3

, gdzie D =

(x, y) R

2

: 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 9, y ¬ 0

.

4. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji f (t) = e

−t

.

Zestaw C

1. Uzasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V , sześcian ma najmniejsze pole powierzchni

całkowitej.

2. Zmienić kolejność całkowania w całce

2

Z

0

dy

1

Z

2+

2y−y

2

f (x, y) dx. Naszkicować obszar całkowania.

3. Obliczyć całkę z funkcji f (x, y, z) = z po obszarze V ograniczonym płaszczyznami x + y = 1, x + y = 2,

x = 0, y = 0, z = 0, z = 1. Naszkicować obszar V .

4. Rozwiązać równanie różniczkowe y

′′

+ 2y

+ 5y = 5 z zerowymi warunkami początkowymi.

12

background image

Zestaw D

1. Sprawdzić, że funkcja z = arc tg

y
x

spełnia warunek x

2

z

xx

+ 2xyz

xy

+ y

2

z

yy

= 0, gdzie x, y > 0.

2. Całkę podwójną z funkcji f (x, y), po obszarze D ograniczonym krzywymi y = 2 − x

2

, x = |y|, y = 2

zamienić na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.

3. Obliczyć pole części powierzchni sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 3 leżącej wewnątrz paraboloidy 2z = x

2

+ y

2

. Sporządzić

rysunek.

4. Obliczyć całkę potrójną z funkcji f (x, y, z) = x po obszarze V : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 16, x ­ 0, y ¬ 0, z ­ 0.

Sporządzić rysunek. Zastosować współrzędne sferyczne.

Egzamin podstawowy

Zestaw A

1. Obliczyć całkę niewłaściwą

Z

0

e

−x

dx

1 + e

−x

.

2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

X

n

=0

3

n

(x − 2)

n

n + 1

.

3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y

x +

y

x

+

8

y

2

.

4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:z =

p25 (x

2

+ y

2

), z = 1 +

px

2

+ y

2

.

5. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu

1. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury.

6. Znaleźć przekształcenie Laplace’a funkcji f (t) = t − 1.

Zestaw B

1. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach

z = x

2

+ y

2

, z =

9
2

+

1
2

x

2

+ y

2

.

Sporządzić rysunek.

2. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) = x + y

2

2 ln(xy).

3. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce

16

Z

1

dx

log

2

x

Z

log

4

x

f (x, y) dy.

4. Zbadać zbieżność szeregu

X

n

=1

(n!)

2

(2n)!

.

5. Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu 1. Wyznaczyć

położenie środka masy tej figury.

6. Metodą transformaty Laplace’a rozwiązać zagadnienie początkowe y

+ 2y = e

t

, y(0) = 1.

Egzamin poprawkowy

Zestaw A

1. Obliczyć całkę niewłaściwą

Z

1

x dx

x

4

+ 1

.

2. Zbadać zbieżność szeregu

X

n

=1

5

n

+ 3

n

n!

.

3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e

3−y

+ e

x

+ e

y

−x

.

13

background image

4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej

1

Z

0

dx

2+x

2

Z

x

f (x, y) dy.

5. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym

R.

6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach: x

2

+ y

2

= 1, z = 4 − x

2

+ y

2

, z = 2.

Zestaw B

1. Obliczyć całkę niewłaściwą

Z

2

dx

x

2

− x

.

2. Zbadać zbieżność szeregu

X

n

=1

arc ctg n.

3. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) = (y + 2)

x +

4

xy

.

4. Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce

12

Z

1

dx

x

2

2x

Z

|x|−3

f (x, y) dy.

5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach

z =

1
2

px

2

+ y

2

, z = 6

1
4

x

2

+ y

2

.

Sporządzić rysunek.

6. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = y

3

+

p1 − x

2

y

2

w punkcie jego przecięcia

z osią Oy.

Egzamin na ocenę celującą

Zestaw z 2013 r.

1. Jednorodna bryła jest ograniczona paraboloidą z = a x

2

+ y

2

 (a > 0) oraz płaszczyzną z = 1 (rysunek).

Dla jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią
symetrii, czyli będzie wańką-wstańką

2. Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe. W jakim stosunku powinny się one

przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy?

3. Zbadać zbieżność szeregu

X

n

=2

2

n

n



n

.

4. Niech [a, b], [c, d] będą przedziałami w R. Pokazać, że jeżeli dla dowolnego wielomianu W stopnia 2013 za-

chodzi równość

b

Z

a

W (x) dx =

d

Z

c

W (x) dx,

to [a, b] = [c, d].

14

background image

Zestaw A z 2014 r.

1. Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą (oś Ox). Równolegle do drogi, w

odległości 1, stoi reklama o długości 1.

x

1

2

n

1

Reklama

Kamera

αn

Niech α

n

(n ∈ N) oznacza kąt widzenia reklamy w chwili, gdy kamera jest w punkcie n drogi. Uzasadnić, że

szereg

X

n

=1

α

n

jest zbieżny i wyznaczyć jego sumę.

2. Pokazać, że funkcja f (x, y) = y

2

+ x

2

(1 + y)

3

ma tylko jeden punkt stacjonarny, a w nim – minimum lokalne

właściwe, ale w R

2

nie przyjmuje wartości najmniejszej.

3. Obliczyć całkę

π

2

Z

0

sin ϕ + cos ϕ



4

.

4. Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a. Obliczyć moment bezwładności czworościanu

względem prostej zawierającej jego wysokość.

Zestaw B z 2014 r.

1. Symbol {x} oznacza część ułamkową liczby x, tj. {x} = x − ⌊x⌋ . Zbadać zbieżność szeregu:

X

n

=1

{log

5

(3

n

+ 4

n

+ 5

n

)} .

2. Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami

o promieniach r i R (r < R) (rysunek). Obliczyć pole tej drogi.

x

y

z

R

r

h

3. Zbadać zbieżność całki

Z

0

5

x

3

dx

2

x

4

.

4. Pokazać, że ze wzorów

x

C

=

x

1

+ x

2

+ . . . + x

n

n

, y

C

=

y

1

+ y

2

+ . . . + y

n

n

(n ­ 3)

można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami
(x

1

, y

1

) , (x

2

, y

2

) , . . . (x

n

, y

n

) tylko dla n = 3.

15


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Lista zadan powt id 270228 Nieznany
lista zadan 2 2013 id 270235 Nieznany
lista przed zabr id 270172 Nieznany
krazenie 2015 id 249805 Nieznany
Lista 69 78 id 269926 Nieznany
Eek Mat Wyk 5 6 2015 id 150708 Nieznany
Fizyka I Lista zadan numer 8 id 176727
POZ pytania 2015 id 364125 Nieznany
Lista kontorlna Ergo id 269995 Nieznany
lisy 2015 id 270715 Nieznany
arkusz z matmy maj 2015 id 6888 Nieznany
Bioetyka wyklad LEK 2015 id 868 Nieznany (2)
Patofizjo 2015 id 350489 Nieznany
okulistyka luty 2015 id 334984 Nieznany
lista pytan 2012 id 270175 Nieznany
zestaw zadan 2 Zestaw2 id 93180 Nieznany
Lista 10 lista10 id 759712 Nieznany
Fizyka I Lista zadan numer 9 id 176728

więcej podobnych podstron