Analiza matematyczna 2
Lista zadań
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista 1
1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
∞
Z
1
dx
x
2
+ x
;
(b)
∞
Z
1
√
x dx
x + 1
;
(c)
∞
Z
π
x sin x dx;
(d)
∞
Z
0
arc ctg x dx;
(e)
∞
Z
−∞
dx
x
2
−4x + 13
;
(f)
∞
Z
−∞
xe
−x
dx.
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
∞
Z
4
dx
x (
√
x + 1)
;
(b)
∞
Z
9
dx
√
x + 3
;
(c)
∞
Z
1
x(x + 1) dx
x
4
+ x + 1
;
(d)
∞
Z
0
(2
x
+ 1) dx
3
x
+ 1
;
(e)
∞
Z
π
(x + sin x) dx
x
3
;
(f)
∞
Z
2
√
2 + cos x
dx
√
x−1
.
3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
∞
Z
1
(
√
x + 1) dx
x (x + 1)
;
(b)
∞
Z
5
x
2
dx
√
x
5
− 3
;
(c)
∞
Z
2
e
1
x
− 1
dx;
(d)
∞
Z
1
sin
2
1
x
dx;
(e)
∞
Z
1
x
2
dx
x
3
−sin x
.
4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
1
x
2
+ 4
oraz osią Ox.
(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D =
(x, y) ∈ R
2
: x 0, 0 ¬ y ¬ e
−x
.
(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y =
1
x
√
x
(x 1) wokół osi Ox ma skończoną
wartość.
5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
1
Z
0
dx
√
x(x + 1)
;
(b)
e
Z
0
ln x dx
x
;
(c)
0
Z
−1
dx
x(x + 1)
;
(d)
π
Z
π
2
dx
sin x
;
(e)
5
Z
3
2
x
dx
√
2
x
− 8
.
6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
4
Z
0
arc tg x dx
√
x
;
(b)
2
Z
0
e
x
dx
x
3
;
(c)
4
Z
0
dx
x
2
+
√
x
;
(d*)
2
Z
0
dx
√
16 − x
4
.
7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
1
Z
0
x
3
+ 1
dx
√
x (x
2
+ 1)
;
(b)
π
Z
0
sin
3
x dx
x
4
;
(c)
1
Z
0
(e
x
− 1) dx
√
x
3
;
(d*)
π
Z
π
2
dx
√
sin x
;
(e*)
2
Z
1
dx
x
2
−
√
x
.
8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:
(a)
∞
Z
−∞
x
3
cos x dx
x
2
+ 4
;
(b)
∞
Z
−∞
e
x
dx
e
x
+ 1
;
(c)
∞
Z
−∞
e
−|x+5|
dx;
(d
9
Z
−4
dx
p|x|
;
(e)
1
Z
−1
sin x
x
2
dx.
1
Lista 2
9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
(a)
∞
X
n
=0
5
6
n
;
(b)
∞
X
n
=1
1
n
2
+ 3n + 2
;
(c)
∞
X
n
=2
n − 1
n!
;
(d)
∞
X
n
=1
1
√
n + 1 +
√
n
.
10. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
n
=1
1
n
2
+ 4
;
(b)
∞
X
n
=2
n + 1
n
2
− n
;
(c)
∞
X
n
=2
ln n
n
2
;
(d)
∞
X
n
=1
1
n
√
n + 1
;
(e)
∞
X
n
=0
e
n
e
2n
+ 1
.
11. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
n
=1
3n + 1
n
3
+ 2
;
(b)
∞
X
n
=1
√
n
2
+ 1
n
2
+ 2
;
(c)
∞
X
n
=1
sin
π
2
n
;
(d)
∞
X
n
=0
2
n
+ e
n
e
n
+ 4
n
;
(e)
∞
X
n
=1
3
n
+ n
n3
n
+ 2
n
.
12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
n
=1
n + 2
√
2n
6
− 1
;
(b)
∞
X
n
=1
n
2
+ 1
n
3
+ 1
;
(c)
∞
X
n
=1
e
n
− 1
3
n
− 1
;
(d)
∞
X
n
=0
4
n
sin 5
−n
.
13. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
n
=1
2015
n
n!
;
(b)
∞
X
n
=1
e
n
+ 1
n
5
+ 1
;
(c)
∞
X
n
=1
n
2
sin
π
2
n
;
(d)
∞
X
n
=1
n!
n
n
;
(e)
∞
X
n
=1
n
n
π
n
n!
.
14. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
n
=1
(n + 1)
2n
(2n
2
+ 1)
n
;
(b)
∞
X
n
=1
2
n
+ 3
n
3
n
+ 4
n
;
(c)
∞
X
n
=1
3
n
n
n
2
(n + 1)
n
2
;
(d)
∞
X
n
=1
arc cos
n
1
n
2
.
15. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów
uzasadnić podane równości:
(a) lim
n
→∞
n
2015
3
n
= 0;
(b) lim
n
→∞
n
n
(n!)
2
= 0;
(c) lim
n
→∞
n
n
n!
= ∞;
(d*) lim
n
→∞
(3n)!(4n)!
(5n)!(2n)!
= 0.
16. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
n
=0
(−1)
n
p
n
2
+ 1 − n
;
(b)
∞
X
n
=0
(−1)
n
2
n
3
n
+ 4
n
;
(c)
∞
X
n
=4
(−1)
n
tg
π
n
;
(d)
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
3
n
n!
.
17. Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością:
(a)
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
n10
n
, 10
−6
;
(b)
∞
X
n
=0
(−1)
n
(2n + 1)!
, 10
−3
.
Lista 3
18. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
(a)
∞
X
n
=0
(−1)
n
3
n
+ 1
;
(b)
∞
X
n
=2
(−1)
n
√
n
n + 1
;
(c)
∞
X
n
=1
−2n
3n + 5
n
;
(d)
∞
X
n
=2
(−1)
n
n
√
e − 1
;
(e)
∞
X
n
=0
(−2)
n
3
n
+ 1
.
19. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
(a)
∞
X
n
=1
x
n
ne
n
;
(b)
∞
X
n
=1
(5x − 10)
n
;
(c)
∞
X
n
=1
(x + 3)
n
n!
;
(d)
∞
X
n
=1
(2x + 6)
n
3
n
− 2
n
;
(e)
∞
X
n
=1
√
n(x + 1)
n
n + 1
.
20. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
(a)
5
1 + 2x
;
(b) sin
x
2
;
(c) x
2
e
−x
;
(d)
x
3
16 − x
2
;
(e) sinh x;
(f) cos
2
x.
21. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
(a) f
(50)
(0), f (x) = x
2
cos x;
(b) f
(2015)
(0), f (x) = xe
−x
;
(c) f
(11)
(0), f (x) =
x
3
1 + x
2
;
(d) f
(10)
(0), f (x) = x sin
2
x
2
.
2
22. Wyznaczyć szeregi potęgowe f
′
(x) oraz
x
Z
0
f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
(a) f (x) =
1
1 + x
3
;
(b) f (x) = sin x
2
;
(c*) f (x) = e
x
2
.
23. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:
(a)
∞
X
n
=0
1
(n + 1)3
n
;
(b)
∞
X
n
=2
2n − 1
2
n
;
(c)
∞
X
n
=1
n(n + 1)
5
n
.
24. Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
(a)
1
Z
0
e
−x
2
dx, 0.001;
1
Z
0
sin x
2
dx, 0.0001.
Lista 4
25. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:
(a) f (x, y) =
y
y − x
2
;
(b) f (x, y) =
r y − 2
x + 1
;
(c) f (x, y) =
x
2
y
p4 − x
2
− y
2
;
(d) f (x, y) = ln
x
2
+ y
2
− 9
16 − x
2
− y
2
;
(e) g(x, y, z) =
√
x +
√
2 − z;
(f) g(x, y, z) = arc cos x
2
+ y
2
+ z
2
− 2
.
26. Naszkicować wykresy funkcji:
(a) f (x, y) = 1 −
px
2
+ y
2
;
(b) f (x, y) =
p3 + 2x − x
2
− y
2
;
(c) f (x, y) = x
2
− 2x + y
2
+ 2y + 3;
(d) f (x, y) = sin y;
(e) f (x, y) = x
2
− 1;
(f) f (x, y) = 1 − |x|.
* 27. Obliczyć granice:
(a)
lim
(x,y)→(0,0)
sin x
4
− y
4
x
2
+ y
2
; (b)
lim
(x,y)→(0,0)
1 − cos x
2
+ y
2
(x
2
+ y
2
)
2
; (c)
lim
(x,y)→(0,0)
xy
2
x
2
+ y
2
; (d)
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
+ y
2
cos
1
xy
.
28. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu f
x
, f
y
funkcji f i pochodne cząstkowe
g
x
, g
y
, g
z
funkcji g we wskazanych punktach:
(a) f (x, y) =
x
2
y
, (0, 1);
(b) f (x, y) =
px
6
+ y
6
, (0, 0);
(c) g(x, y, z) =
x
2
+ z
y
, (0, 1, 2).
29. Obliczyć pochodne cząstkowe f
x
, f
y
funkcji f i pochodne cząstkowe g
x
, g
y
, g
z
funkcji g:
(a) f (x, y) =
x
2
+ y
2
xy
;
(b) f (x, y) = arc tg
1 − xy
x + y
;
(c) f (x, y) = e
cos x
y
;
(d) f (x, y) = y
px
2
+ y
2
;
(e) f (x, y) = ln
x +
px
2
+ y
2
;
(f) g(x, y, z) = x
2
+
xz
y
+ yz
3
;
(g) g(x, y, z) =
x
x
2
+ y
2
+ z
2
;
(h) g(x, y, z) = cos(x sin(y cos z));
(i) g(x, y, z) =
r
x
2
+
q
y
2
+
p
z
2
+ 1.
Lista 5
* 30. Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie:
(a) f (x, y) = ln x
2
+ xy + y
2
,
xf
x
+ yf
y
= 2;
(b) f (x, y) =
√
x sin
y
x
,
xf
x
+ yf
y
=
f
2
.
31. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu f
xx
, f
xy
, f
yx
, f
yy
funkcji f i pochodne cząstkowe g
xx
, g
xy
, g
xz
,
g
yx
, g
yy
, g
yz
, g
zx
, g
zy
, g
zz
funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe:
(a) f (x, y) = cos x
2
+ y
2
;
(b) f (x, y) = ye
xy
;
(c) f (x, y) = x
2
+
y
3
x
;
(d) f (x, y) = y ln
x
y
;
(e) g(x, y, z) =
y
√
1 + x
2
+ z
2
;
(f) g(x, y, z) = ln x + y
2
+ z
3
+ 1
.
3
32. Obliczyć pochodne cząstkowe:
(a) h
xyy
,
h(x, y) = sin xy;
(b) h
yyxy
,
h(x, y) =
x + y
x − y
;
(c) h
xyz
,
h(x, y, z) =
x
2
y
3
z
.
33. Sprawdzić, że funkcje:
(a) z = arc tg
y
x
;
(b) z = x +
r
x
y
;
(c) z = x + ln
1 +
y
x
;
(d) z = x +
√
xy
spełniają równanie
x
2
z
xx
+ 2xyz
xy
+ y
2
z
yy
= 0, (x, y > 0).
34. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
(a) z = x
2
py + 1, (x
0
, y
0
, z
0
) = (1, 3, z
0
);
(b) z = e
x
+2y
,
(x
0
, y
0
, z
0
) = (2, −1, z
0
);
(c) z =
arc sin x
arc cos y
,
(x
0
, y
0
, z
0
) =
−
1
2
,
√
3
2
, z
0
!
;
(d) z = x
y
,
(x
0
, y
0
, z
0
) = (2, 4, z
0
).
35. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg
x
y
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
płaszczyzny x + y − z = 5.
(b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = x
2
+ y
2
, która jest prostopadła do prostej
x = t, y = t, z = 2t, t ∈ R.
Lista 6
36. (a) Wysokość i promień podstawy walca zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz
r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego walca?
(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni
się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
(c) Oszacować błąd względny δ
V
objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z
dokładnością odpowiednio ∆
x
, ∆
y
, ∆
z
.
* 37. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:
(a) z = f x
2
+ y
2
,
yz
x
− xz
y
= 0;
(b) z = xf (sin(x − y)) ,
z
x
+ z
y
=
z
x
;
(c) z = x
n
f
y
x
,
xz
x
+ yz
y
= nz (n ∈ N);
(d*) z =
x
y
g(x) + h
y
x
,
xyz
xy
+ y
2
z
yy
+ xz
x
+ 2yz
y
= 0.
38. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
(a) f (x, y) =
px
2
+ y
2
, (x
0
, y
0
) = (0, 0), v =
√
3
2
,
1
2
!
;
(b) f (x, y) =
3
√
xy, (x
0
, y
0
) = (1, 0), v =
√
2
2
,
√
2
2
!
;
(c) g(x, y, z) = x
2
+ yz, (x
0
, y
0
, z
0
) = (0, 0, 0), v =
3
13
,
4
13
,
12
13
.
39. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
(a) f (x, y) = x
2
+ y
2
, (x
0
, y
0
) = (−3, 4), v =
12
13
,
5
13
;
(b) f (x, y) = x −
y
x
2
+ y, (x
0
, y
0
) = (1, 1), v =
3
5
, −
4
5
;
(c) g(x, y, z) = e
xyz
, (x
0
, y
0
, z
0
) = (−1, 1, −1), v =
1
2
, −
3
4
,
√
3
4
!
.
40. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x
2
+ 2 ln(xy). w punkcie
−
1
2
, −1
w kierunku
wersora v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f (x, y) =
√
e
x
x + y
2
w punkcie (0, 2) ma pochodną
kierunkową równą 0.
4
Lista 7
41. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f (x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 51x − 24y;
(b) f (x, y) = xe
−y
+
1
x
+ e
y
;
(c) f (x, y) = xy
2
(12 − x − y) (x, y > 0);
(d) f (x, y) = y
√
x − y
2
− x + 6y;
(e) f (x, y) = x
3
+ y
3
− 3xy;
(f) f (x, y) =
8
x
+
x
y
+ y (x, y > 0);
(g) f (x, y) = xy + ln y + x
2
;
(h) f (x, y) = 4xy +
1
x
+
1
y
;
(i) f (x, y) = x − y
2
2
+ y − x
2
2
.
42. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:
(a) f (x, y) = x
2
+ y
2
, 3x + 2y = 6;
(b) f (x, y) = x
2
+ y
2
− 8x + 10, x − y
2
+ 1 = 0;
(c) f (x, y) = x
2
y − ln x, 8x + 3y = 0;
(d) f (x, y) = 2x + 3y, x
2
+ y
2
= 1.
43. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
(a) f (x, y) = 2x
3
+ 4x
2
+ y
2
− 2xy, D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
¬ y ¬ 4
;
(b) f (x, y) = x
2
+ y
2
− 6x + 4y, D =
(x, y) ∈ R
2
: x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x 0, y 0
;
(c) f (x, y) = x
2
+ y
2
, D =
(x, y ∈ R
2
: |x| + |y| ¬ 2
;
(d) f (x, y) = xy
2
+ 4xy − 4x, D =
(x, y) ∈ R
2
: −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0
;
(e) f (x, y) = x
4
+ y
4
, D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
¬ 9
.
44. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x
0
, y
0
), dla którego
suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
(c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
k :
x + y − 1 = 0,
z + 1
= 0,
l :
x − y + 3 = 0,
z − 2
= 0.
(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m
3
. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w
cenie 30 zł/m
2
, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m
2
, a sufitu w cenie 20 zł/m
2
. Znaleźć długość a, szerokość b i
wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę. Koszt
wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi
K(x, y) = x
2
− xy + y
2
[zł].
Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?
Lista 8
45. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
(a)
ZZ
R
x + xy − x
2
− 2y
dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]; (b)
ZZ
R
dxdy
(x + y + 1)
3
, R = [0, 2] × [0, 1];
(c)
ZZ
R
(x sin xy) dxdy, R = [0, 1] × [π, 2π];
(d)
ZZ
R
e
2x−y
dxdy, R = [0, 1] × [−1, 0].
46. Całkę podwójną
ZZ
D
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o
równaniach:
(a) y = x
2
, y = x + 2;
(b) x
2
+ y
2
= 4, y = 2x − x
2
, x = 0 (x, y 0);
(c) x
2
− 4x + y
2
+ 6y − 51 = 0;
(d) x
2
− y
2
= 1, x
2
+ y
2
= 3 (x < 0).
47. Obliczyć całki iterowane:
5
(a)
2
Z
1
dx
x
2
Z
x
y
x
2
dy;
(b)
4
Z
1
dx
2x
Z
x
x
2
√
y − x dy;
(c)
2
Z
−2
dx
√
4−x
2
Z
0
x
3
+ y
3
dy;
(d)
3
Z
0
dy
y
Z
0
py
2
+ 16 dx.
Narysować obszary całkowania.
48. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
(a)
1
Z
−1
dx
|x|
Z
0
f (x, y) dy;
(b)
1
Z
−1
dx
0
Z
−
√
1−x
2
f (x, y) dy;
(c)
4
Z
0
dx
2
√
x
Z
√
4x−x
2
f (x, y) dy;
(d)
√
2
Z
−
√
2
dy
y
2
2
Z
y
2
−1
f (x, y) dx;
(e)
π
Z
π
2
dx
sin x
Z
cos x
f (x, y) dy;
(f)
e
Z
1
dx
1
Z
ln x
f (x, y) dy.
49. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:
(a)
ZZ
D
xy
2
dxdy, D : y = x, y = 2 − x
2
;
(b)
ZZ
D
x
2
y dxdy, D : y = −2, y =
1
x
, y = −
√
−x;
(c)
ZZ
D
e
x
y
dxdy, D : y =
√
x, x = 0, y = 1;
(d)
ZZ
D
xy + 4x
2
dxdy, D : y = x + 3, y = x
2
+ 3x + 3;
(e)
ZZ
D
x
2
e
xy
dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0;
(f)
ZZ
D
(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x
2
(x 0);
(g)
ZZ
D
e
x
2
dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =
√
ln 3;
(h)
ZZ
D
(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y.
* 50. Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach:
(a)
ZZ
D
min(x, y) dxdy, D = [0, 1]×[0, 2];
(b)
ZZ
D
⌊x + y⌋ dxdy, D = [0, 2]×[0, 2];
(c)
ZZ
D
|x − y| dxdy, D =
(x, y) ∈ R
2
: x 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x
;
(d)
ZZ
D
sgn x
2
− y
2
+ 2
dxdy, D = (x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
¬ 4
.
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.
51. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
(a) f (x, y) = sin x cos y, D = [0, π] ×
h
0,
π
2
i
;
(b) f (x, y) = x + y, D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
* 52. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
(a)
ZZ
D
(x + y)
2
(x − y)
3
dxdy, D : x + y = −1, x + y = 1, x − y = 1, x − y = 3;
(b)
ZZ
D
dxdy
y
, D : y = x, y = 2x, y = −
1
2
x + 1, y = −2x + 4;
(c)
ZZ
D
xy dxdy, D : xy = 1, xy = 2, y = x
2
, y = 3x
3
;
(d*)
ZZ
D
x
4
− y
4
dxdy, D : x
2
+ y
2
= 3, x
2
+ y
2
= 5, x
2
− y
2
= 1, x
2
− y
2
= 2 (x 0, y 0).
Lista 9
53. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
6
(a)
ZZ
D
xy dxdy, D : x
2
+ y
2
¬ 1,
x
√
3
¬ y ¬
√
3x;
(b)
ZZ
D
xy
2
dxdy, D : x 0, 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 2;
(c)
ZZ
D
y
2
e
x
2
+y
2
dxdy, D : x 0, y 0, x
2
+ y
2
¬ 1;
(d)
ZZ
D
x
2
dxdy, D : x
2
+ y
2
¬ 2y;
(e)
ZZ
D
x
2
+ y
2
dxdy, D : y 0, y ¬ x
2
+ y
2
¬ x;
(f)
ZZ
D
y dxy, D : x
2
+ y
2
¬ 2x (y ¬ 0).
Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.
54. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a) y
2
= 4x, x + y = 3, y = 0 (y 0);
(b) x
2
+ y
2
− 2y = 0, x
2
+ y
2
− 4y = 0;
(c) x + y = 4, x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5;
(d) x
2
+ y
2
= 2y, y =
√
3|x|.
55. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
(a) y = z, y = 2x, y = 2, z = 0, z = y;
(b) x
2
+ y
2
+ z
2
= 4, z = 1 (z 1);
(c) x
2
+ y
2
− 2y = 0, z = x
2
+ y
2
, z = 0;
(d) z = 5 − x
2
+ y
2
, x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0;
(e*) (x − 1)
2
+ (y − 1)
2
= 1, z = xy, z = 0;
(f*) 2z = x
2
+ y
2
, y + z = 4.
56. Obliczyć pola płatów:
(a) z = x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
¬ 1; (b) x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
, x
2
+ y
2
− Rx ¬ 0, z 0; (c) z =
px
2
+ y
2
, 1 ¬ z ¬ 2.
57. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
(a) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x
, σ(x, y) = x;
(b) D =
(x, y) ∈ R
2
: 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 4, y 0
, σ(x, y) = |x|.
58. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ y ¬ 4 − x
2
;
(b) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin
2
x
;
(c) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ 1, |y| ¬ e
x
;
(d) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
(e) D — trójkąt równoboczny o boku 2a, do którego dołączono półkole o promieniu a;
(f) D — kwadrat o boku 1, z którego wycięto półkole o średnicy a.
59. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
(a) D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
¬ R
2
, y 0
, oś Ox, przyjąć σ(x, y) =
px
2
+ y
2
;
(b) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ y ¬ 1 − x
2
, oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x
2
;
(c) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x
, oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x;
(d) D — jednorodny kwadrat o masie M i boku a, przekątna kwadratu;
(e) D — jednorodny trójkąt równoboczny o masie M i boku a, oś symetrii.
Lista 10
60. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
(a)
ZZ
U
Z
x dxdydz
yz
, U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
(b)
ZZ
U
Z
(x + y + z) dxdydz, U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
(c)
ZZ
U
Z
sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, U = [0, π] × [0, π] × [0, π];
(d)
ZZ
U
Z
(x + y)e
x
+z
dxdydz, U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
7
61. Całkę potrójną z funkcji g(x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony po-
wierzchniami o podanych równaniach:
(a) z = 2
px
2
+ y
2
, z = 6;
(b) x
2
+ y
2
+ z
2
= 25, z = 4, (z 4);
(c) z = x
2
+ y
2
, z =
p20 − x
2
− y
2
.
* 62. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:
(a)
1
Z
0
dx
2−2x
Z
0
dy
3−3x−
3
2
y
Z
0
f (x, y, z) dz;
(b)
2
Z
−2
dx
0
Z
−
√
4−x
2
dy
√
4−x
2
−y
2
Z
−
√
4−x
2
−y
2
f (x, y, z) dz;
(c)
3
Z
0
dz
√
z
Z
−
√
z
dx
√
z
−x
2
Z
−
√
z
−x
2
f (x, y, z) dy;
(d)
1
Z
0
dx
√
1−x
2
Z
0
dy
1
Z
x
2
+y
2
f (x, y, z) dz.
63. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g(x, y, z) = e
x
+y+z
, U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;
(b) g(x, y, z) =
1
(3x+2y +z +1)
4
, U : x 0, y 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;
(c) g(x, y, z) = x
2
+ y
2
, U : x
2
+ y
2
¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;
(d) g(x, y, z) = x
2
y
2
, U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.
* 64. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:
(a)
ZZ
U
Z
x(x + y)
2
(x + y + z)
3
dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x + y = 1,
x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3;
(b)
ZZ
U
Z
y
x
2
dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 4, z = y +2,
z = y + 3, x > 0;
(c*)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła (x − R)
2
+ z
2
¬ r
2
,
y = 0, 0 < r ¬ R.
Lista 11
65. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:
(a)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
+ z
2
2
dxdydz, U : x
2
+ y
2
¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;
(b)
ZZ
U
Z
xyz dxdydz, U :
px
2
+ y
2
¬ z ¬
p1 − x
2
− y
2
;
(c)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
dxdydz, U : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ R
2
, x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 2Rz;
(d)
ZZ
U
Z
(x + y + z) dxdydz, U : x
2
+ y
2
¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.
66. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:
(a)
ZZ
U
Z
dxdydz
px
2
+ y
2
+ z
2
, U : 4 ¬ x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9;
(b)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
dxdydz, U :
px
2
+ y
2
¬ z ¬
p1 − x
2
− y
2
;
(c)
ZZ
U
Z
z
2
dxdydz, U : x
2
+ y
2
+ (z − R)
2
¬ R
2
(R > 0);
8
(d)
ZZ
U
Z
x
2
dxdydz, U : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4x.
67. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
(a) x
2
+ y
2
= 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
(b) x = −1, x = 2, z = 4 − y
2
, z = 2 + y
2
;
(c) z =
1
1 + x
2
+ y
2
, z = 0, x
2
+ y
2
= 1;
(d) x
2
+ y
2
+ z
2
= 2, y = 1 (y 1).
68. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
(b) U : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9, γ(x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
.
69. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
(c) U : x
2
+ y
2
¬ z ¬
p2 − x
2
− y
2
.
70. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) kula o promieniu R, względem osi symetrii.
Lista
12
71. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:
(a) 2t − 1;
(b) sin 2t;
(c) t
2
;
(d) te
−t
;
(e) e
2t
cos 2t;
(f) sinh t;
(g)
y
t
1
y = f (t)
1
(h)
y
t
1
2
y = g(t)
1
(i)
y
t
1
y = h(t)
1
72. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:
(a)
1
s + 2
;
(b)
s
s
2
+ 4s + 5
;
(c)
1
s
2
− 4s + 3
;
(d)
s + 2
(s + 1)(s − 2) (s
2
+ 4)
;
(e)
s
2
+ 1
s
2
(s
2
− 1)
2
;
(f)
s + 9
s
2
+ 6s + 13
;
(g)
2s + 3
s
3
+ 4s
2
+ 5s
;
(h)
3s
2
(s
3
− 1)
2
;
(i)
e
−s
s + 1
.
73. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współ-
czynnikach:
(a) y
′
− y = 1, y(0) = 1;
(b) y
′
− 2y = sin t, y(0) = 0;
(c) y
′′
+ y
′
= 0, y(0) = 1, y
′
(0) = 1;
(d) y
′′
+ 3y
′
= e
−3t
, y(0) = 0, y
′
(0) = −1;
(e) y
′′
− 2y
′
+ 2y = sin t, y(0) = 0, y
′
(0) = 1;
(f) y
′′
− 2y
′
+ y = 1 + t, y(0) = 0, y
′
(0) = 0;
(g) y
′′
+ 4y
′
+ 4y = t
2
, y(0) = 0, y
′
(0) = 0;
(h) y
′′
+ 4y
′
+ 13y = te
−t
, y(0) = 0, y
′
(0) = 2.
* 74. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:
(a) sin
4
t;
(b) cos 4t cos 2t;
(c) t
2
cos t;
(d) t sinh 3t;
(e) te
t
cos t;
(f) e
3t
sin
2
t;
(g) 1(t − 2) sin(t − 2);
(h) 1(t − 1)e
t
−1
.
9
* 75. Obliczyć sploty par funkcji:
(a) f (t) = e
t
, g(t) = e
2t
;
(b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;
(c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;
(d) f (t) = e
t
, g(t) = t.
* 76. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:
(a)
1
(s + 1)(s + 2)
;
(b)
1
(s − 1)
2
(s + 2)
;
(c)
1
s
2
(s
2
+ 1)
;
(d)
s
(s
2
+ 1)
2
.
Lista 13
77. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:
(a) f (t) =
(
sin t
dla
|t| ¬ π,
0
dla
|t| > π;
(b) f (t) =
cos t
dla |t| ¬
π
2
,
0
dla |t| >
π
2
;
(c) f (t) =
(
t
dla |x| ¬ 1,
0
dla |x| > 1;
(d) f (t) =
(
t
2
dla
|t| ¬ 1,
0 dla
|t| > 1;
(e) f (t) = e
−|t|
;
(f*) f (t) = e
−at
2
, a 6= 0.
Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość
∞
Z
−∞
e
−at
2
dt =
r π
a
.
78. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji
y
t
c
c −
δ
2
c +
δ
2
h
79. Pokazać, że jeżeli F {f(t)} = ˆ
f (ω), to:
(a) F {f(t) cos αt} =
1
2
h ˆ
f (ω − α) + ˆ
f (ω + α)
i
;
(b) F {f(t) sin αt} =
1
2i
h ˆ
f (ω − α) − ˆ
f (ω + α)
i
.
80. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji:
(a) f (t) = e
−3|t−1|
;
(b) f (t) = te
−|t|
;
(c) f (t) = e
−4t
2
−4t−1
;
(d) f (t) =
(
cos
t
2
dla
|t| ¬ π,
0
dla
|t| > π;
(e) f (t) =
(
2 cos t
dla
|t| ¬ π,
0
dla
|t| > π;
(f) f (t) = [1(t) − 1(t − 4)] · t;
(g) f (t) = 1(t) · e
−t
cos t;
(h) f (t) = e
−|t|
cos
t
2
;
(i) f (t) = e
−|t|
sin 2t.
Uwaga. 1(t) =
0 dla
t < 0,
1 dla
t 0
– funkcja Heaviside’a.
* 81. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:
(a)
y
t
−2
2
2
(b)
y
t
−2 −1
2
1
2
* 82. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).
x(t)
y(t)
R
L
C
+
−
+
−
Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).
83. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t
2
f
′′
(t) + 2f
′′′
(t), jeżeli ˆ
f (ω) =
1
1 + ω
2
.
10
84. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:
(a)
1
1 + 2iω
;
(b)
1
4 + ω
2
;
(c)
e
2iω
1 + iω
;
(e)
sin ω cos ω
2ω
;
(f)
1
(1 + ω
2
) (4 + ω
2
)
;
85. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:
(a) f (t) = g(t) = 1(t) − 1(t − 1),
(b) f (t) = 1(t) − 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) − 1(t),
(c) f (t) = 1(t) · e
−t
, g(t) = 1(t) · e
−2t
,
(d) f (t) = g(t) = e
−t
2
.
Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów
W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sfor-
mułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia (podać założenia i tezę), napisać zastosowane
wzory ogólne (z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z
pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane.
I kolokwium
Zestaw A
1. Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju
∞
Z
0
√
3
−x
dx.
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n
=1
n2
n
+ 1
n3
n
+ 1
.
3. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n
=0
(x + 5)
n
√
n + 2
.
4. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif (x, y) = arc sin
1
2
+ x
2
− y
w punkcie jego
przecięcia z osią Oz.
Zestaw B
1. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
Z
2
√
x
2
+ 1 dx
x
3
+ 1
.
2. Uzasadnić zbieżność szeregu
∞
X
n
=2
(−1)
n
ln(n + 1)
n
.
3. Funkcję f (x) =
x
2
1 + 4x
rozwinąć w szereg Maclaurina. Podać wraz z uzasadnieniem przedział zbieżności.
4. Narysować dziedzinę funkcji f (x, y) =
√
y − x · ln 9 − x
2
− y
2
i obliczyć jej pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu.
Zestaw C
1. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju
1
Z
0
(x + 1) dx
√
x (1 +
√
x)
.
2. Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu
∞
X
n
=1
arc tg 2n
4n
2
+ 1
.
3. Napisać rozwinięcie funkcji f (x) =
e
2x
+ 1
e
3x
w szereg Maclaurina, a następnie obliczyć f
(101)
(0).
4. Napisać równanie płaszczyny stycznej do powierzchni (x + 2)
2
+ (y − 3)
2
+ z
2
= 6 w punkcie (0, 2, −1).
11
Zestaw D
1. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu
∞
X
n
=1
(−1)
n
√
n + 1
n
.
2. Funkcję f (x) =
1
4x
2
+ 1
oraz jej pochodną f
′
(x) rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać promienie ich
zbieżności. Następnie obliczyć sumę szeregu
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
4
n
.
3. Na powierzchni z = y ln 1 + x + y
2
znaleźć taki punkt, aby płaszczyzna styczna do tej powierzchni w tym
punkcie była równoległa do płaszczyzny z − y ln 2 = 0.
4. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f (x) =
√
x
y
w kierunku wersora
√
2/2,
√
2/2
przyjmuje wartość 0.
II kolokwium
Zestaw A
1. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = x
2
− y
e
2y−x
w punkcie (x
0
, y
0
) = (1, 1) w kierunku
wersora tworzącego kąt α = π/3 z dodatnią częścią osi Ox.
2. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) =
x
y
+
y + 1
√
x
.
3. Jednorodna figura składa się z kwadratu o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu 1. Wyznaczyć
położenie środka masy tej figury.
4. Obliczyć objętośc bryły U ograniczonej powierzchniami:
x
2
+ y
2
= 1, z = x
2
+ y
2
− 3, z = 5 −
px
2
+ y
2
.
Zestaw B
1. Znaleźć wartości najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x
2
− y
2
w trójkącie
T =
(x, y) ∈ R
2
: x 1, y 1, x + y ¬ 4
.
2. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bez-
władności płytki względem jej osi symetrii.
3. Obliczyć całkę
ZZ
D
y dxdy
(x
2
+ y
2
)
3
, gdzie D =
(x, y) ∈ R
2
: 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 9, y ¬ 0
.
4. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji f (t) = e
−t
.
Zestaw C
1. Uzasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V , sześcian ma najmniejsze pole powierzchni
całkowitej.
2. Zmienić kolejność całkowania w całce
2
Z
0
dy
1
Z
−2+
√
2y−y
2
f (x, y) dx. Naszkicować obszar całkowania.
3. Obliczyć całkę z funkcji f (x, y, z) = z po obszarze V ograniczonym płaszczyznami x + y = 1, x + y = 2,
x = 0, y = 0, z = 0, z = 1. Naszkicować obszar V .
4. Rozwiązać równanie różniczkowe y
′′
+ 2y
′
+ 5y = −5 z zerowymi warunkami początkowymi.
12
Zestaw D
1. Sprawdzić, że funkcja z = arc tg
y
x
spełnia warunek x
2
z
xx
+ 2xyz
xy
+ y
2
z
yy
= 0, gdzie x, y > 0.
2. Całkę podwójną z funkcji f (x, y), po obszarze D ograniczonym krzywymi y = 2 − x
2
, x = |y|, y = −2
zamienić na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.
3. Obliczyć pole części powierzchni sfery x
2
+ y
2
+ z
2
= 3 leżącej wewnątrz paraboloidy 2z = x
2
+ y
2
. Sporządzić
rysunek.
4. Obliczyć całkę potrójną z funkcji f (x, y, z) = x po obszarze V : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 16, x 0, y ¬ 0, z 0.
Sporządzić rysunek. Zastosować współrzędne sferyczne.
Egzamin podstawowy
Zestaw A
1. Obliczyć całkę niewłaściwą
∞
Z
0
e
−x
dx
√
1 + e
−x
.
2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n
=0
3
n
(x − 2)
n
√
n + 1
.
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y
√
x +
y
√
x
+
8
y
2
.
4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:z =
p25 − (x
2
+ y
2
), z = 1 +
px
2
+ y
2
.
5. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu
1. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury.
6. Znaleźć przekształcenie Laplace’a funkcji f (t) = t − 1.
Zestaw B
1. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach
z = x
2
+ y
2
, z =
9
2
+
1
2
x
2
+ y
2
.
Sporządzić rysunek.
2. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) = x + y
2
− 2 ln(xy).
3. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce
16
Z
1
dx
log
2
x
Z
log
4
x
f (x, y) dy.
4. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n
=1
(n!)
2
(2n)!
.
5. Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu 1. Wyznaczyć
położenie środka masy tej figury.
6. Metodą transformaty Laplace’a rozwiązać zagadnienie początkowe y
′
+ 2y = e
t
, y(0) = −1.
Egzamin poprawkowy
Zestaw A
1. Obliczyć całkę niewłaściwą
∞
Z
1
x dx
x
4
+ 1
.
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n
=1
5
n
+ 3
n
n!
.
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e
3−y
+ e
x
+ e
y
−x
.
13
4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej
1
Z
0
dx
2+x
2
Z
√
x
f (x, y) dy.
5. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym
R.
6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach: x
2
+ y
2
= 1, z = 4 − x
2
+ y
2
, z = 2.
Zestaw B
1. Obliczyć całkę niewłaściwą
∞
Z
2
dx
x
2
− x
.
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n
=1
arc ctg n.
3. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) = (y + 2)
√
x +
4
xy
.
4. Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce
12
Z
−1
dx
x
2
−2x
Z
|x|−3
f (x, y) dy.
5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach
z =
1
2
px
2
+ y
2
, z = 6 −
1
4
x
2
+ y
2
.
Sporządzić rysunek.
6. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = y
3
+
p1 − x
2
y
2
w punkcie jego przecięcia
z osią Oy.
Egzamin na ocenę celującą
Zestaw z 2013 r.
1. Jednorodna bryła jest ograniczona paraboloidą z = a x
2
+ y
2
(a > 0) oraz płaszczyzną z = 1 (rysunek).
Dla jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią
symetrii, czyli będzie wańką-wstańką
2. Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe. W jakim stosunku powinny się one
przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy?
3. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n
=2
2 −
n
√
n
n
.
4. Niech [a, b], [c, d] będą przedziałami w R. Pokazać, że jeżeli dla dowolnego wielomianu W stopnia 2013 za-
chodzi równość
b
Z
a
W (x) dx =
d
Z
c
W (x) dx,
to [a, b] = [c, d].
14
Zestaw A z 2014 r.
1. Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą (oś Ox). Równolegle do drogi, w
odległości 1, stoi reklama o długości 1.
x
1
2
n
1
Reklama
Kamera
αn
Niech α
n
(n ∈ N) oznacza kąt widzenia reklamy w chwili, gdy kamera jest w punkcie n drogi. Uzasadnić, że
szereg
∞
X
n
=1
α
n
jest zbieżny i wyznaczyć jego sumę.
2. Pokazać, że funkcja f (x, y) = y
2
+ x
2
(1 + y)
3
ma tylko jeden punkt stacjonarny, a w nim – minimum lokalne
właściwe, ale w R
2
nie przyjmuje wartości najmniejszej.
3. Obliczyć całkę
π
2
Z
0
dϕ
√
sin ϕ + √cos ϕ
4
.
4. Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a. Obliczyć moment bezwładności czworościanu
względem prostej zawierającej jego wysokość.
Zestaw B z 2014 r.
1. Symbol {x} oznacza część ułamkową liczby x, tj. {x} = x − ⌊x⌋ . Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
n
=1
{log
5
(3
n
+ 4
n
+ 5
n
)} .
2. Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami
o promieniach r i R (r < R) (rysunek). Obliczyć pole tej drogi.
x
y
z
R
r
h
3. Zbadać zbieżność całki
∞
Z
0
5
x
3
dx
2
x
4
.
4. Pokazać, że ze wzorów
x
C
=
x
1
+ x
2
+ . . . + x
n
n
, y
C
=
y
1
+ y
2
+ . . . + y
n
n
(n 3)
można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami
(x
1
, y
1
) , (x
2
, y
2
) , . . . (x
n
, y
n
) tylko dla n = 3.
15