III. Zasada zachowania momentu pędu
193. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma
w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się
prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu?
Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
Rozwiązanie:
194. Na poziomo wirującym pręcie o masie M, przez środek którego przechodzi prostopadle do ziemi
oś, siedzi małpka o masie m. Pręt ma długość l i wiruje z prędkością kątową ω
1
. Jaka będzie prędkość
kątowa po przejściu małpki do środka?
Rozwiązanie:
195. Cienki drewniany pręt o długości l = 1,5 m i masie m = 10 kg został zawieszony pionowo i może
obracać się wokół nieruchomej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej chwili w środek
pręta uderza kula o masie m
1
= 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością v
1
= 500 m/s i po uderzeniu
pozostaje w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli. Przyjąć
g = 10 m/s
2
.
Rozwiązanie:
196. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty
bezwładności tarcz wynoszą I
1
, I
2
a ich prędkości kątowe ω
1
i ω
2
. Po upadku tarczy górnej na dolną
obie tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznaczyć:
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu;
b) pracę wykonaną przez siły tarcia.
Rozwiązanie:
197. Człowiek stoi na osi obrotowego stolika trzymając pionowo nad głową obracające się wokół
pionowej osi (za którą człowiek trzyma oburącz) z prędkością kątową ω
0
koło rowerowe o momencie
bezwładności I
0
. Wyznaczyć prędkość kątową ω
1
ruchu obrotowego stolika po:
a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 180
o
wokół poziomej osi,
b) zahamowaniu koła przez człowieka, jeżeli moment bezwładności człowieka i stolika wynosi I.
Rozwiązanie:
Mg
T
a
b
mg
198. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej
przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć prędkość
kątową tarczy ω, gdy człowiek zacznie się poruszać wzdłuż jej brzegu z prędkością v względem niej.
Rozwiązanie:
199. Dziewczynka o masie m stoi na brzegu masywnego okrągłego, nieruchomego stołu (tarczy)
o promieniu R i masie M, który może się obracać wokół pionowej osi bez tarcia. W pewnej chwili
dziewczynka rzuca poziomo kamień o masie m
0
w kierunku stycznym do zewnętrznej krawędzi stołu z
prędkością v względem ziemi. Ile wynosi po wyrzuceniu kamienia: a) prędkość kątowa stołu,
b) prędkość liniowa dziewczynki?
Rozwiązanie:
200. Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej wokół
pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do
żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD
bezpośrednio po przyklejeniu się gumy?
Rozwiązanie:
IV. Równowaga mechaniczna
201. Jednorodna belka o długości L i masie M. spoczywa na dwu podporach. Punkty podparcia belki
znajdują się: jeden na końcu belki, a drugi w odległości d od drugiego końca. Wyznaczyć wartości sił
działających na podpory.
Rozwiązanie:
202. Jednorodna metalowa belka o długości
4 m
L
i masie
60 kg
m
spoczywa na ramionach dwóch robotników (patrz rysunek). Punkty podparcia belki
znajdują się: jeden na jednym jej końcu, a drugi w odległości
m
1
d
od drugiego końca. Jaka jest
wartość sił działających na ramiona robotników.
Rozwiązanie:
203. Ciężar o masie M zwisa na sznurze z wysięgnika. Wysięgnik składa się z
belki o masie m na zawiasie i poziomej liny o znikomo małej masie łączącej belkę
ze ścianą. Ile wynosi wartość siły
T
Rozwiązanie:
d
L
F
2
F
1
V. Sprężystość ciał stałych
204. Ile wynosi naprężenie pręta o przekroju kwadratu o boku 3 cm, jeżeli jest on ściskany siłą
4
5 10
N?
Rozwiązanie:
205. Siła 10 kN spowodowała wydłużenie pręta o 2 cm. Ile będzie wynosić naprężenie w pręcie, gdy
zwiększymy siłę o kolejne 5 kN. Pole przekroju pręta wynosi 1 cm
2
. W całym zakresie sił można
stosować prawo Hooke’a.
Rozwiązanie:
206. Beton o gęstości masy 2000 kg/m
3
kruszy się, gdy jest poddany naprężeniom większym
od 20 mln N/m
2
. Jaką jest maksymalna wysokość słupa betonowego o przekroju poprzecznym A?
Rozwiązanie:
207. Moduł objętościowej ściśliwości B =
[naprężenie (lub ciśnienie)]/[
V/V
0
], gdzie
V = V
V
0
,
V
objętość ciała poddanego naprężeniu (ciśnieniu), V
0
objętość ciała przy zerowym naprężeniu
(ciśnieniu), wynosi 60 mld N/m
2
. Stalowy sześcian o boku 0,4 m opadł na dno Rowu Mariańskiego
o głębokości 11 km. Ciśnienie na tej głębokości wynosi 110 mln N/m
2
. Pokazać, że stalowy sześcian
spoczywający na dnie Rowu ma objętość mniejszą o 117,(3) cm
3
, a długość jego boku wynosi
399,76 mm.
Rozwiązanie:
208. Moduł ścinania S =
(F/A)/[
x/h], gdzie
A
powierzchnia, do której stycznie jest
przyłożona siła F (patrz rysunek obok),
x
jest przesunięciem powierzchni, do której
przyłożona jest F, h – wysokość próbki
materiału. Do jednej ze ścian aluminiowego
sześcianu przyłożono stycznie siłę F = 7·10
7
N.
Zmierzona wartość
x = 2,5 mm. Bok
sześcianu miał początkowo długość h = 0,40
m. Oszacuj wartość S dla aluminium.
Rozwiązanie:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,
Autorki rozwiązań :
Zad. 193 – 207 dr S.Szarska
Zad. 208 dr K.Żukowska
III. Zasada zachowania momentu pędu
RZad193
Rozwiązujemy zadanie korzystając z zasady zachowania momentu pędu.
Moment pędu (L=Iω )człowieka z wyciągniętymi rękami jest równy momentowi pędu człowieka z
opuszczonymi rękami:
L
1
=L
2
I
1
ω
1
= I
2
ω
2
Moment bezwładności człowieka z wyciągniętymi rękami (I
1
) jest sumą momentu bezwładności
stolika z człowiekiem oraz momentowi bezwładności 2 ciężarków znajdujących się w odległości l od
osi obrotu:
I
1
=I+2ml
2
I
2
=I
ω
1
=ω
Podstawiając te wielkości do równania otrzymamy prędkość kątową układu, gdy człowiek opuści
ręce:
(I+2ml
2
)ω = I ω
2
ω
2
=
)
2
1
(
2
I
ml
Energia kinetyczna człowieka z wyciągniętymi rękami wynosi:
E
k1
= ½(I+2ml
2
)ω
2
E
k2
= ½ I
2
2
Stosunek energii kinetycznej człowieka z opuszczonymi rękami do człowieka z rozłożonymi rękami
wynosi:
I
ml
E
E
k
k
2
1
2
2
1
RZad194
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu układu z małpką znajdującą się na
końcu pręta jest sumą momentu pędu pręta i małpki:
L
1
=Iω
1
+m
2
2
l
ω
1
Moment bezwładności pręta, gdy oś obrotu przechodzi przez środek wynosi:
12
1
I
Ml
2
Moment pędu układu, gdy małpka znajduje się w osi obrotu (odległość od osi wynosi 0) jest równy:
L
2
=Iω
2
Ponieważ L
1
=L
2
i podstawiając moment bezwładności otrzymujemy równanie:
2
2
1
2
1
2
12
1
4
12
1
Ml
l
m
Ml
Mnożąc obustronnie przez 12 i dzieląc przez l
2
otrzymujemy:
(M+3m)ω
1
=M ω
2
M
m
M
1
2
)
3
(
RZad195
W zadaniu mamy do czynienia ze zderzeniem niesprężystym. Moment pędu przed zderzeniem wynosi:
L=
2
1
1
l
m
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, ze moment pędu po zderzeniu musi być taki sam:
L=
2
1
l
m
I
Moment bezwładności pręta, gdy oś obrotu znajduje się na jego końcu wynosi:
2
3
1
ml
I
Prędkość liniowa środka pręta jest związana z prędkością kątowa następującym wzorem:
2
l
Wstawiając powyższe wielkości do zasady zachowania momentu pędu oraz mnożąc równanie przez 6
otrzymamy:
3m
1
υ
1
l=4mlυ+3m
1
υl
Z tego równania wyliczamy υ, a następnie korzystając z tego, że ω=2υ/l, otrzymamy:
1
1
1
3
4
3
m
m
m
;
l
m
m
m
)
3
4
(
6
1
1
1
Dla środka masy pręta energii kinetyczna układu zamienia się na energie potencjalna.
Energia kinetyczna wynosi:
2
2
2
1
2
1
m
I
E
k
Energia potencjalna układu pręt i kulka w środku masy jest równa:
E
p
=(m+m
1
)gh
Wstawiając otrzymane wyżej wielkości momentu bezwładności pręta, prędkości kątowej układu oraz
prędkości liniowej układu otrzymujemy równanie:
gh
m
m
m
m
m
m
l
m
m
m
ml
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
3
4
3
2
1
3
4
6
3
1
2
1
Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu wielkości w równaniu otrzymamy wynik określający, na
jaką wysokość wzniesie się środek masy układu:
2
1
1
2
1
2
1
)
3
4
(
)
(
21
m
m
g
m
m
m
h
Zaś koniec pręta wzniesie się na wysokość 2h:
H=
2
1
1
2
1
2
1
)
3
4
(
)
(
42
m
m
g
m
m
m
RZad196
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu układu przed złączeniem tarcz był
równy sumie momentów pędu każdej tarczy z osobna. Po złączeniu tarcze obracają się z jednakowa
prędkością kątowa, a moment bezwładności układu jest równy sumie momentów bezwładności tarcz:
)
(
2
1
2
2
1
1
I
I
I
I
I
Skąd możemy obliczyć prędkość kątową układu po złączeniu tarcz:
2
1
2
2
1
1
I
I
I
I
Praca wykonana przez układ w wyniku połączenia tarcz jest równa zmianie energii kinetycznej układu
przed i po połączeniu:
W = ΔE
k
=
)
(
2
)
(
2
)
(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
I
I
I
I
I
I
I
I
RZad197
Moment pędu układu człowiek + koło rowerowe wynosi na początku:
L=I
0
ω
0
a) po obróceniu koła o 180˚, jego moment pędu zmieni się na przeciwny, czego skutkiem będzie
wprawienie ruch obrotowy człowieka ze stolikiem. Jeśli prędkość obrotowa człowieka ze stolikiem
będzie ω
1
, to całkowity moment pędu teraz wyniesie:
L=
0
0
1
I
I
Z zasady zachowania momentu pędu:
I
0
ω
0
=
0
0
1
I
I
skąd
I
0
0
1
I
2
b) Po zahamowaniu koła rowerowego całkowity moment pędu układu będzie równy momentowi pędu
stolika z człowiekiem:
L=Iω
2
Z zasady zachowania momentu pędu:
I
0
ω
0
= Iω
2
Skąd możemy wyliczyć prędkość kątową układu:
I
I
0
0
2
RZad198
Na początku człowiek i tarcza są w spoczynku, więc moment pędu układu jest równy zeru.
Człowiek porusza się z prędkością kątową
R
c
, ale jednocześnie jest unoszony przez tarcze z
prędkością ω
t
w kierunku przeciwnym. Moment pędu poruszającego się człowieka wynosi:
L
c
=I
c
ω
t
-I
c
ω
c
Traktując człowieka jako punkt materialny znajdujący się na obrzeżu tarczy, możemy napisać, że jego
moment bezwładności wynosi: I
c
=mR
2
. Prędkość kątowa człowieka jest związana z jego prędkością
liniową następującym wzorem: ω
c
=υ/R, więc moment pędu człowieka wynosi:
L
c
=mR
2
R
t
Moment pędu tarczy wynosi:
L
t
=I
0
ω
t
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, ze suma pędu człowieka i tarczy musi być równa zeru:
L
c
+L
t
=0
c
c
t
t
c
I
I
I
0
skąd możemy wyliczyć prędkość kątową tarczy:
2
0
mR
I
mR
t
RZad199
Na początku dziewczynka i tarcza są w spoczynku, więc moment pędu układu wynosi zero. W wyniku
rzutu, tarcza wraz z dziewczynką zaczęła poruszać się w kierunku przeciwnym. Moment pędu kuli jest
równy momentowi pędu tarczy wraz z dziewczynką. Moment bezwładności kuli (traktowanej jako
punkt materialny) wynosi: I
0
=m
0
R
2
. Moment bezwładności tarczy wynosi I
t
=1/2 MR
2
, a dziewczynki
(punkt materialny) I
d
=mR
2
. Prędkość kątowa kuli wynosi: ω
k
=υ/R. Podstawiając otrzymane wielkości
do równania na zasadę zachowania momentu pędu otrzymamy:
t
k
mR
MR
R
m
2
2
2
0
2
1
Z tego równania możemy wyliczyć prędkość kątowa tarczy (i dziewczynki):
R
m
M
m
t
)
2
1
(
0
Ze związku miedzy prędkością liniowa i kątowa możemy wyliczyć prędkość liniową z jaką obraca się
dziewczynka:
d
)
2
1
(
0
m
M
m
RZdad200
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu:
L=const
I
1
ω=I
2
ω
2
Moment bezwładności tarczy
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
r
M
mr
mr
Skąd można wyliczyć ω
2
:
M
m
m
9
8
2
RZad201
Sumy sił i momentów sił względem osi obrotu musza być równe 0. Znak minus przy siłach reakcji
podłoża wskazują, że są one skierowane przeciwnie do kierunku siły ciężkości.
Mg-R
1
-R
2
=0
Suma momentów sił względem środka masy Wynosi:
R
1
L/2=R
2
(l/2-d)
l
d
l
R
R
)
2
(
2
1
0
)
2
(
2
2
2
d
R
l
l
d
l
R
l
Mg
)
(
2
2
d
l
Mgl
R
)
(
2
)
2
(
1
d
l
d
l
Mg
R
RZad202
Rozwiązanie jest identyczne jak w zadaniu 201. Siła F
1
= R
1
co do wartości, ale jest przeciwnie
skierowana. Podobnie jest z siłą F
2
.
N
d
l
d
l
Mg
F
200
)
1
4
(
2
)
2
4
(
10
60
)
(
2
)
2
(
1
N
d
l
Mgl
F
400
6
2400
)
1
4
(
2
4
10
60
)
(
2
2
Odpowiedź: Jeden robotnik utrzymuje ciężar 200N, a drugi 400N.
RZad203
Przy rozwiązaniu tego zadania korzystamy z zasady zachowania momentu siły. Oś obrotu znajduje się
w miejscu zawiasu. Suma momentów sił względem tego punktu musi być równa zeru, aby ciało nie
obracało się wokół osi. Ramię siły mg wynosi b/2, siły Mg wynosi b, a siły T równa się a.
0
2
Ta
Mgb
b
mg
a
M
m
gb
a
Mgb
b
mg
T
2
)
2
(
2
V. Sprężystość ciał stałych
RZad204
Korzystamy z definicji naprężenia:
σ
2
a
F
S
F
S=a
2
.
Odpowiedź: Naprężenie wynosi (5/9)
.
10
8
N/m
2
RZad205
F=10kN
Δl=2cm=0,02m
F1=15kN
l
l
E
S
F
RZad206
Gęstość wyraża się następującym wzorem:
ρ=m/V
V=Sh
Naprężenie jest zdefiniowane:
σ
S
mg
S
F
m=
g
S
h=
g
S
m
Odpowiedź: Wysokość słupa betonowego wynosi 1000m?
RZad207
2
0
60
m
N
mld
V
V
p
B
V
0
=a
3
=64
3
3
10 m
0
V
V
V
0
1
V
V
B
p
0
1
2
V
V
B
p
B
V
p
V
0
2
1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Autorka rozwiązań dr K. Żukowska
RZad208
Podstawiając do wzoru dane liczbowe podane w treści zadania
oszacujemy wartość modułu ścinania dla aluminium
2
2
7
3
2, 7 10
0, 4
2,5 10
0, 4
27
S
F A
x h
F h
x h
N
m
m
m
GPa
Oszacowana wartość modułu ścinania dla aluminium wynosi 27GPa i jest zgodna z podawaną
w tablicach fizycznych.