III. Zasada zachowania momentu pędu

193. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma
w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się
prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu?
Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.

Rozwiązanie:

194. Na poziomo wirującym pręcie o masie M, przez środek którego przechodzi prostopadle do ziemi
oś, siedzi małpka o masie m. Pręt ma długość l i wiruje z prędkością kątową ω

1

. Jaka będzie prędkość

kątowa po przejściu małpki do środka?

Rozwiązanie:

195. Cienki drewniany pręt o długości l = 1,5 m i masie m = 10 kg został zawieszony pionowo i może
obracać się wokół nieruchomej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej chwili w środek
pręta uderza kula o masie m

1

= 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością v

1

= 500 m/s i po uderzeniu

pozostaje w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli. Przyjąć
g = 10 m/s

2

.

Rozwiązanie:

196. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty
bezwładności tarcz wynoszą I

1

, I

2

a ich prędkości kątowe ω

1

i ω

2

. Po upadku tarczy górnej na dolną

obie tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznaczyć:

a) prędkość kątową tarcz po złączeniu;

b) pracę wykonaną przez siły tarcia.

Rozwiązanie:

197. Człowiek stoi na osi obrotowego stolika trzymając pionowo nad głową obracające się wokół
pionowej osi (za którą człowiek trzyma oburącz) z prędkością kątową ω

0

koło rowerowe o momencie

bezwładności I

0

. Wyznaczyć prędkość kątową ω

1

ruchu obrotowego stolika po:

a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 180

o

wokół poziomej osi,

b) zahamowaniu koła przez człowieka, jeżeli moment bezwładności człowieka i stolika wynosi I.

Rozwiązanie:

Mg

T

a

b

mg

198. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej
przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć prędkość
kątową tarczy ω, gdy człowiek zacznie się poruszać wzdłuż jej brzegu z prędkością v względem niej.

Rozwiązanie:

199. Dziewczynka o masie m stoi na brzegu masywnego okrągłego, nieruchomego stołu (tarczy)
o promieniu R i masie M, który może się obracać wokół pionowej osi bez tarcia. W pewnej chwili
dziewczynka rzuca poziomo kamień o masie m

0

w kierunku stycznym do zewnętrznej krawędzi stołu z

prędkością v względem ziemi. Ile wynosi po wyrzuceniu kamienia: a) prędkość kątowa stołu,
b) prędkość liniowa dziewczynki?

Rozwiązanie:

200. Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej wokół
pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do
żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD
bezpośrednio po przyklejeniu się gumy?

Rozwiązanie:

IV. Równowaga mechaniczna

201. Jednorodna belka o długości L i masie M. spoczywa na dwu podporach. Punkty podparcia belki
znajdują się: jeden na końcu belki, a drugi w odległości d od drugiego końca. Wyznaczyć wartości sił
działających na podpory.

Rozwiązanie:

202. Jednorodna metalowa belka o długości

4 m

L



i masie

60 kg

m



spoczywa na ramionach dwóch robotników (patrz rysunek). Punkty podparcia belki

znajdują się: jeden na jednym jej końcu, a drugi w odległości

m

1



d

od drugiego końca. Jaka jest

wartość sił działających na ramiona robotników.

Rozwiązanie:

203. Ciężar o masie M zwisa na sznurze z wysięgnika. Wysięgnik składa się z
belki o masie m na zawiasie i poziomej liny o znikomo małej masie łączącej belkę
ze ścianą. Ile wynosi wartość siły

T

Rozwiązanie:

d

L

F

2

F

1

V. Sprężystość ciał stałych

204. Ile wynosi naprężenie pręta o przekroju kwadratu o boku 3 cm, jeżeli jest on ściskany siłą

4

5 10



N?

Rozwiązanie:

205. Siła 10 kN spowodowała wydłużenie pręta o 2 cm. Ile będzie wynosić naprężenie w pręcie, gdy
zwiększymy siłę o kolejne 5 kN. Pole przekroju pręta wynosi 1 cm

2

. W całym zakresie sił można

stosować prawo Hooke’a.

Rozwiązanie:

206. Beton o gęstości masy 2000 kg/m

3

kruszy się, gdy jest poddany naprężeniom większym

od 20 mln N/m

2

. Jaką jest maksymalna wysokość słupa betonowego o przekroju poprzecznym A?

Rozwiązanie:

207. Moduł objętościowej ściśliwości B =



[naprężenie (lub ciśnienie)]/[



V/V

0

], gdzie



V = V



V

0

,

V



objętość ciała poddanego naprężeniu (ciśnieniu), V

0



objętość ciała przy zerowym naprężeniu

(ciśnieniu), wynosi 60 mld N/m

2

. Stalowy sześcian o boku 0,4 m opadł na dno Rowu Mariańskiego

o głębokości 11 km. Ciśnienie na tej głębokości wynosi 110 mln N/m

2

. Pokazać, że stalowy sześcian

spoczywający na dnie Rowu ma objętość mniejszą o 117,(3) cm

3

, a długość jego boku wynosi

399,76 mm.

Rozwiązanie:

208. Moduł ścinania S =



(F/A)/[



x/h], gdzie

A



powierzchnia, do której stycznie jest

przyłożona siła F (patrz rysunek obok),



x



jest przesunięciem powierzchni, do której
przyłożona jest F, h – wysokość próbki
materiału. Do jednej ze ścian aluminiowego
sześcianu przyłożono stycznie siłę F = 7·10

7

N.

Zmierzona wartość



x = 2,5 mm. Bok

sześcianu miał początkowo długość h = 0,40
m. Oszacuj wartość S dla aluminium.

Rozwiązanie:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,

Autorki rozwiązań :

Zad. 193 – 207 dr S.Szarska

Zad. 208 dr K.Żukowska

III. Zasada zachowania momentu pędu

RZad193

Rozwiązujemy zadanie korzystając z zasady zachowania momentu pędu.

Moment pędu (L=Iω )człowieka z wyciągniętymi rękami jest równy momentowi pędu człowieka z
opuszczonymi rękami:

L

1

=L

2

I

1

ω

1

= I

2

ω

2

Moment bezwładności człowieka z wyciągniętymi rękami (I

1

) jest sumą momentu bezwładności

stolika z człowiekiem oraz momentowi bezwładności 2 ciężarków znajdujących się w odległości l od
osi obrotu:

I

1

=I+2ml

2

I

2

=I

ω

1

=ω

Podstawiając te wielkości do równania otrzymamy prędkość kątową układu, gdy człowiek opuści
ręce:

(I+2ml

2

)ω = I ω

2

ω

2

=



)

2

1

(

2

I

ml



Energia kinetyczna człowieka z wyciągniętymi rękami wynosi:

E

k1

= ½(I+2ml

2

)ω

2

E

k2

= ½ I

2

2



Stosunek energii kinetycznej człowieka z opuszczonymi rękami do człowieka z rozłożonymi rękami
wynosi:

I

ml

E

E

k

k

2

1

2

2

1





RZad194

Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu układu z małpką znajdującą się na
końcu pręta jest sumą momentu pędu pręta i małpki:

L

1

=Iω

1

+m

2

2













l

ω

1

Moment bezwładności pręta, gdy oś obrotu przechodzi przez środek wynosi:

12

1



I

Ml

2

Moment pędu układu, gdy małpka znajduje się w osi obrotu (odległość od osi wynosi 0) jest równy:

L

2

=Iω

2

Ponieważ L

1

=L

2

i podstawiając moment bezwładności otrzymujemy równanie:

2

2

1

2

1

2

12

1

4

12

1







Ml

l

m

Ml





Mnożąc obustronnie przez 12 i dzieląc przez l

2

otrzymujemy:

(M+3m)ω

1

=M ω

2

M

m

M

1

2

)

3

(









RZad195

W zadaniu mamy do czynienia ze zderzeniem niesprężystym. Moment pędu przed zderzeniem wynosi:

L=

2

1

1

l

m



Z zasady zachowania momentu pędu wynika, ze moment pędu po zderzeniu musi być taki sam:

L=

2

1

l

m

I







Moment bezwładności pręta, gdy oś obrotu znajduje się na jego końcu wynosi:

2

3

1

ml

I



Prędkość liniowa środka pręta jest związana z prędkością kątowa następującym wzorem:

2

l







Wstawiając powyższe wielkości do zasady zachowania momentu pędu oraz mnożąc równanie przez 6
otrzymamy:

3m

1

υ

1

l=4mlυ+3m

1

υl

Z tego równania wyliczamy υ, a następnie korzystając z tego, że ω=2υ/l, otrzymamy:

1

1

1

3

4

3

m

m

m









;

l

m

m

m

)

3

4

(

6

1

1

1









Dla środka masy pręta energii kinetyczna układu zamienia się na energie potencjalna.

Energia kinetyczna wynosi:

2

2

2

1

2

1





m

I

E

k





Energia potencjalna układu pręt i kulka w środku masy jest równa:

E

p

=(m+m

1

)gh

Wstawiając otrzymane wyżej wielkości momentu bezwładności pręta, prędkości kątowej układu oraz
prędkości liniowej układu otrzymujemy równanie:









gh

m

m

m

m

m

m

l

m

m

m

ml

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

3

4

3

2

1

3

4

6

3

1

2

1









































Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu wielkości w równaniu otrzymamy wynik określający, na
jaką wysokość wzniesie się środek masy układu:

2

1

1

2

1

2

1

)

3

4

(

)

(

21

m

m

g

m

m

m

h









Zaś koniec pręta wzniesie się na wysokość 2h:

H=

2

1

1

2

1

2

1

)

3

4

(

)

(

42

m

m

g

m

m

m







RZad196

Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu układu przed złączeniem tarcz był
równy sumie momentów pędu każdej tarczy z osobna. Po złączeniu tarcze obracają się z jednakowa
prędkością kątowa, a moment bezwładności układu jest równy sumie momentów bezwładności tarcz:









)

(

2

1

2

2

1

1

I

I

I

I

I









Skąd możemy obliczyć prędkość kątową układu po złączeniu tarcz:

2

1

2

2

1

1

I

I

I

I













Praca wykonana przez układ w wyniku połączenia tarcz jest równa zmianie energii kinetycznej układu
przed i po połączeniu:

W = ΔE

k

=

)

(

2

)

(

2

)

(

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

I

I

I

I

I

I

I

I























RZad197

Moment pędu układu człowiek + koło rowerowe wynosi na początku:

L=I

0

ω

0

a) po obróceniu koła o 180˚, jego moment pędu zmieni się na przeciwny, czego skutkiem będzie
wprawienie ruch obrotowy człowieka ze stolikiem. Jeśli prędkość obrotowa człowieka ze stolikiem
będzie ω

1

, to całkowity moment pędu teraz wyniesie:

L=

0

0

1





I

I



Z zasady zachowania momentu pędu:

I

0

ω

0

=

0

0

1





I

I



skąd

I

0

0

1

I

2







b) Po zahamowaniu koła rowerowego całkowity moment pędu układu będzie równy momentowi pędu
stolika z człowiekiem:

L=Iω

2

Z zasady zachowania momentu pędu:

I

0

ω

0

= Iω

2

Skąd możemy wyliczyć prędkość kątową układu:

I

I

0

0

2







RZad198

Na początku człowiek i tarcza są w spoczynku, więc moment pędu układu jest równy zeru.

Człowiek porusza się z prędkością kątową

R

c







, ale jednocześnie jest unoszony przez tarcze z

prędkością ω

t

w kierunku przeciwnym. Moment pędu poruszającego się człowieka wynosi:

L

c

=I

c

ω

t

-I

c

ω

c

Traktując człowieka jako punkt materialny znajdujący się na obrzeżu tarczy, możemy napisać, że jego
moment bezwładności wynosi: I

c

=mR

2

. Prędkość kątowa człowieka jest związana z jego prędkością

liniową następującym wzorem: ω

c

=υ/R, więc moment pędu człowieka wynosi:

L

c

=mR

2















R

t





Moment pędu tarczy wynosi:

L

t

=I

0

ω

t

Z zasady zachowania momentu pędu wynika, ze suma pędu człowieka i tarczy musi być równa zeru:
L

c

+L

t

=0

c

c

t

t

c

I

I

I











0

skąd możemy wyliczyć prędkość kątową tarczy:

2

0

mR

I

mR

t









RZad199

Na początku dziewczynka i tarcza są w spoczynku, więc moment pędu układu wynosi zero. W wyniku
rzutu, tarcza wraz z dziewczynką zaczęła poruszać się w kierunku przeciwnym. Moment pędu kuli jest
równy momentowi pędu tarczy wraz z dziewczynką. Moment bezwładności kuli (traktowanej jako
punkt materialny) wynosi: I

0

=m

0

R

2

. Moment bezwładności tarczy wynosi I

t

=1/2 MR

2

, a dziewczynki

(punkt materialny) I

d

=mR

2

. Prędkość kątowa kuli wynosi: ω

k

=υ/R. Podstawiając otrzymane wielkości

do równania na zasadę zachowania momentu pędu otrzymamy:

t

k

mR

MR

R

m























2

2

2

0

2

1

Z tego równania możemy wyliczyć prędkość kątowa tarczy (i dziewczynki):

R

m

M

m

t

)

2

1

(

0









Ze związku miedzy prędkością liniowa i kątowa możemy wyliczyć prędkość liniową z jaką obraca się
dziewczynka:



d



)

2

1

(

0

m

M

m





RZdad200

Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu:

L=const

I

1

ω=I

2

ω

2

Moment bezwładności tarczy

2

2

2

2

3

2

2

1

2

1





































r

M

mr

mr

Skąd można wyliczyć ω

2

:

M

m

m

9

8

2









RZad201

Sumy sił i momentów sił względem osi obrotu musza być równe 0. Znak minus przy siłach reakcji
podłoża wskazują, że są one skierowane przeciwnie do kierunku siły ciężkości.

Mg-R

1

-R

2

=0

Suma momentów sił względem środka masy Wynosi:

R

1

L/2=R

2

(l/2-d)

l

d

l

R

R

)

2

(

2

1





0

)

2

(

2

2

2









d

R

l

l

d

l

R

l

Mg

)

(

2

2

d

l

Mgl

R





)

(

2

)

2

(

1

d

l

d

l

Mg

R







RZad202

Rozwiązanie jest identyczne jak w zadaniu 201. Siła F

1

= R

1

co do wartości, ale jest przeciwnie

skierowana. Podobnie jest z siłą F

2

.

N

d

l

d

l

Mg

F

200

)

1

4

(

2

)

2

4

(

10

60

)

(

2

)

2

(

1

















N

d

l

Mgl

F

400

6

2400

)

1

4

(

2

4

10

60

)

(

2

2

















Odpowiedź: Jeden robotnik utrzymuje ciężar 200N, a drugi 400N.

RZad203

Przy rozwiązaniu tego zadania korzystamy z zasady zachowania momentu siły. Oś obrotu znajduje się
w miejscu zawiasu. Suma momentów sił względem tego punktu musi być równa zeru, aby ciało nie
obracało się wokół osi. Ramię siły mg wynosi b/2, siły Mg wynosi b, a siły T równa się a.

0

2







Ta

Mgb

b

mg

a

M

m

gb

a

Mgb

b

mg

T

2

)

2

(

2









V. Sprężystość ciał stałych

RZad204
Korzystamy z definicji naprężenia:

σ

2

a

F

S

F





S=a

2

.

Odpowiedź: Naprężenie wynosi (5/9)

.

10

8

N/m

2

RZad205

F=10kN
Δl=2cm=0,02m
F1=15kN

l

l

E

S

F









RZad206

Gęstość wyraża się następującym wzorem:

ρ=m/V

V=Sh

Naprężenie jest zdefiniowane:

σ

S

mg

S

F





m=

g

S



h=







g

S

m



Odpowiedź: Wysokość słupa betonowego wynosi 1000m?

RZad207

2

0

60

m

N

mld

V

V

p

B









V

0

=a

3

=64

3

3

10 m





0

V

V

V







0

1

V

V

B

p







0

1

2

V

V

B

p







B

V

p

V

0

2

1





-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Autorka rozwiązań dr K. Żukowska

RZad208

Podstawiając do wzoru dane liczbowe podane w treści zadania
oszacujemy wartość modułu ścinania dla aluminium

























2

2

7

3

2, 7 10

0, 4

2,5 10

0, 4

27

S

F A

x h

F h

x h

N

m

m

m

GPa











 



 











Oszacowana wartość modułu ścinania dla aluminium wynosi 27GPa i jest zgodna z podawaną

w tablicach fizycznych.