1
Dynamika bryły sztywnej.
I. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności.
171. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem
5
7
r
i
j
działa siła
3
4
F
i
j
. Wyznacz wektora momentu tej siły względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
172. Cząstka o masie 2 kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem
5
7
r
i
j
ma prędkość
j
i
v
7
6
. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
173. Wektor położenia cząstki o masie 2 kg ma postać:
3
4
r
i
j
. Wartość wektora prędkości
cząstki wynosi 20 m/s, natomiast wartość momentu pędu względem początku układu współrzędnych
tej cząstki wynosi 100 kgm
2
/s. Wyznacz kąt pomiędzy kierunkiem wektora położenia i prędkości.
Rozwiązanie:
174. Punkt materialny o masie 2 kg porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 2 m/s
-1
po okręgu
promieniu 20 cm. Wyznacz wartość momentu siły dośrodkowej względem środka okręgu.
Rozwiązanie:
175. Bryłę sztywną tworzy kula o promieniu R i masie M, na której wierzchołku postawiono pionowo
pręt o długości L i masie m. Posługując się momentami bezwładności 2M/(5R
2
) kuli względem osi
przechodzącej przez jej środek oraz momentem bezwładności Ml
2
/12 pręta względem jego osi
środkowej wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem osi prostopadłej do pręta
i przechodzącej przez: punkt a) styku kuli z podstawą; b) styku kuli z prętem; c) koniec pręta.
Rozwiązanie:
176. Pokazać, że moment bezwładności I dowolnego ciała o masie M względem dowolnej osi jest
równy momentowi bezwładności cienkiej obręczy o masie M i promieniu (I/M)
1/2
.
Rozwiązanie:
177. U sufitu wiszą podczepione na
poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się
z sufitem: kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie:
2
kuli, sfery, walca, cienkiej obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość R. Która z tych brył ma
względem osi obrotu największy/najmniejszy moment bezwładności?
Rozwiązanie:
największy i najmniejszy moment bezwładności?
Rozwiązanie:
179. Cienki, jednorodny pręt o masie m i długości l obraca się wokół prostopadłej do niego osi.
Gdy oś przechodzi przez koniec pręta, to moment bezwładności wynosi ml
2
/3. Korzystając
z twierdzenia Steinera wyznacz jego moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek
pręta i do niego prostopadłej.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
178. Bryłę sztywną tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy
o długości L połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok).
Wyznaczyć momenty bezwładności tej bryły względem osi
obrotu A, B i C zaznaczonych na rysunku. Ws-ka: skorzystać
z twierdzenia Steinera. Względem, której z tych osi bryła ta ma
najmniejszy/największy moment bezwładności?
179b. Sztywna konstrukcja (patrz rysunek obok) składa się z kwadratu
o boku a połączonego z cienką obręczą o promieniu R. Jednostka długości
materiału kwadratu i obręczy ma gęstość liniową λ (jednostką λ jest kg/m).
Wyznaczyć moment bezwładności pokazanej obok na rysunku konstrukcji
obracającej się względem osi zaznaczonej linią przerywaną.
3
II. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
180. Koło zamachowe wykonuje początkowo 10 obrotów na sekundę. Po przyłożeniu stałego
momentu hamującego koło to zatrzymuje się po 10 s. Jaka jest wartość przyspieszenia kątowego w
tym ruchu?
Rozwiązanie:
181. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi będącej jego osią symetrii.
Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia kinetyczna E
k
.
Wyznacz jego moment pędu.
Rozwiązanie:
182. Ile wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez poślizgu
po poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s?
Rozwiązanie:
184. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności I wirujące
z prędkością kątową a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej powierzchni?
Rozwiązanie:
185. Kula i walec o jednakowych promieniach i masach staczają się bez poślizgu po równi pochyłej
z wysokości h. Które z ciał będzie miało większą prędkość u jej końca?
Rozwiązanie:
186. Moment siły o wartości 40 N·m nadaje kołu obracającemu się dookoła osi przechodzącej przez
jego środek przyspieszenie kątowe 10 rad/s
2
. Wyznacz moment bezwładności koła .
Rozwiązanie:
187. Do obwodu koła rowerowego o masie m przyłożono stałą siłę styczną F i wprawiono je w ruch
obrotowy wokół nieruchomej osi. Koło rowerowe należy rozpatrywać jako cienkościenną obręcz o
momencie bezwładności
2
R
m
. Ile wynosi energia kinetyczna koła po upływie czasu t od rozpoczęcia
działania siły?
Rozwiązanie:
188. Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię.
Wiedząc, że moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej
przez jego koniec jest równy ml
2
/3, wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w chwili
uderzenia o ziemię.
Rozwiązanie:
189. Ciało obraca się z prędkością kątową 6 rad/s wokół sztywno zamocowanej osi. Jego moment
bezwładności względem osi obrotu wynosi 20 kg m
2
. Ile wynosi jego energia kinetyczna?
Rozwiązanie:
190. Podczas odbicia się od trampoliny prędkość kątowa obrotu wokół środka masy skoczka do wody
wzrasta od zera do 6,2 rad/s w czasie 220 ms. Obliczyć wartości: a) średniego przyspieszenia
kątowego skoczka, b) średniego momentu siły, działającego na niego ze strony trampoliny, jeśli
moment bezwładności skoczka względem jego środka masy wynosi 10 kg·m
2
.
Rozwiązanie:
4
191. Koło rozpędowe o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje z prędkością
kątową
0
. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f. Z jaką siłą należy
przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby zatrzymać je po upływie
czasu t?
Rozwiązanie:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Autorki rozwiązań ;
Za. 171 – 190 dr E. Pieciul
Zad. 191 – 192 dr S.Szarska
Rzad171
ˆ
ˆ
(5, 7, 0) (3,
4, 0)
(0, 0, 5 4
3 7)
20
21
M
r
F
k
k
RZad172
ˆ
ˆ
2 35
42
14
J
r
p
m r
v
k
k
RZad173
100
1
sin
sin
30
2 5 20
2
o
J
J
m r v
m r v
RZad174
0
M
r
F
bo siła dośrodkowa jest równoległa do promienia.
R
I,
F
T
0
192. Jednorodna sfera o masie M, promieniu R może obracać się
bez tarcia wokół pionowej osi (patrz rysunek obok). Linka o
znikomo małej masie jest owinięta wokół sfery w płaszczyźnie
równikowej a następnie przełożona przez krążek o momencie
bezwładności I oraz promieniu r, do której końca jest podczepiona
masa m. Krążek obraca się bez tarcia, a linka nie ślizga się po nim.
Jaka będzie prędkość m, gdy przebędzie drogę h? Ile wynosi
przyspieszenie masy m podczas ruchu?
Rozwiązanie:
5
RZad175
m- masa pręta, M- masa kuli, R- promień kuli, L- długość pręta
a)
2
2
2
2
2
1
1
I= MR +MR +
mL +m(2R + L)
5
12
2
b)
2
2
2
2
1
I= MR +MR + mL
5
3
c)
2
2
2
1
2
I= mL
MR +M(L+R)
3
5
RZad176
element długości obręczy wycięty małym kątem d wynosi
dl
Rd
odpowiadająca mu masa
2
2
2
M
M
M
dm
dl
Rd
d
R
R
z definicji momentu bezwładności otrzymujemy:
2
2
2
2
2
2
2
0
0
(
/ 2 )
(
/ 2 )
(
/ 2 ) 2
R dm
R
M
d
R
M
d
R
M
MR
wynik jak dla masy punktowej M w odległości R od osi obrotu.
Inne rozwiązanie (autor dr P.Biegański)
Moment bezwładności dowolnego ciała można zapisać:
I=CML
2
gdzie C stała M masa ciała L jakiś rozmiar liniowy
Moment bezwładności obręczy o masie M i promieniu R to:
I=MR
2
Jeśli momenty i masy są takie same to licząc I/M z obu wzorów otrzymujemy: I/M=
CL
2
=R
2
Czyli R=I/M
cbdo
RZad177
Kula
2
2
2
2
7
I= MR +MR
MR
5
5
Sfera
2
2
2
2
5
I= MR +MR
MR
3
3
6
Walec
2
2
2
1
3
I= MR +MR
MR
2
2
Obręcz
2
2
2
I=MR +MR
2MR
dla osi prostopadłej do obręczy – największy
Obręcz
2
2
2
1
I= MR +MR
2MR
2
dla osi równoległej do płaszczyzny obręczy
Tarcza
2
2
2
1
3
I= MR +MR
MR
2
2
dla osi prostopadłej do tarczy jak dla walca
Tarcza
2
2
2
1
5
I= MR +MR
MR
4
4
dla osi równoległej do płaszczyzny tarczy
Pręt
2
2
2
1
R
1
I=
MR +M
MR
12
2
3
najmniejszy
RZad178
A.
2
2
2
1
4
I= ML +M
ML
3
3
L
największy
B.
2
2
2
1
1
1
I=
ML +
M
ML
12
12
6
L
najmniejszy
C.
2
2
2
2
1
1
11
I= ML + M
M
ML
3
3
2
12
L
L
RZad179
2
2
2
0
0
1
1
3
2
12
L
mL
I
m
I
mL
RZad179b
Dla osi leżącej w płaszczyźnie figur
2
2
2
2
1
1
2
2
2
3
2
I
a
a
a a
R
R
R
R
Dla osi prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez punkt styku figur:
2
2
2
2
2
2
2
1
4
4
2
2
12
2
2
7
4
3
a
a
I
a a
a
a
R
R
R
R
a a
R
R
7
RZad180
2
2
2
2 10
2
10
k
p
f
rad
rad
t
t
s
s
RZad181
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
I
I
I
L
E
L
IE
I
I
I
RZad182
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
2
18 3
121,5
2
2
2
2
4
4
k
v
mr
mv
I
mv
r
E
mv
J
Lub liczona jako energia kinetyczna tylko ruchu obrotowego względem punktu styczności:
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
3
2
2
18 3
121,5
2
2
2
4
4
k
v
v
mr
mr
mr
I
r
r
E
mv
J
RZad184
a)
k
p
W= E + E
p
E =0
wynika z tego
2
I
W= -
2
b)
2
2
2
2
2
2
2
3
W=
2
2
2
2
2
ko
kp
I
r
I
mv
I
r
E
E
I
RZad185
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
v
I
mv
I
mv
mgh
r
mgh
v
I
m
r
Dla kuli
2
2
10
5
7
I
mr
v
gh
większa prędkość
8
Dla walca
2
1
4
2
3
I
mr
v
gh
RZad186
2
40
4
10
M
M
I
I
kg m
RZad187
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
k
L
r F t
F t
M
r
F
Mdt
dL
E
I
mr
m
RZad188
2
0
3
2
2
p
k
k
p
L
I
v
E
mg
E
E
E
v
gL
L
RZad189
2
360
2
k
I
E
J
RZad190
2
28.2
/
rad s
t
282
M
I
Nm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RZad191
Korzystamy z definicji momentu siły działającej na klocek. Koło hamuje w wyniku
działania momentu siły tarcia.
M=Iε
R
I,
F
T
0
9
M=RTsinα
Kat pomiędzy wektorem siły tarcia promieniem tarczy wynosi 90 ˚, a wiec sinα=1
Siła tarcia jest równa współczynnikowi tarcia razy siła nacisku. Siłą nacisku w tym zadaniu jest
szukana siła F.
T=f F
Ponieważ prędkość końcowa koła wynosi zero, więc przyspieszenie kątowe (opóźnienie):
t
0
RfT
I
F
RfT
t
I
0
0
RZad192
Korzystamy z II zasady dynamiki ruchu postępowego (masa m) oraz II zasady dynamiki ruchu
obrotowego (krążek i sfera):
ma=mg-N; N=mg-ma
Na ciało m działa siła ciężkości skierowana w dół oraz siła naciągu linki N skierowana w górę.
Przyjmujemy, ze wypadkowa siła jest skierowana w dół.
Na linkę znajdującą się na obwodzie krążka działa siła naciągu N skierowana w dół równa co do
wartości sile działającej na linę przyczepioną do masy m. Druga siła naciągu N
1
działa poziomo i jest
skierowana w stronę sfery:
Krążek Iε=Nr-N
1
r
Sfera I
s
ε
s
=N
1
R; I
s
=2/3MR
2
; ε=a/R, stąd N
1
=2/3Ma
Podstawiając do równania dla krążka siłę naciągu N, N
1
oraz ε=a/r otrzymujemy:
m
M
r
I
mg
a
3
2
2
10
Aby obliczyć prędkość masy m po przebyciu drogi h skorzystamy ze wzoru na drogę w ruchu
jednostajnie przyspieszonym:
h=1/2at
2
; a=v/t; v=
ah
2
2
2
2
3
mgh
v
I
M
m
r
Z zasady zachowania energii:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
3
S
k
MR
I
mv
mgh
v
v
v
I
mv
I
MR
m
M
r
R
r
co prowadzi do tego samego wyniku