dr Dušan Bogdanov
1
Ekonometria 1
Wykład 8
Wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego – prognozowanie ekonometryczne
Model ekonometryczny, który pomy
ś
lnie przeszedł weryfikacj
ę
, mo
Ŝ
e by
ć
podstaw
ą
wnioskowania.
W zale
Ŝ
no
ś
ci od celu bada
ń
, dobry model mo
Ŝ
e by
ć
wykorzystany do opisu mechanizmu
kształtowania si
ę
badanego zjawiska, a wi
ę
c odpowiedzie
ć
na pytanie jaki jest kierunek i siła
oddziaływania zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych na zmienna obja
ś
nian
ą
. W tej sytuacji model spełnia cel
poznawczy. Oczywi
ś
cie warto
ść
poznawcz
ą
maj
ą
modele przyczynowe-skutkowe. Je
Ŝ
eli model
dobrze odwzorowuje badany fragment rzeczywisto
ś
ci gospodarczej mo
Ŝ
e słu
Ŝ
y
ć
do symulacji efektów
decyzji gospodarczych, czyli do realizacji celów decyzyjnych.
Najszerszy
obszar
zastosowa
ń
modeli
ekonometrycznych
to
prognozowanie
zjawisk
ekonomicznych. Ze wzgl
ę
du na ogromne znaczenie prognozowania ekonomicznego w działalno
ś
ci
gospodarczej po
ś
wi
ę
ca si
ę
temu zagadnieniu du
Ŝ
o miejsca w teorii i praktyce ekonometrii. Metody
prognozowania mo
Ŝ
na wydzieli
ć
w odr
ę
bn
ą
dziedzin
ę
wiedzy.
My ograniczymy si
ę
tylko do przedstawienia najwa
Ŝ
niejszych zasad prognozowania na podstawie
klasycznego modelu liniowego. Wymaga to jednak zdefiniowania kilku istotnych poj
ęć
.
Prognoza ekonometryczna jest to s
ą
d o kształtowaniu si
ę
zjawiska w przyszło
ś
ci sformułowany
na podstawie modelu ekonometrycznego, a wi
ę
c przewidywanie jak
ą
warto
ść
przyjmie zmienna
obja
ś
niana, w okre
ś
lonym czasie. Poniewa
Ŝ
zmienna obja
ś
niana jest zmienn
ą
losow
ą
to s
ą
d ten ma
charakter stochastyczny i przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e prawdopodobie
ń
stwo jego prawdziwo
ś
ci jest niemniejsze
od zało
Ŝ
onej warto
ś
ci, bliskiej jedno
ś
ci, zwanej wiarygodno
ś
ci
ą
prognozy.
Predykcja ekonometryczna to proces wnioskowania w przyszło
ść
na podstawie modelu
ekonometrycznego opisuj
ą
cego interesuj
ą
cy wycinek zjawisk ekonomicznych.
Prognoza ekonometryczna jest wi
ę
c wynikiem predykcji ekonometrycznej
1
.
Prognoza ekonometryczna mo
Ŝ
e by
ć
prognoz
ą
ilo
ś
ciow
ą
lub jako
ś
ciow
ą
. Mówimy o prognozie
ilo
ś
ciowej, je
Ŝ
eli podajemy przewidywan
ą
warto
ść
zmiennej obja
ś
nianej, np. w 2008 r 45%
gospodarstw domowych w Polsce b
ę
dzie wyposa
Ŝ
onych w komputery, lub, udział GD w Polsce
wyposa
Ŝ
onych w komputery b
ę
dzie w 2008 r. kształtował si
ę
w przedziale od 42% do 48%, przy czym
w pierwszym przypadku jest to prognoza ilo
ś
ciowa punktowa, w drugim prognoza ilo
ś
ciowa
przedziałowa. Przykładem prognozy jako
ś
ciowej jest s
ą
d,
Ŝ
e w 2007 r. w Polsce stopa bezrobocia
spadnie poni
Ŝ
ej 17%.
Ka
Ŝ
da prognoza dotyczy okre
ś
lonego odcinka czasu. Okres, dla którego sporz
ą
dzana jest
prognoza nazywamy okresem prognozowania. Natomiast przedział czasowy, dla którego mo
Ŝ
emy
dan
ą
metod
ą
predykcji wyznacza
ć
prognozy, w przypadku predykcji na podstawie klasycznego
modelu liniowego przedział, dla którego mo
Ŝ
emy ekstrapolowa
ć
funkcj
ę
, nazywamy horyzontem
prognozy.
1
Por. Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa 1974,
s. 29 i nast., A. Zelia
ś
, Teoria prognozy, PWE Warszawa 1997 s. 28
dr Dušan Bogdanov
2
Ekonometria 1
Uzasadnione
prognozowanie
ekonometryczne
wymaga
spełnienia
pewnych
warunków
koniecznych, zwanych podstawowymi zało
Ŝ
eniami predykcji, wymienimy je za Z. Pawłowskim
2
:
1. Znajomo
ść
ekonometrycznego modelu dla zmiennej prognozowanej,
2. Stabilno
ść
w czasie relacji strukturalnych,
3. Stabilno
ść
rozkładu składnika losowego,
4. Znajomo
ść
warto
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych w okresie prognozowanym,
5. Dopuszczalno
ść
ekstrapolacji modelu poza prób
ę
statystyczn
ą
.
Zało
Ŝ
enie 1, które mówi,
Ŝ
e do wyznaczania warto
ś
ci pewnej zmiennej w przyszło
ś
ci niezb
ę
dny
jest obja
ś
niaj
ą
cy j
ą
model ekonometryczny. Przy czym znana musi by
ć
posta
ć
analityczna tego
modelu, liczbowe oceny jego parametrów strukturalnych oraz oceny parametrów struktury
stochastycznej, niezb
ę
dne go ustalenia dokładno
ś
ci prognozy.
śą
da si
ę
zwykle znajomo
ś
ci ocen
takich parametrów jak wariancja składnika losowego, macierz wariancji i kowariancji estymatorów
parametrów strukturalnych modelu, współczynnika autokorelacji składnika losowego i współczynnika
zgodno
ś
ci lub determinacji. Taka znajomo
ść
modelu ekonometrycznego obja
ś
niaj
ą
cego pewn
ą
zmienn
ą
endogeniczn
ą
pozwala na wyznaczenie uzasadnionej prognozy tej zmiennej oraz na ocen
ę
dokładno
ś
ci prognozy. Nale
Ŝ
y tu zauwa
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e b
ę
d
ą
cy przedmiotem naszych rozwa
Ŝ
a
ń
klasyczny
model liniowy, który przeszedł pomy
ś
lnie cał
ą
procedur
ę
budowy modelu spełnia omawiany warunek.
Zało
Ŝ
enie 2 głosi,
Ŝ
e w czasie okre
ś
lonym horyzontem prognozy struktura opisywanych przez
model zjawisk i zachodz
ą
cych mi
ę
dzy nimi relacji pozostaje stała, to znaczy nie zmieni
ą
si
ę
ani posta
ć
analityczna modelu, ani zbiór zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych, ani warto
ś
ci parametrów strukturalnych. Jest
to zało
Ŝ
enie dosy
ć
silne, wiele przemawia za tym,
Ŝ
e relacje mi
ę
dzy zjawiskami ekonomicznymi
ulegaj
ą
pewnym zmianom, a model ekonometryczny jest obrazem przeszło
ś
ci, a wi
ę
c wnioskowanie
w dalek
ą
przyszło
ść
jest ograniczone
3
.
Istota zało
Ŝ
enia o stabilno
ś
ci składnia losowego wi
ąŜ
e si
ę
z mo
Ŝ
liwo
ś
ci
ą
oceny dokładno
ś
ci
predykcji.
Klasyczne zało
Ŝ
enia o stabilno
ś
ci parametrów strukturalnych i parametrów struktury stochastycznej
w praktyce jest zast
ę
powane zało
Ŝ
eniem o „prawie stabilno
ś
ci”.
Zało
Ŝ
enie 4 zwi
ą
zane jest z faktem,
Ŝ
e predykcja jest procesem warunkowym. Prognoza
formułowana jest dla okre
ś
lonych warto
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych i jest wa
Ŝ
na tylko wtedy,
gdy rzeczywi
ś
cie w okresie prognozowanym zmienne obja
ś
niaj
ą
ce przyjm
ą
takie warto
ś
ci. Trafne
ustalenie warto
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych dla okresu prognozowanego stanowi istotny problem
w procesie prognozowania, który te
Ŝ
mo
Ŝ
e by
ć
rozwi
ą
zywany na drodze ekonometrycznej,
na przykład na podstawie trendów tych zmiennych. Tylko w przypadku modeli tendencji rozwojowych
(trendów) nie wyst
ę
puje problem trafnego ustalenia warto
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych.
2
Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa 1974, ss.33,34
3
szersz
ą
dyskusj
ę
na ten temat znajdzie Czytelnik w pracach Z. Pawłowski, Prognozy ekonometryczne, PWN,
Warszawa 1973. Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa
1974, A. Zelia
ś
, Teoria prognozy, PWE, Warszawa 1997, Prognozowanie gospodarcze, pod red. M. Cie
ś
lak,
PWN, Warszawa
dr Dušan Bogdanov
3
Ekonometria 1
Kolejne zało
Ŝ
enie, dopuszczalno
ść
ekstrapolacji modelu poza prób
ę
statystyczn
ą
, jest zdaniem
Z. Pawłowskiego bardzo trudne do zagwarantowania w praktyce i niesie bardzo du
Ŝ
e ryzyko
popełnienia bł
ę
du. W pewnych sytuacjach teoria ekonomii pozwala na formułowanie wniosków
dotycz
ą
cych kształtowania si
ę
wyst
ę
puj
ą
cych w modelu relacji poza obszarem zmienno
ś
ci
obserwowanym w próbie.
Je
Ŝ
eli spełnione s
ą
zało
Ŝ
enia klasycznej teorii predykcji, nale
Ŝ
y wybra
ć
reguł
ę
, na podstawie której
b
ę
dziemy budowali prognoz
ę
zmiennej obja
ś
nianej, to jest zasad
ę
predykcji.
Podstawow
ą
rol
ę
w predykcji odgrywaj
ą
dwie zasady:
•
Zasada predykcji nieobci
ąŜ
onej.
•
Zasada predykcji według najwi
ę
kszego prawdopodobie
ń
stwa.
Zasada predykcji nieobci
ąŜ
onej polega na tym,
Ŝ
e prognoz
ę
ustalamy na poziomie warto
ś
ci
oczekiwanej zmiennej prognozowanej w okresie T:
( )
T
Tp
Y
E
y
=
(8.1)
gdzie:
−
Tp
y
warto
ść
prognozy w okresie T
−
T
Y
zmienna prognozowana w o kresie T
Zasada predykcji nieobci
ąŜ
onej jest uzasadniona wtedy, gdy proces prognozowania jest
wielokrotnie powtarzany, dotyczy na przykład systematycznie prowadzonych bada
ń
(np. powtarzane
prognozy sprzeda
Ŝ
y samochodów, prognozy dochodów, wyposa
Ŝ
enia gospodarstw domowych
w dobra trwałego u
Ŝ
ytku itp.). Wielokrotne dokonywanie prognoz prowadzi do wzajemnego znoszenia
si
ę
popełnionych bł
ę
dów.
W przypadku, gdy wnioskowanie na przyszło
ść
ma charakter jednostkowy zasada predykcji
nieobci
ąŜ
onej traci swoje uzasadnienie i wówczas proponuje si
ę
zasad
ę
predykcji według
najwi
ę
kszego prawdopodobie
ń
stwa.
Zasada predykcji według najwi
ę
kszego prawdopodobie
ń
stwa na tym,
Ŝ
e prognoz
ę
ustala si
ę
na poziomie modalnej
( )
o
M
rozkładu zmiennej
T
Y
.
( )
T
o
Tp
Y
M
y
=
(8.2)
W przypadku zmiennej skokowej jest warto
ść
najcz
ę
stsza, a w przypadku zmiennej ci
ą
głej
maksimum funkcji g
ę
sto
ś
ci.
W przypadku, gdy warto
ść
oczekiwana rozkładu zmiennej
T
Y
jest równa jej modalnej obie zasady
prowadz
ą
do tych samych prognoz. Nale
Ŝ
y zauwa
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e cz
ę
sto przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e rozpatrywane
zmienne maj
ą
rozkład normalny, w którym wła
ś
nie warto
ść
oczekiwana jest równa dominancie.
W predykcji bardzo wa
Ŝ
n
ą
rol
ę
odgrywa ocena dokładno
ś
ci prognoz, czyli ocena efektywno
ś
ci
predykcji. Mo
Ŝ
e ona by
ć
dokonywana przez:
dr Dušan Bogdanov
4
Ekonometria 1
•
podanie spodziewanej warto
ś
ci odchyle
ń
rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej
od prognozy, czyli ocena dokładno
ś
ci ex ante,
•
obliczenie
ś
redniego bł
ę
du prognozy na podstawie prognoz zrealizowanych (wygasłych),
czyli ocena dokładno
ś
ci ex post.
Podstawowym miernikiem efektywno
ś
ci predykcji jest wariancja predykcji, definiowana wzorem:
(
)
2
2
Tp
T
y
Y
E
V
−
=
(8.3)
jest to wi
ę
c
ś
rednia kwadratów odchyle
ń
zmiennej prognozowanej od warto
ś
ci prognozy. Pierwiastek
z wariancji predykcji nazywamy bł
ę
dem
ś
rednim predykcji. Mierzy on o ile
ś
rednio w długim czasie
prawdziwe warto
ś
ci zmiennej
T
Y
b
ę
d
ą
odchyla
ć
si
ę
od prognozy.
W dalszych rozwa
Ŝ
aniach ograniczymy si
ę
do prognozy nieobci
ąŜ
onej wyznaczonej na podstawie
klasycznego modelu liniowego. Przyjmujemy,
Ŝ
e spełnione s
ą
klasyczne zało
Ŝ
enia predykcji.
Klasyczny model liniowy, zgodnie z oznaczeniami przyj
ę
tymi wcze
ś
niej mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci:
ε
α
+
=
X
Y
(8.4)
Wyznaczony metod
ą
najmniejszych kwadratów estymator parametrów tego modelu wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
(
)
Y
X
X
X
a
T
T
1
−
=
(8.5)
w wyniku estymacji otrzymujemy nast
ę
puj
ą
c
ą
posta
ć
modelu:
e
a
X
Y
+
=
(8.6)
( )
Y
X
X
X
X
Y
e
T
T
1
−
−
=
(8.7)
Macierz wariancji i kowariancji estymatora
a
wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
( )
( )
1
2
2
−
=
X
X
a
D
T
σ
(8.8)
Nieobci
ąŜ
onym estymatorem wariancji składnika losowego jest:
k
n
e
e
s
T
−
=
2
(8.9)
dr Dušan Bogdanov
5
Ekonometria 1
Nale
Ŝ
y dokona
ć
predykcji zmiennej endogenicznej
Y
na okres T, przy zastosowaniu predykcji
nieobci
ąŜ
onej. Warto
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych w okresie T oznaczymy:
[
]
,
,...
,
2
1
Tk
T
T
T
x
x
x
x
=
( ) (
)
( )
α
ε
α
ε
α
T
t
T
T
T
T
Tp
x
E
x
x
E
Y
E
y
=
+
=
+
=
=
(8.10)
Poniewa
Ŝ
w praktyce nie dysponujemy parametrami modelu tylko ich ocenami, wyznaczanie
prognozy przeprowadza si
ę
na podstawie oszacowanego modelu, czyli:
( )
( )
α
T
T
T
x
a
E
x
a
x
E
=
=
(8.11)
wyznaczmy wariancj
ę
α
p
x
:
( ) (
)
(
)
[
]
{
}
=
−
=
−
=
2
2
2
α
α
a
x
E
x
a
x
E
a
x
D
T
T
T
T
(
)(
)
[
]
( )
T
T
T
T
T
T
x
a
E
x
x
a
a
x
E
=
−
−
=
α
α
(8.12)
stad:
( )
( )
T
T
T
T
T
x
X
X
x
a
x
D
1
2
2
−
=
σ
(8.13)
Wyznaczmy teraz wariancj
ę
zmiennej losowej
(
)
(
)
ε
α
+
−
=
+
−
=
−
=
T
T
T
TP
T
TP
x
a
x
e
x
y
Y
y
Z
ˆ
ˆ
(
)
ε
α
−
−
=
a
x
Z
T
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
( )
( )
ε
ε
α
ε
α
2
2
2
2
2
D
a
x
D
a
x
D
x
a
x
D
Z
D
T
T
T
T
+
=
−
−
=
+
−
=
( )
( )
(
)
T
T
T
T
x
X
X
x
Z
D
1
2
2
1
−
+
=
σ
(
)
( )
(
)
T
T
T
T
T
TP
x
X
X
x
Y
y
D
1
2
2
1
ˆ
−
+
=
−
σ
(8.14)
Wariancja zmiennej losowej odchyle
ń
oceny prognozy od prognozy okre
ś
la dokładno
ść
prognozy
ex ante.
dr Dušan Bogdanov
6
Ekonometria 1
Wnioski z powy
Ŝ
szych rozwa
Ŝ
a
ń
mo
Ŝ
emy sformułowa
ć
w postaci nast
ę
puj
ą
cego twierdzenia:
Twierdzenie:
Je
Ŝ
eli dana jest, wyznaczona KMNK, ocena
Xa
Y
=
ˆ
klasycznego modelu liniowego
ε
α
+
=
X
Y
oraz, spełnione s
ą
klasyczne zało
Ŝ
enia teorii predykcji to
a
x
y
T
Tp
=
ˆ
jest
najefektywniejszym nieobci
ąŜ
onym estymatorem liniowym prognozy
α
T
Tp
x
y
=
, a
ś
redni bł
ą
d tej
prognozy wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
( )
T
T
T
T
Tp
x
X
X
x
s
S
1
1
−
+
=
(8.15)
Powy
Ŝ
sze twierdzenie daje nam teoretyczne podstawy budowania prognoz na podstawie
jednorównaniowego modelu ekonometrycznego i dotyczy ostatniego szóstego etapu modelowania
i analizy zjawisk ekonomicznych przy wykorzystaniu modeli ekonometrycznych.
Pytania kontrolne
1. Wyja
ś
nij, na czym polega ró
Ŝ
nica pomi
ę
dzy predykcj
ą
a prognoz
ą
.
2. Wyja
ś
nij poj
ę
cia okres prognozy i horyzont prognozy.
3. Omów znaczenie klasycznych zało
Ŝ
e
ń
teorii predykcji.
4. Omów trudno
ś
ci spełnienia w praktyce zało
Ŝ
e
ń
teorii predykcji.
5. Wymie
ń
i zdefiniuj podstawowe zasady predykcji.
6. Zdefiniuj estymator prognozy na podstawie klasycznego modelu liniowego.
7. Jak ocenia si
ę
dokładno
ść
prognozy uzyskanej na podstawie klasycznego modelu
liniowego?