MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH – EGZAMIN CZĘŚĆ II
1. Zarys mechaniki pełzania
Pełzanie – zachodzi przy naprężeniach mniejszych niż naprężenia uplastyczniające. Proces związany jest
ze zwiększaniem się odkształcenia w czasie stałego obciążenia, które wywołuje naprężenia o intensywności
mniejszej niż σ
p
. Symbole wielkości związanych z pełzaniem posiadają indeks - „c” - creep. Prędkość pełzania
wynosi 10
-5
%/h.
Pełzanie właściwe – zmiana stanu odkształcenia pod wpływem stałego lub zmiennego stanu naprężenia.
Relaksacja – zmiana stanu naprężenia przy ustalonym stanie odkształcenia i w ustalonej temperaturze.
Materiały lepko – plastyczne – materiały, których uplastycznienie jest czułe na prędkość odkształcenia.
Krzywa pełzania – zależność odkształcenia pełzania ε
c
(t) oraz prędkości pełzania έ
c
(t) od czasu.
Spadek prędkości odkształcenia έ
c
w pierwszym etapie pełzania jest spowodowane umocnieniem
odkształceniowym. Wzrost wartości έ
c
w trzecim etapie jest wynikiem nagromadzenia się wad materiałowych
(pory, pęknięcia) powstałych we wcześniejszych etapach pełzania.
STOSOWANE TEORIE PEŁZANIA:
Teoria pełzania należy do mechaniki ośrodków ciągłych i zajmuje się badaniem procesów bardzo powolnych.
Rozważania teoretyczne i badania dotyczą między innymi zależności między ε
c
a σ wywołującym pełzanie.
Prędkość pełzania:
d ϵ
c
dt
=
f (σ)
f (σ)=B
1
σ
m
B
1
, m - współczynniki wyznaczone drogą aproksymacji
W celu zwiększenia zgodności krzywej teoretycznej pełzania z doświadczeniem, stałą B
1
zastępuje się funkcją B(t)
oraz wprowadza się człon opisujący prędkość odkształcenia sprężystego : (
1
E
d σ
dt
)
wynikający z prawa
Hooke'a.
1
ϵ=
1
E
σ
d ϵ
dt
=
1
E
d σ
dt
˙ϵ
c
=
d ϵ
c
dt
=
1
E
d σ
dt
+
B (t) σ
m
Teorie starzenia:
Odkształcenie pełzania ε
c
(w ustalonej temperaturze) opisuje się funkcją naprężenia i czasu: ε
c
= f(σ, t)
i dodatkowo uwzględnia się odkształcenie sprężyste: ε = σ/E:
ϵ
c
= σ
E
+
f (σ , t)
przyjmuje się, że f(σ, t) jest funkcją potęgową od σ oraz liniową od t, co można zapisać:
f(σ, t) = σ
m
B t
b = const., i w efekcie:
ϵ
c
= σ
E
+
B t σ
m
Czas „t” odgrywa rolę parametru, więc zmienne własności materiału w czasie interpretujemy jako starzenie.
Teoria Nadaia:
Przyjmuje się, że przy odkształceniu strukturalnie statecznych materiałów przyrosty odkształcenia dε związane są
z przyrostem naprężenia dσ:
d σ = ∂ σ
∂ ϵ
d ϵ+ ∂ σ
∂ ˙ϵ
d ˙ϵ
d σ −różniczka zupełna 2 zmiennych : ϵ i ˙ϵ ,
∂ σ
∂ ϵ
−
odkształceniowe umocnienie materiału ,
∂ σ
∂ ˙ϵ
−
prędkościowe umocnienie materiału.
Ponieważ wiele materiałów nie wykazuje struktury statycznej, uwzględnia się to przez dodanie do prawej strony
równania członu: ∂ σ
∂
t
dt .
TEORIA PŁYNIĘCIA A PEŁZANIE:
W procesie pełzania występuje odkształcenie plastyczne, więc do opisu płynięcia przy pełzaniu można zastosować
teorię Levy – Misesa. Zakładamy, że w przestrzeni naprężeń σ
ij
(x
i
) istnieje potencjał pełzania σ
c
(σ
ij
). Prawo
prędkości pełzania możemy zapisać analogicznie jak w prawie L-M:
2
̂˙ϵ
ij
c
= ˙λ
∂ σ
c
(σ
ij
)
∂ σ
ij
gdzie :
̂˙ϵ
ij
c
−
dewiator tensora prędkości odkształcenia przy pełzaniu ,
˙λ−parametr zależny od σ
H
oraz od intensywności prędkości pełzania ˙ϵ
H
c
,
σ(σ
ij
)−
potencjał pełzania.
Parametr ˙λ przez analogię do prawa Levy−Misesa możemy wyznaczyć ze wzoru :
˙λ=3
2
˙ϵ
H
c
σ
H
gdzie :
˙ϵ
H
c
−
intensywność prędkości pełzania,
σ
H
−
intensywność naprężeń
Prawo płynięcia przy pełzaniu materiału ściśliwego:
̂˙ϵ
ij
c
= ˙λ ̂
σ
ij
Dla materiałów nieściśliwych:
̂˙ϵ
ij
c
= ˙λ ˙ϵ
ij
c
i wówczas prawo płynięcia przy pełzaniu stowarzyszone z warunkiem pełzania dla materiału ściśliwego przyjmuje
postać:
˙ϵ
ij
c
= ˙λ ̂
σ
ij
2. Elementy teorii plastyczności metalicznych ciał nieściśliwych
Do opisu zachowania się ciał podczas odkształcenia zostały wprowadzone wyidealizowane ich modele:
•
model ciała sztywno – idealnie plastycznego,
•
model ciała sztywno – plastycznego ze wzmocnieniem,
•
model ciała sztywno – lepkoplastycznego ze wzmocnieniem,
•
model ciała sprężysto – idealnie plastycznego.
Stosowana teoria plastyczności nieściśliwych ciał oparta jest na pojęciu plastycznego potencjału Misesa, który jest
funkcją stanu naprężenia:
F = F(I
1
, I
2
, I
3
)
3
Po osiągnięciu wartości krytycznej, stałej dla danego materiału, plastyczny potencjał określa warunek
plastyczności:
F=F(I
1
, I
2
, I
3
)=σ
p
2
Związki między przyrostami odkształcenia i naprężenia w stanie plastycznym, czyli tzw. prawa plastycznrgo
płynięcia opisuje zależność:
d ϵ
ij
=
d λ
∂
F (σ
ij
)
∂ σ
ij
Współczynnik proporcjonalności dλ określany jest zależnością:
d λ =3
√
E
2
' '
σ
p
Szczególnym przypadkiem warunku plastyczności Misesa, dla nieściśliwych izotropowych siał, jest jego postać
kwadratowa:
3I
2
'
=σ
p
2
Hydrostatyczna składowa stanu naprężenia σ
m
= I
1
/3 nie ma wpływu na plastyczne płynięcie. Dla pełnego opisu
plastycznego płynięcia nieściśliwych ciał należą ponadto warunki równowagi które bez uwzględnienia sił
masowych i bezwładnościowych mają postać:
∂ σ
ij
∂
x
i
=
0
oraz warunek nieściśliwości:
d ε
ii
= 0
Jednoznaczne rozwiązanie problemów mechaniki plastycznego odkształcania ciał nieściśliwych jest
w większości przypadków niemożliwe. Do ich rozwiązania stosuje się różne metody, np. metodę równań
różniczkowych równowagi, metody energetyczne oraz metodę elementów skończonych.
Klasyczna mechanika plastycznego płynięcia, z przyjętymi modelami ciał plastycznych, nie pozwala opisać
zjawisk zachodzących w odkształcanych plastycznie materiałach ściśliwych, do których zalicza się spiekane
materiały metaliczne.
4
3. Elementy teorii plastyczności metalicznych ciał porowatych
WARUNKI PLASTYCZNOŚCI MATERIAŁÓW ŚCIŚLIWYCH:
Metalicznym materiałom zmieniającym podczas odkształcenia w sposób trwały objętość poświęca się
w ostatnim czasie dużo uwagi, głównie w aspekcie przejścia takiego materiału w stan plastyczny. Wychodząc
z założenia, że plastyczny potencjał jest funkcją niezmienników tensora naprężenia, przedstawiono teorię
plastycznego płynięcia izotropowych, ściśliwych materiałów, a funkcję płynięcia opisano równaniem w postaci:
1) Warunek plastyczności Kuhna – Downeya:
5
2) Warunek plastyczności Greena:
6
3) Warunek plastyczności Oyane:
4) Energetyczny warunek plastyczności:
7
8
Warunki plastyczności określone zależnościami (1.68), (1.72) i (1.74) wyprowadzone zostały dla ściśliwych ciał
przy założonych modelach porów (walec wydrążony, kula wydrążona, kostka wydrążona).
9
A – model walca wydrążonego poddany skręcaniu oraz hydrostatycznemu ścinaniu (założenie dla warunku
plastyczności Hirschvogla):
r – naprężenie ścinające,
σ
0
– ściskające naprężenie hydrostatyczne.
B – model kuli wydrążonej poddanej ściskaniu hydrostatycznemu:
Naprężenie σ
M
potrzebne do zamknięcia pora wyrażone jest wzorem:
σ
M
= σ
0
ln
R
r
C – model kostki sześciennej wydrążonej (założenie dla warunku plastyczności Oyane):
10
D – dodatkowo: model porów sferycznych w materiale izotropowym (założeniu dla warunku plastyczności
Greena):
Przy ich wyprowadzeniu uwzględniono oddzielnie stanu hydrostatycznego ściskania i czystego ścinania.
Zależności dla tych stanów naprężenia wykorzystano do sformułowania postaci matematycznej warunków
plastyczności przy założeniu, że powierzchnia płynięcia jest elipsoidą obrotową. Warunki te uwzględniają, przy
przejściu materiału ściśliwego w stan plastyczny, wpływ drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia, pierwszego
niezmiennika tensora naprężenia I
1
, porowatości η (lub gęstości ρ
w
) oraz naprężenia uplastyczniającego σ
p
materiału osnowy lub ciała porowatego σ. Tylko warunek plastyczności Kuhna – Downeya nie jest związany z
modelem pora, lecz z cechami materiałowymi tj. granicą plastyczności i liczbą Poissona.
ANALIZA WARUNKÓW PLASTYCZNOŚCI:
11
12
13
14
4. Elementy mechaniki kompozytów
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
E C
K O Ń