1.

Rachunek wektorowy
a) podstawowe działania na wektorach

 = 

,



,  = 

,







- Dodawanie/odejmowanie wektorów:

 ∓  = 

∓



;



∓







 +  =  +


- Długość wektora

 = 



+





- Mnożenie wektora przez stałą ( np. c):

c
 = 

,





- przedstawianie za pomocą wektora jednostkowego:

 =

+



 +





b) własności iloczynu skalarnego wektorów:

 ∙  = | ||| 

i)gdy wektory są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy 0:

 ⊥  =>  ∙  =

0
ii)przemienność iloczynu skalarnego wektorów:

 ∙  =  ∙ 

iii)iloczyn skalarny dwóch tych samych wektorów jest równy kwadratowi jednego
wektoru:

 ∙  = | || | 0° =



iiii) Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych

każdego wektora:

 ∙  =



+







+







iiiii)rozdzielność:

 +  =  +  

c)własności iloczynu wektorowego wektorów

 ×  = | ||| 

 ×  = 



















 = 







−







 + 





−





 + 





−







=









−







;





−





;





−







Długość

może być interpretowana jako pole równoległoboku o bokach

oraz
Kolejnośc wektorów jest ważna

d)pochodna wektora

Liczymy pochodną każdej współrzędnej po czasie t:



ೣ



;



೤



;



೥



e)obrót wektora jednostkowego

f)opis ruchu krzywoliniowego: prędkość, przyspieszenie
- prędkość:

 = , , 

  =





+





 +





 = !





"



+

!





"



+

!





"



,







, 







,









- przyspieszenie

  = !



ೣ



"



+

!



೤



"



+

!



೥



"



  = #

$

$

;

$



$

;

$



$ %

2.

Mechanika klasyczna (Newtonowska) punktu materialnego i bryły sztywnej.
a)Równania ruchu (translacji, rotacji, wibracji) i rola tłumienia.


b)zasady zachowania: Energii, pędu i momentu pędu:

I zasada dynamiki: w inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub

siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku bądź porusza się ruchem
jednostajnie prostoliniowym.

II zasada dynamiki: jeśli siły działające na ciało równoważą się ( siła wypadkowa różna od zera
), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a
odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

III zasada dynamiki: oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania
dwóch ciał maja takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty
przyłożenia(każda działa na inne ciało). A prościej: jeżeli pierwsze ciało działa siłą na drugie, to
drugie ciało działa na pierwsze siła o takiej samej wartości i kierunku lecz o przeciwnym zwrocie.

Prawo zachowania energii -Zasada, zgodnie z którą w układzie izolowanym suma energii (energia
całkowita) jest wielkością stałą.

Prawo zachowania energii mechanicznej -Zasada, która mówi, że podczas ruchu ciała bez sił oporu
(tarcia, lepkości itp.) jego całkowita energia mechaniczna (czyli suma energii kinetycznej i
potencjalnej) się nie zmienia.

Pędem punktu materialnego nazywamy wektor p zdefiniowany jako iloczyn jego masy m
oraz prędkości V, czyli: p=mV.
Pęd jako iloczyn skalara i wektora jest wielkością wektorową, ponieważ pęd p określonego
punktu materialnego jest proporcjonalny do V, zależy więc od układu odniesienia
obserwatora. Newton w swych słynnych Principiach wyraził drugą zasadę dynamiki za
pomocą pędu (który nazwał „ilością ruchu”). Zgodnie ze współczesną terminologią II zasada
dynamiki brzmi: zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły
działającej na to ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą. Zapis tej zasady jest następujący:
& =





Jeżeli układem odniesienia jest punkt materialny o masie (stałej) m to takie sformułowanie II
zasady dynamiki jest równoznaczne z zapisem: F=ma, który stosowaliśmy dotychczas. Czyli,

gdy m jest stałe wtedy:

& =





=





' = '





=

'

Zasada zachowania pędu w zderzeniu niesprężystym.

PPT

układ izolowany od zewnątrz (odosobniony)



ଵ

(2)-siła z jaką ciało 1 działa na ciało 2



ଶ

1-siła z jaką ciało 2 działa na ciało 1



ଵ



ଵ



=



ଵ

(2)



ଶ



ଶ



=



ଶ

(1)

z III zasady dynamiki:



ଵ



ଵ



+



ଶ



ଶ



=



ଵ

2 +


ଶ

1 = 0



ଵ



ଵ



+



ଶ



ଶ



= 0

 

ଵ



+

 

ଶ



= 0

Wyrażenie:

ௗ

ௗ௧

 

ଵ

+



ଶ

 = 0

nie zależy od czasu



ଵ

+



ଶ

=

  , mimo, że oddzielnie p

1

,p

2

zależą od czasu.

Feynman

Wzajemne oddziaływanie dwu cząstek nie zmienia ich całkowitego pędu. Rozszerzając rozumowanie
na więcej cząstek: dopóki rozpatrujemy tylko siły wewnętrzne, całkowity pęd wszystkich cząstek
pozostaje stały, ponieważ zwiększenie pędu jednej cząstki, spowodowane oddziaływaniem drugiej,
jest dokładnie wyrównane zmniejszeniem pędu drugiej cząstki, wywołanym oddziaływaniem
pierwszej. Znaczy to, że siły wewnętrzne równoważą się i nie mogą zmienić całkowitego pędu układu,
pozostaje on więc stały, jeśli na układ nie działają z zewnątrz żadne siły, bowiem wewnątrz układu nie
ma sił mogących spowodować zmianę całkowitego pędu.

Zderzenie doskonale sprężyste:

oprócz zasady zachowania pędu obowiązuje również zasada zachowania energii.

zasada zachowania pędu dla układu punktów materialnych
Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów
układu. Jeżeli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru to
całkowity pęd p układu nie ulega zmianie.

Moment pędu
definicja – wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza ruch obrotowy. Jest to iloczyn
wektorowy wektora wodzącego i pędu punktu materialnego.
zależność pomiędzy momentem pędu, momentem siły dla punktu materialnego:
moment pędu:

( = ) × *

moment siły:

+

=

) × &

( - moment pedu punktu materialnego

* -ped punktu materialnego

) -wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała (wektor
wodzący)
+

-moment siły

& – siła

( = ) × * = ) × ', = ') × ,





=

' !





, + )





",





=

,





=

,





=

', × , + ) × , , × , = 0

$(

$

=

' × ) => & × ) = +

Szybkość zmian momentu pędu L układu jest równa sumie wektorowej momentów siły
działającej na wszystkie cząstki.

Zachowania momentu pędu
Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, lub działające siły się
równoważą pozostaje stały.

$-

$

=

+



 + +



 + ⋯ + +



 = . +

 



+

. +

 



∑ +

 



= 0 ;





=

∑ +

 



Jeśli :
∑ +

 



= 0, to:





= 0

,a ( = 01 = 

Przykłady:
- łyżwiarz robiący obroty w swojej osi, gry rozprostuje ręce to będzie sie wolniej obracał,
- wszelkie ruchy obrotowe, np. obracanie kulki na sznurku

c)

Praca, Energia, moc:

Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i wektora
przesunięcia s.

W = F * s = Fs cos

α

Praca wykonana przez siłę F działającą na ciało o masie m jest równa zmianie
energii kinetycznej tego ciała.

Energia– skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego
zdolność do wykonania pracy

Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu
w jakim została ona wykonana.

d) Różnice i cechy wspólne ruchu obrotowego punktu i bryły sztywnej:

f) Transformacje Galileusza:

Transformacje Galileusza pozwalają przeliczyć położenie ciała z jednego układu inercjalnego na
położenie w drugim układzie inercjalnym. Czas – niezmiennik transformacji Galileusza.



′

=

 − 



′

=





′

=



′

=

Feynman:

Zasada względności została po raz pierwszy sformułowana przez Newtona jako jeden z wniosków
wynikających z praw ruchu: „Ruch ciał zawartych w danym obszarze są względem siebie takie same,
niezależnie od tego, czy obszar ten znajduje się w spoczynku, czy też przesuwa się jednostajnie
naprzód po linii prostej”. Oznacza to na przykład, że wszelkie doświadczenia i zjawiska zachodzące w
pojeździe kosmicznym, sunącym ze stałą prędkością, są takie same jak w pojeździe, który nie porusza
się w ogóle. Jeśli zastosujemy transformację Galileusza do praw Newtona, okaże się że otrzymamy te
same prawa, lecz w układzie primowanym. Prawa Newtona mają tę samą postać zarówno w układzie
poruszającym się jak i w spoczywającym. Nie można więc poprzez dokonywanie doświadczeń
mechanicznych stwierdzić, czy układ się porusza, czy też nie porusza.

Czas i przestrzeń mają charakter absolutny, nie zależą od obserwatora i wykonywanego ruchu.

Transformacja Galileusza – opisuje świat na sposób tradycyjny, czyli przed wprowadzeniem TW. W
transformacji Galileusza (zgodnej z mechaniką niutonowską) czas i przestrzeń są traktowane jako
jednolite, niezmienne, niezależne od układu odniesienia. Tutaj czas jaki upływa między dwoma
zdarzeniami jest niezależny od tego z poziomu jakiego układu odniesienia jest wyznaczany - powinien
mieć tę samą wartość dla obserwatora spoczywającego, poruszającego się z ogromną prędkością, czy
znajdującego się w silnym polu grawitacyjnym. Podobnie jest z odległością między dwoma punktami
- jeśli w jednym układzie odległość ta wynosi x metrów, to tyle samo metrów odległość ta powinna
mieć w dowolnym innym układzie odniesienia

3.Elementy szczególnej i ogólnej teorii względności A. Einsteina

a) transformacje Lorentza, założenia STW.

Dlaczego transformacje Lorentza?

Równania Maxwella nie spełniają zasady względności, jeśli zostaną przekształcone wg
transformacji Galileusza, ich postać nie pozostanie niezmieniona. Problem: z równań
Maxwella wynika między innymi, że gdy mamy do czynienia z zaburzeniem pola
prowadzącym do powstania światła, wytworzone fale elektromagnetyczne rozchodzą się we
wszystkich kierunkach równomiernie, szybkością równą c, nawet gdy źródło zaburzenia się
porusza.

Transformacje Lorentza – przestrzeń i czas ulegają deformacji jeśli są zmierzone w innych
układach odniesienia poruszających się względem siebie. Interwał czasoprzestrzenny –
niezmiennik transformacji Lorentza.



′

=

 − 2

1 − 2







′

=





′

=



′

=

− 2



1 − 2





Przy

 ≪ → 3 ≪ 1 4 → 1 transformacje Lorentza przechodzą w transformacje

Galileusza.

Jak zmodyfikować prawa Newtona, aby ich postać nie zmieniała się podczas transformacji
Lorentza?

Wystarczy w równaniach Newtona zastąpić:

' =

'

1 − 2





Wielkość fizyczna, która jest niezmiennicza względem transformacji Lorenza nazywana jest
niezmiennikiem relatywistycznym. Oznacza to, że wartość tej wielkości jest stała niezależnie
od układu odniesienia (inercjalnego)
-interwał czasoprzestrzenny ( odległość miedzy dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni)
Wyraża się on wzorem:

5



=

∆



+

∆



+

∆



−

∆ 



Gdzie

∆

, ∆, ∆, i ∆ są odległościami miedzy dwoma zdarzeniami wzdłuż osi x, y z i w

czasie dla pewnego układu odniesienia.
-wyrażenie zawierające pęd i energię
Różnica kwadratu energii ciała i kwadratu pędu pomnożonego przez kwadrat prędkości
światła nie zależy od układu odniesienia:

6



−

*





=



Szczególna teoria względności
postulaty szczególnej teorii względności:
I) zasada względności - prawa fizyki maja jednakową postać we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ odniesienia,
II) niezmienność prędkości światła - prędkość światła jest jednakowa we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia,
Wniosek: światło nie potrzebuje jakiegokolwiek ośrodka (eteru) do rozchodzenia się

b) konsekwencje Szczególnej Teorii Względności:
Wnioski wynikające z transformacji Lorenza dotyczące:

-skrócenie długości(zmiana miary) – następuje tylko wzdłuż kierunku ruchu

- = 71 − (

8

)



-

PPT:

Obserwator, który znajduje się w ruchomym układzie (układ x,y) chce zmierzyć pręt (układ x’,y’).



ଵ

′

=



ଵ

+



ଵ

 ∙ 



ଶ

′

=



ଶ

+



ଶ

 ∙ 



ଶ

′

−



ଵ

′

=

 = 

ଶ

−



ଵ

 ∙  + 

ଶ

−

ଵ



ଶ

=

ଵ

, ponieważ dokonujemy pomiaru w tym samym czasie

 = 

ଶ

−



ଵ

 ∙ 



ଶ

−



ଵ

=







ଶ

−



ଵ

=

1 − 

ଶ

-dylatacja czasu

Zegar znajdujący się w ruchu wydaje się chodzić wolniej – wg obserwatora z zewnątrz

Im większa prędkość ruchu, tym wolniej wydaje się chodzić zegar.

=

71 − (8

)



Przykład: miony

Mezony

 rozpadają się samorzutnie po średnim czasie życia 2,2 * 10

-6

s. Poruszając się nawet z

prędkością światła mion może przebyć niewiele ponad 600m. Ale mimo, że miony wytwarzany są w
górnych warstwach atmosfery, na wysokości około 10 km, obserwuje się je w promieniowaniu
kosmicznym które dociera na powierzchnię ziemi. Dlaczego? Z punktu widzenia mionów żyją one 2,2
około 2

, z naszego punktu widzenia znacznie dłużej. Współczynnik wskazujący, o ile zwiększ się

ich czas życia wynosi

1

1 − 

ଶ



ଶ

-równoważność masy i energii =>

 = 

ଶ

Dwa zdarzenia są jednoczesne, jeśli ich interwał czasoprzestrzenny ∆s jest równy zeru.

∆



ଵଶ

=



ଶ

∆

ଵଶ

ଶ

− ∆



ଵଶ

ଶ

lub inaczej (PPT):

∆

ଶ

=

 ∙ ∆ 

ଶ

−

∆

ଶ

−

∆

ଶ

−

∆

ଶ

Dwa zjawiska:

1) x=0, t=0

2)dowolne (x,t)

Niech zjawisko 2. zachodzi dla x=0 i ct=ct

1

∆

ଶ

=

 ∙ 

ଶ

−



ଶ

∆

ଶ

=

 ∙

ଵ



ଶ

− 0 =



ଵ



ଶ

> 0

Skutek równoczesny z przyczyną – w żadnym układzie nie ma możliwości by te 2 zjawiska zaszły w
tej samej chwili!

Nie istnieje układ, w którym zjawisko 2 jest wcześniejsze niż zjawisko 1.

Szczególna teoria względności zachowuje relację przyczyna – skutek

-problem niezależności zdarzeń
Niech s’ obserwuje dwa zdarzenia, które zachodzą w tym samym miejscu w jego układzie
odniesienia. Mogą to być dwa kolejne położenia wskazówki zegara umieszczonego w
ustalonym miejscu x’. Niech zmierzony dostęp czasu miedzy tymi zdarzeniami wynosi

∆

’.

Obserwator S, względem którego zegar się porusza, widzi te same dwa zdarzenia i na
podstawie pomiaru otrzymuje inny dostep czasu

∆

, dany wzorem:

∆

=

∆

′

1 − !8 "



FAKT, że

∆

> ∆ ′nazywany jest dylatacją(wydłużeniem) czasu, często wyrażamy to

słowami: „poruszający się zegar chodzi wolniej”. Obserwator S rejestruje dłuższy przedział
czasu (s’ krótszy) niż ten, który jest pokazywany przez poruszający się zegar.

c) podstawowe elementy dynamiki relatywistycznej

Dynamika relatywistyczna
a) II zasada dynamiki w mechanice relatywistycznej
Inne sformułowanie II zasady dynamiki Newtona w postaci uogólnionej w przypadku

zmiennej masy ( fizyka relatywistyczna) ma postać:

& =





≈

∆

∆

, gdzie

∆

* zmiana pędu ciala

w czasie

∆

.

b)Związek pomiędzy masa spoczynkową, pędem i energia całkowitą,
* = '(1 −



మ



మ

)



భ

మ

2 i 6 = '(1 −



మ



మ

)



భ

మ



Na podstawie tych wzorów można znaleźć związki miedzy pędem i energią w ujęciu

relatywistycznym, dzieląc stronami:

* = 2





మ

Prędkość cząstki u:

6



−

*





=

'





Taka postać równań na pęd i energię implikuje ważny fakt – podstawowy dla mechaniki
relatywistycznej: żadna cząstka materialna (m>0) nie może osiągnąć prędkości światła c,
gdyż wtedy jej pęd i energia wzrosłyby do nieskończoności.
c)Energia kinetyczna

6



=

'



−

'



d) Podstawowe elementy Ogólnej teorii względności:

O czym mówi Ogólna T.W?

Ogólna Teoria Względności stanowi rozszerzenie SzTW na przypadek prawa ciążenia.
Równoważność masy bezwładnej i masy grawitacyjnej (nie jesteśmy w stanie odróżnić przyspieszenia
związanego z grawitacją i przyspieszenia związanego z bezwładnością).
Grawitacja jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni wskutek oddziaływania dużego skupiska masy
lub energii. Tor światła, tor ruchu ciała w zakrzywionej przestrzeni również jest zakrzywiony.
Feynman
Einstein wprowadził modyfikacje, do newtonowskiego prawa ciążenia, by było zgodne z teorią
względności. Wg Newtona oddziaływania grawitacyjne zachodzą w sposób natychmiastowy. to
znaczy, jeśli poruszyliśmy jakąś masę, to w wyniku zmiany jej położenia natychmiast zmieni się
pochodząca od niej siła; w ten sposób można by z nieskończoną szybkością przesyłać sygnały. Einstein
przedstawił argumenty przemawiające za tym, że nie można przesyłać sygnałów z szybkością
przekraczającą szybkość światła, a stąd wynika, że prawo powszechnego ciążenia nie jest ścisłe. Jeśli
poprawimy je tak, by uwzględnić opóźnienie rozchodzenia się oddziaływań, otrzymamy nowe prawo,
zwane prawem ciążenia Einsteina. Jedną z cech charakterystycznych tego prawa jest, to, że w teorii
względności Einsteina wszystko, co ma energię ma zarazem i masę, w tym sensie, ze podlega
przyciąganiu grawitacyjnemu. Nawet światło, ponieważ ma energię, ma także „masę”. Gdy wiązka
światła o pewnej energii przechodzi w pobliżu Słońca, ulega przyciąganiu przez Słońce. W tym
przypadku światło nie biegnie po linii prostej, ale się odchyla.

4. Podstawy Termodynamiki

a) model gazu doskonałego:

Model gazu doskonałego:
- cząsteczki nie mają objętości własnej – średnica atomu = 0, v << V; (są nieskończenie małe)
- cząsteczki nie oddziałują ze sobą – średnia odległość między molekułami >> od zasięgu sił
oddziaływania; (za wyjątkiem zderzeń, bo dzięki temu wykluczamy energię potencjalną)
- zderzenia zachodzą idealnie sprężyście – zachodzą nieskończenie szybko (zwalnia nas to od
oddziaływań międzycząsteczkowych)
-gaz idealny ma 3 stopnie swodbody
Model gazu jako układ, w którym obowiązuje

 =  oraz zasada ekwipartycji.

b) Praca, ciepło, energia wewnętrzna:

Praca gazu

a) Definicja:
- tłok przesuwa się na odległość dl w wyniku ekspansji gazu o ciśnieniu p
-siła działająca na tłok ze strony gazu:

= ∗ 

p- ciśnienie
A-

wykonana przez gaz praca:
 =
∗  =  ∗ 

 = ∗ 

- praca wykonana przez gaz w czasie rozprężania od objętości V

p

do V

k

 =   =  

௏௞

௏௣

b) Wyprowadzenie wzoru na pracę gazu dla przemiany
izotermicznej
Praca gazu podczas przemiany izotermicznej -

T

= const

.

-równanie przemiany

=





-praca

 =  

௏௕

௏௔

=





 

௏௕

௏௔

 =  ∗ 

!

"#

Ciepło właściwe substancji definiujemy jako dQ/dT czyli ilość ciepła, którą trzeba
dostarczyć do jednostki masy, żeby spowodować jednostkową zmianę jej temperatury

Energią wewnętrzną ,U, układu cząstek nazywamy sumę energii kinetycznych cząstek liczoną
względem układu odniesienia w którym środek masy układu pozostaje w spoczynku i energii
potencjalnej cząstek wynikającej z ich wzajemnego oddziaływania

$ = $(, )

Energia wewnętrzna jest funkcją stanu

Pojemności cieplne - ilość ciepła, jaka jest
niezbędna do zmiany temperatury ciała o
daną wartość.
% =

∆ࡽ

∆ࢀ

=> ∆& = ' ∗ ∆

∆

( = ∆) + *∆+, ,-./0 *∆+ = 1

∆

( = % ∗ ∆2

-( = % ∗ -2

c) Przemiany stanu gazu doskonałego

Przemiana izochoryczna:

- polega na podgrzewaniu lub oziębianiu gazu =>
zwiększa/zmniejsza się chaotyczna prędkość cząsteczek ciała
- objętość jest stała -> zmienia się ciśnienie

்

=

଴

(1 +

)

-zmiana ciepła

3&

௏

=



௏



Zmianę energii wewnętrznej można obliczyć w następujący sposób:

Przemiana izobaryczna:

- polega na podgrzewaniu lub oziębianiu gazu =>
zwiększa/zmniejsza się chaotyczna prędkość cząsteczek ciała
-ruchomy tłok w naczyniu -> zmienia się objętość => ciśnienie
jest stałe



்

=



଴

(1 +

)

-zmiana ciepła

3&

௣

=



௣



-przepychając tłok cząsteczki wykonują pracę => tracą energię
wewnętrzną
->



௣

>



௏

=>

3&

௣

>

3&

௏

, ponieważ w przypadku przemiany

izobarycznej dostarczona energia zostanie częściowo utracona na wykonanie pracy (przepchanie
tłoka)
przemiany izotermiczna i adiabatyczna polegają na sprężaniu bądź rozprężaniu gazu przez siłę
zewnętrzną

Przemiana izotermiczna:

- nie zmienia się energia wewnętrzna (dU = 0)
- niemożliwa do zrealizowania -> muszą być wahania temperatury,
bo gaz musi pobierać ciepło potrzebne do wykonania
pracy(rozprężania) -> jeśli nie pobierałby ciepła, to traciłby na
energii wewnętrznej
-przy sprężaniu gazu izotermicznie następuje przejście fazowe(gaz
-> ciecz), bo zmniejszają się odległości między cząsteczkami
-entropia w tej przemianie -> przy rozprężaniu wzrasta, przy
sprężaniu maleje??
- powinna zachodzić idealnie powoli

Przemiana adiabatyczna:

-nie następuje wymiana ciepła z otoczeniem(δQ = 0) wykonuje prace kosztem energii własnej
- cząsteczki tracą energię -> ale nie są „dokarmiane” jak w przypadku przemiany izotermicznej
-entropia w tej przemianie jest stała
- Proces zachodzi szybciej niż wymiana ciepła z otoczeniem
Entropia w cyklu Carnota – entropia początkowa jest równa końcowej, ale nie jest cały czas stała.
-praca (uporządkowanie) przechodzi w ciepło (chaos)

d) Termodynamiczny cykl Carnota, cykl odwrotny.

Cykl Carnota, dlaczego nazywamy go silnikiem cieplnym

I zasada termodynamiki
Zasada zachowania energii – jeżeli do układu dostarczymy ciepło i wykonamy nad nim pracę,
wówczas jego energia wzrośnie o włożoną pracę i o dostarczone ciepło. Ciepło Q dostarczone do
układu plus praca W nad układem równa się przyrostowi energii U układu (energia wewnętrzna).

∆

$ = ∆& + ∆

II zasada termodynamiki
Ciepło w stałej temperaturze nie może być pobrane i zamienione na pracę bez dodatkowych zmian w
układzie lub otoczeniu. Gdyby to byłoby możliwe, znaczyłoby to m.in., że można wziąć ciepło od ciała
zimnego i przekazać je ciału gorącemu bez żadnych strat, ale nasze doświadczenie zapewnia nas, że
ciało cieplejsze nie może jeszcze bardziej się ogrzać a zimniejsze ostygnąć! Podsumowując, dwa
równoważne sformułowania:
- nie można wymyśleć procesu, którego jedynym wynikiem byłaby zamiana ciepła na pracę w stałej
temperaturze;
- ciepło samo nie może przepływać z zimniejszego miejsca do cieplejszego.
PPT
Niemożliwa jest całkowita zamiana ciepła w pracę. „Źle”, bo układ wykonuje pracę, pobiera ciepło.
Ale niemożliwe jest zbudowanie silnika o tej własności.

Przepływ odwracalny
Chcemy znaleźć odpowiednik ruchu bez tarcia: przepływ ciepła, którego kierunek możemy zmieniać
drogą niewielkich zmian temperatury. Dla skończonej różnicy temperatur nie jest to do
zrealizowania. Ale jeżeli okaże się, że ciepło płynie między dwoma ciałami o praktycznie tej samej
temperaturze, a jedynie nieskończenie mała różnica temperatur określi kierunek przepływu to
przepływ ten nazywamy przepływem odwracalnym.

Silnik Carnota
Silnik idealny, w którym wszystkie procesy są odwracalne. Gaz doskonały zawarty w cylindrze z
tłokiem poruszającym się bez tarcia. Dwa duże zbiorniki ciepła o stałych temperaturach T

1

i T

2

(T

1

> T

2

) . Najpierw ogrzewamy gaz i jednocześnie rozprężamy go w kontakcie ze zbiornikiem T

1

. Gdy

zadbamy o to, by tłok wysuwał się bardzo powoli z cylindra podczas dopływu ciepła, będziemy pewni,
że temperatura nigdy nie odbiegnie znacznie od temperatury T

1

. (zachowamy proces odwracalny).

Izotermiczne rozszerzanie dokonywane powoli i dostatecznie delikatnie jest procesem odwracalnym.
Gdy gaz się rozszerza, jego ciśnienie maleje. Jeżeli utrzymujemy stałą wartość temperatury, wtedy
krzywa

4 = 56

ଵ

opisuje jak zmienia się ciśnienie i objętość. Podczas izotermicznego rozprężania

gazu ciśnienie maleje wraz ze wzrostem objętości. Jednocześnie pewna ilość ciepła musi przepłynąć
ze zbiornika do gazu, ponieważ gdyby gaz rozszerzał się nie będąc w kontakcie ze zbiornikiem ciepła,
to jak wiemy oziębił by się. Po skończeniu izotermicznego rozprężania odsuńmy cylinder od zbiornika
ciepła i nadal rozprężajmy gaz (proces odwracalny – przeprowadzamy bardzo powoli). Gaz rozszerza
się nadal i jego temperatura maleje, ponieważ teraz ciepło już nie dopływa do cylindra. Jest to
rozprężanie gazu bez dopływu ciepła – rozprężanie adiabatyczne. Gaz doskonały rozpręża się
adiabatycznie zgodnie z krzywą

7

ఊ

=

  , gdzie  jest stałą większą od jedności, a więc adiabata

jest bardziej nachylona niż izoterma. Cylinder ma teraz temperaturę T

2

, więc nie wywołamy zmian

nieodwracalnych, gdy zetkniemy go ze zbiornikiem o temperaturze T

2

. Następnie powoli sprężamy

gaz, podczas gdy cylinder styka się ze zbiornikiem ciepła o temperaturze T

2

. Ponieważ cylinder jest w

kontakcie cieplnym ze zbiornikiem, temperatura gazu nie wzrasta, ale ciepło Q

2

przepływa z cylindra

do zbiornika. Po izotermicznym sprężeniu gazu usuwamy zbiornik i nadal sprężamy gaz nie

dopuszczając do ucieczki ciepła. Temperatura będzie wzrastała. Jeżeli ten etap wykonaliśmy
właściwie, możemy wrócić do punktu o temperaturze T

1

, z którego wystartowaliśmy i cykl powtórzyć.

Wykonaliśmy z gazem pełen cykl, podczas którego dostarczyliśmy ciepło Q

1

w temperaturze T

1

i

usunęliśmy ciepło Q

2

w temperaturze T

2

. Istotne znaczenie ma odwracalność cyklu, dzięki której

możemy wszystkie etapy wykonać w innej kolejności. Przebiegając cykl w jednym kierunku musimy
wykonać pracę nad gazem, w przeciwnym – gaz pracuje dla nas.

Cykl Carnota:
a) rozszerzanie izotermiczne w temperaturze T

1

, absorpcja ciepła Q

1

b) rozszerzanie adiabatyczne; temperatura spada od T

1

do T

2

,

c) sprężanie izotermiczne w temperaturze T

2

, wydzielanie ciepła Q

2

,

d) sprężanie adiabatyczne, temperatura wzrasta od T

2

do T

1

.

Wnioski:
Jeżeli silnik jest odwracalny, jego konstrukcja nie odgrywa żadnej roli, ponieważ praca, którą
otrzymamy, gdy silnik pobiera określoną ilość ciepła w temperaturze T

1

i wydzieli pewną jego ilość w

temperaturze T

2

, nie zależy od konstrukcji silnika. Jest to właściwość świata, nie silnika. Nie można

wynaleźć substancji, która użyta w silniku dawałaby więcej pracy niż maksymalna dostępna praca,
którą otrzymuje się z silnika odwracalnego.
Dla silnika Carnota pracującego między T

1

i T

2

:

8 ≤ 8

஼

=



ଵ

−



ଶ



ଵ

silnik – urządzenie zamieniające pracę i ciepło na pracę i ciepło (zmieniają się proporcje)
dużo ciepła + mało pracy – > mało ciepła + dużo pracy (odwrotnie=>lodówka)
-wykonujemy pracę – sprężamy gaz (adiabatycznie i izotermicznie), następnie gaz się rozpręża

1.

Sprężanie izotermiczne

chłodnicy i zostaje poddane procesowi spręż

roboczy oddaje ciepło do chłodnicy.

2.

Sprężanie adiabatyczne

poddawany sprężaniu aż

ę ź

3.

Rozprężanie izotermiczne

temperaturę i poddawany jest rozpręż

podczas tego cyklu ciepł

4.

Rozprężanie adiabatyczne

rozprężany aż czynnik roboczy uzyska temperaturę

W wyniku tych czterech procesów czynnik roboczy powraca do punktu wyjś

mówimy, że cykl jest kołowy.
Podczas procesów sprężania siła zewnę

ę

termodynamicznym, a podczas rozpręż

ę

ść

przez układ jest większa (gdy T
ciepło jest pobierane ze źródła ciepła, część

ęść

zamieniana na pracę.
Dla układu tego definiuje się sprawność

ś

pobranego ze źródła ciepła.

e) Entropia, interpretacja statystyczna

Entropia jest miarą stopnia nieuporządkowania układu. Entropia zawsze wzrasta.
Mamy układ zamknięty. Procesy, które w nim przebiegają w sposób spontaniczny zwiększają entropię
układu.

Jest to termodynamiczna funkcja stanu
(samorzutnych) w odosobnionym
nieuporządkowania układu. Jest
jeżeli układ termodynamiczny przechodzi od jednego s
czynników zewnętrznych (a więc spontanicznie), to jego entropia zawsze rośnie.

9 : 6 ∗ <,

gdzie k- stała Boltzmanna, Ω- liczba sposobów, na jakie
(makrostan) może być zrealizowany poprzez

Własno

ś

ci:

a)

Funkcja stanu - funkcja zależna wyłącznie
jego parametrów, takich jak
Zmiana wartości funkcji stanu zależy tylko od stanu początkowego i końcowego układu, a nie
od sposobu w jaki ta zmiana została zrealizowana. Funkcje stanu są najczęściej

izotermiczne – czynnik roboczy styka się z chłodnicą, ma temperaturę

chłodnicy i zostaje poddane procesowi sprężania w tej temperaturze (T

roboczy oddaje ciepło do chłodnicy.

ężanie adiabatyczne – czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otocze

ężaniu aż uzyska temperaturę źródła ciepła (T

1

).

ężanie izotermiczne – czynnik roboczy styka się ze źródłem ciepła, ma jego

ę i poddawany jest rozprężaniu izotermicznemu w temperaturze (T

podczas tego cyklu ciepło jest pobierane ze źródła ciepła.

ężanie adiabatyczne – czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem i jest

ęż

ż czynnik roboczy uzyska temperaturę chłodnicy (T

2

).

W wyniku tych czterech procesów czynnik roboczy powraca do punktu wyjś

że cykl jest kołowy.

ężania siła zewnętrzna wykonuje pracę nad układem

termodynamicznym, a podczas rozprężania układ wykonuje pracę. Ilość pracy wykonanej

ększa (gdy T

1

> T

2

) od pracy wykonanej nad układem. Podczas cyklu

źródła ciepła, część tego ciepła jest oddawana do chłodnicy a część

ę sprawność jako stosunek pracy wykonanej do iloś

e) Entropia, interpretacja statystyczna

miarą stopnia nieuporządkowania układu. Entropia zawsze wzrasta.

Mamy układ zamknięty. Procesy, które w nim przebiegają w sposób spontaniczny zwiększają entropię

funkcja stanu, określająca kierunek przebiegu procesów spontanicznych

odosobnionym układzie termodynamicznym. Entropia jest miarą

nieuporządkowania układu. Jest wielkością ekstensywną. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki
jeżeli układ termodynamiczny przechodzi od jednego stanu równowagi do drugiego, bez udziału
czynników zewnętrznych (a więc spontanicznie), to jego entropia zawsze rośnie.

liczba sposobów, na jakie makroskopowy stan termodynamiczny

ealizowany poprzez stany mikroskopowe (mikrostany)

funkcja zależna wyłącznie od stanu układu, czyli od aktualnych wartości

, takich jak masa, liczność materii, temperatura, ciśnienie

Zmiana wartości funkcji stanu zależy tylko od stanu początkowego i końcowego układu, a nie
od sposobu w jaki ta zmiana została zrealizowana. Funkcje stanu są najczęściej

ę

ą, ma temperaturę

ężania w tej temperaturze (T

2

). Czynnik

czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem, i jest

ę

źródłem ciepła, ma jego

ę

ężaniu izotermicznemu w temperaturze (T

1

),

czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem i jest

W wyniku tych czterech procesów czynnik roboczy powraca do punktu wyjścia, dlatego

ęż

ę

ę nad układem

ęż

ę

ść pracy wykonanej

układem. Podczas cyklu

ź

ęść tego ciepła jest oddawana do chłodnicy a część

ę

ść jako stosunek pracy wykonanej do ilości ciepła

miarą stopnia nieuporządkowania układu. Entropia zawsze wzrasta.

Mamy układ zamknięty. Procesy, które w nim przebiegają w sposób spontaniczny zwiększają entropię

, określająca kierunek przebiegu procesów spontanicznych

. Entropia jest miarą stopnia

drugą zasadą termodynamiki,

do drugiego, bez udziału

makroskopowy stan termodynamiczny układu

, czyli od aktualnych wartości

ciśnienie, objętość i inne.

Zmiana wartości funkcji stanu zależy tylko od stanu początkowego i końcowego układu, a nie
od sposobu w jaki ta zmiana została zrealizowana. Funkcje stanu są najczęściej wielkościami,

których nie możemy bezpośrednio zmierzyć i dla których określenia konieczna jest pewna
procedura zawierająca różne założenia i konwencje.

b)

Funkcja addytywna - wielkość fizyczna W opisująca układ fizyczny jest addytywna, jeśli
wielkość ta dla całego układu jest sumą wielkości W

i

odpowiadających składowym częściom

tego układu fizycznego:

ࢃ = ෍ ࢃ࢏

࢏

Wielkości addytywne:

Skalarne:

ilość substancji

masa w fizyce klasycznej

liczba atomów (ale nie w reakcjach jadrowych)

liczba cząsteczek lub liczność materii (liczba moli) (są addytywne, jednak nie muszą być stałe
w czasie, gdy np. przebiegają reakcje chemiczne)

ładunek elektryczny

moment bezwładności względem tej samej osi

energia kinetyczna – tylko wówczas, gdy elementy układu nie oddziałują ze sobą

Wektorowe:

pęd

moment pędu

Niech układ A1 będzie realizowany na Ω1 sposobow, a układ A2 na Ω2 sposobów. Wtedy:

 = 1 + 2

<" = <1 × <2

9" = 6 ∗ ln<"

9" = 91 + 92

Procesy równowagowe – w każdej chwili układ znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej.

Procesy odwracalne – proces który może prowadzić w kierunku odwrotnym, tak aby układ i jego
otoczenie powróciły do pierwotnych parametrów

Dla procesów odwracalnych:

∆

=

૚→૛

=

∆

)

2

Dla procesów nieodwracalnych:

∆

= >

∆

)

2

Tw. Nersta -

>?@

ࢀ→૙

= = 1 , AB C → 1

bo w T=0 każdy układ znajduje się w stanie podstawowym. Taki stan może być zrealizowany tylko na
jeden sposób.

Entropia w ujęciu fizyki statystycznej
Wykorzystuje rachunek prawdopodobieństwa przy badaniu rozkładów parametrów mikroskopowych
oraz poszukuje wartości średnich tych parametrów w układzie złożonym przyjmując często pewne
założenia do mikroskopowej natury tych składników. Posługując się metodami statystycznymi można
uzyskać wzory (ukazujące) wiążące parametry makroskopowe z mierzalnymi parametrami
mikroskopowymi tzn. z wartościami średnimi parametrów mikroskopowych. Jeżeli znamy w danej
chwili czasu współrzędne przestrzenne i składowe prędkości wszystkich n składników układu to
mówimy, że znamy mikroskopowy stan lub mikrostan układu. Pewnym mikrostanom można
przypisać stany makroskopowe układu tzn. mikrostany określone przez mierzalne parametry
makroskopowe.

Makrostan- stan układu opisany za pomoca parametrów makroskopowych (p, V, U…)

Mikrostan –stan opisany za pomocą parametrów mikroskopowych – parametrów opisujących z
osobna stan każdego z elementów układy

Prawdopodobieństwo termodynamiczne Ω –liczba róznych mikrostanów odpowiadająca danemu
stanowi makroskopowemu.

<, 5 −  =

5!

! 5 − !

W zależności od indywidualnej wartości cząstek tworzących układ podlegają one różnym rozkładom,
różnym statystykom fizycznym. Występują trzy rodzaje statystyk fizycznych: Rozkład Maxwella,
Fermiego-Diracka, Bosego-Einsteina.

To czym jest temperatura najlepiej wyjaśnia się w oparciu o teorię kinetyczno molekularną. Wynika z
niej, że: Temperatura jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząstek ciała.

W odróżnieniu od entropii i ciepła, których mikroskopowe definicje obowiązują także w stanie
nierównowagi termodynamicznej, temperatura może być zdefiniowana tylko w stanie równowagi lub
lokalnej równowagi termodynamicznej.

Stan

równowagi

termodynamicznej –

izolowany układ znajduje się z jednakowym

prawdopodobieństwem w jednym ze swoich możliwych mikrostanów.

Stan nierównowagi termodynamicznej – izolowany układ może znajdować się z większym
prawdopodobieństwem w jednym ze swoich możliwych mikrostanów.

f) Energia swobodna i energia związana:

Energia swobodna - w termodynamice, część energii układu fizycznego, która może być
przekształcona w pracę. W szczególności do energii swobodnej zaliczamy:
-energię swobodną Helmholtza - część energii całkowitej układu, która może być zamieniona
na pracę w procesie o stałej temperaturze,
-entalpię swobodną - część energii całkowitej układu, która może być zamieniona na pracę w
procesie o stałej temperaturze i ciśnieniu.
Energia związana - część energii całkowitej układu termodynamicznego, która nie może być
zamieniona na pracę w procesie izotermicznym; równa jest iloczynowi TS (T - temperatura
bezwzględna, S - entropia).

5.

Fale mechaniczne

a)

Równanie ruchu fali, pojęcie funkcji falowej

b)

Podstawowe zjawiska charakterystyczne: interferencja, polaryzacja, efekt
Dopplera.

Interferencją fal nazywamy zjawisko nakładania się fal. Rozważmy dwie fale
o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach różniących się o φ. Jeżeli te fale
rozchodzą się w w kierunku x, z jednakowymi prędkościami to możemy je opisać
równaniami

Podobnie jak w przypadku drgań, również dla fal obowiązuje zasada superpozycji więc
wypadkową falę znajdujemy jako sumę fal składowych

y = 2Acos(ϕ 2)sin(kx −ωt +ϕ 2)

To jest ponownie równanie fali sinusoidalnej y = A'sin(kx −

ω

t +

ϕ

2) o amplitudzie

A'= 2Acos(

ϕ

2)

Widzimy, że wynik nakładania się fal (interferencji) zależy wyłącznie od różnicy faz φ.
Dla φ = 0 fale są zgodne w fazie i wzmacniają się maksymalnie (amplituda A’ osiąga
maksimum), a dla φ = 180° fale są przeciwne w fazie i wygaszają się (amplituda A’ = 0).

Oczywiście dla pozostałych wartości φ otrzymujemy pośrednie wyniki nakładania się fal.

Polaryzacja – właściwość fali poprzecznej polegająca na zmianach kierunku oscylacji
rozchodzącego się zaburzenia w określony sposób.
W poprzecznej fali niespolaryzowanej oscylacje rozchodzącego się zaburzenia zachodzą z
jednakową amplitudą we wszystkich kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się
fali. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie bardzo wielu fal
spolaryzowanych w różny sposób.
Polaryzacja występuje tylko dla takich rodzajów fal i takich warunków, w których oscylacje
mogą odbywać się w różnych kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. W
innych przypadkach rozważanie zjawiska polaryzacji nie ma sensu - dotyczy to na przykład
drgań rozchodzących się na powierzchni membrany i na granicach ośrodków o różnej
gęstości (między innymi fale morskie). Fale dźwiękowe również nie podlegają zjawisku
polaryzacji, gdyż są falami podłużnymi.

Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie częstotliwości fali z powodu ruchu
obserwatora lub źródła fali.
Rozpatrzmy sytuację gdy źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się
w kierunku źródła z prędkością v

o

(względem ośrodka). Jeżeli fale o długości λ rozchodzą

się z prędkością v to w czasie t dociera do nieruchomego obserwator vt /

λ

fal. Jeżeli

obserwator porusza się w kierunku źródła (wychodzi falom na przeciw) to odbiera jeszcze
dodatkowo t /

λ

o

v fal. W związku z tym częstotliwość f’ słyszana przez obserwatora

Ostatecznie

Obserwator rejestruje wyższą częstotliwość niż częstotliwość źródła. Kiedy obserwator
oddala się od źródła należy w powyższych wzorach zmienić znak (na minus) prędkości
obserwatora

v

o

. W tym przypadku częstotliwość zmniejsza się.

Analogicznie możemy przestudiować przypadek źródła poruszającego się z prędkością

v

z

względem nieruchomego obserwatora (i względem ośrodka).

Otrzymujemy wtedy zależność

W sytuacji kiedy porusza się zarówno źródło jak i obserwator otrzymujemy zależność

będącą połączeniem wzorów

6.

Początku fizyki kwantowej.

a)

Plancka model promieniowanie ciała doskonale czarnego

Ciało doskonale czarne – ciało, które pochłania w stu procentach padające nań światło o każdej
długości fali. Krzywe promieniowania rozkładu widmowego promieniowania ciała doskonale
czarnego zależą od temperatury. Charakteryzują się następującymi cechami:
1) Maksimum krzywej jest tym ostrzejsze i wyższe im wyższa jest temperatura.
2) Prawo przesunięć Wiena:
Maksimum krzywej przesuwa się wraz ze wzrostem temperatury w kierunku większej częstotliwości
fal. Długość fali odpowiadająca maksimum jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury
bezwzględnej ciała doskonale czarnego:

D

௠௔௫

=

"



gdzie a jest pewną stałą (a = 2,898 * 10

-3

K*m).

3) Prawo Stefana-Boltzmana:
całkowita emitancja energetyczna / natężenie promieniowania ciała doskonale czarnego dla
wszystkich częstotliwości fal jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury
bezwzględnej

E2 = F2

૝

gdzie σ – stała Stefana-Boltzmanna (σ = 5,67 * 10

-8

W*m

-2

*K

-4

).

Pierwszy wzór empiryczny dający wyniki widmowej zdolności emisyjnej
w przybliżeniu zgodne z doświadczeniem przedstawił Wien. Wzór ten został następnie
zmodyfikowany przez Plancka tak, że uzyskano wynik w pełni zgodny z doświadczeniem.
Wzór Plancka ma postać

gdzie C1 i C2 są stałymi wyznaczanymi doświadczalnie.
Planck nie tylko zmodyfikował wzór Wiena ale zaproponował zupełnie nowe podejście
mające na celu stworzenie teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Założył on, że

każdy atom zachowuje się jak oscylator elektromagnetyczny posiadający charakterystyczną
częstotliwość drgań
Oscylatory te, według Plancka, nie mogą mieć dowolnej energii, ale tylko ściśle
określone wartości dane wzorem

gdzie ν oznacza częstość drgań oscylatora, h jest stałą (zwaną obecnie stałą Plancka) równą
h = 6.63·10−34 Js, a n - pewną liczbę całkowitą (zwaną obecnie liczbą kwantową ).
Ten postulat zmieniał radykalnie istniejące teorie. Wiemy, że zgodnie z fizyką
klasyczną, energia każdej fali może mieć dowolną wartość, i że jest ona proporcjonalna do
kwadratu amplitudy. Tymczasem według Plancka energia może przyjmować tylko ściśle
określone wartości czyli jest kwantowana .

Ponadto oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, lecz porcjami czyli

kwantami . Kwanty są emitowane gdy oscylator przechodzi ze stanu (stanu
kwantowego ) o danej energii do drugiego o innej, mniejszej energii. Odpowiada to
zmianie liczby kwantowej n o jedność, a w konsekwencji wypromieniowana zostaje
energia w ilości

Oznacza to, że dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich stanów kwantowych
dopóty ani nie emituje ani nie absorbuje energii. Mówimy, że znajduje się w stanie
stacjonarnym

b)

Einsteina interpretacja zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego

Einstein korzystał z założeń Maxa Plancka:

- światło nie jest falą

-„elementarne oscylatorki” generują promieniowanie niezależne co do fazy

- energia generowana w porcjach (kwantach – ich energia jest proporcjonalna do częstotliwości(?))

Wnioski płynące ze zjawiska fotoelektrycznego (Einstein 1905): mechanizm przekazywania

energii przez światło nie jest mechanizmem falowym.

Światło nie może być falą – światło występuje w postaci kwantów, również wnika do materii

w postaci kwantów energii. Jak zwiększymy natężenie światła, to zwiększymy liczbę elektronów
wyrzuconych, ale energia pozostaje niezmieniona. Dokładnie ta sama prędkość początkowa
elektronów, mimo zwiększenia natężenia światła. Ale gdy nie zmieniamy ilości kwantów =>
zmieniamy kolor światła, czyli energię, czyli długość fali – zmieniamy energię pojedynczego fotonu.
Gdy zmniejszamy częstotliwość światła, w pewnym momencie obserwujemy spadek przepływu prądu
do zera. Oznacza to, że istnieje progowa wartość

GH

0

która starcza tylko na wykonanie pracy wyjścia.

Światło o

H mniejszej niż progowej => nic się nie dzieje. Natężenie światła nie ma znaczenia, ważna

jest energia pojedynczego kwantu światła – energia fotonu.

Przekazywanie energii przez światło nie następuje w sposób ciągły, tylko dyskretny w postaci

porcji energii – kwantów.

Prędkość wybijanych elektronów nie zależy od natężenia światła, tylko od długość fali.

c)

Eksperyment Comptona i jego znaczenie

Po raz pierwszy taki proces został zaobserwowany przez Comptona w 1923 r.
W doświadczeniu wiązka promieni X, o dokładnie określonej długości fali pada na blok
grafitowy tak jak na rysunku

Compton mierzył natężenie wiązki rozproszonej pod różnymi kątami φ jako funkcję
długości fali λ
Zauważył, że wiązka padająca na grafit ma jedną długość fali to w promieniowaniu
rozproszonym występują dwie długości fal. Jedna z nich ma długość λ identyczną jak fala
padająca, druga długość λ' większą o ∆λ. To tak zwane

przesunięcie Comptona

∆λ

zmienia się wraz z kątem obserwacji φ rozproszonego promieniowania X tzn. λ' zmienia
się wraz z kątem.

Jeżeli padające promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawienie się fali
rozproszonej o zmienionej długości λ' nie daje się wyjaśnić. Dopiero przyjęcie hipotezy, że
wiązka promieni X nie jest falą ale strumieniem fotonów o energii hν pozwoliło
Comptonowi wyjaśnić uzyskane wyniki.
Założył on, że fotony (jak cząstki) zderzają się z elektronami swobodnymi w bloku grafitu.
Podobnie jak w typowych zderzeniach (np. kul bilardowych) zmienia się w wyniku
zderzenia kierunek poruszania się fotonu oraz jego energia (część energii została
przekazana elektronowi). To ostatnie oznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości
fali.

W ten sposób pokazał, że światło nie jest falą, jest strumieniem quasi-cząstek mających energię i pęd.

Lampa rentgenowska emituje krótkie fale (0,1-10nm), po napotkaniu przeszkody (grafit) część
promieniowania przechodzi bez zmiany kierunku, część odchyla się (większa długość fali => mniejsza
energia). Wiązka leci w jedną stronę, a elektron w inną.
Nastąpiło przekazanie pędu.

Foton:

I = 1

* =

J

K

=

G

L

Przesunięcie Comptonowskie – różnica między długościami
fali.

Skąd foton ma pęd? Masa relatywistyczna
fotonu jest różna od zera.

d) Bohra model atomu wodoru:

Założenia:
1. Elektron krąży wokół jądra po orbitach stacjonarnych, które mają ściśle wyznaczone
promienie.
2. Promienie orbit r są „skwantowane” zgodnie z warunkiem mvr=nh h=h/2pi
3. Przejście elektronu z Robity niższej na wyższą wymaga otrzymania energii przezeń
odpowiedniej energii z zewnątrz.

Przejście elektronu z powłoki niższej na wyższą (stan
energetyczny) wymaga dostarczenia energii równej różnicy
między wartościami poziomów energetycznych, a przejście z
wyższej na niższą powoduje emisję światła. Promienie orbit są
skwantowane (zał. Bohra) – osiągają wartości dyskretne.
Pierwsza orbita jest kołowa, a następne różne – są składowymi
kilku stanów. Czas życia cząstki w stanie wzbudzonym 10

-8

s.

Prawo minimum energii potencjalnej – dążenia ciało do
uzyskania stanu o najmniejszej możliwej energii potencjalnej.

Zalety:

- wyjaśniał dlaczego widmo jest prążkowe

- obliczenie wartości energii i promienia dla pierwszej orbity – przypadek, bo pierwsza orbita jest
kołowa (r = 0,529 Å, E = 13,56 eV)

- wyjaśnienie skąd bierze się światło – wynik przejść elektronowych z wyższych stanów na niższe,

Wady:

- Bohr użył do opisu kwantowych zjawisk praw odnoszących się do świata makroskopowego,

- modelu nie da się zastosować do innych pierwiastków (tylko atom wodoru),

- nie przewidywał/nie tłumaczył natężeń linii widmowych w widmie emisyjnym(intensywność
prążka: w danym momencie czasu więcej elektronów „spada na niższą orbitę”),

- nie przewidywał subtelnej struktury widma emisyjnego,

- kwantowanie orbitalnego momentu pędu, brak kwantowania przestrzennego

e) koncepcja fal materii de Broglie’a

!!Fala de Broglie’a jest falą materii.

Strumień elektronów „zachowuje się jak fala” – ulega interferencji i dyfrakcji. Ale grupowanie się
elektronów, a nie dodawanie/ znoszenie się fali o przeciwnych fazach. Pojedyncze elektrony nie
interferują ze sobą, one się grupują => prawo przyrody :D. Elektrony grupują się w prążki
dyfrakcyjne.

cząstka ->duża masa -> zachowuje się jak cząstka (zgodnie z prawami mechaniki klasycznej)

->mała masa -> zachowuje się jak fala (zgodnie z prawami mechaniki kwantowej)

fala -> duża długość -> zachowuje się jak fala

-> mała długość -> zachowuje się jak cząstka

Teoria sformułowana przez Bohra pozwoliła na wyjaśnienie własności widma atomu
wodoru, a przede wszystkim stabilnej struktury atomu. Jednak nie podawała uzasadnienia
postulatów, na których się opierała, zwłaszcza reguły kwantowania momentu pędu.
Taką fizyczną interpretację reguł kwantowania Bohra zaproponował de Broglie
przyjmując, że elektron krążący wokół jądra po orbicie kołowej ze stałą prędkością jest
reprezentowany przez pewną

falę materii

-

falę elektronową

.

Ta fala, tak jak elektron, przebiega wielokrotnie wzdłuż orbity kołowej, przy czym
w każdym kolejnym okresie przebieg ulega dokładnemu powtórzeniu, to znaczy fala jest
zgodna w fazie z falami z poprzednich obiegów. W przeciwnym razie powstająca fala
wypadkowa miała by natężenie równe zeru.
Ten warunek zgodności faz oznacza, że orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą
liczbę długości fal de Broglie'a

2

π

r = n

λ

Co w połączeniu z postulatem de Broglie'a prowadzi do wyrażenia

Stąd moment pędu elektronu

Otrzymaliśmy warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu, który jest teraz konsekwencją
przyjęcia założenia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii.
Na rysunku przedstawione są fale materii związaną z elektronem poruszającym się
po orbicie o promieniu r. Długość fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita
o promieniu r zawierała całkowitą liczbę n fal materii

Przedstawiony powyżej obraz sugeruje powstawanie stojących fal materii.
Mamy do czynienia z sytuacją, w której ruch fal jest ograniczony przez nałożenie pewnych
warunków fizycznych, analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej na obu
końcach. Mamy wtedy do czynienia z falę stojącą (a nie bieżącą),a co ważniejsze w strunie
mogą występować tylko pewne długości fal. Mamy więc doczynienia z kwantyzacją długości
fal wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę.

Co więcej fale stojące nie przenoszą energii (nie może ona płynąc przez węzły, jest na

stałe zmagazynowana w poszczególnych punktach przestrzeni), elektron krążący po orbicie
nie emituje promieniowania elektromagnetycznego, jest w stanie stacjonarnym.

Postulat de Broglie'a wiążący elektron ze stojąca falą materii przyniósł zadawalające

uzasadnienie reguł kwantowania Bohra i stworzył fundament współczesnej teorii opisu
stanów atomowych.

Sam jednak nie był wystarczający, bo miedzy innymi nie dawał informacji o sposobie

rozchodzenia się fal materii. Nie odpowiadał na pytanie jaką postać może mieć funkcja
opisująca fale materii -

funkcja falowa

, jak ją wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.

Problem ten został wyjaśniony przez Heisenberga i Schrödingera, którzy zaproponowali
nowy sposób opisu świata mikrocząstek -

mechanikę kwantową

.

f) zasada nieoznaczoności Heisenberga

Zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że nie ma możliwości by dowolnie dwie wybrane
wielkości zmierzyć z dowolnie dużą dokładnością niezależnie od przyrządu. Ograniczenie to jest
prawem przyrody. Najczęściej przedstawiana jest w postaci dwóch nierówności:

∆

 ∗ ∆ ≥

௛

ଶగ

- pedu i położenie cząstki

∆

 ∗ ∆ ≥

௛

ଶగ

- energii i czasu

Gdy

∆

 = 0 (cząstka swobodna nie działa na nią żadna siła), to ∆ → ∞ (położenie zupełnie

nieokreślone).
Zasadę tą stosujemy w świecie atomów.

7.

Równanie Shrodingera i niektóre jego rozwiązania

Równanie Schrodingera Bez Czasu

(wzięte ze slajdów JMP, w Resnicku jest inaczej)

−

G

૛

MI NO

+

(O = JO

prościej:

PQO = JO

Rozwiązanie

OR, S, . = O

૚

0R*/TU + O

૛

0R*−/TU

gdzie

VQ - operator Hamiltona (hamiltonian) - warunki w jakich jest cząstka

PQ =

−

G

૛

MI N

+

(

ିࢎ

૛

૛࢓

- energia kinetyczna

U – energia potencjalna

a)

Cząstka w jamie potencjału

௞

=

ଵ
ଶ



ଶ

,  = ,  =

௛
௣

,  =

௛
ఒ

,  =

௡ఒ

ଶ

,  =

ଶ௅

௡

czyli:

2



௞

=



ଶ



ଶ

Podstawiamy kolejne wzory:

2



௞

=



ଶ

2

௞

=

௛

మ

ఒ

మ

௞

=

௛

మ

ଶ௠ఒ

మ

௞

=

௛

మ

଼௠௅

మ



ଶ

Przypadek klasyczny: znajdującą się w głębokiej studni piłka może posiadać dowolną energię
kinetyczną, w szczególności przypadku na dnie posiada E

c

=0.

Przypadek kwantowy: cząstka może przyjmować tylko ściśle określone, różne od zera wartości.

b)

Przejście cząstk

Zjawisko tunelowania – zjawisko przejś

ą

ę

większej niż energia cząstki (U
zachowania energii, ponieważ czą
zasadę zachowania energii. Prawdopodobień

ż

ą

barierę wysokości U

0

i szerokości L równe jest współczynnikowi przejś

 W X

ଶ௞௅

gdzie

6 : 

଼గ

మ

௠ሺ௎

బ

ିா

௛

మ

Przykłady:
- fuzja jądrowa będąca źródłem energii słoń
- na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodników elementów
elektronicznych( np. dioda tunelowa)
Zgodnie z prawami fizyki klasycznej czą

ę

ść

większa od energii kinetycznej czą
skończone prawdopodobieństwo, ż

ą

ąstki przez barierę potencjału

zjawisko przejścia cząstki przez barierę (U=U

0

) potencjału o wysokoś

ę

ż

ą

stki (U

0

>E). Z punktu widzenia fizyki klasycznej, łamie ono zasadę

ż

cząstka przez pewien czas przebywa w obszarze zabronionym przez

ę

zachowania energii. Prawdopodobieństwo że cząstka o masie m i energii E przejdzie przez

ś

ci L równe jest współczynnikowi przejścia T.

ாሻ

ą

ę ą

ź

ródłem energii słońca

na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodników elementów

elektronicznych( np. dioda tunelowa)
Zgodnie z prawami fizyki klasycznej cząstka odbija się od bariery potencjału, której wysokość

ększa od energii kinetycznej cząstki. Jednak zgodnie z prawami fizyki kwantowej istnieje

ń

ństwo, że cząstka przejdzie przez tę barierę.

) potencjału o wysokości

>E). Z punktu widzenia fizyki klasycznej, łamie ono zasadę

przebywa w obszarze zabronionym przez

ę

ń

ż

ą

stka o masie m i energii E przejdzie przez

na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodników elementów

ą

ę od bariery potencjału, której wysokość jest

ę

ąstki. Jednak zgodnie z prawami fizyki kwantowej istnieje

c)

Kwantowy model atomu wodoru, stany elektronów w atomach, reguła
obsadzeń, reguła przejść między stanami.

Ponieważ atom wodoru jest układem trójwymiarowym równanie Schrödingera dla
atomu wodoru ma bardziej skomplikowaną postać niż podane wcześniej równanie

energia potencjalna dwóch ładunków punktowych
(elektronu i protonu) znajdujących się w odległości r jest dana wyrażeniem

Rozwiązując równanie Schrödingera dla atomu wodoru stwierdzamy, że funkcja falowa
elektronu zależy od trzech liczb całkowitych

- liczb kwantowych n, l, m

l

.

Rozwiązanie równania Schrödingera dla atomu wodoru dostarcza oprócz funkcji
falowych również wartości energii elektronu związanego w atomie. Te energie wyrażają
się wzorem

Opis i znaczenie liczb kwantowych
n – główna liczba kwantowa, określa ona poziom energetyczny, na jakim znajduje się cząstka.
Przyjmuje wartości od 1 (gdyby n = 0, wtedy

Y = 0 => brak cząstki), dla n = 1 => stan podstawowy

l – orbitalna liczba kwantowa, kwantuje moment pędu L (?), przyjmuje wartości od 0 do n-1,

m – magnetyczna liczba kwantowa, kwantuje kierunek i zwrot wektora momentu pędu, przyjmuje
wartości od –l do l

d)

Elektrony w ciele stałym (struktura krystaliczna, wiązania, struktura
pasmowa)

Atomy w krysztale ułożone są w powtarzający się regularny wzór zwany siecią krystaliczną.

Ze względu na typy wiązań kryształy dzielimy na:

• Kryształy cząsteczkowe (molekularne),

• Kryształy o wiązaniach wodorowych,

• Kryształy jonowe,

• Kryształy atomowe (kowalentne),

• Kryształy metaliczne.

e)

Metale, izolatory, półprzewodniki, niektóre przyrządy półprzewodnikowe.

Wiązanie metaliczne można sobie wyobrazić jako graniczny przypadek wiązania
kowalentnego, w którym elektrony walencyjne są wspólne dla wszystkich jonów
w krysztale, a nie tylko dla sąsiednich jonów.
Wynika to z tego, że w atomach, z których jest zbudowany kryształ metaliczny, elektrony
na zewnętrznych powłokach są słabo związane i mogą zostać uwolnione z tych atomów
kosztem bardzo małej energii. Te swobodne elektrony poruszają się w całym krysztale; są
więc wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, że tworzą one gaz elektronowy
wypełniający przestrzeń pomiędzy dodatnimi jonami.
Gaz elektronowy działa na każdy jon siłą przyciągania większą od odpychania
pozostałych jonów w wyniku czego tworzy się wiązanie. Ponieważ istnieje wiele nie
obsadzonych stanów elektronowych (na zewnętrznych powłokach są wolne miejsca) to
elektrony mogą poruszać się swobodnie w krysztale od atomu do atomu. W konsekwencji
kryształy metaliczne są doskonałymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Przykładem
kryształów metalicznych są kryształy tworzone przez metale alkaliczne.
W podsumowaniu należy zaznaczyć, że istnieją kryształy, w których wiązania muszą
być interpretowane jako mieszanina opisanych powyżej głównych typów wiązań. Typ
wiązania w poszczególnych kryształach wyznacza się doświadczalnie min. przez badanie
dyfrakcji promieni X.

Przykładowymi materiałami półprzewodnikowymi są german i krzem. Są to pierwiastki
z IV grupy układu okresowego, mają po cztery elektrony walencyjne. Elektrony te biorą
udział w wiązaniach atomowych z czterema innymi atomami. Pary wspólnych elektronów
walencyjnych zaznaczono na rysunku podwójnymi liniami.

Ponieważ wszystkie elektrony walencyjne biorą udział w wiązaniach więc brak jest
elektronów swobodnych.
Istnieje jednak możliwość wzbudzenia, na przykład termicznie, elektronu walencyjnego,
tak że stanie się on swobodnym elektronem przewodnictwa. Powstaje wtedy w powłoce
walencyjnej puste miejsce po elektronie nazywane dziurą. Na rysunku zaznaczono
symbolicznie tę sytuację.
W obecności zewnętrznego pola elektrycznego inny elektron walencyjny, sąsiadujący
z dziurą może zająć jej miejsce, pozostawiając po sobie nową dziurę, która zostanie
zapełniona przez kolejny elektron itd. Zatem dziura w polu elektrycznym przemieszcza się
w kierunku przeciwnym niż elektron i zachowuje jak nośnik ładunku dodatniego (dodatni
elektron). Liczba dziur jest równa liczbie elektronów przewodnictwa. Takie półprzewodniki
nazywamy samoistnymi.

Jeżeli w trakcie wzrostu kryształów do krzemu dodamy na przykład niewielką ilość

arsenu (grupa V układu okresowego) to arsen wbudowuje się w strukturę krzemu
wykorzystując cztery spośród pięciu elektronów walencyjnych. Piąty elektron walencyjny

arsenu nie bierze udziału w wiązaniu i łatwo staje się elektronem przewodnictwa poprzez
dostarczenie mu niewielkiej ilości energii (np. cieplnej). Dzięki temu mamy prawie tyle
elektronów przewodnictwa ile jest atomów domieszki. Zauważmy, że w tym wypadku nie
powstaje dziura po oderwanym elektronie bo wszystkie wiązania atomowe są wypełnione.
Oczywiście możemy tak jak w półprzewodniku samoistnym wzbudzić elektrony
walencyjne krzemu i wytworzyć dziury ale pod warunkiem dostarczenia znacznie większej
energii. Taki półprzewodnik nazywany jest półprzewodnikiem

typu n

(negative -

ujemny) bo atom domieszki oddaje elektron.
Krzem można też domieszkować pierwiastkiem z III grupy układu okresowego na
przykład galem. Ponieważ atom galu ma tylko trzy elektrony walencyjne to ma tendencję
do wychwytywania elektronu z sąsiedniego atomu krzemu aby uzupełnić cztery wiązania
kowalencyjne. Zatem atom galu wprowadza do systemu dziurę i mamy półprzewodnik

typu p

(positive - dodatni).

Mianem izolatory elektryczne określa się materiały lub wyroby z nich wykonane, w których
występuje niska koncentracja nośników swobodnych (elektronów lub jonów), tzn. takich,
które mogłyby się swobodnie poruszać w ich wnętrzu lub po ich powierzchni.

Przyrząd półprzewodnikowy, element półprzewodnikowy, przyrząd, którego działanie
oparte jest na zjawiskach wywołanych przepływem prądu w półprzewodniku. Do przyrządów
półprzewodnikowych należą m.in. diody półprzewodnikowe, fotodiody, tranzystory,
tyrystory, termistory i układy scalone.