Metoda Przemieszczeń

w ujęciu macierzowym

Belka statycznie

niewyznaczalna

Linie wpływu -

- metoda kinematyczna

Wykonanie w programie Matlab

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Metoda kinematyczna wyznaczenia linii wpływu

W metodzie kinematycznej wyznaczenia linii wpływu

dowolnej wielkości S



wykorzystujemy twierdzenie o

wzajemności reakcji i przemieszczeń.

W celu wyznaczenia linii wpływu dowolnej wielkość S



rozwiązujemy zadanie metody przemieszczeń, w którym

obciążeniem jest przeciwne do dodatniego zwrotu

wielkości S



odpowiadające jej przemieszczenie jedno-

stkowe. Na podstawie obliczonego dla takiego obciążenia

pozastatycznego wektora Z wyznaczamy linię ugięcia v
() tych elementów, po których przemieszcza się siła
jednostkowa.

 

i

LwS





v



Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

Algorytm wyznaczania linii wpływu w układach

statycznie niewyznaczalnych metodą kinematyczną w

ujęciu metody przemieszczeń z zastosowaniem rachunku

macierzowego jest następujący:

1.

Obliczamy stopień niewyznaczalności geometrycznej

układu

2.

Przyjmujemy układ podstawowy

3.

Zwalniamy chwilowo kolejne więzy i wymuszamy

jednostkowe przemieszczenia Z

i

=1, i=1,2,...,n

g

-

rysujemy wykresy M

i

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

4.

Obliczamy macierz sztywności układu R:

gdzie: M - jest macierzą momentów jednostkowych

A - jest quasidiagonalną macierzą podatności

5.

Odciążamy UP metody przemieszczeń jednostkowym
przemieszczeniem podpory o zwrocie przeciwnym do
dodatniego zwrotu wielkości S



, której linie wpływu

wyznaczamy – rysujemy wykres M

p

6.

Z warunków równowagi obliczamy elementy wektora R

p

M

A

M

R







T

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

7.

Obliczamy wektor niewiadomych:

8.

Obliczamy linię ugięcia belki, której równa jest
poszukiwana linia wpływu, jako kombinację
przemieszczeń poszczególnych elementów oraz
funkcji kształtu.

p

1

R

R

Z









 













































k

k

i

i

i

w

R

L

4

3

2

1

F

F

F

F

v

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkty 14

Te punkty przedstawionego algorytmu zostały już wykonane

przy rozwiązywaniu belki poddanej obciążeniu statycznemu

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkty 5 i 6

Z racji tego, że wyznaczamy linię wpływu reakcji pionowej

w wybranej podporze, to stan R

p

realizujemy dla obciążenia

pozastatycznego w postaci pionowego, jednostkowego

przesunięcia tej podpory. Za dodatnie zwyczajowo uznajemy

te reakcje, które działają do góry - przemieszczenie

wymuszamy zatem w przeciwną stronę.

Z warunków równowagi obliczamy elementy wektora R

p

i wpisujemy je do skryptu jak na przykładach:

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkty 5 i 6 c.d.

Przykład pierwszy – belka o

n

g

=1

:

Przykład drugi – belka o

n

g

=3

(tutaj trzeci z elementów jest

zerowy)

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkt 7

Ten punkt jest już zrealizowany

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkt 8

Do obliczenia linii ugięcia belki czyli tym samym linii wpływu

wybranej reakcji należy przygotować w skrypcie następujące

dane:

% Liczba podpor

lp = 3;

% Jednostkowe przemieszczenia pionowe podpory
% tak --> 1
% nie --> 0

ppp = [0 1 0];

- co oznacza, że jednostkowe przemieszczenie
dotyczy drugiej podpory licząc od lewej
strony, tj. dla reakcji w tej podporze
wyznaczamy linię wpływu

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkt 8 c.d.

% Podpory z dodatkowym wiezem przeciwobrotowym nalozonym w UP
% tak --> 1
% nie --> 0

dwp = [0 1 0];

- ponieważ dla rozważanej belki, do stworzenia
układu podstawowego, dodatkowy więz przeciw
obrotowy został nałożony na drugiej podporze
licząc od lewej strony

4,0 m

6,0 m

EI

2EI

Z

1

UP

q=1,0 kN/m

4,0 m

6,0 m

EI

2EI

M=4 kNm

P=2 kN

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkt 8 c.d.

% Liczba elementów

le = 2;

% Dlugosci elementow [m]

de = [4 6];

% Typ elementu

te = [1 3];

- dla potrzeb omawianego sposobu
wyznaczenia linii wpływu przyjęto
następującą numerację typów elementów:
#1  Lewy koniec: podpora przegubowa,

Prawy koniec: utwierdzenie

#2  Lewy koniec: utwierdzenie,

Prawy koniec: podpora przegubowa

#3  Lewy koniec: utwierdzenie,

Prawy koniec: utwierdzenie

UWAGA: patrz UP na poprzedniej stronie

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkt 8 c.d.

% Podzial elementow na podprzedzialy

n = 50;

- zwiększenie liczby punktów prowadzi nie tylko
do „gładszego” wykresu.
Funkcje kształtu są funkcjami analitycznymi,
więc niezależnie od liczby punktów, w których
obliczane są przemieszczenia otrzymujemy

rzeczywiste, dokładne wartości. Pomimo tego, dla
małej liczby punktów, które łączone są na wykresie
odcinkami prostymi, otrzymamy wykres według
którego nad podporą jest nieciągłość kąta obrotu
(tak jakby występował tam przegub) oraz możemy
„nie trafić” na punkt, dla którego w danym prześle
przemieszczenie jest maksymalne.
UWAGA: porównaj wykresy na następnej stronie.

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Algorytm rozwiązywania

– realizacja w skrypcie

Punkt 8 c.d.

Rozwiązania uzyskane dla:

n=50

n=5

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 01'2004

Sprawozdanie

Sprawozdanie z tej części projektu powinno zawierać:

1)

schemat belki z wyróżnioną podporą, dla której

wyznaczana jest linia wpływu

2)

wykresy funkcji kształtu dla jednego z elementów

3)

wykres linii wpływu