dr A. Czech

II. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI

Parametry statystyczne – liczby służące do syntetycznego opisu struktury zbiorowości
statystycznej

Podział stosowanych miar:

1.

Położenia – służą do określenia wartości zmiennej, wokół której skupiają się
wszystkie pozostałe wartości cechy.

2.

Zmienności (rozproszenia, dyspersji) – służą do badania stopnia zróżnicowania
wartości cechy.

3.

Asymetrii – służą do badania kierunku i siły zróżnicowania wartości zmiennej.

4.

Koncentracji – służą do badania stopnia nierównomierności rozkładu ogólnej
sumy wartości zmiennej pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości lub do
analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej.

1.

Miary położenia

A.

Klasyczne

•

ś

rednia arytmetyczna,

•

geometryczna,

•

harmoniczna.

dr A. Czech

2

B.

Pozycyjne

•

modalna (dominanta, wartość najczęstsza),

•

kwantyle – kwartyl pierwszy, drugi (mediana), trzeci.

2.

Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji)

A.

Klasyczne

•

wariancja,

•

odchylenie standardowe, przeciętne

•

klasyczny współczynnik zmienności.

B.

Pozycyjne

•

rozstęp

•

odchylenie ćwiartkowe,

•

pozycyjny współczynnik zmienności

3.

Miary asymetrii – współczynniki asymetrii

4.

Miary koncentracji

•

współczynnik skupienia – kurtoza,

•

nierównomierny podział zjawiska w zbiorowości – miara Lorenza

dr A. Czech

3

Zaprezentowane charakterystyki liczbowe znajdują zastosowanie do opisu
materiału statystycznego zgromadzonego w postaci szeregów: szczegółowy,
rozdzielczy (punktowy, przedziałowy)

I. SZEREG SZCZEGÓŁOWY – gdy dysponujemy n indywidualnymi obserwacjami

n

x

x

x

,...,

,

2

1

gdzie n – liczba obserwacji w próbie

1.

Miary położenia

a) średnia arytmetyczna (nieważona, prosta) –suma wartości cechy mierzalnej przez
liczbę skończonej zbiorowości statystycznej

)

...

(

1

1

2

1

1

n

n

i

i

x

x

x

n

x

n

x

+

+

+

=

=

∑

=

gdzie:

i

x - i-ty element próby (i = 1,2,...,n),

b) średnia geometryczna – znajduje zastosowanie w badaniach średniego tempa zmian
zjawiska (ujęcie dynamiczne dotyczy szeregów czasowych)

n

n

n

n

i

i

g

x

x

x

x

x

⋅

⋅

⋅

=

=

∏

=

...

2

1

1

c) średnia harmoniczna - stosuje się gdy cechy podawane są w przeliczeniu na
jednostkę innej cechy (wskaźniki natężenia), wagi zaś w jednostkach liczników tych
cech np.: prędkość pojazdu w km/h (waga –km), pracochłonność w min/sztukę (waga
– czas w min

dr A. Czech

4













+

+

=

=

∑

=

n

n

i

i

h

x

x

x

n

x

n

x

1

...,

1

1

1

2

1

1

d) modalna (moda, dominanta, wartość najczęstsza)

D

M

o

,

– wartość cechy, która w

danym rozkładzie empirycznym występuje najczęściej

e) kwantyle – wartości cechy przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które
dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby obserwacji.

Najczęściej stosowane kwantyle:

•

kwartyl pierwszy

1

Q

- dzieli zbiór obserwacji na 2 części tak że: 25% wartości

cechy na wartości nie większe od

1

Q

a 75% nie mniejsze od

1

Q

•

kwartyl drugi (mediana

e

M

) – dzieli uporządkowaną monotonicznie (rosnąco)

zbiorowość na dwie równe części tak ze połowa wartości zmiennej jest mniejsza
lub równa medianie a druga połowa większa lub równa medianie

dr A. Czech

5











+

=

+

+

parzyste

jest

n

gdy

x

x

e

nieparzyst

jest

n

gdy

x

M

n

n

n

e

)

(

2

1

1

2

2

2

1

•

kwartyl trzeci

3

Q

-dzieli zbiorowość na 2 części tak że: 75% wartości cechy ma

wartości niewiększe od

3

Q

, a 25% obserwacji ma wartości niemniejsze od

3

Q

W szeregu szczegółowym

1

Q

oraz

3

Q

wyznacza się analogicznie jak medianę

dzieląc zbiorowość statystyczną na dwie równe części. Pierwsza – jednostki
przyjmują wartości cechy niewiększe od mediany. Druga – jednostki przyjmują
wartości niemniejsze od mediany.

Dla każdej ze zbiorowości należy ponownie wyznaczyć medianę:

Mediana dla pierwszej zbiorowości -

1

Q

Mediana dla drugiej zbiorowości -

3

Q

dr A. Czech

6

2.

Miary zmienności

a) rozstęp

min

max

x

x

R

−

=

max

x

-

maksymalna wartość cechy,

min

x

- minimalna wartość cechy,

Nie daje informacji o zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy w zbiorowości.

b) warjancja – średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości
cechy od jej średniej arytmetycznej

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

Uwaga: nie interpretujemy wyników bo miana podniesione do kwadratu – nie ma

czegoś takiego jak

2

kg

c) odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji

2

s

s

=

Określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej
arytmetycznej

Typowy obszar zmienności:

s

x

x

s

x

typ

+

<

<

−

dr A. Czech

7

d) odchylenie przeciętne – średnia arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości
cechy od jej średniej arytmetycznej

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

d

1

1

e) odchylenie ćwiartkowe – połowa różnicy między trzecim i pierwszym kwartylem

2

1

3

Q

Q

Q

−

=

Jest to parametr umożliwiający określenie odchylenia wartości cechy od jej mediany
Typowy obszar zmienności:

Q

M

x

Q

M

e

typ

e

+

<

<

−

Wszystkie przedstawiony miary zróżnicowania to miary bezwzględne – posiadają
miana

f) współczynnik zmienności – iloraz bezwzględnej miary zmienności i jej przeciętnej

•

klasyczny współczynnik zmienności

x

s

V

s

=

•

pozycyjny współczynnik zmienności

e

e

Q

M

Q

Q

M

Q

V

2

1

3

−

=

=

dr A. Czech

8

1

,

0

,

<

Q

s

V

V

- niskie zróżnicowanie zmiennej,

1

,

0

,

>

Q

s

V

V

- wysokie zróżnicowanie zmiennej (niejednorodność zbiorowości).

3.

Miary asymetrii

Porównujemy dominantę, medianę i średnią arytmetyczną – sposób najprostszy

D

M

x

e

=

=

- rozkład symetryczny

D

M

x

e

>

>

- asymetria prawostronna (przewaga niskich wartości cechy)

D

M

x

e

<

<

- asymetria lewostronna (przewaga wysokich wartości cechy)

Klasyczny współczynnik asymetrii (moment standaryzowany trzeciego rzędu)

3

3

s

m

A

=

gdzie:

(

)

∑

−

=

3

3

1

x

x

n

m

i

- moment trzeciego rzędu

0

=

A

- rozkład symetryczny,

Kierunek asymetrii

0

>

A

- asymetria prawostronna,

0

<

A

- asymetria lewostronna.

Siła asymetrii

1

<

A

lub

1

−

>

A

jeżeli blisko zera to asymetria łagodna,

1

>

A

lub

1

−

<

A

asymetria skrajna.

dr A. Czech

9

4.

Miary koncentracji

Współczynnik skupienia (Kurtoza) – miara skupienia poszczególnych obserwacji
wokół średniej

4

4

s

m

K

=

gdzie:

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

m

1

4

4

1

- moment czwartego rzędu

Wysoka wartość współczynnika K - wysmukła krzywa liczebności – większa
koncentracja wartości cechy wokół średniej
Mała wartość współczynnika K - spłaszczona krzywa liczebności – mała koncentracja
wartości cechy wokół średniej
K=3 – rozkład normalny,
K<3 – rozkład bardziej spłaszczony od normalnego,
K>3 – rozkład bardziej wysmukły od normalnego,

3

4

4

−

=

′

s

m

K

- eksces

0

=

′

K

– rozkład normalny,

0

<

′

K

– rozkład bardziej spłaszczony od normalnego,

0

>

′

K

– rozkład bardziej wysmukły od normalnego,

dr A. Czech

10

PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA MIAR OPISOWYCH (SZEREG SZCZEGÓŁOWY)
Ad 1. Miary położenia

{

}

103

,

102

,

100

,

98

,

97

=

i

x

- ceny towaru w 5 sklepach; n=5

(

)

100

103

...

98

97

5

1

=

+

+

+

=

x

- średnia arytmetyczna

(stosujemy)

(

)

974

,

99

103

...

98

97

5

=

⋅

⋅

⋅

=

g

x

- średnia geometryczna

(przykład kalkulacji)

948

,

99

103

1

...

98

1

97

1

5

=

+

+

+

=

h

x

- średnia harmoniczna

(przykład kalkulacji)

100

3

2

1

5

2

1

=

=

=

=

+

+

x

x

x

M

n

e

- mediana

98

2

2

1

3

2

1

1

=

=

=

=

=

+

+

x

x

x

M

Q

n

e

- kwartyl pierwszy, gdzie:

{

}

100

,

98

,

97

102

2

2

1

3

2

1

3

=

=

=

=

=

+

+

x

x

x

M

Q

n

e

- kwartyl trzeci gdzie:

{

}

103

,

102

,

100

)

(D

M

o

- brak dominanty (wariany cechy występują z jednakową częstością)

Ad 2. Miary zróżnicowania

6

97

103

=

−

=

R

- rozstęp

[

]

2

,

5

)

100

103

(

...

)

100

98

(

)

100

97

(

5

1

2

2

2

2

=

−

+

+

−

+

−

=

s

- wariancja

(nie interpretujemy !!!!)

dr A. Czech

11

28

,

2

2

,

5

=

=

s

- odchylenie standardowe

[

]

2

100

103

...

100

98

100

97

5

1

=

−

+

+

−

+

−

=

d

- odchylenie przeciętne

2

2

98

102

2

1

3

=

−

=

−

=

Q

Q

Q

- odchylenie ćwiartkowe

%

28

,

2

100

100

28

,

2

=

=

S

V

- klasyczny współczynnik zmienności

%

2

100

100

2

98

102

=

⋅

−

=

Q

V

- pozycyjny współczynnik zmienności

Ad 3.Miary asymetrii

[

]

0

5

0

)

100

103

(

...

)

100

98

(

)

100

97

(

5

1

3

3

3

3

=

=

−

+

+

−

+

−

=

m

- moment trzeciego rzędu

0

28

,

2

0

3

3

3

=

=

=

s

m

A

- rozkład zgodny z rozkładem normalnym (idealnie symteryczny)

Ad 4.Miary koncentracji

[

]

8

,

38

5

194

)

100

103

(

...

)

100

98

(

)

100

97

(

5

1

4

4

4

4

=

=

−

+

+

−

+

−

=

m

- moment czwartego rzędu

436

,

1

28

,

2

8

,

38

4

=

=

K

- kurtoza

dr A. Czech

12

564

,

1

3

436

,

1

−

=

−

=

′

K

- eksces (wykres spłaszczony w porównaniu do wykresu

normalnego)

Przypadek parzystej liczby obserwacji w próbie

{

}

,

102

,

100

,

98

,

97

=

X

, n=4

99

2

100

98

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

3

2

1

2

4

2

4

1

2

2

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

+

x

x

x

x

x

x

M

n

n

e

- mediana

5

,

97

2

98

97

)

(

2

1

)

(

2

1

2

1

1

2

2

2

1

=

+

=

+

=

+

=

=

+

x

x

x

x

M

Q

n

e

- kwartyl pierwszy, gdzie: {97,98}

101

2

102

100

)

(

2

1

)

(

2

1

2

1

1

2

2

2

1

=

+

=

+

=

+

=

=

+

x

x

x

x

M

Q

n

e

- kwartyl trzeci. gdzie: {100, 102}

Pozostałe charakterystyki liczymy analogicznie do zaprezentowanych

II. SZEREG ROZDZIELCZY PUNKTOWY

a) średnia arytmetyczna ważona

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

i

k

i

i

i

x

w

x

n

n

x

1

1

1

bo

n

n

w

i

i

=

- średnia arytmetyczna ważona

b) modalna (moda, dominanta, wartość najczęstsza)

D

M

o

,

– wartość cechy, której

odpowiada największa liczebność bądź częstość

dr A. Czech

13

c) kwantyle

e

isk

m

w

⇒

≥

∑

5

,

0

- mediana (kwartyl drugi),

1

25

,

0

Q

w

isk

⇒

≥

∑

- kwartyl pierwszy,

3

75

,

0

Q

w

isk

⇒

≥

∑

- kwartyl trzeci.

d) odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji

2

s

s

=

gdzie:

∑

=

−

=

k

i

i

i

n

x

x

n

s

1

2

2

)

(

1

- warjancja

e) współczynnik asymetrii

3

3

s

m

A

=

gdzie:

∑

=

−

=

k

i

i

i

n

x

x

n

m

1

3

3

)

(

1

- moment trzeciego rzędu

f) kurtoza

4

4

s

m

K

=

gdzie:

∑

=

−

=

k

i

i

i

n

x

x

n

m

1

4

4

)

(

1

- moment czwartego rzedu

dr A. Czech

14

PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA MIAR OPISOWYCH (SZEREG ROZDZIELCZY
PUNKTOWY)

Przykład: Oceny z matematyki (100 studentów)

675

,

3

5

,

367

100

1

1

6

1

=

=

=

∑

=

i

i

i

x

n

n

x

lub

675

,

3

6

1

=

=

∑

=

i

i

i

x

w

x

- średnia arytmetyczna

5

,

3

=

o

M

- dominanta (liczębność bądz częstość największa)

5

,

3

5

,

0

=

⇒

≥

∑

e

isk

M

w

- mediana (kwartyl drugi),

3

25

,

0

1

=

⇒

≥

∑

Q

w

isk

- kwartyl pierwszy

4

75

,

0

3

=

⇒

≥

∑

Q

w

isk

- kwartyl trzeci

Klasy

i

Ocena

stud.

i

x

Stud.

i

n

i

w

isk

w

i

i

x

n

i

i

x

w

)

(

x

x

n

i

i

−

2

)

(

x

x

n

i

i

−

3

)

(

x

x

n

i

i

−

4

)

(

x

x

n

i

i

−

1
2
3
4
5
6

2
3

3,5

4

4,5

5

5

20
35
20
10
10

0,05
0,20
0,35
0,20
0,10
0,10

0,05
0,25
0,60
0,80
0,90

1

10
60

122,5

80
45
50

0,10
0,60

1,225

0,80
0,45
0,50

-8,375

-13,5

-6,125

6,5

8,25

13,25

14.028

9,113
1,072
2,113
6,806

17,556

-23,497

-6,151
-0,188

0,678
5,615

23,262

39,358

4,152
0,033
0,223
4,633

30,822

Suma

100

1

367,5 3,675

0

50,688

-0,272

79,220

dr A. Czech

15

507

,

0

688

,

50

100

1

)

(

1

1

2

2

=

=

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

x

n

n

s

- warjancja

712

,

0

507

,

0

2

=

=

=

s

s

- odchylenie standardowe

00272

,

0

)

272

,

0

(

100

1

)

(

1

1

3

3

−

=

−

=

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

x

n

n

m

- moment trzeciego rzędu

0075

.

0

712

,

0

00272

,

0

3

3

3

−

=

−

=

=

s

m

A

- współczynnik asymetrii

0,7922

79,220

100

1

)

(

1

1

4

4

=

=

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

x

n

n

m

- moment czwartego rzedu

082

,

3

257

,

0

7922

,

0

4

4

=

=

=

s

m

K

- kurtoza

082

,

0

3

082

,

3

3

=

−

=

−

=

′

K

K

- eksces

II. SZEREG ROZDZIELCZY PRZEDZIAŁOWY
a) średnia arytmetyczna ważona

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

i

k

i

i

i

x

w

x

n

n

x

1

1

1

&

&

gdzie:

n

n

w

i

i

=

- wskaźnik struktury (częstość)

2

1

0

i

i

i

x

x

x

+

=

•

-środek i-tego przedziału klasowego i=1,2,...,k

dr A. Czech

16

i

x

1

- górna granica i-tego przedziału klasowego,

i

x

0

- dolana granica i-tego przedziału klasowego

b) modalna (moda, dominanta, wartość najczęstsza)

D

M

o

,

– w szeregach

rozdzielczych przedziałowych można określić tylko przedział zawierający dominantę

Przybliżoną wartość dominanty otrzymuje się na dwa sposoby:

•

wzór interpolacyjny

m

m

m

m

m

m

m

m

o

h

n

n

n

n

n

n

x

M

)

(

)

(

1

1

1

0

+

−

−

−

+

−

−

+

=

gdzie:

m

- numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,

m

x

0

- dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

m

n

- liczebność przedziału modalnej, tzn, klasy o numerze m,

1

1

;

+

−

m

m

n

n

- liczebność klas: poprzedzającej przedział modalnej i następującej

po tym przedziale, tzn. o numerach m-1 i m+1,

m

h

- rozpiętość przedziału klasowego, w którym znajduje się modalna.

•

graficznie z histogramu liczebności (częstości)

dr A. Czech

17

c) kwantyle

kwartyl drugi (mediana

e

M

)

m

m

m

i

i

Me

m

e

h

n

n

N

x

M

∑

−

=

−

+

=

1

1

0

kwartyl pierwszy

1

Q

m

m

m

i

i

Q

m

h

n

n

N

x

Q

∑

−

=

−

+

=

1

1

0

1

1

kwartyl trzeci

3

Q

m

m

m

i

i

Q

m

h

n

n

N

x

Q

∑

−

=

−

+

=

1

1

0

3

3

gdzie:

m

- numer przedziału (klasy), w którym występuje odpowiadający mu kwartyl

m

x

0

- dolna granica przedziału, w którym występuje odpowiadający mu kwartyl

m

n

- liczebność przedziału, w którym występuje odpowiadający mu kwartyl

∑

−

=

1

1

m

i

i

n

- suma liczebności przedziałów poprzedzających odpowiedni kwartyl

(liczebność skumulowana)

m

h

- rozpiętość przedziału klasowego, w którym znajduje się odpowiedni

kwartyl

dr A. Czech

18

2

n

N

Me

=

- pozycja mediany (kwartyla drugiego),

4

1

n

N

Q

=

- pozycja kwartyla pierwszego,

4

3

3

n

N

Q

=

- pozycja kwartyla trzeciego.

d) odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji

2

s

s

=

gdzie:

∑

=

−

=

k

i

i

i

x

x

n

n

s

1

2

2

)

(

1

&

d) odchylenie przeciętne – średnia arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości
cechy od jej średniej arytmetycznej

∑

=

−

=

n

i

i

i

x

x

n

n

d

1

1

&

e) współczynnik asymetrii

3

3

s

m

A

=

gdzie:

∑

=

−

=

k

i

i

i

x

x

n

n

m

1

3

3

)

(

1

&

- moment trzeciego rzędu

4

4

s

m

K

=

gdzie:

∑

=

−

=

k

i

i

i

x

x

n

n

m

1

4

4

)

(

1

&

- moment czwartego rzędu

dr A. Czech

19

PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA MIAR OPISOWYCH (SZEREG PRZEDZIAŁOWY)

Przykład wydatki 50-ciu gospodarstw domowych na paliwo

454

22700

50

1

1

1

=

=

=

∑

=

k

i

i

i

x

n

n

x

&

- średnia arytmetyczna,

55

,

454

100

)

10

20

(

)

8

20

(

8

20

400

)

(

)

(

1

1

1

0

=

−

+

−

−

+

=

−

+

−

−

+

=

+

−

−

m

m

m

m

m

m

m

m

o

h

n

n

n

n

n

n

x

M

- modalna

i

Przedziały

i

x

Gosp.

dom.

i

n

i

w

isk

n

isk

w

i

x

&

i

i

n

x

&

i

i

w

x

&

i

i

n

x

x

2

)

(

−

&

i

i

n

x

x

3

)

(

−

&

i

i

n

x

x

4

)

(

−

&

1
2
3
4
5
6
7

100-200
200-300
300-400
400-500
500-600
600-700
700-800

2
4
8

20
10

4
2

0,04
0,08
0,16
0,40
0,20
0,08
0,04

2
6

14
34
44
48
50

0,04
0,12
0,28
0,68
0,88
0,96

1

150
250
350
450
550
650
750

300

1000
2800
9000
5500
2600
1500

6

20
56

180
110

52
30

184832
166464

86528

320

92160

153664
175232

-56188928
-33958656

-8998912

-1280

8847360

30118144
51868672

17081434112

6927565824

935886848

5120

849346560

5903156224

15353126912

Suma

50

1

22700 454

859200

-8313600 47050521600

dr A. Czech

20

Graficzny sposób wyznaczania dominanty

i

w

i

x

o

M

455

100

20

14

2

50

400

1

1

0

=

−

+

=

−

+

=

∑

−

=

m

m

m

i

i

Me

m

e

h

n

n

N

x

M

- mediana

25

,

381

100

8

6

4

50

300

1

1

0

1

1

=

−

+

=

−

+

=

∑

−

=

m

m

m

i

i

Q

m

h

n

n

N

x

Q

- kwartyl pierwszy

dr A. Czech

21

535

100

10

34

4

50

3

500

1

1

0

3

3

=

−

⋅

+

=

−

+

=

∑

−

=

m

m

m

i

i

Q

m

h

n

n

N

x

Q

- kwartyl trzeci

Graficzny sposób wyznaczania kwantyli

isk

w

i

x

dr A. Czech

22

17184

859200

50

1

)

(

1

1

2

2

=

=

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

x

n

n

s

&

- warjancja

09

,

131

2

=

=

s

s

- odchylenie standardowe

-166272

-8313600)

(

50

1

)

(

1

1

3

3

=

=

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

x

n

n

m

&

moment trzeciego rzędu

074

,

0

09

,

131

166272

3

3

3

−

=

−

=

=

s

m

A

-

współczynnik

asymatrii

(rozkład

zbliżony

do

symetrycznego, bardzo lekka asymetria prawostronna)

941010432

0

4705052160

50

1

)

(

1

1

4

4

=

=

−

=

∑

=

k

i

i

i

x

x

n

n

m

&

- moment czwartego rzędu

19

,

3

131,09

941010432

4

4

4

=

=

=

s

m

K

- kurtoza

19

,

0

3

19

,

3

3

4

4

=

−

=

−

=

′

s

m

K

- eksces (wykres lekko wysmukły w porównaniu do wykresu

normalnego

dr A. Czech

23

ROZKŁADY EMPIRYCZNE CECHY STASTYSTYCZNEJ

Rozkład empiryczny – przyporządkowane kolejnym wartościom cechy statystycznej

i

x

odpowiadające im liczebności

i

n

lub częstości

i

w

.

Rodzaje rozkładów empirycznych cechy statystycznej:
I. Cecha skokowa

A.

Jednomodalne – rozkład, którego diagram liczebności ma jedno maksimum

a)

symetryczne – liczebności odpowiadające wartościom cechy rozkładając się
symetrycznie wokół liczebności największej

i

n

i

x

D

dr A. Czech

24

b)

umiarkowanie symetryczne,

i

n

i

n

i

x

i

x

asymetria prawostronna

asymetria lewostronna

c)

skrajnie symetryczne

asymetria prawostronna

asymetria lewostronna

dr A. Czech

25

B.

wielomodalne – posiadając co najmniej dwa ekstrema

i

n

i

n

i

x

i

x

Rozkład U (siodłowy)

Rozkład bimodalny

i

n

i

x

dr A. Czech

26

II. Cecha ciągła

A.

Jednomodalne - rozkład, którego krzywa liczebności ma jedno maksimum

a)

symetryczne – liczebności odpowiadające wartościom cechy rozkładając się
symetrycznie wokół liczebności największej

i

n

i

x

D

M

x

e

=

=

b) umiarkowanie symetryczne

i

n

i

n

i

x

i

x

x

M

D

e

<

<

D

M

x

e

<

<

asymetria prawostronna

asymetria lewostronna

dr A. Czech

27

b)

skrajnie symetryczne

i

n

i

n

i

x

i

x

asymetria prawostronna

asymetria lewostronna

B.

Wielomodalne

i

n

i

n

i

x

i

x

Rozkład U (siodłowy)

Rozkład bimodalny