Wojciech Młocek

Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12

Maxima - przykładowe pytania na kolokwium

1.

Obliczyć (

√

3 − 3)

3

(

√

3 + 1)

5

. Podać wynik dokładny w najprostszej postaci.

2.

Obliczyć sin(23

◦

) + cos(

π

11

) + ctg(49

◦

).

3.

Niech g(x) =

arc tg(x−1) ln x

√

1+x

2

. Obliczyć g

00

(1).

4.

Obliczyć całkę oznaczoną

2

R

1

e

arc ctg x

dx.

5.

Znaleźć rozwiązania równania

1
2

x

3

−

1
4

x

2

− 2x + 1 = 4 cos x.

6.

Narysować w oknie Maximy na jednym obrazku wykres okręgu x

2

+ y

2

= 4 oraz asteroidy danej równaniami:

x = 2 cos

3

t, y = 2 sin

3

t, t ∈ [0, 2π].

7.

Narysować w oknie Maximy wykres rozwiązania równania różniczkowego

dy
dx

− 2y = 6e

4x

(cos(2x) − sin x),

y(0) = 3 w przedziale [−1, 1].

8.

Rozwiązać układ równań











3x + y +2z+4t = 3

−x −2y + z+ t = 1

−2x +4y −2z

= 1.

9.

Narysować wykres funkcji f (x) =

x

3

+2

x

3

−3x

2

−x+3

w przedziale [−4, 8].

10.

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji g(x, y) =

√

1+x

2

+y

2

x+xy+2

.

11.

Narysować w oknie Maximy wykres funkcji f (x, y) = cos(e

x−y

) dla (x, y) ∈ [−

√

2,

√

2]

2

.

12.

Niech f (x) = e

−x

+ x

3

− 9x

2

+ 29x − 35. Znaleźć rozwiązania równania f (x) + f

0

(x) = 0.

13.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: f (x) = x

2

− x − 6, g(x) = −x

2

+ 5x + 14.

14.

Znaleźć macierz A, by zachodziła równość

A ·





0 −1 1
1 −1 2
1

2 0



 =





2 −1 3
1

2 0

2

3 1



 .

15.

Znaleźć rozwiązania równania det









2x

1

2

1

0

x

2

−1

4

x

0

1

0

2

−2

0 x







 = 0.

16.

Narysować na jednym obrazku w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = | cos x| dla x ∈ [0, 3π] oraz wykres
liniowy złożony z punktów postaci (k, | cos

kπ

2

|), gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 9.

17.

Sprawdzić, czy funkcja f (x, y) = e

x

y

+ y spełnia równość x

2 ∂

2

f

∂x

2

+ 2xy

∂

2

f

∂x∂y

+ y

2 ∂

2

f

∂y

2

= 0.

18.

Narysować wykres powierzchni danej równaniami: x = sin u, y = cos v, z = u

2

, (u, v) ∈ [−4, 4]

2

.

19.

Rozwiązać układ równań

(

(x

2

+ y

2

− 1)

3

= x

2

y

3

x

2

+ y

2

= 1,

w zbiorze R

2

, następnie zobrazować to rozwiązanie na wykresie.

20.

Narysować w oknie Maximy wykres rozety danej równaniami: x = sin(

√

3 t) cos t, y = sin(

√

3 t) sin t,

t ∈ [0, 12π].

21.

Niech f (t) = t arc tg(t). Przypisać zmiennej a wartość 0 lub 1, następnie wprowadzić instrukcję działającą
następująco: jeśli a = 0 to zwraca f

0

(t), jeśli a = 1 to zwraca

R

f (t)dt, w pozostałych przypadkach wyświetla

komunikat „informatyczne podstawy projektowania”.

22.

Niech f (x, y, z) = x

3

+ y

2

+ 2z

2

+ xy − 2zx + 3y − 1. Znaleźć rozwiązanie układu równań











∂f
∂x

(x, y, z) = 0

∂f
∂y

(x, y, z) = 0

∂f

∂z

(x, y, z) = 0.

23.

Napisać pętlę typu for ... thru obliczającą sumę

26

P

n = 4

n parzyste

arc tg(n+3)

√

n

2

+1

. Wynik przedstawić w postaci dzie-

siętnej.

1

c

° WM 2011/2012

Wojciech Młocek

Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12

Maxima - przykładowe pytania na kolokwium

24.

Napisać pętlę typu for ... thru obliczającą iloczyn

24

Q

n = 5

n nieparzyste

2n−1

n+5

. Wynik przedstawić w postaci dziesięt-

nej.

25.

Napisać algorytm oparty na pętli typu for ... while, który znajdzie największą liczbę naturalną n spełniającą
nierówność

n−5

1+4

√

n

6 10.

26.

Napisać algorytm oparty na pętli w ramach funkcji block, który znajdzie najmniejszą liczbę naturalną n
spełniającą nierówność

√

n+3

ln(n+2)

> 5.

27.

Niech f (x) = cos

x

2

. Przez f

k

(x) oznaczmy pierwsze k wyrazów ze wzoru Taylora dla funkcji f w punkcie

x

0

= 0.

1

Narysować na jednym obrazku wykresy funkcji f , f

9

, f

11

w przedziale [−3π, 3π].

28.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f (x) = −2x

2

+ x + 1, g(x) = e

2x

− 1.

29.

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych det





z

1

2

−1 z − 1 2

0

1

z



 = 0.

30.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: f (x) = 6x

2

+

7
2

x − 5, g(x) = −12x

2

− 7x + 13.

31.

Narysować w oknie Maximy wykres lemniskaty Bootha opisanej równaniem (x

2

+ y

2

)

2

= 4x

2

+

1

16

y

2

.

32.

Napisać algorytm oparty na pętli typu for ... while, który znajdzie największą liczbę naturalną n spełniającą
nierówność

(n + 1) sin

1

n+11

< 0, 9876.

Odpowiedzi do zadań

1.

−96

√

3 − 144.

2.

2.21951.

3.

√

2.

4.

1.82998.

5.

x = −2.47194 ∨ x = −0.97375 ∨ x = 1.72735.

6.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

7.

1

f

k

(x) =

k

P

n=0

f

(n)

(0)

n!

x

n

2

c

° WM 2011/2012

Wojciech Młocek

Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12

Maxima - przykładowe pytania na kolokwium

-5

0

5

10

15

20

-1

-0.5

0

0.5

1

fun1

8.

x =

2%r1−3

4

, y = −

18%r1−19

20

, z = −

46%r1−43

20

, t = %r1.

9.

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4

-2

0

2

4

6

8

(x

3

+2)/(x

3

-3*x

2

-x+3)

x

10.

∂

2

g

∂x

2

=

2(y+1)

2

√

y

2

+x

2

+1

(x y+x+2)

3

+

1

(xy+x+2)

√

y

2

+x

2

+1

−

2x(y+1)

(xy+x+2)

2

√

y

2

+x

2

+1

−

x

2

(xy+x+2)(y

2

+x

2

+1)

3

2

,

∂

2

g

∂y

2

=

2x

2

√

y

2

+x

2

+1

(xy+x+2)

3

+

1

(xy+x+2)

√

y

2

+x

2

+1

−

2xy

(xy+x+2)

2

√

y

2

+x

2

+1

−

y

2

(xy+x+2)(y

2

+x

2

+1)

3

2

,

∂

2

g

∂x∂y

=

∂

2

g

∂y∂x

= −

√

y

2

+x

2

+1

(xy+x+2)

2

+

2x(y+1)

√

y

2

+x

2

+1

(xy+x+2)

3

−

y(y+1)

(xy+x+2)

2

√

y

2

+x

2

+1

−

x

2

(xy+x+2)

2

√

y

2

+x

2

+1

−

xy

(xy+x+2)(y

2

+x

2

+1)

3

2

.

11.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cos(%e

(

x-y))

12.

x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3.

13.

P =

343

3

.

14.

A =





−1 2 0

0 0 1
1 0 2



.

15.

x = −2 ∨ x =

4
3

.

3

c

° WM 2011/2012

Wojciech Młocek

Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12

Maxima - przykładowe pytania na kolokwium

16.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

x

abs(cos(x))

discrete2

17.

Tak.

18.

-1 -0.8

-0.6 -0.4

-0.2 0

0.2 0.4

0.6 0.8

1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

[sin(u),cos(v),u

2

]

19.



x = −1
y = 0

∨



x = 1
y = 0,

∨



x = 0
y = −1,

∨



x = 0
y = −1.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

(y

2

+x

2

-1)

3

= x

2

*y

3

y

2

+x

2

= 1

20.

4

c

° WM 2011/2012

Wojciech Młocek

Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12

Maxima - przykładowe pytania na kolokwium

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

sin(t)*sin(sqrt(3)*t)

cos(t)*sin(sqrt(3)*t)

22.











x = 1
y = −2
z =

1
2

,

∨











x = −

1
2

y = −

5
4

z = −

1
4

.

23.

1.59938.

24.

18.34033.

25.

n = 1629.

26.

n = 1274.

27.

-1

-0.5

0

0.5

1

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

y

x

f

f

9

f

11

28.

P =

6891
8867

.

29.

z

1

= 2, z

2

= −

1
2

−

√

3

2

i, z

3

= −

1
2

+

√

3

2

i.

30.

P =

15625

576

.

31.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1

0

1

2

y

x

32.

795.

5

c

° WM 2011/2012