Algebra liniowa

KOLOKWIUM 1 (poniedziaek) 2011/12

1. Sprawdzi´c, czy zbi´or liczb rzeczywistych z dzia laniem a ⊕ b = a + b + 1 jest grup¸a.

2. Obliczy´c

(1−i)

11

(

√

3+i)

6

. Wynik poda´c w postaci kanonicznej.

3. Obliczy´c

4

q

−1 +

√

3i. Wynik poda´c w postaci kanonicznej.

4. Zbada´c, czy wektor (3, 4, 4) jest kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow (1, 1, 1), (1, 0, −1) i

(1, 3, 5).

5. W bazie {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} wektor v ma wsp´o lrz¸edne v = (1, 2, 3). Sprawdzi´c,

czy zbi´or wektor´ow {(0, 1, 1), (1, 0, 2) (0, 1, −1)} jest baz¸a i, je˙zeli tak, znale´z´c wsp´o lrz¸edne
wektora v w w tej bazie.

6. Znale´z´c posta´c odwzorowania liniowego f : R

3

→ R

2

wiedz¸ac, ˙ze

f

((1, 0, 1)) = (4, −1), f((0, 1, 1)) = (−1, 0), f((1, 1, −1)) = (0, 2).

7. Niech f : R

3

→ R

3

bedzie nast¸epuj¸acym odwzorowaniem liniowym: f ((x

1

, x

2

, x

3

)) =

(2x

1

+ x

2

+ 3x

3

, x

2

− x

1

,

8x

1

+ x

2

+ 9x

3

). Wyznaczy´c baz¸e dla Ker f i Im f . Obliczy´c

rz¸ad przekszta lcenia f .

8. Niech f : (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

→ (x

1

+ x

2

+ x

3

,

−x

1

+ x

2

, x

2

) ∈ R

3

. Sprawdzi´c, czy f jest

odwracalne (f jest odwracalne ⇔ f : (x

1

, x

2

, x

3

) = (0, 0, 0) ⇒ (x

1

, x

2

, x

3

) = (0, 0, 0) )

i, je˙zeli tak, to znale´z´c odwzorowanie odwrotne do f .