Ć w i c z e n i e 33

POMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU NA PODSTAWIE

EFEKTU DOPPLERA

33.1 Opis teoretyczny

Proszę zapoznać się z opisem teoretycznym do ćwiczenia nr 30 (rozdział 30.1) zawierającego opis
fali dźwiękowej i sposób teoretycznego wyznaczenia jej prędkości.
Gdy obserwator zbliża się do źródła fal o określonej częstotliwości, czy też oddala się od tego źró-
dła, to obserwuje on zmianę częstotliwości dochodzących do niego fal. Analogiczną zmianę często-
tliwości obserwuje nieruchomy obserwator, do którego zbliża się lub od którego oddala się źródło
fal. Na przykład stojąc blisko toru kolejowego i wsłuchując się w gwizd nadjeżdżającej lokomoty-
wy, słyszymy wyraźny spadek wysokości dźwięku w chwili, gdy ona nas mija. Zjawisko to zostało
wykryte w roku 1842 przez austriackiego uczonego Chr. Dopplera i nosi nazwę efektu Dopplera.
Rozważmy oba przypadki:

a)

gdy obserwator porusza się względem nieruchomego źródła dźwięku

Długość fali

λ , jej częstotliwość

0

ν

i prędkość rozchodzenia się

u

związane są zależnością:

λ

u

ν

0

=

(33.1)

Gdy obserwator zbliża się do źródła dźwięku z prędkością V to prędkość fali względem niego jest
większa (wynosi

V

+

u

) i związku z tym słyszy dźwięk jako wyższy od rzeczywistego tzn. o czę-

stotliwości

λ

ν

V

+

=

′ u

Podstawiając z zależności (33.1)

0

ν

u

=

λ

możemy zapisać:











 +

=

+

=

′

u

V

1

ν

u

V

u

ν

ν

0

0

(33.1a)

Gdy obserwator oddala się do źródła dźwięku z prędkością V, prędkość fali względem niego jest
mniejsza (wynosi

V

−

u

) i obserwowana przez niego częstotliwość dźwięku też jest mniejsza od

rzeczywistej:











 −

=

′′

u

V

1

ν

ν

0

.

(33.1b)

b)

gdy źródło dźwięku porusza się względem nieruchomego obserwatora

Ruch źródła dźwięku powoduje równocześnie z rozchodzeniem się fali przesunięcie środka drgań.
Wskutek tego długość fali

λ wytworzonej fali dźwiękowej, czyli odległość kolejnych zagęszczo-

nych warstw powietrza w kierunku ruchu źródła zmniejsza się ( i wynosi

λ

′

), zaś w kierunku prze-

ciwnym wzrasta ( i wynosi

λ

′′

). Słuszne są zależności:

0

V

u

ν

λ

′

=

−

przy zbliżaniu się źródła

0

V

u

ν

λ

′′

=

+

przy oddalaniu się źródła

Tym nowym długościom odpowiadają zmienione częstotliwości pozorne:
przy zbliżaniu się źródła:

u

v

1

ν

u

V

u

ν

ν

V

u

u

u

ν

0

0

0

−

=

−

=

−

=

′

=

′

λ

(33.2a)

przy oddalaniu się źródła:

u

v

1

ν

u

V

u

ν

ν

V

u

u

u

ν

0

0

0

+

=

+

=

+

=

′′

=

′′

λ

(33.2b)

Jak widać z powyższych rozważań należy rozróżniać przypadek poruszającego się nadajnika i poru-
szającego się obserwatora. Niesymetria wzorów (33.1a) i (33.2a) oraz (33.1b) i (33.2b) wynika stąd,
że w obu przypadkach nieruchome jest środowisko, w którym rozchodzi się fala. Symetria taka

będzie zachodzić jedynie przy spełnieniu warunku

1

u

V 〈〈 :

Np. przy tym warunku rozwijając wyrażenie (33.2a) w szereg i zaniedbując jego dalsze człony
otrzymujemy wyrażenie (33.1a):











 +

≈

















+













+

+

=











 −

=

−

−

u

v

1

ν

...

u

v

u

v

1

ν

u

v

1

ν

v/u

1

ν

0

2

0

1

0

0

(33.3)

Efekt Dopplera jest natomiast symetryczny ze względu na ruch źródła lub odbiornika dla fal elek-
tromagnetycznych. To odmienne zachowanie się fal elektromagnetycznych wynika z ich stałej
prędkości propagacji w każdym układzie odniesienia i z relatywistycznej względności czasu.

33.2 Opis układu pomiarowego

Zestaw pomiarowy został przedstawiony na poniższym rysunku.

Układ składa się z generatora drgań elektrycznych, który służy do pobudzania głośnika, umocowa-
nego na wahadle. Nieruchomy mikrofon zamienia drgania akustyczne na elektryczne, które prze-
chodzą przez wzmacniacz selektywny i są odbierane przez częstościomierz.

W zestawie tym źródłem dźwięku jest wahający się głośnik, a odbiornikiem nieruchomy

mikrofon. Jest to więc przypadek opisany wzorami (33.2a,b), gdyż źródło dźwięku na zmianę raz
się zbliża, a raz oddala od mikrofonu, który zastępuje ucho obserwatora. Ponieważ prędkość waha-
jącego się głośnika V w każdym położeniu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku w powie-
trzu u, dlatego można zastosować przybliżenie (33.3) do obu wzorów, co daje w konsekwencji wy-
rażenie na odbieraną przez mikrofon częstotliwość dźwięku:











 ±

=

u

V

1

ν

ν

0

(33.4)

gdzie znak "+" dotyczy zbliżania się głośnika do mikrofonu a "-" oddalania.

Rys 30.1. Schemat układu pomiarowego

Pomiar będzie wykonywany w pobliżu maksymalnej prędkości głośnika (kąt wychylenia

α bardzo

mały), dlatego będzie można przyjąć, że głośnik porusza się ruchem prostoliniowym w kierunku
mikrofonu. W pracującym układzie pomiarowym okres wahającego się głośnika wynosi ok. 3s a
czas pomiaru częstotliwości 0,1s, dlatego warunek małego

α będzie łatwy do spełnienia. Ponieważ

prędkość wahającego się głośnika nie jest stała (a periodycznie zmienna) to musimy ją uśrednić w
czasie, w którym dokonywany jest pomiar częstotliwości ( 0,1s).
Po wychyleniu głośnika w lewo o d, jego ruch opisywać będzie wyrażenie:









⋅

−

=

t

T

2

cos

d

x

π

(33.5)

gdzie: x - wychylenie od położenia równowagi w danej chwili czasu t, a znak "-" oznacza, że wy-
chylenie w lewo traktujemy jako ujemne
Prędkość głośnika V w dowolnej chwili czasu t wynosi:









=









⋅

⋅

=

=

t

T

2

sin

V

t

T

2

sin

d

T

2

t

x

V

max

π

π

π

d

d

(33.6)

gdzie Vmax=

2

⋅ ⋅

g h

jest maksymalną prędkością głośnika, tj. prędkością przy przechodzeniu

przez położenie równowagi (g - przyśpieszenie ziemskie, h - różnica wysokości w odniesieniu do
położenia równowagi).

Rys. 33.2 Obszar uśredniania prędkości w wahadłowym ruchu głośnika

Jak to wynika z rysunku, pomiar będziemy dokonywać w czasie 0,1s (1/30 T). Efekt Dopplera naj-
lepiej jest zauważalny przy dużych prędkościach głośnika i dlatego należy go mierzyć w pobliżu
Vmax (14/60T ÷ 16/60T). Prędkość średnia w tym przedziale wynosi:

max

T

60

/

16

T

60

/

14

max

T

60

/

16

T

60

/

14

max

V

998

.

0

T

2

cos

V

2

3

T

2

sin

V

1

.

0

1

V

⋅

=







−

=









=

∫

t

dt

t

s

π

π

π

(33.7)

Otrzymany wynik oznacza, że otrzymamy taką zmianę częstotliwości, jakby głośnik poruszał się ze
stałą prędkością równą 0.998 Vmax.
Przy zastosowaniu tej metody odbierana częstotliwość

ν (zgodnie ze wzorem(33.4)) wynosić bę-

dzie:















±

=











 ±

=

u

2gh

0.998

1

u

V

998

.

0

1

0

max

0

ν

ν

ν

(33.8)

gdzie:

ν

0

- częstotliwość spoczywającego głośnika, znak "+" dotyczy zbliżania się głośnika do mi-

krofonu a "-" oddalania.
W praktyce wyniki bardzo odbiegające od teoretycznie przewidywanych należy potraktować jako
błędy grube i odrzucić.
Ponieważ częstotliwość generatora na ogół nie jest stała w czasie, to wygodniej jest stosować wzór
(33.8) w postaci:

u

gh

2

998

.

0

0

0

±

=

−

ν

ν

ν

(33.9)

Ostatni wzór pokazuje, że względna zmiana częstotliwości w efekcie Dopplera - w naszym układzie
- jest proporcjonalna do pierwiastka z początkowej wysokości odchylenia głośnika od położenia
równowagi h. Współczynnik proporcjonalności zawiera szukaną wartość prędkości dźwięku u.

33.3. Przebieg pomiarów

1)

Zmierzyć 10 razy częstotliwość spoczywającego głośnika

ν.

2)

Zmierzyć wysokość spoczynkową głośnika.

3)

Ustawić na zamontowanej suwmiarce pożądaną różnicę wysokości (h=9, 16, 25 cm), a następnie
przesuwając ją na ławie optycznej (z jednoczesnym odwodzeniem głośnika) tak ustawić, aby od-
powiadało to wychyleniu głośnika na taką wysokość. Wtedy dopiero umocować głośnik do
uchwytu (linka mocująca głośnik powinna być napięta).

4)

Wypuścić z uchwytu głośnik i zmierzyć odbieraną częstotliwość

ν dla jego maksymalnej pręd-

kości (przycisk wyzwalający częstościomierz, ze względu na bezwładność układu oraz czas re-
akcji oka, uruchomić tuż przed osiągnięciem tego maksimum).

5)

Podobnie zmierzyć odbieraną częstotliwość powracającego do uchwytu głośnika.

6) Czynności wg punktów 2-5 powtórzyć 10 razy.
7) Czynności wg punktów 2-6 powtórzyć dla trzech w/w. wysokości h.
8) Zmierzyć temperaturę w pomieszczeniu.

33.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1)

Wyznaczyć średnią wartości

0

ν

.

2) Wyznaczyć średnie wartości

ν (dla poszczególnych wysokości i dla obu kierunków ruchu gło-

śnika)

3) Wykreślić zależność

( )

h

f

=

−

0

0

ν

ν

ν

przy użyciu metody najmniejszych kwadratów w postaci

dwu prostych (pamiętać, że funkcja przybiera dodatnie i ujemne wartości - dwa kierunki ruchu
głośnika)

4) Z nachylenia otrzymanych prostych oraz w oparciu o wzór (33.9) wyznaczyć prędkość dźwię-

ku u.

5) Na podstawie teoretycznego wzoru (30.3) wyznaczyć wartość

κ. Przyjąć tak jak w ćwiczeniu

nr 30

]

[

29

m

g

N

A

=

6) Przeprowadzić rachunek błędów i wyciągnąć wnioski.

33.5. Pytania kontrolne

1. Wyprowadzić wzory na zjawisko Dopplera w przypadku, gdy obserwator porusza się względem

nieruchomego źródła dźwięku.

2. Wyprowadzić wzory na zjawisko Dopplera w przypadku, gdy źródło dźwięku porusza się

względem nieruchomego obserwatora.

3. Od czego zależy prędkość dźwięku ?
4. Omówić ruch wahadłowy głośnika i sposób uśredniania jego prędkości.

L i t e r a t u r a

[1] R. Resnick, D. Holliday, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych t. I, PWN

Warszawa 1965

[2] Sz. Szczeniewski, Fizyka Doœwiadczalna t. I, PWN Warszawa 1972
[3] Ch. Kittel, M. A. Ruderman, W. D. Knight, Mechanika, PWN Warszawa 1969
[4] K. Blankiewicz, Badanie Rozchodzenia się dźwięku w powietrzu, Instrukcja Politechniki War-

szawskiej, Warszawa 1992