Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 22
22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1 Prawo
Ampera
Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występują-
ce rozkłady prądów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw.
linie pola magnetycznego
czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane są linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem. Wektor B jest styczny do tych
linii pola w każdym punkcie.
Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są
zamkniętymi
współśrodkowymi
okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika
. To, że linie pola B są zamknięte
stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego
linie zaczynają się i kończą na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą za-
sadę: Jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kieru-
nek B (linie pola B krążą wokół prądu).
Żeby obliczyć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Związek między prądem i polem B jest wyrażony poprzez
prawo Ampera
.
Zamiast sumowania (całki) E po zamkniętej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkniętym konturze (całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E
równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu prądowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
∫
=
I
0
d
µ
l
B
(22.1)
22-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
gdzie
µ
0
= 4
π·10
-7
Tm/A, jest
przenikalnością magnetyczną próżni
. Tak jak w przypad-
ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej tak dla
prawa Ampera wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika w odległo-
ści r od niego.
I
r
Z prawa Ampera wynika, że dla konturu kołowego
B2
πr = µ
0
I
Stąd
r
I
B
π
µ
2
0
=
(22.2)
22.2 Strumień magnetyczny
Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez po-
wierzchnię S) tak też obliczamy strumień pola B
∫
=
S
B
s
B d
φ
(22.3)
Ponieważ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi
być równy zeru
(tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
∫
=
S
0
d s
B
22-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.3 Przykładowe rozkłady prądów
22.3.1 Pręt (przewodnik)
Na zewnątrz pręta (r > R) znamy już pole B.
I
r
R
r
I
B
π
µ
2
0
=
Pole to jest takie jakby cały prąd płynął przez środek pręta (analogie do rozkładu ładun-
ków).
Jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz pręta to wybieramy kontur kołowy o r < R.
Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią całkowitego prądu I
2
2
R
r
I
i
π
π
=
Stąd
B2
πr = µ
0
i
2
2
0
2
R
r
I
r
B
π
π
µ
π =
Czyli
2
0
2 R
Ir
B
π
µ
=
22.3.2 Cewka (solenoid)
Solenoidem
nazywamy cewkę składającą się z dużej liczby zwojów. Linie pola ma-
gnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniżej. Jak widać pole
wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.
22-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jeżeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas możemy rozpatrywać solenoid jako
układ połączonych szeregowo prądów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla kon-
turu pokazanego na rysunku poniżej.
a
b
c
d
B
Całkę po konturze zamknietym
∫
l
B d przedstawimy jako sumę czterech całek
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
=
a
d
d
c
c
b
b
a
l
B
l
B
l
B
l
B
l
B
d
d
d
d
d
Druga i czwarta całka są równe zeru bo B
⊥ l. Trzecia całka jest też równa zero ale to
dlatego, że B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
∫
=
b
a
h
B
l
B d
gdzie h jest długością odcinka ab.
Teraz obliczmy prąd obejmowany przez kontur.
Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:
I = I
0
nh
gdzie I
0
jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).
22-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Z prawa Ampera otrzymujemy więc:
Bh =
µ
0
I
0
nh
czyli
B =
µ
0
I
0
n
(22.4)
22.3.3 Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległości d. Płyną w nich prądy I
a
i I
b
odpowiednio.
d
i
a
i
b
F
B
a
l
a
b
Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole
d
I
B
a
a
π
µ
2
0
=
W tym polu znajduje się przewodnik b, w którym przepływa prąd I
b
. Na odcinek l tego
przewodnika działa siła
d
I
I
l
lB
I
F
b
a
a
b
b
π
µ
2
0
=
=
(22.5)
Zwrot siły widać na rysunku.
To rozumowanie można "odwrócić" zaczynając od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji am-
pera. Załóżmy, że d = 1m oraz, że I
a
= I
b
= I. Jeżeli dobierzemy tak prąd aby siła przy-
ciągania przewodników, na 1 m ich długości, wynosiła 2·10
-7
N to mówimy, że natęże-
nie prądu jest równe
1 amperowi
.
22-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.4 Prawo
Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane
prawem Biota-Savarta
, które pozwala obliczyć B
z rozkładu prądu. Oczywiście to prawo i prawo Ampera muszą być matematycznie rów-
noważne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady prądów
są na tyle symetryczne, że obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nie-
skończenie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od
takich elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy) żeby uzyskać wypadkowy
wektor B.
r
dl
I
θ
dB
Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi
2
0
sin
d
4
d
r
l
I
B
θ
π
µ
=
a zapisane w postaci wektorowej
3
0
d
4
d
r
I
r
l
B
×
=
π
µ
(22.6)
Przykład 2
Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem.
dB
⊥
dB
II
d
R
x
r
α
I
Z prawa B -S otrzymujemy
2
0
90
sin
d
4
d
r
l
I
B
o
π
µ
=
oraz
22-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
α
cos
d
d
B
B
II
=
Z tych równań otrzymujemy
2
0
4
d
cos
d
r
l
I
B
II
π
α
µ
=
Ponadto
2
2
x
R
r
+
=
oraz
2
2
cos
x
R
R
r
R
+
=
=
α
Podstawiając otrzymujemy
l
x
R
IR
B
II
d
)
(
4
d
2
3
2
2
0
+
=
π
µ
Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów prądu.
Całkujemy, żeby obliczyć B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
2
3
2
2
2
0
2
3
2
2
0
2
3
2
2
0
)
(
2
)
2
(
)
(
4
d
)
(
4
d
x
R
IR
R
x
R
IR
l
x
R
IR
B
B
II
+
=
+
=
+
=
=
∫
∫
µ
π
π
µ
π
µ
Dla x >> R dostajemy
3
2
0
2x
IR
B
µ
=
22.5 Indukcja
elektromagnetyczna
22.5.1 Prawo Faradaya
Zjawisko
indukcji elektromagnetycznej
polega na powstawaniu prądów elektrycz-
nych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła po-
la magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest
induko-
wana siła elektromotoryczna
(SEM indukcji), która wywołuje przepływ
prądu indukcyj-
nego
.
Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:
• Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego (mamy
tzw. elektryczną SEM).
• Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetycz-
na SEM).
• Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd,
który jest źródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest
szybkość zmian
strumienia magnetycznego
φ
B
. Ilościowy związek przedstawia prawo
Faradaya
22-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
t
B
d
d
φ
ε −
=
(22.7)
Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to
t
N
B
d
d
φ
ε −
=
22.5.2 Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywoła-
ła. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy strumień rośnie
czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy prądów indukowanych.
S N
v
I
S N
v
I
22-8