Parametry sygnału sinusoidalnego

Obwody liniowe SLS , utworzone z oporników, cewek,
kondensatorów w stanie ustalonym pobudzane prądami i
napięciami źródłowymi, będącymi sinusoidalnymi
funkcjami czasu o tej samej pulsacji

ω

Rozpatrujemy taki stan obwodu,
w którym odpowiedzi (prądy i napięcia)
są również sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji

ω

.

1 . Sygnał sinusoidalny jest jednym z najczęściej
spotykanych sygnałów elektrycznych

2 . Jest to sygnał łatwo wytwarzalny przez takie urządzenia
jak prądnica , generator sygnałów sinusoidalnych
3 . Sygnały te są stosowane w

a. sieci energetycznej

b. radiotechnice i telekomunikacji ( fale nośne i

synchronizujące )

c. w miernictwie ( sygnał pomiarowy)

d. w elektronice opartej na technice analogowej

Wprowadzenie

-całkowania i różniczkowania, które nie
zmieniają natury funkcji

ponadto

- sygnały niesinusoidalne okresowe mogą być
rozwinięte w szereg Fouriera o elementach
będących funkcjami sinusoidalnymi

Sygnały te łatwo są obrabiane matematycznie
przez operacje :

Wartość
maksymalna

2,...

1,

0,

2

±

±

=

π

+

α

n

n

faza początkowa

Przyjmuje się, że fazę początkową

α

określa ten punkt

przejścia funkcji sinusoidalnej przez zero,
który jest najbliższy początkowi układu współrzędnych
i odpowiada rosnącemu fragmentowi sinusoidy

Parametry sygnału sinusoidalnego

(

)

(

)

n

t

A

t

A

m

m

2

sin

sin

π

α

ω

α

ω

+

+

=

+

Kąt x, odpowiadający okresowi, wynosi 2

π

radianów

T

ω

=

π

2

T

π

=

ω

2

Liczba okresów w ciągu jednej sekundy wynosi

T

f

1

=

- częstotliwość sygnału [Hz]

f

π

=

ω

2

1

t

ω

−

=

α

faza początkowa
funkcji sinusoidalnej

T

π

=

ω

2

T

t

1

2

π

−

=

α

(

)

(

)

(

)

α

ω

ω

ω

ω

+

=

−

=

−

=

t

A

t

t

A

t

t

A

t

f

m

m

m

sin

sin

sin

)

(

1

1

t

A

t

f

m

ω

sin

)

(

=

(

)



45

250

sin

15

)

(

+

π

=

t

t

f

( )

.

45

odpowiada

co

4

8

1

2

,

s

r

250

2

,

H

125

10

8

1

1

,

ms

8

,

15

3



π

π

α

π

π

ω

=

−

−

=

=

=

=

⋅

=

=

=

=

−

f

z

T

f

T

A

m

T

Wartość maksymalna

Okres przebiegu

A

m

= 10, T = 16ms

s

r

125

Hz

5

62

10

16

1

3

π

=

ω

=

⋅

=

−

,

,

f

t

1

= -6



135

lub

4

3

16

)

6

(

2

π

=

−

π

−

=

α

(

)



135

125

sin

10

)

(

+

π

=

t

t

f

przykład

różnica faz (przesunięcie fazowe) sygnałów
f(t) i g(t)

β

−

α

Jeżeli

α

>

β

, to mówimy, że sygnał

f (t) wyprzedza sygnał g (t) o kąt (

α

-

β

).

Jeżeli

α

<

β

, to mówimy, że sygnał f (t) opóźnia

się względem sygnału g (t) o kąt (

β

-

α

).

W przypadku, gdy

α

=

β

mówimy,

że sygnały f (t) i g (t) są w fazie.

(

)

(

)

.

sin

)

(

,

sin

)

(

β

ω

α

ω

+

=

+

=

t

B

t

g

t

A

t

f

m

m

-0,005

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

Przebiegi przesunięte o kąt

:

(

)

1

1

1

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

(

)

2

2

2

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

x

1

(t),x

2

(t)

t

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

2

ϕ

1

ϕ

0

2

1

>

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

0

1

>

ϕ

0

2

<

ϕ

)

30

1000

(

cos

20

)

(



+

=

t

t

f

przykład

.

)

45

1000

(

sin

120

)

(



+

=

t

t

g

( )

)

120

1000

sin(

20

0

+

=

t

t

f

0

0

0

75

45

120

=

−

mówimy, że f(t) wyprzedza g(t) o kąt 75

0

(

)

x

x

cos

90

sin

=

+



ale

W przeciwfazie

(

)

1

1

1

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

(

)

2

2

2

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

-0,005

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

x

1

(t),x

2

(t)

t



180

10

2

2

02

.

0

2

1

2

=

−

=

⋅

=

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

π

π

π

ω

s

rd

T

f

s

T

Wektory a sinusoida

u

ϕ

u

ϕ

)

sin(

)

(

u

m

t

U

t

u

ϕ

ω

+

=

Związek między wykresem wektorowym a czasowym

1

i

ϕ

2

i

ϕ

1

i

ϕ

2

i

ϕ

A

B

)

sin(

)

(

1

1

1

i

m

t

I

t

i

ϕ

ω

+

=

)

sin(

)

(

2

2

2

i

m

t

I

t

i

ϕ

ω

+

=

A –

wykres wektorowy

B –

wykres czasowy

-0,005

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

1

ϕ

2

ϕ

ϕ

x(t),x

1

(t),x

2

(t)

t

(

)

1

1

1

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

(

)

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

sin

)

(

z

y

X

m1

X

m

X

m2

(

)

2

2

2

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

x

1

(t=0)

x(t=0)

x

2

(t=0)

Dodawanie sinusoid

Przebiegi przesunięte o kąt:

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

-0,005

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

(

)

1

1

1

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

(

)

2

2

2

sin

)

(

ϕ

ω +

=

t

X

t

x

m

x

1

(t),x

2

(t)

t

2

ϕ

1

ϕ

0

2

1

>

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

0

1

>

ϕ

0

2

<

ϕ

Związek między wykresem wektorowym a czasowym

1

i

ϕ

2

i

ϕ

1

i

ϕ

2

i

ϕ

A

B

)

sin(

)

(

1

1

1

i

m

t

I

t

i

ϕ

ω

+

=

)

sin(

)

(

2

2

2

i

m

t

I

t

i

ϕ

ω

+

=

A – wykres wektorowy
B – wykres czasowy