Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki - 04.03.2006 rok.

Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.

Zad 1.( 6 pkt )

Dana jest funkcja:

( )

[

]

x

x

x

f

⋅

=

, przy czym

7

,

0

∈

x

. Sporządź wykres tej funkcji i

ustal

jej

zbiór

wartości.

Wyznacz

w

układzie

współrzędnych

figurę

( )

( )

{

}

6

3

7

,

0

:

,

−

≥

∧

≤

∧

∈

=

x

y

x

f

y

x

y

x

F

i oblicz pole tej figury.

[ ]

−

x

cecha liczby x - największa liczba całkowita, która nie jest większa od liczby x,

Zad 2. ( 6 pkt )
W „duże” koło o promieniu R wpisano sześć przystających „małych” kół tak, że każde

„małe” koło jest styczne wewnętrznie do „dużego” koła i każde „małe” koło jest styczne
zewnętrznie do dwóch „małych” kół. Wszystkie punkty styczności połączono odcinkami
tworząc symetryczną gwiazdę sześcioramienną. Oblicz długość łamanej wyznaczającej
brzeg tej gwiazdy oraz pole obszaru ograniczonego tą łamaną.

Zad 3. ( 6 pkt )
Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną n, taką, że liczby postaci

1

+

n

oraz

110

−

n

są

kwadratami liczb naturalnych.

Zad 4. ( 6 pkt )

Udowodnij, że dla każdego

(

)

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

+

+

≥

+

+

+

+

+

ℜ

∈

+

2

1

1

1

:

,

,

3

3

3

.

Zad 5. (6 pkt )
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n można znaleźć liczbę zapisaną

jedynie przy pomocy czwórek i zer, która dzieli się przez n.

śyczymy powodzenia!

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasy: II LO, II Technikum, III Technikum

z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki - 04.03.2006 rok.

Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.

Zad 1.( 6 pkt )

Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę
pierwiastków rzeczywistych równania:

(

)

(

)

0

1

1

2

=

−

−

⋅

−

−

m

x

m

x

. Napisz wzór i

sporządź wykres funkcji f.

Zad 2. ( 6pkt )

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji:

( )

3

3

3

6

6

6

1

1

2

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

+

+













+

−













+

−













+

=

dla

0

>

x

.

Zad 3.( 6 pkt )
Punkt P jest takim punktem wewnętrznym trójkąta ABC, że:

ϕ

=

∠

=

∠

=

∠

PCA

PBC

PAB

. Wykaż, że:

C

B

A

∠

+

∠

+

∠

=

2

2

2

2

sin

1

sin

1

sin

1

sin

1

ϕ

.

Zad 4. ( 6 pkt )

Dane jest równanie:

[

]

(

)

( )

( )

0

1

2

sgn

2

1

1

1

2

2

2

=

+

+

+

−

−

−

+

y

a

D

x

a

y

a

x

, gdzie:

[ ]

−

x

cecha liczby x - największa liczba całkowita, która nie jest większa od liczby x,

( )











<

−

=

>

=

0

1

0

0

0

1

sgn

x

gdy

x

gdy

x

gdy

x

,

( )







=

ą

niewymiern

liczbą

jest

x

gdy

wymierną

liczbą

jest

x

gdy

x

D

0

1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie wyznacz zbiór punktów,
których współrzędne spełniają dane równanie. Rozważ wszystkie przypadki.

Zad 5. ( 6pkt )
Na środkowej AD trójkąta ABC obrano punkt E taki, że

2

:

1

:

=

ED

AE

i poprowadzono

prostą BE przecinającą bok AC w punkcie F. Wiedząc, że pole trójkąta ABC równe jest
S oblicz pole trójkąta AEF.

śyczymy powodzenia!

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasy: III LO, IV Technikum

z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki - 04.03.2006.

Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.

Zad 1. ( 6 pkt )

Ze zbioru wszystkich funkcji

{

} {

}

31

,

...

,

3

,

,

2

,

1

25

,

...

,

3

,

2

,

1

:

→

f

wybieramy losowo jedną

funkcję. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A – wybrana funkcja jest rosnąca.
B – liczba 10 jest najmniejszą wartością wybranej funkcji
C – wybrana funkcja przyjmuje tylko dwie wartości.

Zad 2. ( 6 pkt )

W półkulę o promieniu długości R wpisano trzy przystające, parami zewnętrznie styczne

kulki, z których każda jest styczna zarówno do koła wielkiego danej półkuli jak również
do sfery wyznaczającej powierzchnię danej półkuli. Oblicz długość promienia małej
kulki.

Zad 3. ( 6 pkt )

Ciąg

( )

n

a

określony jest rekurencyjnie:







∈

+

=

=

+

+

N

n

dla

a

a

a

a

n

n

n

,

1

2

1

:

1

1

.

Wyznacz:

n

a

a

a

a

+

+

+

+

...

3

2

1

.

Zad 4. ( 6 pkt )

Do każdej z gałęzi hiperboli o równaniu

x

k

y

=

poprowadzono po jednej stycznej.

Styczne te przecinają oś OX w punktach A, B, a oś OY w punktach C, D. Udowodnij, że
dwa spośród trójkątów: AOC, BOC, AOD, BOD mają równe pola, a dwa pozostałe są
podobne.

Zad 5. ( 6 pkt )

Rozwiąż równanie:

( )

( )

2

2

2

2

2

1

1

cos

2

1

cos

2

log













−

−

=

−













+

y

xy

xy

.

śyczymy powodzenia!