Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki
Etap wojewódzki - 04.03.2006 rok.
Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.
Zad 1.( 6 pkt )
Dana jest funkcja:
( )
[
]
x
x
x
f
⋅
=
, przy czym
7
,
0
∈
x
. Sporządź wykres tej funkcji i
ustal
jej
zbiór
wartości.
Wyznacz
w
układzie
współrzędnych
figurę
( )
( )
{
}
6
3
7
,
0
:
,
−
≥
∧
≤
∧
∈
=
x
y
x
f
y
x
y
x
F
i oblicz pole tej figury.
[ ]
−
x
cecha liczby x - największa liczba całkowita, która nie jest większa od liczby x,
Zad 2. ( 6 pkt )
W „duŜe” koło o promieniu R wpisano sześć przystających „małych” kół tak, Ŝe kaŜde
„małe” koło jest styczne wewnętrznie do „duŜego” koła i kaŜde „małe” koło jest styczne
zewnętrznie do dwóch „małych” kół. Wszystkie punkty styczności połączono odcinkami
tworząc symetryczną gwiazdę sześcioramienną. Oblicz długość łamanej wyznaczającej
brzeg tej gwiazdy oraz pole obszaru ograniczonego tą łamaną.
Zad 3. ( 6 pkt )
Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną n, taką, Ŝe liczby postaci
1
+
n
oraz
110
−
n
są
kwadratami liczb naturalnych.
Zad 4. ( 6 pkt )
Udowodnij, Ŝe dla kaŜdego
(
)
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
+
+
≥
+
+
+
+
+
ℜ
∈
+
2
1
1
1
:
,
,
3
3
3
.
Zad 5. (6 pkt )
WykaŜ, Ŝe dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n moŜna znaleźć liczbę zapisaną
jedynie przy pomocy czwórek i zer, która dzieli się przez n.
śyczymy powodzenia!
Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasy: II LO, II Technikum, III Technikum
z rozszerzonym programem nauczania matematyki
Etap wojewódzki - 04.03.2006 rok.
Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.
Zad 1.( 6 pkt )
Niech f będzie funkcją, która kaŜdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę
pierwiastków rzeczywistych równania:
(
)
(
)
0
1
1
2
=
−
−
⋅
−
−
m
x
m
x
. Napisz wzór i
sporządź wykres funkcji f.
Zad 2. ( 6pkt )
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji:
( )
3
3
3
6
6
6
1
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
+
−
+
−
+
=
dla
0
>
x
.
Zad 3.( 6 pkt )
Punkt P jest takim punktem wewnętrznym trójkąta ABC, Ŝe:
ϕ
=
∠
=
∠
=
∠
PCA
PBC
PAB
. WykaŜ, Ŝe:
C
B
A
∠
+
∠
+
∠
=
2
2
2
2
sin
1
sin
1
sin
1
sin
1
ϕ
.
Zad 4. ( 6 pkt )
Dane jest równanie:
[
]
(
)
( )
( )
0
1
2
sgn
2
1
1
1
2
2
2
=
+
+
+
−
−
−
+
y
a
D
x
a
y
a
x
, gdzie:
[ ]
−
x
cecha liczby x - największa liczba całkowita, która nie jest większa od liczby x,
( )
<
−
=
>
=
0
1
0
0
0
1
sgn
x
gdy
x
gdy
x
gdy
x
,
( )
=
ą
niewymiern
liczbą
jest
x
gdy
wymierną
liczbą
jest
x
gdy
x
D
0
1
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie wyznacz zbiór punktów,
których współrzędne spełniają dane równanie. RozwaŜ wszystkie przypadki.
Zad 5. ( 6pkt )
Na środkowej AD trójkąta ABC obrano punkt E taki, Ŝe
2
:
1
:
=
ED
AE
i poprowadzono
prostą BE przecinającą bok AC w punkcie F. Wiedząc, Ŝe pole trójkąta ABC równe jest
S oblicz pole trójkąta AEF.
śyczymy powodzenia!
Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasy: III LO, IV Technikum
z rozszerzonym programem nauczania matematyki
Etap wojewódzki - 04.03.2006.
Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.
Zad 1. ( 6 pkt )
Ze zbioru wszystkich funkcji
{
} {
}
31
,
...
,
3
,
,
2
,
1
25
,
...
,
3
,
2
,
1
:
→
f
wybieramy losowo jedną
funkcję. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A – wybrana funkcja jest rosnąca.
B – liczba 10 jest najmniejszą wartością wybranej funkcji
C – wybrana funkcja przyjmuje tylko dwie wartości.
Zad 2. ( 6 pkt )
W półkulę o promieniu długości R wpisano trzy przystające, parami zewnętrznie styczne
kulki, z których kaŜda jest styczna zarówno do koła wielkiego danej półkuli jak równieŜ
do sfery wyznaczającej powierzchnię danej półkuli. Oblicz długość promienia małej
kulki.
Zad 3. ( 6 pkt )
Ciąg
( )
n
a
określony jest rekurencyjnie:
∈
+
=
=
+
+
N
n
dla
a
a
a
a
n
n
n
,
1
2
1
:
1
1
.
Wyznacz:
n
a
a
a
a
+
+
+
+
...
3
2
1
.
Zad 4. ( 6 pkt )
Do kaŜdej z gałęzi hiperboli o równaniu
x
k
y
=
poprowadzono po jednej stycznej.
Styczne te przecinają oś OX w punktach A, B, a oś OY w punktach C, D. Udowodnij, Ŝe
dwa spośród trójkątów: AOC, BOC, AOD, BOD mają równe pola, a dwa pozostałe są
podobne.
Zad 5. ( 6 pkt )
RozwiąŜ równanie:
( )
( )
2
2
2
2
2
1
1
cos
2
1
cos
2
log
−
−
=
−
+
y
xy
xy
.
śyczymy powodzenia!